七年级下学期期中数学常考点分类专题（考查范围：7～9章）（夯实基础篇）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题 2024-2025学年七年级下学期期中数学常考点分类专题（夯实基础篇）（考查范围：幂的运算、整式乘法、图形的变换） 第一部分【考点目录】 1、 选择填空题 【知识点一】幂的运算 【考点1】科学记数法..........................................................2 【考点2】幂的运算............................................................2 【考点3】幂的运算的逆运算....................................................3 【知识点二】整式乘法 【考点4】幂的运算与整式乘法运算..............................................3 【考点5】多项式乘多项式中的参数..............................................3 【考点6】乘法公式中的参数....................................................4 【考点7】整式乘法中整体思想化简求值..........................................4 【考点8】整式乘法与几何图形..................................................4 【考点9】乘法公式进行有理数简便运算..........................................5 【考点10】整式乘除中的规律探究...............................................6 【知识点二】图形的变换 【考点11】平移、旋转、轴对称图形识别.........................................6 【考点12】平移的性质.........................................................7 【考点13】轴对称的性质.......................................................8 【考点14】折叠问题...........................................................9 【考点15】轴对称与最值.......................................................9 【考点16】旋转的三要素......................................................11 【考点17】旋转的性质........................................................12 二、解答题 【考点18】幂的运算..........................................................13 【考点19】幂的逆运算........................................................13 【考点20】整式乘法运算与化简求值............................................14 【考点21】利用乘法公式进行运算与化简求值....................................14 【考点22】整式乘法与几何图形................................................14 【考点23】平移综合题........................................................16 【考点24】轴对称综合题......................................................17 【考点25】旋转综合题........................................................19 第二部分【题型梳理与方法展示】 2、 选择填空题 【知识点一】幂的运算 【考点1】科学记数法 1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据了解，一粒芝麻的质量约为．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·湖北宜昌·阶段练习）2024年一季度宜昌市重大项目集中开工活动举行，总投资1991.2亿元的218个重大项目集中开工，彰显了宜昌的经济活力．将“1991.2亿”用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）某种微生物的平均质量为克，数据用科学记数法表示为 ． 【考点2】幂的运算 1．（24-25九年级下·广西贵港·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，，，那么a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·一模）计算：（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知，则的值为（    ） A． B．3 C．9 D． 【考点3】幂的运算的逆运算 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）（）若，，则的值为 ． （）若，则 ． 【知识点二】整式乘法 【考点4】幂的运算与整式乘法运算 1．（2025·福建泉州·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期末）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期末）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【考点5】多项式乘多项式中的参数 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）若，则的值为 ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若的积中不含x和项，则 ． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若的结果中不含项，则 ． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期末）已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（   ） A．1 B． C． D． 【考点6】乘法公式中的参数 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若一个多项式的平方的结果为，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果二次三项式是完全平方式，那么k的值是 ． 【考点7】整式乘法中整体思想化简求值 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）若且，则代数式的值等于（   ） A．5 B． C．3 D． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 3．（浙江省2025年初中学业水平考试潮汐组合-钱塘甬真卷1-潮卷）已知，代数式的值为 ． 4．（24-25七年级下·全国·期末）如果，那么代数式的值为 ． 【考点8】整式乘法与几何图形 1．（21-22七年级下·浙江温州·期中）如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A．2，3，2 B．2，4，2 C．2，5，2 D．2，5，4 2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，是利用割补法求图形而积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片，如图1，取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图2；则图2中阴影部分的边长为 （用含有a，b的代数式表示）；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图3．则图3中阴影部分的面积为 ．（用含有a，b的代数式表示）； 已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的面积是 ． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图所示的图形是由一个长方形和两个正方形组成的图形，其中长方形的长为，宽为，若，，则图中两个正方形的面积和是 ． 【考点9】乘法公式进行有理数简便运算 1．（2022·江苏盐城·二模）用简便方法计算时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）运算： ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算的结果是 ． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）简便运算： ； ． 【考点10】整式乘除中的规律探究 1．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列各个式子的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 第202个等式： ． 2．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算： ． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一，比法国数学家帕斯卡发现这一规律要早约400年．观察下列各式及其展开式，请写出展开式中的第三项 ． 【知识点二】图形的变换 【考点11】平移、旋转、轴对称图形识别 1．（23-24八年级下·全国·期中）如图，编号为①至④的四个四边形中，不能由四边形 经过平移或旋转得到的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是由经过变换得到的，则这个变换过程可能是（   ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．平移后轴对称 3．（24-25八年级上·山东日照·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【考点12】平移的性质 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）将线段平移，得到线段，则点B到点的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（19-20七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（21-22七年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，将沿的方向平移2个单位后，得到，连接，则的面积为 ． 【考点13】轴对称的性质 1．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 2．（21-22八年级上·福建厦门·期末）定义：在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径，点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即或或等，则点P关于极轴对称的点Q的极坐标表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）观察图中的各组图形，其中成轴对称的是 ．（请填写序号） 4．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）已知点与点，点与点都关于直线成轴对称，并且点、所在的直线与点、所在的直线相交于点，连接，判断下列结论：①；②点在直线上；③直线；④，其中正确的结论有 （只填写序号）． 【考点14】折叠问题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，把长方形沿折叠，点A，B分别落在点，处，与交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在长方形纸片中，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，点B和点C恰好都落在点P处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·模拟预测）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交于点，若，则 ．（用的代数式表示） 【考点15】轴对称与最值 1．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，中，，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．5 2．（22-23七年级下·重庆九龙坡·期中）如图，将沿方向平移得到对应的，延长，交于点．若，，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（    ）．    A． B．5 C． D．6 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点P为上一动点，则的周长最小值为 ． 4．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，P是边上一动点，将沿折叠，点B落在处，交于D，则的最大值为 ． 5．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 【考点16】旋转的三要素 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心为（    ） A．点O B．点P C．点Q D．点M 2．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（    ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【考点17】旋转的性质 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图， 将绕点O逆时针方向旋转 得， 若， 则 的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为 ． 4．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，．则的长为 ． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将绕点A顺时针旋转后得到．如果，那么的度数为 ． 二、解答题 【考点18】幂的运算 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【考点19】幂的逆运算 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）根据已知条件求值 （1）已知，，求的值 （2）已知，求的值． 2．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）根据已知求值： （1）已知，，求的值； （2）已知，求m的平方根． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）请阅读下列材料：，比较的大小关系： 解：∵，且 ∴    ∴ 类比阅读材料的方法，解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质___________． A．同底数幂的乘法；    B．同底数幂的除法；    C．幂的乘方；    D．积的乘方 （2）已知，试比较的大小． 【考点20】整式乘法运算与化简求值 1．（24-25七年级下·全国·阶段练习）计算： （1） （2） 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的积中不含有x项和项，求代数式的值． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： （1）已知，求的值； （2），其中． 【考点21】利用乘法公式进行运算与化简求值 1．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）计算： （1） （2） （3）运用乘法公式计算： （4） 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末） （1）计算：； （2）计算：． 【考点22】整式乘法与几何图形 1．（23-24七年级下·湖南永州·期中）有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示，面积分别记为和． （1）①计算：______；______； ②用“”，“”或“”填空：______． （2）若一个正方形纸片的周长与甲长方形的周长相等，面积为． ①该正方形的边长是______（用含的代数式表示）； ②小方同学发现：与的差与无关，请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 2．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： （1）【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； （2）【应用】利用（1）中的结论计算：； （3）【拓展】利用（1）中的结论计算：． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）数形结合‌是一种数学思想方法，通过将抽象的数学语言和数量关系与直观的几何图形和位置关系结合起来，利用它们的相互转化来解决数学问题.这种方法可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，是优化解题过程的重要途径之一．主要包括两个方面：‌以数解形‌：通过给图形赋值（如边长、角度等），利用数的精确性来阐明形的某些属性；‌以形助数‌：通过几何图形的直观性来阐明数之间的关系.实际学习过程中若能亲自动手操作将“‌数形结合”演示一遍就会获得更直观的感受.请你体验： 如图1，是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）自主探究：用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是 ； （2）知识迁移：若，，则 ； （3）变化延伸：，求的值． 【考点23】平移综合题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图①所示的阴影部分是由线段向右平移1个单位长度扫过的区域，如图②所示的阴影部分是由折线AB向右平移1个单位长度扫过的区域．请在图③中画出由一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度扫过的区域（涂阴影）； （2）若长方形的长为a，宽为b，请分别写出图①②③中除去阴影部分后剩下部分的面积； （3）如图④，一块长、宽的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路的宽度为．求这块菜地的面积． 2．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到．图中标出了点B的对应点． （1）补全根据下列条件，利用网格点和三角板画图； （2）的面积为 　 　； （3）求线段平移过程中扫过的面积S． 【考点24】轴对称综合题 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，其中，试求的值．（用和表示） 2．（2025七年级下·全国·专题练习）折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． （1）如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． （1）求的周长； （2）连接、，若，求．（用含的代数式表达） 【考点25】旋转综合题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，将绕点O按逆时针方向旋转得到，． （1）写出点A，B的对应点； （2）求的度数． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期末）已知中，，，，，点在边上，．  （1）如图①，绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点，那么的长度为__________（结果用含的代数式表示）；旋转角的度数为__________； （2）如图②，绕着点顺时针方向旋转后得到，点和点的对应点分别是点和点．连接，用含的代数式表示． 3．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）将一副直角三角板，，按如图放置，其中B与E重合，，． （1）如图1，点F在线段的延长线上，求的度数； （2）将三角板从图1位置开始绕A点逆时针旋转，，分别为，的角平分线．如图2，当旋转至的内部时，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2024-2025学年七年级下学期期中数学常考点分类专题（夯实基础篇）（考查范围：幂的运算、整式乘法、图形的变换） 第一部分【考点目录】 1、 选择填空题 【知识点一】幂的运算 【考点1】科学记数法..........................................................2 【考点2】幂的运算............................................................3 【考点3】幂的运算的逆运算....................................................4 【知识点二】整式乘法 【考点4】幂的运算与整式乘法运算..............................................6 【考点5】多项式乘多项式中的参数..............................................7 【考点6】乘法公式中的参数....................................................9 【考点7】整式乘法中整体思想化简求值.........................................11 【考点8】整式乘法与几何图形.................................................13 【考点9】乘法公式进行有理数简便运算.........................................15 【考点10】整式乘除中的规律探究..............................................17 【知识点二】图形的变换 【考点11】平移、旋转、轴对称图形识别........................................19 【考点12】平移的性质........................................................20 【考点13】轴对称的性质......................................................21 【考点14】折叠问题..........................................................24 【考点15】轴对称与最值......................................................26 【考点16】旋转的三要素......................................................30 【考点17】旋转的性质........................................................32 二、解答题 【考点18】幂的运算..........................................................35 【考点19】幂的逆运算........................................................36 【考点20】整式乘法运算与化简求值............................................38 【考点21】利用乘法公式进行运算与化简求值....................................40 【考点22】整式乘法与几何图形................................................42 【考点23】平移综合题........................................................46 【考点24】轴对称综合题......................................................48 【考点25】旋转综合题........................................................50 第二部分【题型梳理与方法展示】 2、 选择填空题 【知识点一】幂的运算 【考点1】科学记数法 1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据了解，一粒芝麻的质量约为．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键； 本题是绝对值小于的数，然后可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，然后即可求解． 解：， 故选：D； 2．（23-24九年级下·湖北宜昌·阶段练习）2024年一季度宜昌市重大项目集中开工活动举行，总投资1991.2亿元的218个重大项目集中开工，彰显了宜昌的经济活力．将“1991.2亿”用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】1亿，1991.2亿，再利用科学记数法将写成，再根据同底数幂相乘法则即可得解． 本题考查了用科学记数法表示大数以及同底数幂相乘，科学记数法的标准形式为：．熟练掌握科学记数法的表示方法以及同底数幂相乘的法则是解题的关键． 解：∵1亿， ∴1991.2亿， 故选：C． 3．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）某种微生物的平均质量为克，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握运用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，正确确定的值是解题的关键． 运用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，表示形式为，n的取值方法：当原数的绝对值小于1时，把原数变为a，小数点向右移动位数的相反数就是n的值，由此即可求解． 解： 故答案为： ． 【考点2】幂的运算 1．（24-25九年级下·广西贵港·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘除、幂的乘方，根据合并同类项、同底数幂相乘除、幂的乘方的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解：A、和不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，，，那么a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方，根据零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方的运算法则求出a、b、c，进而比较大小即可求解． 解：，，， ∴， 故选：B． 3．（2025·陕西西安·一模）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，掌握运算法则是解题的关键． 直接根据积的乘方和幂的乘方运算法则求解即可． 解：， 故选：C． 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）已知，则的值为（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂乘法及其逆运算以及幂的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．根据同底数幂乘法，同底数幂乘法，幂的乘方运算法则进计算即可． 解：， ， ， ， ， 解得， 故选：D． 【考点3】幂的运算的逆运算 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方，求代数式的值，利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应值运算即可．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 解：∵，， ∴ ． 故选：D． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而求得四边形的值为，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算即可求解． 解：依题意，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）（）若，，则的值为 ． （）若，则 ． 【答案】 【分析】（）利用同底数幂的除法逆运算及幂的乘方的逆运算计算即可； （）利用幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可； 本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 解：（）， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【知识点二】整式乘法 【考点4】幂的运算与整式乘法运算 1．（2025·福建泉州·模拟预测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了计算单项式乘单项式，完全平方公式，积的乘方，平方差公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．根据单项式乘单项式法则、完全平方公式、积的乘方法则、平方差公式逐项分析判断即可． 解：A. ，原计算错误，故选项不符合题意； B. ，原计算错误，故选项不符合题意； C. ，原计算错误，故选项不符合题意； D. ，计算正确，故选项符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·河南商丘·期末）下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，幂的运算，积的乘方，平方差公式，掌握运算法则是解题的关键． 根据完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方，平方差公式逐项分析判断即可求解． 解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东汕头·期末）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂除法、平方差公式、完全平方公式等知识点，掌握同底数幂的相关运算法则成为解题的关键． 根据幂的乘方、同底数幂除法、平方差公式、完全平方公式逐项分析判断即可． 解：A、，故A正确，符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D不正确，不符合题意． 故选：A． 【考点5】多项式乘多项式中的参数 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）若，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的计算法则得到，据此得到，再代值计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：0． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若的积中不含x和项，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、不含无关类问题及代数式求值，熟练掌握运算法则及不含无关类做题方法是解决本题关键．利用多项式乘以多项式的法则计算，再根据不含和的项，即可求出m与n的值，将m与n的值代入求解即可． 解： ∵展开后的结果中不含和的项， ∴， ∴，； ∵， ∴ ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期中）若的结果中不含项，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先利用单项式乘以多项式的法则计算，根据结果中不含项即可确定出a的值． 解：， ∵不含项， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东淄博·期末）已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，，再根据和为整数，进行分类讨论是解题的关键． 解：∵， ∴， 则，， ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 故选：D． 【考点6】乘法公式中的参数 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 根据完全平方公式的特征判断即可得到的值． 解：是一个完全平方式， ， 或， 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）若一个多项式的平方的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 根据完全平方公式进行作答即可． 解：一个多项式的平方的结果为， ， ， 故选：D． 3．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出M． 解：①∵， ∴， ②若中M是多项式的平方， 则； 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果二次三项式是完全平方式，那么k的值是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的特征判断即可得到k的值． 解：∵是二次三项式， ∴且， ∴且， ∵二次三项式是一个完全平方式， ∴， 当时，方程无解； 当时，解得：． 故答案为：． 【考点7】整式乘法中整体思想化简求值 1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）若且，则代数式的值等于（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算及求值，利用整体思想代入求值即可． 解：∵且， ∴，、 故选：A． 2．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和求代数式的值，利用整体思想降幂是解题的关键． 先表示出，的值，然后代入代数式降幂计算即可． 解：， ，， 故选：C 3．（浙江省2025年初中学业水平考试潮汐组合-钱塘甬真卷1-潮卷）已知，代数式的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式混合运算的运算法则是解题的关键．根据完全平方公式、多项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后根据，即可解答本题． 解： ∵， ∴， ∴， ∴原式； 故答案为： 4．（24-25七年级下·全国·期末）如果，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，运算后整体代入求解是关键． 解：原式 ， 当时， 原式． 故答案为：． 【考点8】整式乘法与几何图形 1．（21-22七年级下·浙江温州·期中）如图所示的正方形和长方形卡片各有若干张，若要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要A类，B类，C类卡片各（　　）张 A．2，3，2 B．2，4，2 C．2，5，2 D．2，5，4 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的几何意义，是解决问题的关键． 利用长乘宽表示长方形面积，各类卡片组成此长方形，长方形面积等于各类卡片面积和，即可找出相应卡片的数量． 解：由图知（图形画法不唯一），长方形面积：， ∴需要A类卡片2张，B类卡片5张，C类卡片2张． 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，是利用割补法求图形而积的示意图，下列公式中与之相对应的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键． 解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， 所以． 故选：B． 3．（22-23七年级下·河北邢台·阶段练习）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片，如图1，取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图2；则图2中阴影部分的边长为 （用含有a，b的代数式表示）；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图3．则图3中阴影部分的面积为 ．（用含有a，b的代数式表示）； 已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大，则小正方形卡片的面积是 ． 【答案】 5 【分析】先根据正方形的性质得出图2和图3中阴影部分的面积，进而列出等量关系并化简整理，即可求解． 解：根据题意，图3中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分为正方形，边长为，故图2中阴影部分面积为， ∵图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大， ∴， ， 解得：，即小正方形卡片的面积是5， 故答案为：，，5． 【点拨】本题考查正方形的性质，列代数式，整式的混合运算，完全平方公式，正方形的面积公式，正确得出阴影部分的面积是解答的关键． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图所示的图形是由一个长方形和两个正方形组成的图形，其中长方形的长为，宽为，若，，则图中两个正方形的面积和是 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式几何意义的应用能力，解答本题的关键是理解并运用该知识和数形结合思想． 逆运用完全平方公式进行求解． 解：， ， 当，时， 图中两个正方形的面积和为：， 故答案为：． 【考点9】乘法公式进行有理数简便运算 1．（2022·江苏盐城·二模）用简便方法计算时，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式进行简便运算． 解：． 故选：B． 【点拨】本题考查了用乘法公式简便运算，解题的关键是利用平方差公式对数字进行变形，凑出平方差公式的结构形式． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）运算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的运用，利用平方差公式计算即可求解，熟练掌握平方差公式的运用是解题的关键． 解： ， 故答案为： 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了完全平方公式，先根据完全平方公式进行变形，再求出答案即可． 解： ． 故答案为：1． 4．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）简便运算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、小数的运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．先把变形为，然后利用平方差公式计算即可；先把变形为，然后利用完全平方公式计算即可． 解： ； 故答案为：； 【考点10】整式乘除中的规律探究 1．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列各个式子的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 第202个等式： ． 【答案】 【分析】本题考查了规律探索，正确完全平方公式，找到规律是解题的关键．按照规律表示出第n个等式，即可求解． 解：根据题中规律可得， 进而得出第n个等式：， ∴， 故答案为：；． 2．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）阅读以下内容：，，，根据这一规律，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了探索规律，由，，，得到，然后当时代入求解即可，根据题意规律是解题的关键． 解：∵， ， ， ， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一，比法国数学家帕斯卡发现这一规律要早约400年．观察下列各式及其展开式，请写出展开式中的第三项 ． 【答案】 【分析】本题考查了杨辉三角，正确得出杨辉三角的规律是解题的关键．每个单项式的次数都等于左边式子的次数，第一个单项式的底数为a，各项是按a的降幂，b的升幂排列的，系数依次为杨辉三角中的数，依此规律写出即可； 解：由题意得， 所以展开式中的第三项是， 故答案为： 【知识点二】图形的变换 【考点11】平移、旋转、轴对称图形识别 1．（23-24八年级下·全国·期中）如图，编号为①至④的四个四边形中，不能由四边形 经过平移或旋转得到的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移和旋转，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，旋转只改变位置，方向，但是不改变大小和形状，据此求解即可． 解：∵平移只改变位置，不改变大小，方向和形状， ∴图①可以由四边形 经过平移得到， ∵旋转只改变位置，方向，但是不改变大小和形状， ∴图③和图④可以由四边形 经过旋转得到， 而图②不能由四边形 经过平移或旋转得到， 故选：B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是由经过变换得到的，则这个变换过程可能是（   ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．平移后轴对称 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质和轴对称的性质．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．根据平移的性质和轴对称的性质，结合图形的变换特点进行判断即可． 解：根据图形的变换特点可知，是由先平移，再作轴对称得到的． 故选D． 3．（24-25八年级上·山东日照·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义，“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，据此求解即可． 解：A．不是轴对称图形，故A符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【考点12】平移的性质 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）将线段平移，得到线段，则点B到点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．掌握以上知识是解题的关键； 本题根据平移的性质进行作答，即可求解； 解：解∵线段平移，得到线段， ∴点到点的距离是， 故选：C； 2．（19-20七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，把沿着直线的方向平移后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，根据平移的性质，结合图形，对每个结论进行一一分析，选出正确答案． 解：沿着直线的方向平移后得到， ，故①正确； ，故②正确； 故③正确； ， 又， ， ，故④正确； 故选：D． 3．（21-22七年级下·广西贵港·期末）如图，在中，，将沿的方向平移2个单位后，得到，连接，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．熟练掌握平移的基本性质是解题的关键．根据平移的性质，可得答案． 解：∵，将沿射线的方向平移2个单位， ∴， ∴，的高的高的高， ∴， 故答案为：6． 【考点13】轴对称的性质 1．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称，根据轴对称的性质逐项判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 解：、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴垂直平分，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴直线的交点一定在上，该选项错误，符合题意； 故选：． 2．（21-22八年级上·福建厦门·期末）定义：在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径，点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即或或等，则点P关于极轴对称的点Q的极坐标表示不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的定义以及给OP的角度关于Ox对称后的角度加上360°的整数倍即可． 解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于极轴对称的点Q的极坐标表示点Q可得：点Q的极坐标为（3，-60°-360°=-420°）或（3， -60°）或（3，-60°+720°=660°）或（3，-60°+360°=300°）． 故选D． 【点拨】本题考查轴对称的问题，掌握轴对称的定义成为解答本题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）观察图中的各组图形，其中成轴对称的是 ．（请填写序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了生活中的轴对称问题；轴对称的关键是寻找对称轴，观察直线两边图象折叠后可重合是正确解答本题的关键． 观察所给的图形，按照直线两旁的部分是否能够互相重合来判断是否符合要求． 解：观察所给图形可知③④不对称，成轴对称的为①②． 故答案为：①②． 4．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）已知点与点，点与点都关于直线成轴对称，并且点、所在的直线与点、所在的直线相交于点，连接，判断下列结论：①；②点在直线上；③直线；④，其中正确的结论有 （只填写序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题关键是熟记对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线以及轴对称的对应线段或对应线段的延长线相交，交点在对称轴上． 解：由题意可知，与关于直线成轴对称， ，点在直线上，直线，， 即正确的结论有①②③④， 故答案为：①②③④． 【考点14】折叠问题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，把长方形沿折叠，点A，B分别落在点，处，与交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，根据折叠的性质，得到，利用平行线的性质求出的度数，再利用角的和差关系进行求解即可． 解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵长方形， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在长方形纸片中，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，点B和点C恰好都落在点P处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，根据平行线的性质得出，，根据折叠的性质可得出∶，，进而得到，，即可解答． 解：∵四边形是长方形， ∴， ∴，， 根据折叠的性质可得出：，， ∴． ， ∴ ． 故选：A 3．（2025·上海·模拟预测）如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，的延长线交于点，若，则 ．（用的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．先根据平行线的性质得出，根据折叠得出，根据平行线的性质得出． 解：∵， ∴， ∵长方形中，， ∴， ∵将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【考点15】轴对称与最值 1．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，中，，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称和最短路径问题．过点A作于点M，交于点P，过点P作于点Q，由是的平分线，得出，这时有最小值，即的长度，再利用等积法得出的值就为最小值． 解：如图所示， 过点A作于点M，交于点P，过点P作于点Q， 是的平分线，得出 有最小值，即的长度， ，，， ． 故选：C． 2．（22-23七年级下·重庆九龙坡·期中）如图，将沿方向平移得到对应的，延长，交于点．若，，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（    ）．    A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】根据平移的性质得，当时，最小，此时有，即，即可求出答案． 解：将沿方向平移得到对应的， ， ， ， ，，， 当时，最小， 此时有， 即， ， 的最小值为． 故选：A． 【点拨】本题考查了平移的性质和垂线段最短，根据平移的性质得到是解题的关键． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点P为上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】21 【分析】连接，根据折叠的性质，得，，结合已知得到，根据，得到，故当C，P，B三点共线时，取得最小值，且最小值为，结合的周长为解答即可． 本题考查了折叠的性质，两点之间线段最短原理，熟练掌握原理是解题的关键． 解：连接，根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当C，P，B三点共线时，取得最小值，且最小值为， ∵的周长为， ∴的周长最小值为． 故答案为：21． 4．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，P是边上一动点，将沿折叠，点B落在处，交于D，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，垂线段最短，等面积法，得出当时，最短，有最大值是解题关键．由折叠可知，，当最小时，有最大值，即当时，最短，利用面积法，求出，即可得出的最大值． 解：由折叠可知，， ， 当最小时，有最大值， 垂线段最短， 当时，最短， ， ， ， 即的最大值为， 故答案为： 5．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 先作出点C关于的对称点，判断出，进而判断出，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 解：如图，延长至，使， ∵， ∴点与点C关于对称， 连接交于，此时最小， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于E， 则（平行线间的距离处处相等）， 在中，， ∴， 即的值最小值为6， 故答案为：6． 【考点16】旋转的三要素 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心为（    ） A．点O B．点P C．点Q D．点M 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，根据网格结构作的垂直平分线，交点即为旋转中心． 解：如图，的垂直平分线相交于点P， 则其旋转中心可能是点P． 故选：B． 2．（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 【答案】A 【分析】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质．观察图形，根据网格的特征可得答案． 解：由图可知，点B绕点O逆时针旋转90°可得点C，点A绕点O逆时针旋转可得点D， ∴旋转中心是点O，旋转角是； 故选：A． 3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，在中，，将绕点旋转，得到．若点的对应点恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（    ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题考查了图形旋转的定义，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 解：将绕点C旋转，得到，且点A的对应点D恰好在的延长线上， ， 旋转方向为顺时针时,旋转角度为； 旋转方向为逆时针时,旋转角度为． 故选：A． 【考点17】旋转的性质 1．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图， 将绕点O逆时针方向旋转 得， 若， 则 的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得出，即可推出结果． 解：∵将绕点逆时针方向旋转得， ， 又 ∵， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得到，即可得到答案． 解：∵将绕点O按逆时针方面旋转至，使点B恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：B 3．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为 ． 【答案】/150度 【分析】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案． 解：∵将一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到， ∴与是对应边， ∴旋转角． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转的性质可得，，即可求解． 解：将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上， ，， ， 故答案为：． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，将绕点A顺时针旋转后得到．如果，那么的度数为 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了旋转的性质、角的和差，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据旋转的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据求解即可得． 解：∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 二、解答题 【考点18】幂的运算 1．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查的是幂的混合运算；掌握运算顺序是关键； （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可； （2）先计算幂的乘方，积的乘方，再计算同底数幂的除法与乘法即可； （3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法与除法即可； 解：（1）解： ； （2）解： ； （3） ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘除法的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方、同底数幂乘除法的性质，从而完成求解． 解： 当时，原式． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则计算即可； （）先把变为，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可； 解：（1）解： ， ， ， ； （2）解： ， ， ． 【考点19】幂的逆运算 1．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）根据已知条件求值 （1）已知，，求的值 （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）8 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、幂的乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）逆用同底数幂的除法进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方与同底数幂的乘法进行计算即可求解． 解：（1）解：，， ， 的值为． （2）解：， ， ， 的值为8． 2．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）根据已知求值： （1）已知，，求的值； （2）已知，求m的平方根． 【答案】（1）200；（2） 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法和幂的乘方进行计算即可； （2）利用同底数幂的乘法进行求解即可． 解：（1）解：∵，， ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴ 解得：． ∴m的平方根为． 【点拨】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）请阅读下列材料：，比较的大小关系： 解：∵，且 ∴    ∴ 类比阅读材料的方法，解答下列问题： （1）上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质___________． A．同底数幂的乘法；    B．同底数幂的除法；    C．幂的乘方；    D．积的乘方 （2）已知，试比较的大小． 【答案】（1）C；（2） 【分析】本题考查了幂的乘方与幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用求解即可得； （2）求出，则，由此即可得． 解：（1）解：和利用的是幂的乘方的逆用， 故选：C． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 【考点20】整式乘法运算与化简求值 1．（24-25七年级下·全国·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了整式的运算—分解因式、多项式乘多项式等，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 解：（1）解：原式， ； （2）解：， ， ， ， ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知的积中不含有x项和项，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x和项确定出m与n的值，原式化简后代入计算即可求出值． 解：． 因为的积中不含有x项和项，所以， 解得， 所以， 所以原式． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： （1）已知，求的值； （2），其中． 【答案】（1），5；（2）， 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值， （1）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． 解：（1）解： ． 当时，原式． （2）解： ． 当时，原式． 【考点21】利用乘法公式进行运算与化简求值 1．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】此题考查了完全平方公式，平方差公式和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据完全平方公式求解即可； （2）首先根据多项式乘以多项式法则化简，然后合并求解即可； （3）首先利用平方差公式计算，然后利用完全平方公式求解即可； （4）连续运用平方差公式计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）计算： （1） （2） （3）运用乘法公式计算： （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． （1）利用完全平方公式化简，再按运算顺序求解即可； （2）运用平方差及完全平方公式求解即可； （3）运用乘法平方差公式简化运算； （4）先算单项式乘以单项式，再算单项式除以单项式即可． 解：（1）解：原式， ； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末） （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（）；（）． 【分析】（）先化简绝对值，计算零指数幂和负整数指数幂，然后合并即可； （）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可； 本题考查了实数的混合运算，整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【考点22】整式乘法与几何图形 1．（23-24七年级下·湖南永州·期中）有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示，面积分别记为和． （1）①计算：______；______； ②用“”，“”或“”填空：______． （2）若一个正方形纸片的周长与甲长方形的周长相等，面积为． ①该正方形的边长是______（用含的代数式表示）； ②小方同学发现：与的差与无关，请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由． 【答案】（1）①，；②；（2）①，② 正确，理由见分析 【分析】本题考查多项式乘多项式与图形的面积问题，整式加减中的无关型问题；掌握相关运算法则，正确的列出代数式，是解题的关键． （1）①根据长方形的面积等于长乘以宽，列出代数式；②两个代数式作差判断大小即可； （2）①根据正方形的边长等于周长除以4，列出代数式即可；②用，进行判断即可． 解：（1）解：① ， 故答案为：，； ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ② 正确 . 理由如下： ∵ ∴ ∵与的差是4 ∴ 与的差与m无关，小方的发现正确． 2．（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形： （1）【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ； （2）【应用】利用（1）中的结论计算：； （3）【拓展】利用（1）中的结论计算：． 【答案】（1）；（2）4；（3） 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，平方差公式的灵活运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． （1）分别用代数式表示图形中阴影部分的面积即可； （2）把原式化为，再利用平方差公式计算即可； （3）把原式化为，再依次利用平方差公式计算即可． 解：（1）解：图形中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，也可以拼成底为，高为的平行四边形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； （2）原式 ． （3）原式 ． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）数形结合‌是一种数学思想方法，通过将抽象的数学语言和数量关系与直观的几何图形和位置关系结合起来，利用它们的相互转化来解决数学问题.这种方法可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，是优化解题过程的重要途径之一．主要包括两个方面：‌以数解形‌：通过给图形赋值（如边长、角度等），利用数的精确性来阐明形的某些属性；‌以形助数‌：通过几何图形的直观性来阐明数之间的关系.实际学习过程中若能亲自动手操作将“‌数形结合”演示一遍就会获得更直观的感受.请你体验： 如图1，是一个长为，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． （1）自主探究：用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是 ； （2）知识迁移：若，，则 ； （3）变化延伸：，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的灵活运用，熟练掌握完全平方公式的变形式是解题的关键． （1）利用阴影部分的面积表示量关系即可； （2）由（1）可得，把，代入求值即可； （3）设，可得，，利用，即可求值． 解：（1）解：图2中的阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图2的阴影部分也可以看作边长为的大正方形面积减去4个长为b，宽为a的长方形的面积，即为， 等量关系是； 故答案为：； （2）解：由（1）得， 当，， ； 故答案为：． （3）解：设， 则， ， ， ， ， 即的值为12． 【考点23】平移综合题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）如图①所示的阴影部分是由线段向右平移1个单位长度扫过的区域，如图②所示的阴影部分是由折线AB向右平移1个单位长度扫过的区域．请在图③中画出由一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度扫过的区域（涂阴影）； （2）若长方形的长为a，宽为b，请分别写出图①②③中除去阴影部分后剩下部分的面积； （3）如图④，一块长、宽的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路的宽度为．求这块菜地的面积． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查了生活中的平移现象，利用了平行四边形的面积公式，画图是解题关键． （1）根据两个折点，可得小路是三个平行四边形； （2）根据路的形状是矩形，可得路的面积，根据面积的和差，可得答案； （3）根据等底等高的面积相等，可得路的面积，根据面积的和差，可得答案． 解：（1）（答案不唯一）如图所示． （2）设三个图中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则． （3）由（2）可知，这块菜地的面积为． 2．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到．图中标出了点B的对应点． （1）补全根据下列条件，利用网格点和三角板画图； （2）的面积为 　 　； （3）求线段平移过程中扫过的面积S． 【答案】（1）见分析；（2）8；（3）16 【分析】（1）根据平移的意义作图； （2）根据割补法求面积； （3）先确定扫过的图形是平行四边形，再根据割补法求面积． 解：（1）即为所求；    （2）的面积为：， 故答案为：8； （3）AB扫过的图形是平行四边形，面积为和面积的和， 所以． 【点拨】本题考查了作图的应用和设计，掌握割补法求面积是解题的关键． 【考点24】轴对称综合题 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，其中，试求的值．（用和表示） 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质可得，，推出，即可得到答案． 解：点关于的对称点落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上 ， 2．（2025七年级下·全国·专题练习）折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． （1）如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质； （1）由平行线的性质结合轴对称的性质可得答案； （2）由平行线的性质证明，结合折叠的性质可得，从而可得结论； 解：（1）解： ． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴． （2）解：． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图所示，已知是内的一点，点、分别是点关于、的对称点，点、分别相交于点、，已知． （1）求的周长； （2）连接、，若，求．（用含的代数式表达） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得，，再结合角的和差运算可得答案； 解：（1）解：∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴的周长 ； （2）如图，连接，，， ∵M，N分别是点O关于、的对称点， ∴，， ∴． 【考点25】旋转综合题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，将绕点O按逆时针方向旋转得到，． （1）写出点A，B的对应点； （2）求的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． （1）由旋转的性质可得； （2）由旋转的性质可得，即可求解． 解：（1）解：将绕点按逆时针方向旋转后得到， 点的对应点，点的对应点； （2）解：因为将绕点按逆时针方向旋转得到，所以， 所以． 2．（24-25七年级上·上海宝山·期末）已知中，，，，，点在边上，．  （1）如图①，绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点，那么的长度为__________（结果用含的代数式表示）；旋转角的度数为__________； （2）如图②，绕着点顺时针方向旋转后得到，点和点的对应点分别是点和点．连接，用含的代数式表示． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查的是轴对称的性质，旋转的性质，整式的乘法运算； （1）根据旋转与轴对称的性质先判断，可得旋转角，再证明是轴对称图形，是轴对称图形，进一步可得的长度； （2）由旋转可得：，，，，证明，求解，再进一步求解三角形的面积即可． 解：（1）解：∵绕着点顺时针方向旋转，点的对应点落在射线上，点的对应点落在边上，而点关于直线的对称点恰好是点， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角是， ∵，， ∴是轴对称图形， 由旋转可得：， ∴是轴对称图形， ∴， ∵， ∴； （2）解：由旋转可得： ，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）将一副直角三角板，，按如图放置，其中B与E重合，，． （1）如图1，点F在线段的延长线上，求的度数； （2）将三角板从图1位置开始绕A点逆时针旋转，，分别为，的角平分线．如图2，当旋转至的内部时，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据邻补角的定义求解即可 （2）根据角平分线的性质、、，即可求得的度数 解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴ （2）∵，分别为，的角平分线， ∴，， ∵、， ∴，， ∴，， ∴ 【点拨】本题考查了根据旋转的性质说明线段或角相等、邻补角的定义、角平分线的性质，熟悉直角三角板的角度是解决问题的关键 1 学科网（北京）股份有限公司 $$