精品解析：河南省郑州市经开区外国语女子中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

2024～2025学年第二学期第一次学情调研 九年级数学试题卷 时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据统计，3月1日，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房超141.6亿，暂列全球票房榜第7位．将数据141.6亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个三棱柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边长可能是（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 8. 如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③ 9. 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A B. C. D. 10. 如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集为______． 12. 若，则______． 13. 如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1= ______． 14. 如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值） 15. 如图，正方形的边长为2，点P是边所在直线上的一动点（点P不与点B、点C重合），连结，． （1）当时， 的长为________； （2）的最小值为________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98； 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89． 两组数据平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 87 86 b 52.4 八年级 87 a 89 62.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有多少人？ 18. 如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于，两点， （1）求反比例函数和一次函数的关系式． （2）根据图象直接写出不等式时，x的取值范围； （3）若动点P在x轴上，求的最小值． 19. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点． 测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内． （参考数据：，，，，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求坡面的水平距离和垂直距离； （2）求山的高． 20. 根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 芝士杯 茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 9月2月当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：4，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 21. 近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用．如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，在图1中以所在直线为x轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式； （2）每款帐篷张开时宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图2为一张椅子摆人这款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量． 22. 【阅读材料】在学习完《24.2．2直线与圆的位置关系》，某位老师布置一道尺规作图题如下： 已知：如图，及外一点． 求作：过点作圆的两条切线、，切点分别是点、点；（不写作法，保留作图痕迹） 小聪同学经过探索，说：只要作出以为直径的圆，就能解决问题． （1）请你完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）请你结合作图，说明、是的切线的理由； （3）连接并延长，交于点，连接，，直接写出的度数． 23. 某班在进行正方形纸片折叠探究相关数学问题的学习活动．将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与交于点），使点落在边上的点处，点的对应点为点，与交于点，连接与交于点．如1图，当点恰为的中点时，甲、乙、丙三名同学各得到如下一个正确结论（或结果）： 甲：的边__________； 乙：的周长为__________； 丙：． （1）填充甲、乙两名同学所得结果中的数据； （2）如题2图，当点在边上除点外的任何一处时： ①丙同学的结论还成立吗？若成立，请给出证明过程，若不成立，请说明理由； ②试问乙同学的结果是否会发生变化？请证明你的结论； ③经观察，发现四边形面积随点位置变化而变化，若的长为，四边形的面积为，问当为何值时，最大？最大值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第二学期第一次学情调研 九年级数学试题卷 时间：100分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：的倒数为， 故选：D． 2. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B 3. 据统计，3月1日，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房超141.6亿，暂列全球票房榜第7位．将数据141.6亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：141.6亿． 故选：C． 4. 如图是一个三棱柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的主视图．从正面看到的是主视图，看到的轮廓线用实线，看不到的轮廓线用虚线．根据主视图的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，主视图如下， 故选：C． 5. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘除法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据同底数的幂相乘除法则，幂的乘方，积的乘方法则逐项判断． 【详解】解：A．，故A不正确，不符合题意； B．，故B正确，符合题意； C．，故C不正确，不符合题意； D．，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及可配成紫色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有种， （可配成紫色）， 故选：A． 7. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边长可能是（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，三角形的三边关系，利用一元二次方程根与系数关系，可得到方程的两根之和，再运用三角形成立的条件判断即可． 【详解】解：利用根与系数的关系可知方程的两根之和为， 这个三角形的两边之和为， 第三边应小于， 答：这个三角形的第三边的长可能是． 故选：D． 8. 如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理，正方形的判定定理即可求解． 【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相等的菱形是正方形， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理，正方形的判定定理是解题的关键． 9. 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，与正方形的一条边重合，，，将正方形沿向右平移，当点D与点A重合时，停止平移，设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出当和当时y与x的函数关系式，再由函数关系式判断即可解答． 【详解】解：设点C平移的距离为x，正方形与重合部分的面积为y， ∴当时，如图： ∴； 当时，如图： ∴； ∴， 由分段函数可看出B选项中的函数图象与所求的分段函数对应， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象及二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，平移的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质并运用数形结合是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键；分别求出两不等式的解集，再根据同小取小即可解得． 【详解】解： 由得， 由得 所以不等式组的解集为：， 故答案为：． 12. 若，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键． 由，得，根据对求值式子进行变形，再代入可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：11． 13. 如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1= ______． 【答案】30°． 【解析】 【详解】解：∵AB//CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，即∠1+∠EAC+∠ACD=180°， ∵五边形是正五边形，∴∠EAC=108°， ∵∠ACD=42°，∴∠1=180°-42°-108°=30° 故答案为：30°． 14. 如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值） 【答案】 【解析】 【分析】连接BD交AC于点G，证明△ABD是等边三角形，可得BD＝2，然后根据菱形的性质及勾股定理求出AC，再由S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案． 【详解】解：连接BD交AC于点G， ∵四边形是菱形， ∴AB＝AD＝2，AC⊥BD， ∵， ∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°， ∴BD＝2， ∴BG＝， ∴， ∴AC＝， ∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等，在求阴影部分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键． 15. 如图，正方形的边长为2，点P是边所在直线上的一动点（点P不与点B、点C重合），连结，． （1）当时， 的长为________； （2）的最小值为________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点， （1）设为x，由得，解方程即可得解； （2）在上取一点E，连接，使，得出，得出，进而可得出最小时，最小，再由得出，得出点E在以为直径的上，最后由勾股定理和三角形三边关系即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）设为x，由勾股定理得， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， 经检验，，都为原方程的解， ∵P不与C重合， ∴， 故答案为：4； （2）在上取一点E，连接，使， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴的最小值时， 最小， ∵， ∴即， 又∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的上， ∴作的外接圆，连，， ∴， ∴在，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算； （1）先根据负整数指数幂，二次根式的性质，平方根的定义化简各项，再计算即可； （2）先算括号里的加法，再算除法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98； 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 87 86 b 52.4 八年级 87 a 89 62.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有多少人？ 【答案】（1）；； （2）七年级的成绩更好，理由见解析 （3）估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人． 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计与分析，熟练掌握平均数，众数，中位数，样本估计总体等知识是解题的关键． （1）八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有2名，故中位数在等级的5人中，根据中位数的计算方法即可得到的值；根据七年级名学生的竞赛成绩，利用众数的定义可得到的值；八年级名学生的竞赛成绩中，等级有3名，由此可得的值； （2）由于平均数相同，比较方差即可得到答案； （3）由样本中优秀人数的占比来估计总体中优秀人数的占比进行计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题可得：八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有名，等级中有5人， ∴八年级名学生的竞赛成绩的中位数为：， ∵七年级名学生竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98；； ∴众数， ∵八年级名学生的竞赛成绩中，等级有2名，等级中有5人， ∴等级有3名， ∴等级所占的百分比为：， ∴， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：七年级的成绩更好，理由如下： ∵两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于八年级的， ∴七年级的成绩更好； 【小问3详解】 解：由题可得：（人） 答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人． 18. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点， （1）求反比例函数和一次函数的关系式． （2）根据图象直接写出不等式时，x的取值范围； （3）若动点P在x轴上，求的最小值． 【答案】（1）； （2）或 （3）10 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数中求解，即可得到反比例函数解析式，再结合反比例函数求出点，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据题意得到不等式，其x的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方的部分； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，利用轴对称性质和两点之间线段最短可知， 的最小值为，利用勾股定理求出的长，即可解题． 【小问1详解】 解：反比例函数过点， ， 反比例函数解析式为， 反比例函数过点， ， 解得， ， 一次函数的图象过点，， ， 解得， 一次函数解析式为； 小问2详解】 解：由图象可知不等式， 即时， x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ， 由轴对称性质可知，， 根据两点之间线段最短可知，当、、三点共线时，取值最小， 的最小值为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的关系式、反比例函数与一次函数的交点问题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，以及利用轴对称求最短路径． 19. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某景区山的高度 测量工具 皮尺，测角仪，水平仪器等 模型抽象 如图，是山脚的水平线，山的高垂直于水平线于点． 测量过程与数据信息 ①在山脚处测出山顶的仰角，山坡的坡角； ②沿着山坡前进到达处； ③在处测出山顶的仰角． 注：图中所有点均在同一平面内． （参考数据：，，，，，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求坡面的水平距离和垂直距离； （2）求山的高． 【答案】（1）坡面的水平距离和垂直距离分别是和 （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及解直角三角形、矩形性质等知识，数形结合，选择恰当的三角函数列式求解是解决问题的关键． （1）在中，由正弦函数、余弦函数定义列式求解即可得到答案； （2）延长交于点，如图所示，由矩形性质得到相关线段长，在中，由正切函数定义列方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，，，， ，， ；； 答：坡面的水平距离和垂直距离分别是和； 【小问2详解】 解：延长交于点，如图所示： 则四边形是矩形， 设， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ，即， 解得 ， 答：山的高度为． 20. 根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 芝士杯 茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 9月2月当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：4，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程的应用，一次函数最大利润问题． 任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，可得得：，解方程并检验，从而可求得每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：设制做“芝士杨梅”杯，“满杯杨梅”杯，两种奶茶获利为元；根据制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”，可得，而芝士消耗量不少于，有，，而，即可求出答案． 【详解】解：任务设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （元）， 答：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务设制做“芝士杨梅” 杯，“满杯杨梅” 杯，两种奶茶获利为元； 制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”， ， ， 芝士消耗量不少于， ， 解得， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（元）， 此时， （杯）， 制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯． 21. 近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用．如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度，在图1中以所在直线为x轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系． （1）求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式； （2）每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图2为一张椅子摆人这款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量． 【答案】（1） （2）6把 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后用待定系数法求解即可； （2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以椅子的宽度即可作答． 【小问1详解】 解：帐逢张开时的宽度，顶部高度， ，顶点坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：椅子的高度，宽度， 将代入， 得， 解得， ， （把）， 最多可撰放6把椅子． 22. 【阅读材料】在学习完《24.2．2直线与圆的位置关系》，某位老师布置一道尺规作图题如下： 已知：如图，及外一点． 求作：过点作圆的两条切线、，切点分别是点、点；（不写作法，保留作图痕迹） 小聪同学经过探索，说：只要作出以为直径的圆，就能解决问题． （1）请你完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）请你结合作图，说明、是的切线的理由； （3）连接并延长，交于点，连接，，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查圆的切线、直径所对的圆周角为直角和四边的内角和， （1）连接，作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心为半径作圆，交于点A和B，连接和即可； （2）由作图可知，以为直径的圆，则，结合为的半径，即可判定直线、是的切线； （3）由，求得，可得，利用四边形内角和即可得到． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：由作图可知，以为直径的圆， 则， ∴， ∵为的半径， ∴直线、是的切线； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， 则． 23. 某班在进行正方形纸片折叠探究相关数学问题的学习活动．将边长为的正方形纸片沿折叠（折痕分别与交于点），使点落在边上的点处，点的对应点为点，与交于点，连接与交于点．如1图，当点恰为的中点时，甲、乙、丙三名同学各得到如下一个正确结论（或结果）： 甲：边__________； 乙：的周长为__________； 丙：． （1）填充甲、乙两名同学所得结果中的数据； （2）如题2图，当点在边上除点外的任何一处时： ①丙同学的结论还成立吗？若成立，请给出证明过程，若不成立，请说明理由； ②试问乙同学的结果是否会发生变化？请证明你的结论； ③经观察，发现四边形的面积随点位置变化而变化，若的长为，四边形的面积为，问当为何值时，最大？最大值是多少？ 【答案】（1）10， 32 （2）①成立，理由见解析；②不变，证明见解析；③当时，最大值为 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质和折叠的性质可得：，设，则，由勾股定理可得，即，解方程即可得到答案；通过证明得到，求出的长即可得到答案； （2）①过点作于点，根据正方形的性质，证明，即可得到答案；②设，则，在中，， 即，求得，通过证明得到，即可求出，即可得证；③由上述可知，可得，进而得到，根据二次函数的性质进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由正方形的性质和折叠的性质可得：， 设，则， 恰为的中点， ， 在中，， 即， 解得：， ，， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 故答案为：10，32； 【小问2详解】 解：①丙同学的结论成立，证明如下： 点关于对称， 于点， 如图，过点作于点， ， ， ， 在正方形中，， ， ； ②乙同学的结果不会发生变化，理由如下： ， ， 又， ， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， 则， ； ③由上述可知：， ， ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $