一 圆柱与圆锥-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（北师大版 广东专用）

一 圆柱与圆锥 第1课时 面的旋转(1) 1. (生活体验)下面是某酒店的几处场景,这些 场景有哪些数学现象? 请填一填。 点动成 ( ) 线动成 ( ) 面动成 ( ) 2. (生活应用)爸爸买来生日帽、蛋糕等物品给 亮亮庆祝生日。 (1) 上面的物品中,( )的形状近似圆柱, ( )的形状近似圆锥。(填序号) (2) 圆柱有( )个面,有两个面是完全相 同的( ),有一个面是( )面;圆锥有 ( )个面,一个面是( ),另一个面是 ( )面。 3. 选一选。 (1) 左下图的图形绕边( )所在的直线旋 转一周不能形成圆锥。 A. AC B. BC C. AB D. 无法确定 (2) 爷爷将一根木头劈成两半(如右上图), 切面的形状是( )。 A. 圆 B. 长方形 C. 三角形 D. 无法确定 4. 彤彤和菲菲做了四面小旗,请你把小旗与其 旋转一周后形成的立体图形连起来。 5. 把下面的图形绕着直线旋转一周,形成的立 体图形是( )。 A. B. C. D. 6. 雕塑公园里有两个立体雕塑(如图),它们分 别是由什么平面图形旋转形成的? 请你画 出来。 7. (几何直观)将下面各个立体图形按图中所示 的方式切开,所得的横截面是什么形状? 从 上往下横截面的大小有什么变化? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 [注:标“★”题目配有解读类板块,详见“答案与解析”。] 第2课时 面的旋转(2) 1. 填一填。 (1) (几何直观)如图,转动长方形ABCD,得 到A,B两个圆柱。 ① 圆柱A是以长方形的边AB 所在的直线 为轴旋转而成的,底面半径是( )cm,高 是( )cm。 ② 圆柱B是以长方形的边AD 所在的直线 为轴旋转而成的,底面直径是( )cm,高 是( )cm。 (2) 如图,将一个直角三角形绕着 它的一条边旋转一周,刚好得到一 个圆锥,这个圆锥的底面周长可能 是( )cm,也可能是( )cm。 2. 选一选。 (1) 下面圆柱的高画得正确的是( )。 A. B. C. D. (2) 下面测量圆锥的高的方法中,正确的是 ( )。 A. B. C. D. (3) (创新应用)如图,亮亮搭积木,搭好之后 发现缺了几块。亮亮选择( )积木,既能 塞住圆形窟窿,又能塞住三角形窟窿。 A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 长方体 3. (生活应用)一个圆柱形蛋糕盒的底面半径是 20厘米,高是30厘米。用彩带捆扎这个蛋 糕盒(如图),至少需要多少厘米的彩带? (打 结处用15厘米的彩带) 4. 丽丽用一张正方形纸卷成一个圆柱,这个圆 柱的底面半径是10cm,这张正方形纸的边 长是多少厘米? 5. ★利民超市将一打(12罐)饮料放在长方体纸 箱中进行打折促销,从上面看如图所示。已 知这种圆柱形饮料罐的底面直径是7厘米, 高是11厘米,则长方体纸箱的长、宽、高至少 各是多少厘米? (纸箱的厚度忽略不计) 6. 某高速公路上有一段路需要维修,修路工在 这段路的一侧摆了20个圆锥形路障(两端都 摆),每个圆锥形路障的底面半径是25cm, 相邻两个路障间的距离是2m。这段路有 多长? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 数学(北师版·广东专用)六年级下 第3课时 圆柱的表面积(1) 1. 选一选。 (1) (几何直观)下面( )不可能是圆柱的 侧面展开图。 A. B. C. D. (2) 下面的图形中,( )不是圆柱的展开 图。(单位:厘米) A. B. C. D. (3) 下面的圆柱中,表面积最小的是( )。 A. 底面半径2厘米,高3厘米 B. 底面直径4厘米,高1厘米 C. 底面半径3厘米,高2厘米 D. 底面直径1厘米,高4厘米 (4) ★圆柱的高不变,若底面半径扩大到原来 的3倍,则该圆柱的侧面积就扩大到原来的 ( )倍。 A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 2. (生活应用)潮汕某小学成立了鼓乐队,已知 圆柱形队鼓的侧面由铝皮围成,上、下底面蒙 的是羊皮,做一个这样的队鼓至少需要铝皮 多少平方分米? 羊皮呢? (接头处忽略不计) 3. (地域特色)凤凰单丛被誉为“茶中香水”,是 潮州市潮安区的特产。李老师去潮州游玩买 回一筒茶叶(如图),已知茶叶筒侧面标签的 面积是7.536dm2,高是2dm,则这个茶叶筒 的底面积是多少平方分米? 4. 亮亮从上面和正面观察并测量一个竖直放置 的圆柱(如图),这个圆柱的表面积是多少? 5. (探究创新)有一张长方形铁皮(如图),剪下 图中两个圆及一个长方形,正好可以做成一 个圆柱,那么圆柱的表面积是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 一　圆柱与圆锥 第4课时 圆柱的表面积(2) 1. 选一选。 (1) (生活应用)工人师傅使用下面的滚筒刷 粉刷墙壁,在墙上滚动一周,粉刷面积最大的 是( )。 A. B. C. D. (2) 一张长10cm、宽5cm的长方形纸,分别 沿长和宽围成不同的圆柱,再配上相应的底 面。圆柱①的表面积( )圆柱②的表 面积。 A. 小于 B. 大于 C. 等于 D. 无法确定 2. (生活体验)如图所示为一个生日蛋糕,其底 盘是圆形塑料板。(单位:cm) (1) 请为这个生日蛋糕选择一个合适的蛋糕 盒。(在 里画“􀳫”,单位:cm) (2) 已知这种蛋糕盒的上面和侧面都是硬纸 板,底面是木板,则由(1)可知,制作这样一个 合适的蛋糕盒需要多少平方厘米的硬纸板? 3. (市政建设)在“垃圾不落地,城市更美丽”活 动中,广州爱心社区准备投放一种不锈钢材 质的垃圾箱。如图,垃圾箱是无盖半圆柱形 的,底面直径是2dm,高是4dm。做一个这 样的垃圾箱至少需要多少平方分米的不锈钢 材料? 4. 广州大剧院即将举办魔术表演,一名魔术师 要用蓝布做一顶蓝色帽子,形状如图所示(单 位:厘米)。帽顶的半径、高与帽檐的宽均为 10厘米。这名魔术师一共需要多少平方厘 米的蓝布? (只考虑外部) 5. 如图,从一根长3m的圆柱形木料上截去8dm 长的一段后,木料的表面积减少了100.48dm2。 原来这根木料的表面积是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 数学(北师版·广东专用)六年级下 第5课时 圆柱的体积(1) 1. 判一判。 (1) 底面周长相等,高也相等的长方体和圆 柱,它们的体积也相等。 ( ) (2) 如果A,B两个圆柱的体积相等,那么它 们的底面半径和高也一定相等。 ( ) (3) ★圆柱的高不变,底面直径扩大到原来的 4倍,体积也扩大到原来的4倍。 ( ) (4) 两张长8dm、宽6dm的铁皮,分别横着 和竖着卷起来做成水桶的侧面,再配上底,这 两个水桶的体积一样大。 ( ) 2. 下面长方形的长是20cm,宽是10cm。分别 以长和宽所在的直线为轴旋转一周,得到两 个圆柱。它们的体积各是多少? 3. (地域特色)为举办广东省第十七届运动会, 茂名市新建了一座运动场馆,工人师傅使用 了如图所示的空心零件。求这个空心零件的 体积。(单位:cm) 4. (清远英德)不少人习惯口渴了才喝水,其实 人感到口渴,是身体发出的已经缺水的信号。 成年人每天喝水应不少于1500毫升。李叔 叔每天用底面直径为6cm、高为10cm的圆 柱形水杯喝满6杯水,李叔叔每天的饮水量达 到要求了吗? (水杯壁的厚度忽略不计) 5. (生活体验)亮亮把3个完全一样的圆柱形积 木搭成了一个高为12cm的大圆柱后,表面 积减少了25.12cm2,每个积木的体积是多少 立方厘米? 6. (几何直观)如图,把一个圆柱平均分成若干 份,拼成一个近似的长方体,拼成的近似长方 体的表面积比原来圆柱的表面积增加了200平 方厘米。已知圆柱的高是10厘米,求圆柱的 体积。 7. 从一张纸上剪下两个完全相同的圆和一个长 方形,刚好可以做成一个圆柱(如图)。这个 圆柱的体积是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 一　圆柱与圆锥 第6课时 圆柱的体积(2) 1. 填一填。 (1) 某酒店的大堂完全采用“榫卯结构”,没 有使用一颗钉子,彰显了中国古代建筑智慧 的传承。整个大堂由52根进口柚木柱支撑,最 高的柱子高达18.8m,底面周长达2.512m, 这样一根柚木柱的体积是( )m3。 (2) 将一根长1.5m的圆柱形木料平行于 底面锯掉4dm长的一段后,表面积减少了 50.24dm2。这根木料原来的体积是( )dm3。 (3) 一个圆柱形茶杯,从里面量,底面直径是 6厘米,高是18厘米。在茶杯中装423.9毫 升水,水深( )厘米。 2. (人文历史)袁隆平被誉为“杂交水稻之父”。 王伯伯家今年也种了杂交水稻,收割的稻谷 装入圆柱形粮囤,形成了一个底面周长是 12.56m、高是2.5m的圆柱。如果每立方米 稻谷约重0.7t,那么王伯伯家收割的稻谷约 重多少吨? 3. (深圳宝安区)有一个圆柱形容器,从里面量 得底面直径为6厘米,高为15厘米,里面装 了10厘米高的水。将一个圆锥形铁块浸没 在水中,水面升高了2厘米。这个圆锥形铁 块的体积是多少立方厘米? 4. 小丽和小安在同一天过生日。爷爷说:“我准 备订一个底面直径为20厘米、高为5厘米的 圆柱形蛋糕。”奶奶说:“既然是两人过生日, 我准备订两个底面直径为10厘米、高为5厘 米的圆柱形蛋糕。”小明说:“爷爷订的蛋糕的 体积与奶奶订的两个蛋糕的体积和相等。”小 明的说法正确吗? 5. (数学文化)早在2000多年前,我国古代劳动 人民就会计算不同形状物体的体积。《九章 算术》记载的圆柱体积的计算方法是“周自相 乘,以高乘之,十二而一”,即底面周长的平方 乘高,再除以12。 (1) 想一想,上面的计算方法中,π的取值是 ( )。 (2) 一个圆柱的底面周长是18厘米,高是 10厘米,分别用学过的方法和《九章算术》记 载的方法算出圆柱的体积。(π取3) 6. (生活应用)某品牌牙膏的圆形管口的直径为 5毫米,小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙 膏,一支牙膏正好可用36次。该品牌推出的 新包装将圆形管口的直径改为6毫米,其他 不变,小红还是按习惯每次挤出1厘米长的 牙膏。这样一支新包装的牙膏能用多少次? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 数学(北师版·广东专用)六年级下 第7课时 圆锥的体积(1) 1. 选一选。 (1) 如图,将圆柱形容器中的水倒入圆锥形 容器中(单位:cm),能正好倒满的是( )。 A. B. C. D. (2) (深圳罗湖区)一个圆柱和一个圆锥等底 等高,它们的体积相差28立方分米,则圆锥 的体积是( )立方分米。 A. 14 B. 28 C. 42 D. 84 2. 以如图所示的直角三角形(单位:厘米)的一 条直角边所在的直线为轴旋转一周,形成的 圆锥的体积是多少立方厘米? 3. (生活应用)工地上一些沙子被堆成了圆锥 形,量得高是1.5m,底面周长是9.42m。如 果每立方米沙子重1.6t,那么这些沙子重多 少吨? 4. ★一个圆柱形铁块的底面半径是10cm,高是 5cm。若把它熔铸成一个底面积是157cm2 的圆锥形铁块,则这个圆锥形铁块的高是多 少? (损耗忽略不计) 5. (几何直观)如图所示为三角形ABC,以边 AC 所在的直线为轴旋转一周,求形成的立 体图形的体积。 6. (地域特色)广东是我国重要的水稻生产基 地。如图,张伯伯将一堆稻谷靠直角墙角堆 放,它的形状是圆锥的一部分。已知稻谷堆 的底面半径是2m,高是1.5m,每立方米稻 谷重650kg,则这堆稻谷共重多少千克? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 一　圆柱与圆锥 第8课时 圆锥的体积(2) 1. 填一填。 (1) (湛江麻章区)将一个底面半径是2cm、 高是15cm的圆锥浸没在盛满水的桶里,则 会有( )cm3的水溢出。 (2) 一个圆锥与一个圆柱的底面积相等,且 这个圆柱与这个圆锥的体积比为1∶6。若 圆锥的高是54厘米,则圆柱的高是( ) 厘米。 2. 选一选。 (1) 一个圆锥的底面直径扩大到原来的2倍, 高缩小到原来的1 2 ,它的体积( )。 A. 不变 B. 扩大到原来的2倍 C. 缩小到原来的1 2 D. 扩大到原来的4倍 (2) 一个圆柱和一个圆锥的高相等,圆柱的 底面半径是圆锥底面半径的2倍,则圆柱与 圆锥的体积比是( )。 A. 1∶12 B. 9∶1 C. 6∶1 D. 12∶1 3. (模型意识)为方便研究,王叔叔制作了一个 发动机模型(如图),它的下底面直径是6dm, 上底面直径是3dm,高是8dm,这个模型的 体积是多少立方分米? 4. 工人将一块如图所示的长方体钢坯熔铸成一 个高是8cm的圆锥形零件。这个零件的底 面积是多少? (损耗忽略不计) 5. (生活应用)修路队运来一批石子,堆成了一 个圆锥,量得其底面周长是18.84m,高是 2m。已知路的宽度为4m,石子需要铺10cm 厚。这些石子能铺多少米? 6. (思维过程)如图,把一个底面半径和高都是 2厘米的圆柱浸没在一个注有水的长方体水 槽中,量得水位上升了0.4厘米,再把一个底 面直径为6厘米的圆锥浸没在水槽中,水位又 上升了0.45厘米。求圆锥的高。(水未溢出) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 数学(北师版·广东专用)六年级下 第9课时 练 习 一(1) 1. 选一选。 (1) (惠州惠阳区)下面各图中,以直线为轴 旋转一周,可以得到圆锥的是( )。 A. B. C. D. (2) 一个底面直径是0.2米、高是4米的圆 柱的体积是( )立方分米。 A. 0.1256 B. 12.56 C. 125.6 D. 1256 (3) 下面的选项中,( )是圆柱的展开图。 (单位:厘米) A. B. C. D. 2. (五育并举)丽丽担心妈妈喝水时烫伤手,特 意在杯子中部套上了一个用毛线织成的装饰 品(如图,单位:cm)。这个装饰品的面积是 多少平方厘米? 这个杯子能装多少毫升水? (厚度忽略不计) 3. (生活应用)蛋糕店新推出一款双层蛋糕(如 图,单位:cm)。现需要在蛋糕的表面抹上一 层奶油,需要抹奶油的面积是多少? 4. 如图,分别以直角梯形的上底和下底所在的 直线为轴旋转一周,得到两个立体图形。这 两个立体图形的体积比是多少? 5. (思维过程)某生产车间开展操作技能竞赛, 要求把完全一样的圆柱形铁块平均切割成两 块,且切割而成的铁块的形状不是圆柱。下 面的图①和图②分别是王师傅和李师傅按要 求切去一半后的形状,请你算出原来圆柱形 铁块的体积是多少立方厘米。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 一　圆柱与圆锥 第10课时 练 习 一(2) 1. 填一填。 (1) (环保意识)一种圆柱形无盖环保垃圾箱 是用铁皮做成的。垃圾箱的底面直径是 40cm,高是80cm。做100个这样的垃圾箱 至少需要( )m2的铁皮。 (2) 把一个圆柱展开,得到一个长方形和两个 圆(如图,单位:cm),这个圆柱的高是( )cm。 2. (清远英德)计算下面图形的体积。 3. (生活应用)亮亮家有一个长方体玻璃鱼缸, 从里面量,长是1.2米,宽是0.4米,高是 0.6米。爸爸用直径为4厘米的圆柱形水管 给鱼缸注水,如果水流速度按每分50米计 算,那么要注入0.5米深的水大约需要多少 分? (结果保留整数) 4. 有甲、乙两个圆柱形水桶,从里面量得甲水桶 的底面半径是12厘米,乙水桶的底面半径是 16厘米。甲水桶里没有水,乙水桶里水深 20厘米。现在把乙水桶里的水倒一部分给 甲水桶,使甲、乙两个水桶里的水面高度一 样,这时甲水桶里有多少立方厘米的水? 5. (地域美食)九江双蒸酒是广东省佛山市的特 产。爸爸去佛山出差带回来一瓶九江双蒸 酒,亮亮想知道瓶子的容积,于是对瓶子进行 了测量(如图)。你能帮亮亮算出瓶子的容积 吗? (瓶子的厚度忽略不计) 6. (推理意识)探究三角形的面积和圆柱的体积 时,我们都利用了“等积变形”的转化思想,将 它们分别转化为平行四边形的面积和长方体 的体积来计算。下图中上下底面是两个完全 相同的三角形的立体图形叫作三棱柱,设三 棱柱的底面积为S,高为h。请任选一种方 法探究三棱柱的体积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 数学(北师版·广东专用)六年级下 提分真题集训 1. 填一填。 (1) (阜阳太和)一个长方形的长为acm,宽 为bcm,以长所在的直线为轴旋转一周,可 以得到一个( ),体积是( )cm3(结果 保留π);以宽所在的直线为轴旋转一周,得 到的立体图形的体积是( )cm3(结果保 留π)。它们的体积比是( )。 (2) (揭阳揭东区)一个圆柱与一个圆锥的体 积和底面积分别相等。已知圆柱的高是 9dm,则圆锥的高是( )dm。 2. 选一选。 (1) (北京海淀区)下面四个圆柱中,与圆锥 的体积相等的是( )。 A. B. C. D. (2) (惠州惠阳区)工厂把一段圆柱形木料加 工成一个最大的圆锥,削去部分的体积是 12立方分米,这段木料原来的体积是( ) 立方分米。 A. 36 B. 24 C. 18 D. 6 (3) (泉州晋江)一个圆锥形铁块的底面积为 15cm2,高为6cm,把它浸没在盛有水的内底 面积是30cm2的圆柱形容器里(水未溢出), 水面升高( )cm。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 3. (惠州惠阳区)淘气家打算做一个底面直径是 40cm、高是50cm的圆柱形玻璃鱼缸(无盖)。 (1) 至少需要多少平方厘米的玻璃? (2) 鱼缸里的水面高25cm,淘气把一块珊瑚 石浸没在水中,水面升高了5cm,这块珊瑚 石的体积是多少? (玻璃的厚度忽略不计) 4. (惠州)一个盛满水的圆柱形容器的底面半径是 5分米,高是6分米,把水全部倒入长是6分米、 宽是5分米、高是16分米的长方体容器内,水 深多少分米? (容器壁的厚度忽略不计) 5. (南平)阅读并解答。 圆柱容球 古希腊著名的数学家阿基米德 是历史上最杰出的数学家之一。按 照他生前的遗愿,人们在他的墓碑上 刻了一个圆柱容球的几何图形(如图)。 圆柱容球就是把一个球放在一个圆柱形容 器中,盖上容器的盖后,球恰好与圆柱的上、下底 面及侧面紧密接触。球的直径与圆柱的高和底 面直径相等。当圆柱容球时,球的体积正好是圆 柱体积的三分之二,球的表面积也正好是圆柱表 面积的三分之二。 (1) 当 圆 柱 容 球 时,若 球 的 表 面 积 是 113.04cm2,则圆柱的表面积是( )cm2。 (2) 当圆柱容球时,如果圆柱的底面半径是 3cm,请求出球的体积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 一　圆柱与圆锥 第一单元整合提升 类型一 面绕线旋转 当一个平面图形绕着某一条直线旋转后,就会形成一 个新的立体图形。我们可以将立体图形分割成圆柱 或圆锥来解决问题。 1. 如图,从正方形ABCD 上截去长方形DEFG, 其中AB=6cm,DE=3cm,DG=2cm。将 多边形ABCGFE 以边GC 所在的直线为轴 旋转一周,所得几何体的表面积是多少平方 厘米? 体积是多少立方厘米? (结果保留π) 2. (几何直观)如图,四边形ABCD 是长方形, BC=6cm,AB=10cm,对角线AC,BD 相 交于点O。E,F 分别是AD 与BC 的中点, 长方形ABCD 以EF 所在的直线为轴旋转 一周,则涂色部分旋转得到的立体图形的体 积是多少立方厘米? (π取3) 类型二 通过圆柱的高及表面积的变化,求原来 圆柱的表面积或体积 根据变化的相关量求出不变的量,再根据圆柱的表面 积或体积计算公式代入数据求解。 3. (地域景观)越秀公园是广州市的一颗璀璨明 珠。管理部计划投放150个木凳供游客休息 使用。李叔叔把一个高是8分米的圆柱形木 料沿水平方向锯去2分米后,剩下的部分刚 好做成一个木凳。已知木凳的表面积比原来 圆柱形木料的表面积少了25.12平方分米, 则原来圆柱形木料的体积是多少立方分米? 4. 圆柱的一个底面积与侧面积正好相等,如果 这个圆柱的底面积不变,高增加2.5厘米,那 么它的表面积就增加94.2平方厘米。原来 这个圆柱的表面积是多少平方厘米? 类型三 求半圆柱的表面积 一般情况下,半圆柱的表面积=圆柱侧面积的一半+ 1个底面积+1个长方形的面积。计算时需结合实际 情况。 5. (地域美食)广东惠州被称为“中国梅菜之 乡”,惠州梅菜是国家地理标志产品。如图, 王伯伯新建了一个大棚种梅菜,大棚的长是 15m,横截面是一个直径为2m的半圆,若在 这个大棚上覆盖塑料薄膜,则塑料薄膜的面 积至少是多少平方米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 数学(北师版·广东专用)六年级下 类型四 圆柱的切割 根据圆柱切割后切面与圆柱各部分的对应关系求出 圆柱的底面半径或高,进而求出圆柱的体积。 6. 有一根圆柱形木料,按如图①所示的方式切 成完全相同的4块,表面积会增加600cm2; 按如图②所示的方式切成3块,表面积会增 加314cm2。这根木料的体积是多少立方 厘米? 类型五 求削成的最大立体图形的体积 求削成的最大立体图形的体积,需先找清楚削后立体 图形的底面直径和高,再解答。 7. (生活应用)张师傅把一块正方体木料削成一 个最大的圆柱(如图,单位:分米),削去部分 的体积是多少? 8. 把一个棱长是6分米的正方体削成一个最大 的圆锥,这个圆锥的体积是多少立方分米? 素养点 解决圆柱和圆锥之间的体积问题 9. 如图,瓶子底面的面积和高脚杯杯口的面积 相等,都为S,将瓶中的液体倒入高脚杯中, 能倒满几杯? 思路提示:可以用体积计算公式分别求出液体的 体积和高脚杯的容积,求比后解决问题;也可以 根据等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积是圆锥 体积的3倍解决问题。 10. (思维过程)如图,在装有水的容器中放入底 面积和高均相等的圆柱形铁块和圆锥形铁 块。根据图①到图②的变化,求圆柱形铁块 的体积。 思路提示:想一想一个圆柱形铁块的体积是一个 等底等高的圆锥形铁块体积的几倍。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 一　圆柱与圆锥 一　圆柱与圆锥 第1课时 面的旋转(1) 1. 线 面 体 2. (1) ③④ ② (2) 3 圆 曲 2 圆 曲 3. (1) C (2) B 4. 5. C 6. 答案不唯一,如 解析:从题图中可以看出,第一个立体图形可以由两 个三角形旋转形成,第二个立体图形可以由一个三角 形和一个半圆旋转形成。注意本题答案不唯一。 7. 所得的横截面都是圆 从上往下:圆锥的横截面 逐渐变大;圆柱的横截面大小不变;球的横截面先变 大再变小 第2课时 面的旋转(2) 1. (1) ① 3 1.5 ② 3 3 (2) 31.4 50.24 2. (1) C (2) B (3) B 3. 20×2=40(厘米) 40×4+30×4+15=295(厘米) 4. 2×3.14×10=62.8(cm) 5. 4×7=28(厘米) 3×7=21(厘米) 长方体纸箱 的长至少是28厘米,宽至少是21厘米,高至少是 11厘米 解析:由题图可知,纸箱的长至少相当于圆 柱形饮料罐的4个底面直径之和,宽至少相当于圆柱 形饮料罐的3个底面直径之和,高至少相当于圆柱形 饮料罐的1条高。 方法归纳 相同圆柱形饮料罐并排装箱问题的解法 当摆放的方式确定时,箱子的长至少是饮料 罐的底面直径与每行饮料罐的个数的乘积;箱子 的宽至少是饮料罐的底面直径与每列饮料罐的 个数的乘积;箱子的高至少是饮料罐的高与装箱 层数的乘积。 6. 25cm=0.25m 2×0.25×20+2×(20-1)= 48(m) 解析:这段路的长度由20个圆锥形路障的底 面直径及其间隔组成。注意20个路障一共有19个 间隔。 第3课时 圆柱的表面积(1) 1. (1) D (2) C (3) D (4) A 易错分析 记不牢侧面积与底面半径的关系 圆柱的侧面积=底面周长×高,底面周长= 2×π×底面半径。当圆柱的高不变,底面半径扩 大一定的倍数时,圆柱的侧面积也扩大相同的倍数。 2. 铝皮:3.14×6×2.5=47.1(dm2) 羊皮:3.14×(6÷2)2×2=56.52(dm2) 3. 7.536÷2÷3.14÷2=0.6(dm) 3.14×0.62=1.1304(dm2) 4. 3.14×22×2+2×3.14×2×8=125.6(cm2) 5. 解:设圆柱的底面直径为dcm。 3.14d+2d=102.8 d=20 3.14×(20÷2)2×2+ 3.14×20×20=1884(cm2) 解析:由题图可知,圆柱 的底面周长与两条底面直径的和等于长方形铁皮的 长,圆柱的底面直径等于长方形铁皮的宽,即圆柱的高。 可以设圆柱的底面直径为dcm,从而列方程解答。 第4课时 圆柱的表面积(2) 1. (1) B (2) A 2. (1) 􀳫 (2) 3.14×28×13+3.14×(28÷2)2=1758.4(cm2) 3. 3.14×2×4÷2+3.14×(2÷2)2÷2+4×2= 22.13(dm2) 4. 3.14×102+2×3.14×10×10=942(平方厘米) 3.14×(10+10)2-3.14×102=942(平方厘米) 942+942=1884(平方厘米) 解析:先求出帽顶的一个底面面积与侧面积的和,再 求出帽檐的面积,最后把两个部分相加就是一共需要 的蓝布的面积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 5. 100.48÷8÷3.14÷2=2(dm) 3m=30dm 3.14×22×2+2×3.14×2×30=401.92(dm2) 解析:根据题意,可知减少的表面积就是截去的高为 8dm的圆柱形木料的侧面积,用减少的表面积除以 减少的高就可以求出圆柱形木料的底面周长,再据此 求出底面半径,进而求出原来圆柱形木料的表面积。 注意单位要统一。 第5课时 圆柱的体积(1) 1. (1) ✕ (2) ✕ (3) ✕ 知识归纳 圆柱体积的变化规律 若圆柱的高不变,底面半径、直径或周长扩 大到原来的n 倍(n 大于1),则体积扩大到原来 的n2 倍。 (4) ✕ 2. 以长所在的直线为轴:3.14×102×20=6280(cm3) 以宽所在的直线为轴:3.14×202×10=12560(cm3) 3. 3.14×(16÷2)2×30-3.14×(10÷2)2×30= 3673.8(cm3) 4. 3.14×(6÷2)2×10×6=1695.6(cm3) 1695.6cm3=1695.6mL 1695.6>1500 达到要求了 5. 25.12÷4=6.28(cm2) 6.28×(12÷3)=25.12(cm3) 解析:把3个完全一样的圆柱形积木搭成一个大圆柱 后,表面积减少的是4个底面的面积,从而可以求出 底面积为25.12÷4=6.28(cm2),再根据圆柱的体积 计算公式V=Sh,即可求出每个积木的体积。 6. 200÷2÷10=10(厘米) 3.14×102×10=3140(立方厘米) 7. 49.68÷(3.14+1)=12(cm) 12+12=24(cm) 3.14×(12÷2)2×24=2712.96(cm3) 解析:观察题 图,可知49.68cm是圆柱的底面周长与底面直径的 和,圆柱的高相当于两个底面直径的和,由此可以算 出底面直径为49.68÷(3.14+1)=12(cm),高为12+ 12=24(cm),已知底面直径和高,即可求出圆柱的体积。 第6课时 圆柱的体积(2) 1. (1) 9.44512 (2) 188.4 (3) 15 2. 12.56÷3.14÷2=2(m) 3.14×22×2.5×0.7=21.98(t) 3. 3.14×(6÷2)2×2=56.52(立方厘米) 解析:由题意可知,圆锥形铁块浸没后上升的水的体 积就等于圆锥形铁块的体积,用容器的底面积乘上升 的水的高度即可。 4. 3.14×(20÷2)2×5=1570(立方厘米) 3.14×(10÷2)2×5×2=785(立方厘米) 1570>785 小明的说法不正确 5. (1) 3 解析:根据描述,古代的圆柱体积的计算方 法为V=C2×h÷12,根据我们学过的方法,圆柱的 体积计算公式为V=Sh,通过化简即可得出π的取 值。C2×h÷12=Sh,(2πr)2×h÷12=πr2×h,4π2r2÷ 12=πr2,4π2r2=12πr2,π=3。 (2) 3×(18÷3÷2)2×10=270(立方厘米) 182×10÷12=270(立方厘米) 6. 1厘米=10毫米 3.14×(5÷2)2×10×36= 7065(立方毫米) 3.14×(6÷2)2×10=282.6(立方 毫米) 7065÷282.6=25(次) 解析:用一支牙膏的体积除以现在每次挤出的体积即 可得出能用的次数。 第7课时 圆锥的体积(1) 1. (1) B (2) A 2. 以长20厘米的直角边所在的直线为轴:13× 3.14×152×20=4710(立方厘米) 以长15厘米的 直角边所在的直线为轴:1 3×3.14×20 2×15=6280(立 方厘米) 解析:以直角三角形的一条直角边所在的 直线为轴旋转一周,就形成一个圆锥,这条直角边的 长就是圆锥的高,另一条直角边的长就是圆锥的底面 半径。因为直角三角形有两条直角边,所以本题有两 种情况:圆锥的高是20厘米,底面半径是15厘米;圆 锥的高是15厘米,底面半径是20厘米。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 3. 9.42÷3.14÷2=1.5(m) 1 3×3.14×1.5 2×1.5×1.6=5.652(t) 4. 3.14×102×5=1570(cm3) 1570÷13÷157=30 (cm) 方法归纳 运用等体积变形法解决问题 把一个物体加工成另一种形状的物体,物体 的形状虽然发生了改变,但体积没有变。 5. 1 3×3.14×4 2×12=200.96(cm3) 6. 1 3×3.14×2 2×1.5×14=1.57 (m3) 1.57×650=1020.5(kg) 解析:由题图可知,一堆稻 谷靠直角墙角堆放,体积是圆锥的1 4 ,据此解答即可。 第8课时 圆锥的体积(2) 1. (1) 62.8 (2) 3 2. (1) B (2) D 3. 1 3×3.14× (6÷2)2×(8+8)-13×3.14× (3÷ 2)2×8=131.88(dm3) 4. 4×3×8=96(cm3) 96÷13÷8=36 (cm2) 解析:这块长方体钢坯熔铸成圆锥形零件后,体积不 变,根据圆锥的体积公式即可求出这个零件的底 面积。 5. 18.84÷3.14÷2=3(m) 10cm=0.1m 1 3×3.14×3 2×2÷(4×0.1)=47.1(m) 6. 3.14×22×2÷0.4=62.8(平方厘米) 62.8×0.45÷13÷ 3.14× (6÷2)2 =3(厘米) 解析:先根据圆柱的体积计算公式V=πr2h 计算出 圆柱的体积,圆柱的体积就是水位上升部分水的体 积,再根据长方体的体积计算公式V=Sh,用上升部 分水的体积除以上升的高度就是水槽的底面积,然后 用水槽的底面积乘圆锥浸没在水中时水位上升的高 度,得到圆锥的体积,最后根据圆锥的体积计算公式 V=13πr 2h及半径与直径的关系即可求出圆锥的高。 第9课时 练 习 一(1) 1. (1) D (2) C (3) A 2. 3.14×8×5=125.6(cm2) 3.14×(8÷2)2×15= 753.6(cm3) 753.6cm3=753.6mL 3. 3.14×20×6+3.14×10×8+3.14×(20÷2)2= 942(cm2) 4. 以上底所在的直线为轴:3.14×32×6-13×3.14× 32×(6-3)=141.3(dm3) 以下底所在的直线为轴: 3.14×32×3+13×3.14×3 2×(6-3)=113.04(dm3) 141.3∶113.04=5∶4 解析:以上底所在的直线为轴旋转一周得到的立体图 形的体积是底面半径为3dm、高为6dm的圆柱与底 面半径为3dm、高为6-3=3(dm)的圆锥的体积之 差;以下底所在的直线为轴旋转一周得到的立体图形 的体积是底面半径为3dm、高为3dm的圆柱与底面 半径为3dm、高为6-3=3(dm)的圆锥的体积之和。 先分别求出两个立体图形的体积,进而求出两个立体 图形的体积比。 5. 8+10=18(cm) 3.14×(6÷2)2×18= 508.68(cm3) 解析:由题图可知,原来圆柱形铁块 的底面直径为6cm,高为8+10=18(cm),据此利用 圆柱的体积计算公式即可求解。 第10课时 练 习 一(2) 1. (1) 113.04 (2) 12.56 2. 3.14×(4÷2)2×5+13×3.14× (4÷2)2×3= 75.36(cm3) 3. 4厘米=0.04米 1.2×0.4×0.5÷[3.14× (0.04÷2)2×50]≈4(分) 4. 解:设这时甲、乙两个水桶里的水面高度都是x厘米。 3.14×122×x+3.14×162×x=3.14×162×20 x=12.8 3.14×122×12.8=5787.648(立方厘米) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 解析:本题利用方程解答比较简便。当甲、乙两个水 桶里的水面高度一样时,甲水桶里水的体积加乙水桶 里剩余水的体积等于乙水桶里原有水的体积,可设这 时甲、乙两个水桶里的水面高度都是x厘米,根据这 个等量关系列方程,求出x的值,然后根据圆柱的体 积计算公式求出这时甲水桶里水的体积即可。 5. 3.14×(8÷2)2×(10+2.5)=628(立方厘米) 628立方厘米=628毫升 解析:将瓶子正放的空余 部分与倒放的空余部分交换一下,可以发现,这个瓶 子的容积即为底面直径是8厘米、高是(10+2.5)厘 米的圆柱的体积。 6. 答案不唯一,如选方法一 先将两个三棱柱拼成 一个底面是平行四边形的立体图形,再通过割补将其 转化为长方体,此时长方体的底面积为2S,高为h, 体积为2Sh,所以V三棱柱=2Sh÷2=Sh 提分真题集训 1. (1) 圆柱 πb2a πa2b b∶a (2) 27 2. (1) A (2) C (3) A 3. (1) 3.14×(40÷2)2+3.14×40×50=7536(cm2) (2) 3.14×(40÷2)2×5=6280(cm3) 4. 3.14×52×6÷(6×5)=15.7(分米) 5.(1) 169.56 (2) 3.14×32×(2×3)×23=113.04 (cm3) 第一单元整合提升 1. π×62×2+2×π×6×6+2×π×3×2=156π(cm2) π×62×6-π×32×2=198π(cm3) 2. 3×(6÷2)2×10-13×3× (6÷2)2×(10÷2)×2= 180(cm3) 3. 3.14×(25.12÷2÷3.14÷2)2×8=100.48(立方 分米) 解析:沿水平方向锯去2分米后,剩下圆柱形 木料的表面积比原来圆柱形木料的表面积少的部分 相当于高是2分米的圆柱形木料的侧面积,所以原来 圆柱形木料的底面周长是25.12÷2=12.56(分米), 底面半径是12.56÷3.14÷2=2(分米),原来圆柱形 木料的体积是3.14×22×8=100.48(立方分米)。 4. 94.2÷2.5=37.68(厘米) 37.68÷3.14÷2= 6(厘米) 3.14×62×(2+1)=339.12(平方厘米) 解析:根据“如果这个圆柱的底面积不变,高增加 2.5厘米,那么它的表面积就增加94.2平方厘米”, 可求出底面周长,进而求出底面半径及底面积。因为 圆柱的一个底面积与侧面积正好相等,所以原来这个 圆柱的表面积是一个底面积的(2+1)倍。据此解答。 5. 3.14×2×15÷2+3.14×(2÷2)2=50.24(m2) 解析:覆盖在这个大棚上的塑料薄膜的面积为它所在 圆柱侧面积的一半加上前、后面两个半圆拼成的一个 圆的面积。 6. 600÷4=150(cm2) 314÷4=78.5(cm2) 78.5÷ 3.14=25(cm2) 25=5×5 圆柱的底面半径是5cm 150÷(5×2)=15(cm) 78.5×15=1177.5(cm3) 解析:按题图①所示的切法,表面积增加的部分可以 看成是4个长方形的面积,每个长方形的面积等于圆 柱的底面直径与高的乘积。按题图②所示的切法,表 面积增加的部分是圆柱的4个底面积,据此算出圆柱 的底面积和半径,进而算出圆柱的高,最后依据圆柱 的体积计算公式算出体积。 7. 2×2×2-3.14×(2÷2)2×2=1.72(立方分米) 解析:通过观察题图可知,把这块正方体木料削成一 个最大的圆柱,这个圆柱的底面直径和高都等于正方 体的棱长,根据正方体的体积计算公式V=a3 和圆 柱的体积计算公式V=πr2h,把数据代入公式求出它 们的体积差即可。 8. 1 3×3.14× (6÷2)2×6=56.52(立方分米) 解析:通过观察题图可知,这个圆锥的底面直径和高 都等于正方体的棱长,根据圆锥的体积计算公式V= 1 3πr 2h,把数据代入公式即可解答。 9. V液体=S×2h=2Sh V高脚杯=13×S×h= 1 3Sh V液体∶V高脚杯=2Sh∶13Sh=6∶1 能倒满6杯 10. 25.7÷(1+1+3)=5.14(立方分米) 5.14× 3=15.42(立方分米) 解析:由题图②可以看出,放 入一个圆柱形铁块和两个圆锥形铁块后,溢出水的体 积是25.7立方分米,即一个圆柱形铁块和两个圆锥 形铁块的体积之和是25.7立方分米。已知圆柱形铁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 块和圆锥形铁块的底面积和高均相等,则一个圆柱形 铁块与一个圆锥形铁块的体积比为3∶1,所以25.7立 方分米相当于(1+1+3)个圆锥形铁块的体积之和, 据此可以先求出1个圆锥形铁块的体积,进而求出圆 柱形铁块的体积。 二　比　例 第1课时 比例的认识(1) 1. (1) 两个比相等 15 4.2 5 12.6 (2) 2 3 答案不唯一,如4∶6=15∶0.3 2. (1) A (2) B 3. (1) 不可以组成比例 (2) 可以组成比例 12∶ 1 3= 1 4∶ 1 6 方法归纳 判断两个比是否可以组成比例的方法 分别求出这两个比的比值,看它们的比值是 否相等。 4. 答案不唯一,如1∶2=0.5∶1 2∶3=1∶1.5 4∶3=2∶1.5 5. (1) 2∶(2×2)=1∶2 (3.14×2)∶(2×3.14× 2)=1∶2 1∶2=12 1 2= 1 2 这两个比能组成比 例 (2) [3.14×(2÷2)2]∶(3.14×22)=1∶4 1∶4=14 1 4 不等于1 2 这个比与直径之比不能组 成比例 解析:分别写出两个圆的直径之比、周长之 比及面积之比,并分别求出比值,再根据比值是否相 等判断它们能否组成比例。 6. 答案不唯一,如1∶2=4∶8 1∶2=2∶4 7. 4 7∶ 8 7=3∶6 或6∶12=27∶ 4 7 解析:由两个 外项分别是4 7 与6,且两个比的比值都是0.5,得出第 一种情况的第一个比的后项是4 7÷0.5= 8 7 ,第二个 比的前项是6×0.5=3,据此写出这个比例。同理可 得第二种情况。 第2课时 比例的认识(2) 1. (1) a 4 15 11 (2) 5 2 (3) 4 5 2. (1) B (2) D 3. 1.5∶0.9=5∶3 1.5∶5=0.9∶3 3∶0.9=5∶1.5 3∶5=0.9∶1.5 0.9∶1.5=3∶5 0.9∶3=1.5∶5 5∶1.5=3∶0.9 5∶3=1.5∶0.9 4. 3∶5.7=1019 20∶38= 10 19 10 19= 10 19 可以组成比 例 这个比例是3∶5.7=20∶38 5. (1) 减去10 或除以2或乘12 (2) 2 解析:第一个比的后项增加5,变成了4∶ (15+5)=4∶20。只改变第二个比的前项,使比例仍 然成立,则比例的外项之积不变,是4×30=120,此 时第二个比的前项是120÷20=6,因此第二个比的前 项应减去8-6=2。 方法归纳 根据比例的内项之积等于外项之积写比例 要能组成新的比例,只要根据其中某个项的 变化,改变另一个项,并确保内项之积等于外项 之积(或等号两边的比的比值相等)即可。 6. 答案不唯一,如a∶b=d∶c b∶a=c∶d 解析:由于b a 和d c 互为倒数,即b a× d c=1 ,可得ac= bd,这样根据“比例的内项之积等于外项之积”可以 写出不同的比例。 第3课时 比例的应用 1. (1) x∶4.5=3∶13.5 x=1 (2) 比例不唯一, 如2∶4=x∶4.5 x=2.25 易错分析 未正确改写比例为方程 把含有未知项的比例改写成方程的形式时, 必须符合两个内项的积等于两个外项的积这一 要求。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5