8.6 空间直线、平面的垂直 讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6 空间直线、平面的垂直 目录 知识点一：直线与直线垂直 2 题型1：异面直线的夹角 2 题型2：直线与直线垂直 5 知识点二：直线与平面垂直 6 知识点三：直线与平面垂直的判定定理 6 知识点四：直线与平面垂直的性质定理 6 题型3： 线面垂直的判定 7 题型4： 线面垂直的性质 9  线面垂直证明线线平行 9  线面垂直证明线线垂直 9  线面垂直证明面面平行 10 知识点五：直线与平面所成的角 10 题型5： 直线与平面所成角 11 知识点六：空间几何体的距离 13 题型6： 空间中距离问题 14 知识点七：二面角 17 题型7：求二面角 18 知识点八：两个平面垂直的判定 21 知识点九：两个平面垂直的性质定理 22 题型8：面面垂直的判定 23 题型9：面面垂直证明线面垂直 24 知识点一：直线与直线垂直 (1) 异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线，，经过空间任一点作直线，，则与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）． (2) 如果两条异面直线，所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作． (3) 异面直线所成的角的取值范围：． (4) 当两条直线，相互平行时，我们规定它们所成的角为。所以空间两条直线所成角的取值范围是. 题型1：异面直线的夹角 方法提炼 1. 两异面直线所成角的常用方法： 平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,具体步骤如下： (1) 平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2) 认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3) 计算：求该角的值，常利用解三角形； (4) 取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 2. 一般地，若两条异面直线所成的角为，则过空间一点与直线所成的角都等于的直线的条数有如下规律： (1) 当时，直线不存在，即0条. (2) 当时，若，则，此时只存在1条直线；若，则，此时存在2条直线. (3) 当时，存在2条直线. (4) 当时，存在3条直线. (5) 当时，存在4条直线. (6) 当时，存在1条直线. 【例1.1.】 如图，在长方体中，已知，，E为的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 【例1.3.】 如图，在正方体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成的角的大小是（　　） A． B． C． D． 【例1.4.】 在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ）    A． B．2 C． D．4 【例1.5.】 如图，在正四面体中，为中点，是棱上的动点，则当异面直线与所成角的正弦值最小时，（    ） A． B． C． D． 【例1.6.】 过正方形的顶点作直线，使得与直线，所成的角均为，则这样的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1.7.】 若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型2：直线与直线垂直 方法提炼 证明两直线垂直的常用方法： (1) 利用平面几何知识，如矩形、等腰三角形的三线合一、勾股定理逆定理、菱形对角线、圆周角定理等. (2) 定义法：证明两条直线夹角是. (3) 利用一些事实：两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线，则其平行线也垂直此直线． (4) 利用线面垂直的性质. 【例2.1.】 空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 【例2.2.】 如图，已知正方体. （1）若G，H分别为棱AB，AD的中点，求证：. （2）求证：. 知识点二：直线与平面垂直 一般地，如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作．直线叫平面的垂线，平面叫直线的垂面,垂线和平面的交点叫垂足． 垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 我们可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 知识点三：直线与平面垂直的判定定理 文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直． 图形语言： 符号语言： 知识点四：直线与平面垂直的性质定理 1. 性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． 图形语言： 符号语言： 2. 其他性质和结论 (1) 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. (2) 垂直于同一条直线的两个平面互相平行. (3) 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. (4) 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直. (5) 如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行线段垂直. 3. 三垂线定理及其逆定理 (1) 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. (2) 三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 题型3： 线面垂直的判定 方法提炼 证明线面垂直的常用方法： ①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面平行的性质；④面面垂直的性质. 【例3.1.】 如图，在四棱锥中，底面为正方形，在棱上且侧面，，垂足为． (1)求证：平面； (2)若平面与直线交于点，证明：； 【例3.2.】 如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． 证明：平面； 【例3.3.】 如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，设平面与平面的交线为，求证：平面； 【例3.4.】 如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点． (1)证明：面； (2)若满足面，求的值． 题型4： 线面垂直的性质 方法提炼 · 线面垂直证明线线平行 【例4.1.】 （多选）已知，，是三条直线，是一个平面，下列命题不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【例4.2.】 如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证： · 线面垂直证明线线垂直 【例4.3.】 在四棱锥中，底面．证明：； 【例4.4.】 如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，，，，，，．设分别为的中点．证明：. · 线面垂直证明面面平行 【例4.5.】 已知不重合的直线l，m和不重合的平面，，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【例4.6.】 （多选）设､为两条不同的直线，､为两个不同的平面，则下列命题中真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，则与是异面直线 C．若，则与一定相交 D．若，，，则 知识点五：直线与平面所成的角 1. 直线与平面所成角的定义 如图，一条直线和一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 2. 线面角的范围 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是，于是，直线与平面所成的角的范围是． 题型5： 直线与平面所成角 方法提炼 1. 当直线和平面斜交时，求直线与平面所成角的一般步骤： (1) 确定斜线与平面的交点（斜足）； (2) 通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影（注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关），则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； (3) 求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 2. 三余弦定理 如图所示，O为平面α内一点，直线l是平面α的一条过点O的斜线，OB为OA在平面α内的投影，OC为平面α内任一直线，则． 证明 ：如图所示，作于点D，连接AD．因为OB为OA在平面α内的投影，所以平面α，所以．又，，所以平面ABD，所以，所以． 【例5.1.】 如图，在四棱锥中，平面，， 为棱的中点． (1)求证：//平面； (2)当 时，求直线与平面所成角的正弦值． 【例5.2.】 已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【例5.3.】 如图，四边形为正方形，平面，，． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【例5.4.】 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. （1）证明：，且； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值. 【例5.5.】 如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为 ．     【例5.6.】 在中，，，，P是平面外一点，，则直线与平面所成的角为 . 知识点六：空间几何体的距离 1. 点到直线的距离 自点向直线引垂线，垂足叫做点在直线上的射影． 点到垂足的距离叫点到直线的距离． 2. 点到平面的距离 已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则是点到平面的距离．即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离. 3. 异面直线的距离 夹在两条异面直线间的公垂线线段的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条． 4. 直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 5. 两个平行平面间的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 题型6： 空间中距离问题 方法提炼 (1) 求点面距的常用方法： 1　 直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． 2　 如果条件中具有中点（等分点）条件，将一个点到平面的距离，借助中点（等分点），转化为另一点到平面的距离． 3　 等体积法：将点面距转化成求几何体的高 (2) 求点线距可以转化为求三角形的高，用等面积法求解. (3) 求线面距、面面距的问题，可转化为直线或平面上的点到平面的距离的问题. (4) 异面直线的距离问题线面距点面距. (5) 动点到直线的距离最小值线线距线面距点面距. 【例6.1.】 已知正方体的棱长为1，则点B到直线的距离为_________． 【例6.2.】 如图，在三棱锥中，，，为的中点．     （1）证明：平面；     （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 【例6.3.】 已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为 ． 【例6.4.】 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面； (2)若，求到平面的距离. 【例6.5.】 （多选）在棱长为1的正方体中，是线段的中点，以下关于直线的结论正确的有（    ） A．与平面平行 B．与直线垂直 C．与直线所成角为 D．与平面的距离为 【例6.6.】 如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【例6.7.】 如图，正方体的棱长为1，设直线与分别交于点，且，则线段的长为（    ）      A． B． C． D． 【例6.8.】 如图，已知四棱锥中，为矩形，平面，，异面直线与之间的距离为 . 【例6.9.】 单位正方体中，分别是它们所在棱的中点，求与间的距离． 【例6.10.】 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． E．均不是 【例6.11.】 已知四面体的所有棱长均为10，点在直线上，则到的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例6.12.】 长方体中，，，，P是棱上的动点，则的面积最小时，=______． 知识点七：二面角 (1) 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面． (2) 表示方法：如图的二面角可记作：二面角或或． (3) 二面角的平面角：如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于直线的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角． (4) 二面角的平面角α的范围：[0，π]. 题型7：求二面角 方法提炼 1. 作二面角的常用方法： (1) 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则为二面角的平面角． (2) 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，为二面角的平面角． (3) 垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点向另一个平面作垂线，垂足为点，由点向二面角的棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角． 2. 投影法求二面角：（指一个平面在另一个平面上的投影面积，指平面的原面积）,这个方法对于无棱二面角的求解很简便. 下面以三角形为例证明： 如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD. 于，，在内的射影为．又， （三垂线定理的逆定理）．为二面角—BC—的平面角．设△ABC和△的面积分别为S和，，则．. 【例7.1.】 如图，在长方体中，点分别在棱上，且，． （1）证明：点在平面内； （2）若，，，求二面角的正弦值． 【例7.2.】 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值. 【例7.3.】 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，为正三角形，E是AB的中点，.    (1)求点C到平面的距离. (2)求二面角的余弦值. 【例7.4.】 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； 【例7.5.】 如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点． (1)证明：直线平面； (2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值． 【例7.6.】 已知正方体，分别是的中点，则截面与平面所成角的余弦值为 ；截面与平面所成角的余弦值为 . 【例7.7.】 如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 . 【例7.8.】 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 知识点八：两个平面垂直的判定 1. 平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 平面与垂直，记作． 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．如图： 2. 平面与平面垂直的判定定理 文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 图形语言： 符号语言： 知识点九：两个平面垂直的性质定理 1. 性质定理 文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 图形语言： 符号语言： 2. 性质定理的推论 (1) 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即. (2) 如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即. (3) 如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即或. (4) 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即. (5) 三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即 . 题型8：面面垂直的判定 方法提炼 证明面面垂直的四种方法： (1) 定义法：若两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直. (2) 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. (3) 若一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面垂直. (4) 若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面. 【例8.1.】 （多选）已知直线，与平面，，，能使的充分条件是（    ） A．， B．， C．，， D．，， 【例8.2.】 如图，在三棱柱中，，，，． 证明：平面平面． 【例8.3.】 如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； (2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 【例8.4.】 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点．    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，说明理由． 题型9：面面垂直证明线面垂直 方法提炼 【例9.1.】 （多选）已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中正确的是（　　） A．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β B．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β 【例9.2.】 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． 求证：平面； 【例9.3.】 如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．    (1)证明：平面ABC； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$8.6 空间直线、平面的垂直 目录 3知识点一：直线与直线垂直 3题型1：异面直线的夹角 10题型2：直线与直线垂直 12知识点二：直线与平面垂直 12知识点三：直线与平面垂直的判定定理 12知识点四：直线与平面垂直的性质定理 13题型3： 线面垂直的判定 17题型4： 线面垂直的性质 17 线面垂直证明线线平行 19 线面垂直证明线线垂直 20 线面垂直证明面面平行 21知识点五：直线与平面所成的角 21题型5： 直线与平面所成角 30知识点六：空间几何体的距离 30题型6： 空间中距离问题 44知识点七：二面角 45题型7：求二面角 59知识点八：两个平面垂直的判定 60知识点九：两个平面垂直的性质定理 61题型8：面面垂直的判定 66题型9：面面垂直证明线面垂直 知识点一：直线与直线垂直 (1) 异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线 ， ，经过空间任一点 作直线 ， ，则 与 所成的角叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）． (2) 如果两条异面直线 ， 所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ． (3) 异面直线所成的角 的取值范围： ． (4) 当两条直线 ， 相互平行时，我们规定它们所成的角为 。所以空间两条直线所成角 的取值范围是 . 题型1：异面直线的夹角 方法提炼 1. 两异面直线所成角的常用方法： 平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,具体步骤如下： (1) 平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2) 认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3) 计算：求该角的值，常利用解三角形； (4) 取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 2. 一般地，若两条异面直线 所成的角为 ，则过空间一点 与直线 所成的角都等于 的直线 的条数有如下规律： (1) 当 时，直线 不存在，即0条. (2) 当 时，若 ，则 ，此时只存在1条直线 ；若 ，则 ，此时存在2条直线 . (3) 当 时，存在2条直线 . (4) 当 时，存在3条直线 . (5) 当 时，存在4条直线 . (6) 当 时，存在1条直线 . 【例1.1.】 如图，在长方体 中，已知 ， ，E为 的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取 的中点F，连接EF，CF， ，易知 ，所以 为异面直线BD与CE所成的角或其补角.因为 ， ，所以由余弦定理得 . 故选：C 【例1.2.】 已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，补成直四棱柱 ， 则所求角为 ， 易得 ，因此 ，故选C． 【例1.3.】 如图，在正方体 中， 分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成的角的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连结 正方体 ， 面 面 ，所以 正方形 中， 面 ， 所以 面 ，而 面 所以 又 为 中点， 为 中点，可得 所以 ，即异面直线 与 所成的角的大小是 . 故选D项. 【例1.4.】 在矩形 中， ， ， 为边 的中点，现将 绕直线 翻转至 处，如图所示，若 为线段 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为（    ）    A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】取 的中点 ，连接 ， ， 因为 是 的中点，所以 ， 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ， 所以 为异面直线 与 所成的角， 在直角 中， . 故选：A.    【例1.5.】 如图，在正四面体 中， 为 中点， 是棱 上的动点，则当异面直线 与 所成角的正弦值最小时， （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作 ，则 . 为 中点， 是 的中位线，则 ， 则 是异面直线 与 所成的角. 当 与 在平面 里的投影重合时， 最小， 设 平面 ，易知 为等边 的重心，连接 并延长，交 于点 ，作 交 于点 . . 设正四面体 的棱长为 ，则 ， . 在 中， 为重心， . 又 ，则 在 中，设 ， ， . 故选：C. 【例1.6.】 过正方形 的顶点 作直线 ，使得 与直线 ， 所成的角均为 ，则这样的直线 的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为 ，所以 作直线 ，使得 与直线 ， 所成的角均为 ，即过点A在空间作直线l，使得 与直线 ， 所成的角均为 .    因为 ， 的外角平分线与 所成的角相等，均为 ，所以在平面 内有一条满足要求. 因为 的角平分线与 所成的角相等均为 ，将角平分线绕点D向上转动到与面 垂直的过程中，存在两条直线与直线 所成的角都等于 . 故符合条件的直线有3条. 故选：C 【例1.7.】 若两异面直线 所成的角为 ，过空间内一点 作与直线 所成角均为 的直线 ，则所作直线 的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】在空间取一点 ，经过点 分别作 ， 设直线 确定平面 ，当直线 满足它的射影 在 所成角的平分线上时， 与 所成的角等于 与 所成的角， 因为直线 ， 所成的角为 ，得 所成锐角等于 ， 所以当 射影 在 所成锐角的平分线上时， 与 所成角的范围是 . 这种情况下，过点 有两条直线与 所成的角都是 ， 当 的射影 在 所成钝角的平分线上时， 与 所成角的范围是 . 这种情况下，过点 有两条直线与 所成的角都是 ， 综上所述，过空间任意一点 可作与 ， 所成的角都是 的直线有4条. 故选：D. 题型2：直线与直线垂直 方法提炼 证明两直线垂直的常用方法： (1) 利用平面几何知识，如矩形、等腰三角形的三线合一、勾股定理逆定理、菱形对角线、圆周角定理等. (2) 定义法：证明两条直线夹角是 . (3) 利用一些事实：两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线，则其平行线也垂直此直线． (4) 利用线面垂直的性质. 【例2.1.】 空间四边形 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点， ， ， .求证： . 【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GE BD，同理GF AC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝ ，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°. ∴AC⊥BD. 【例2.2.】 如图，已知正方体 . （1）若G，H分别为棱AB，AD的中点，求证： . （2）求证： . 【解析】（21）如图，连接 ，易知四边形 为平行四边形，所以 ， 因为 为 的中位线，所以 . 又 ， 所以 ， 所以 . (2)如图，取 的中点E，设 与 交于点O， 连接 因为O为 的中点，所以 . 因为 ， ，所以 ，所以 . 在等腰三角形 中，O是 的中点， 所以 ，所以 . 因为 是异面直线 与 所成的角， 所以 与 所成的角为90°，所以 . 知识点二：直线与平面垂直 一般地，如果直线 和平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直，记作 ．直线 叫平面 的垂线，平面 叫直线 的垂面,垂线和平面的交点叫垂足． 垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 我们可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 知识点三：直线与平面垂直的判定定理 文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直． 图形语言： 符号语言： 知识点四：直线与平面垂直的性质定理 1. 性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． 图形语言： 符号语言： 2. 其他性质和结论 (1) 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. (2) 垂直于同一条直线的两个平面互相平行. (3) 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. (4) 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也和另一个平面垂直. (5) 如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行线段垂直. 3. 三垂线定理及其逆定理 (1) 三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. (2) 三垂线定理的逆定理 平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 题型3： 线面垂直的判定 方法提炼 证明线面垂直的常用方法： ①判定定理；②垂直于平面的传递性 ；③面面平行的性质 ；④面面垂直的性质. 【例3.1.】 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 在棱 上且 侧面 ， ，垂足为 ． (1)求证： 平面 ； (2)若平面 与直线 交于点 ，证明： ； 【详解】（1）如图： 因为 侧面 ， 平面 ，所以 ， 又因为四边形 为正方形，所以 ， 又 ， 平面 ， 所以 平面 . 因为 侧面 ，所以 ，       因为 ，且 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）因为底面 为正方形，所以 , 又因为 平面 ， 平面 , 所以 平面 . 又 平面 ，平面 平面 , 所以 . 【例3.2.】 如图，平行六面体 中，底面 是边长为2的正方形， 为 与 的交点， ． 证明： 平面 ； 【详解】 连接 ， 因为底面 是边长为2的正方形，所以 ， 又因为 ， ， 所以 ，所以 ， 点 为线段 中点，所以 ， 在 中， ， ， 所以 ， 则 ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 【例3.3.】 如图（1），在 中， ， ， 、 、 分别为边 、 、 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 位置（如图（2））．当四棱锥 的体积最大时，设平面 与平面 的交线为 ，求证： 平面 ； 【解析】过点 在平面 内作 ，垂足为点 ， ， ， ，则 平面 ， 平面 ， ， ， ， 平面 ， 平面 ，则 ， 故当 平面 时，四棱锥 的体积取最大值， ， ， ， 平面 ， 因为 ， ， 为 的中点，所以， 且 ， 故四边形 为平行四边形，所以， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 因为 平面 ，平面 平面 ， ，因此， 平面 . 【例3.4.】 如图，在四棱锥 中， 面 ， ， ， ， ， 为线段 上的点． (1)证明： 面 ； (2)若 满足 面 ，求 的值． 【详解】（1）证明：因为 ， ， ，所以， ， 所以， ，则 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以， ， 又因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 . （2）解：因为 平面 ， 平面 ，所以， ， 若 面 ， 平面 ，则 ， 因为 ， ， 由余弦定理可得 ， 因为 平面 ， 、 平面 ，则 ， 所以， ， ， 在 中， ， ， ， 所以， ， 所以， ， 所以， ，则 ， 因此，若 满足 面 ，则 . 题型4： 线面垂直的性质 方法提炼 · 线面垂直证明线线平行 【例4.1.】 （多选）已知 ， ， 是三条直线， 是一个平面，下列命题不正确的是（    ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 【答案】BC 【详解】对A，根据直线平行的传递性，故A正确； 对B，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故B错误； 对C，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故C错误； 对D，垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确. 故选：BC 【例4.2.】 如图（1），在梯形 中， 且 ，线段 上有一点E，满足 ， ，现将 ， 分别沿 ， 折起，使 ， ，得到如图（2）所示的几何体，求证： 【详解】证明：在 中， ， 所以 ， ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 ， 所以 ，所以 ， 同理可得，在 中， ，且 ， 在 中， ，所以 ， 因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 在 中， ， 在 中， ，则 ， 因为 ， 平面 ，所以 平面 ， 所以 . · 线面垂直证明线线垂直 【例4.3.】 在四棱锥 中， 底面 ．证明： ； 【详解】证明：在四边形 中，作 于 ， 于 ， 因为 ， 所以四边形 为等腰梯形， 所以 ， 故 ， ， 所以 ， 所以 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ， 又 ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ， 所以 ； 【例4.4.】 如图，已知四边形 和四边形 都是直角梯形， ， ， ， ， ， ．设 分别为 的中点．证明： . 【详解】 四边形 和四边形 都是直角梯形， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，又 为 中点， ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， . · 线面垂直证明面面平行 【例4.5.】 已知不重合的直线l，m和不重合的平面 ， ，下列命题正确的是（    ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ， ， ，则 【答案】C 【详解】对于A：若 ， ，则平面 ， 的位置关系有：平行、相交，故A错误； 对于B：若 ， ，则 的位置关系有： 或 ，故B错误； 对于C：若 ， ，根据线面垂直的性质可知： ，故C正确； 对于D：根据面面平行的判定定理可得：若 相交，则 ，否则不成立，故D错误. 故选：C. 【例4.6.】 （多选）设 ､ 为两条不同的直线， ､ 为两个不同的平面，则下列命题中真命题是（    ） A．若 ， ，则 B．若 ， ， ，则 与 是异面直线 C．若 ，则 与 一定相交 D．若 ， ， ，则 【答案】AD 【详解】A，若 ， ，则 ，正确； B，若 ， ， ，则 与 平行或者是异面直线，错误； C，若 ，则 与 平行或相交，错误； D，若 ， ，则 ，又 ，所以 ，D正确． 故选：AD． 知识点五：直线与平面所成的角 1. 直线与平面所成角的定义 如图，一条直线 和一个平面 相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点 叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面 引垂线 ，过垂足 和斜足 的直线 叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 2. 线面角的范围 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 ，于是，直线与平面所成的角 的范围是 ． 题型5： 直线与平面所成角 方法提炼 1. 当直线和平面斜交时，求直线与平面所成角的一般步骤： (1) 确定斜线与平面的交点（斜足）； (2) 通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影（注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关），则斜线和射影所成的锐角即为所求的角； (3) 求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形． 2. 三余弦定理 如图所示，O为平面α内一点，直线l是平面α的一条过点O的斜线，OB为OA在平面α内的投影，OC为平面α内任一直线，则 ． 证明 ：如图所示，作 于点D，连接AD．因为OB为OA在平面α内的投影，所以 平面α，所以 ．又 ， ，所以 平面ABD，所以 ，所以 ． 【例5.1.】 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， 为棱 的中点． (1)求证： //平面 ； (2)当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值． 【解析】（1）取 中点为 ，连接 ，如下所示： 在△ 中，因为 分别为 的中点，故 // ； 又 ，故 // ，则四边形 为平行四边形， // ； 又 面 面 ，故 //面 . （2）过点 作 延长线的垂线，垂足为 ，连接 ，如下所示： 由（1）可知， // ，故平面 也即平面 ； 因为 // ，则 ； 又 面 面 ，故 ； 又 面 ，故 面 ； 又 面 ，则 ，又 ； 面 ，故 面 ， 则 即为 与平面 的夹角； 在△ 中，因为 ，则 ， ； 在△ 中，因为 ， ，则 ； 又 ， ，即直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【例5.2.】 已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解法一：分别取 的中点 ，则 ， 可知 ， 设正三棱台 的为 ， 则 ，解得 ， 如图，分别过 作底面垂线，垂足为 ，设 ， 则 ， ， 可得 ， 结合等腰梯形 可得 , 即 ，解得 ， 所以 与平面ABC所成角的正切值为 ； 解法二：将正三棱台 补成正三棱锥 ， 则 与平面ABC所成角即为 与平面ABC所成角， 因为 ，则 ， 可知 ，则 ， 设正三棱锥 的高为 ，则 ，解得 ， 取底面ABC的中心为 ，则 底面ABC，且 ， 所以 与平面ABC所成角的正切值 . 故选：B. 【例5.3.】 如图，四边形 为正方形， 平面 ， ， ． (1)求证： 平面 ； (2)求 与平面 所成角的正弦值． 【解析】（1） 连接 交 于 ，如图， 由四边形 为正方形，得 ， 又 平面 ， 平面 ，则 ， 而 ，即B，D，E，F四点共面，又 ，且 平面 ， 所以 平面 . （2）因为 ，则 与平面 所成角等于 与平面 所成角， 显然 ， ， ， 在 中，由余弦定理得 ， ，因此 ， 设点 到平面 的距离为 ， 由 平面 ，知 ，而 ， ，则 平面 ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 则 平面 ，即有点F到平面 的距离为AB长2，又 ， 由 ，得 ，即 ，解得 ， 所以 与平面 所成角的正弦值为 ． 【例5.4.】 如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. （1）证明： ，且 ； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值. 【详解】（1） EMBED Equation.DSMT4 ，且 平面 ， 平面 ， 平面 ， 又 EMBED Equation.DSMT4 平面 ，且平面 平面 ， ， 在 中， 为 中点，则 ， 又 侧面 为矩形， ， 又 EMBED Equation.DSMT4 分别为 ， 的中点， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 由 ， 平面 ， EMBED Equation.DSMT4 平面 ， 又 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 平面 ， (2)[方法一]：几何法 如图，过O作 的平行线分别交 于点 ，联结 ， 由于 平面 ， 平面 ， ， 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ． 又因平面 平面 ，平面 平面 ，所以 ． 因为 ， ， ，所以 面 ． 又因 ，所以 面 ， 所以 与平面 所成的角为 ． 令 ，则 ，由于O为 的中心，故 ． 在 中， ， 由勾股定理得 ． 所以 ． 由于 ，直线 与平面 所成角的正弦值也为 ． [方法二]【最优解】：几何法 因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ． 因为 ，所以四边形 为平行四边形． 由（Ⅰ）知 平面 ，则 为平面 的垂线． 所以 在平面 的射影为 ． 从而 与 所成角的正弦值即为所求． 在梯形 中，设 ，过E作 ，垂足为G，则 ． 在直角三角形 中， ． 【例5.5.】 如下图所示，矩形 中， ， ，沿 将 折起，使得点C在平面 上的射影落在 上，则直线 与平面 所成的角为 ．    【答案】45° 【详解】解法一：如图2，作 于E，由题意， 平面 ，∴ ， 作 于O，连接 ，则 平面 ， ∴ ，从而在图1中，C、O、E三点共线， 在图1中， ， ， ， ∴ ，而 ，∴ ，那么在图2中也有 ， 从而 ，故 ，即直线 与平面 所成的角为45°． 解法二：如图2，作 于E，由题意， 平面 ， 故 即为 与平面 所成的角， 由三余弦公式， ， ∴ ，故 ， 从而 ，∴直线 与平面 所成的角为45°．   【例5.6.】 在 中， ， ， ，P是平面 外一点， ，则直线 与平面 所成的角为 . 【答案】45° 【详解】解法一：如图l，作 平面 于D，由 可得D应落在 的平分线上，作 于E，∵ 平面 ，∴ ，故 平面 ，从而 ，不妨设 ，则 ， ，∴ ，从而 ，故直线 与平面 所成的角为45°． 解法二：如图2，作 平面 于D，由 可得D应落在 的平分线上，∴ ，由三余弦公式， ， 从而 ， 故 ，即直线 与平面 所成的角为45°． 知识点六：空间几何体的距离 1. 点到直线的距离 自点 向直线 引垂线，垂足 叫做点 在直线 上的射影． 点 到垂足的距离叫点到直线的距离． 2. 点到平面的距离 已知点 是平面 外的任意一点，过点 作 ，垂足为 ，则 是点 到平面 的距离．即：一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离. 3. 异面直线的距离 夹在两条异面直线间的公垂线线段的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条． 4. 直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 5. 两个平行平面间的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 题型6： 空间中距离问题 方法提炼 (1) 求点面距的常用方法： 1　 直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． 2　 如果条件中具有中点（等分点）条件，将一个点到平面的距离，借助中点（等分点），转化为另一点到平面的距离． 3　 等体积法：将点面距转化成求几何体的高 (2) 求点线距可以转化为求三角形的高，用等面积法求解. (3) 求线面距、面面距的问题，可转化为直线或平面上的点到平面的距离的问题. (4) 异面直线的距离问题 线面距 点面距. (5) 动点到直线的距离最小值 线线距 线面距 点面距. 【例6.1.】 已知正方体 的棱长为1，则点B到直线 的距离为_________． 【答案】 【解析】如图，连接 ，过B作 ，则 即为点B到直线 的距离， 在正方体 中， 平面 ， ，在直角 中， ，且 ，所以 ，点B到直线 的距离为 . 故答案为： . 【例6.2.】 如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的中点．     （1）证明： 平面 ；     （2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离． 【详解】（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP= ． 连结OB．因为AB=BC= ， ，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB= =2．由 知，OP⊥OB． 由OP⊥OB，OP⊥AC， ，知PO⊥平面ABC． （2）［方法一］：【最优解】定义法 作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）易知 平面 ，从而OP⊥CH， 所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离． 由题设可知OC= =2，CM= = ，∠ACB=45°． 所以OM= ，CH= = ． 所以点C到平面POM的距离为 ． ［方法二］：等积法 设C到平面 的距离为h，由（1）知 即为P到平面 的距离，且 ．又 ，在 中， ，则由余弦定理得 ， 则 ，即 ，则 ．即点C到平面POM的距离为 ． 【例6.3.】 已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为 ，那么P到平面ABC的距离为 ． 【答案】 . 【详解】作 分别垂直于 ， 平面 ，连 ， 知 ， ， 平面 ， 平面 ， ， ． ， ， ， 为 平分线， ，又 ， ． 【例6.4.】 如图，四棱锥 的底面是正方形， 平面 ，E，F，G分别为 ， ， 的中点. (1)证明： 平面 ； (2)若 ，求 到平面 的距离. 【详解】（1）方法1：因为E，F分别为 ， 的中点，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 因为 为 的中点，且四边形 是正方形， 由 且 ，知 是平行四边形，故 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 又因为 ，且 平面 ， 平面 ， 所以平面 平面 . 因为 平面 ，故 平面 . 方法2：连接 ，设 ，连接 . 由条件知 ， ，故 是平行四边形，∴M是 中点. ∵E是 中点，∴ . ∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . （2）方法1：因为 为 的中点，故 到平面 的距离为P到平面 的距离的一半， 故E到平面 的距离为1. 易知 的面积为2，故三棱锥 的体积为 . 易知 ，又因为 平面 ，故 ， 又 ， 平面 ， 平面 ， ，故 平面 ， 又 平面 ，所以 ，故 ， ， 所以 ，故 ， 的面积为 . 设 到平面 的距离为 ， 所以 ，故 . 方法2：连接 ，设 . 由于 ， ，∴ ， ∴点 到平面 的距离是点B到平面 的距离的2倍. 由条件得 ， ， ， ， . ∴ ，∴ . 设 到平面 的距离为 ，根据三棱锥 与三棱锥 体积相等得 ，解得 . 所以D到平面 的距离为 . . 【例6.5.】 （多选）在棱长为1的正方体 中， 是线段 的中点，以下关于直线 的结论正确的有（    ） A．与平面 平行 B．与直线 垂直 C．与直线 所成角为 D．与平面 的距离为 【答案】ABD 【详解】因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 同理可证 平面 ， 又 ， 平面 ， 所以平面 平面 ，而 平面 ，故 平面 ，选项A正确； 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，而 平面 ，故 ，选项B正确； 由于 ，所以 与 所成角就是直线 与直线 所成角， 因为 ， ， ， 所以 ， 所以 ，即 与直线 所成角为 ，选项C不正确； 由选项A可知， 与平面 的距离就是点 到平面 的距离． 设点 到平面 的距离为 ，由 ，得 ， 即 ，解得 ，即 与平面 的距离为 ，选项D正确. 故选：ABD． 【例6.6.】 如图在直三棱柱 中， ， ， ，E是 上的一点，且 ，D、F、G分别是 、 、 的中点， 与 相交于 ． (1)求证： 平面 ； (2)求平面 与平面 的距离． 【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面 平面 ， 又 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， 又 平面 ， ， ， 在 和 中， ， ，即 ， 又 ， 平面 平面 ． （2）解：由题意知 ， 在 中， ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 、 分别为 、 的中点， ，又 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 平面 平面 ． 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 为平行平面 与 之间的距离， ， 即平面 与 之间的距离为 ． 【例6.7.】 如图，正方体 的棱长为1，设直线 与 分别交于点 ，且 ，则线段 的长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线 与 分别交于点 ，且 ， 则线段 的长即为异面直线 的距离， 连接 ， ，由条件可知 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 所以异面直线 EMBED Equation.DSMT4 的距离，即为直线 到平面 的距离， 由 平面 可知， 直线 到平面 的距离等于 到平面 的距离， 设 到平面 的距离为 ， 由题意可知 平面 ，所以 到平面 的距离为 的长， 由 得， ， 由正方体 的棱长为1， 可知 ， ， 所以 ， ， 所以 ，所以 ， 所以线段 的长为 . 故选：B.    【例6.8.】 如图，已知四棱锥 中， 为矩形， 平面 ， ，异面直线 与 之间的距离为 . 【答案】 【详解】因为 平面 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 因为 因此我们将四棱锥 构建成长方体 . 【方法一】接下来我们寻找异面直线 的公垂线 在平面 上的投影为 ， ， 易证 平面 ，故得 ， ， 连接 ， 与 相交于 ，则 为 的中点， 作 的中点 ，连接 ，则 ， ， ， 所以 是 的公垂线段，即 的长度就是异面直线 与 之间的距离. 且 ， 故答案为： . 【方法二】因为 平面 平面 ， 所以 平面 . 所以直线 到平面 的距离等于 到平面 的距离， 设 到平面 的距离为 ， 由题意可知 平面 ，所以 到平面 的距离为 的长， 由 得， ， 又 ， ， 所以 ， 所以异面直线 与 之间的距离为 . 【例6.9.】 单位正方体 中， 分别是它们所在棱的中点，求 与 间的距离． 【答案】 【详解】解：如图所示：    连接 ，且 ，设 ， ， 作 于 的中点为 ，连接 ， 在 中，可求得 ，在 中，可求得 ， 由此可知 ， 延长 到 使 ，连接 ，则易知四边形 为平行四边形， ∴ ，且 ，则 就是 与 所成的角， 连接 与 交于 ，则 ， 在 中，由余弦定理可求得 ，则 ， 根据公式（2）得 ，∴ 与 间的距离是 ． 【例6.10.】 如图，在棱长为1的正方体 中， 为线段 上的点，且 ，点 在线段 上，则点 到直线 距离的最小值为（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【详解】在 上取点 ，使 ，连接 、 ，过点 作 于点 ， 由 ，故 ，又 平面 ， 平面 ， 故 平面 ，由 平面 ， 平面 ，故 ， 故 ，又 ， ， 、 平面 ， 故 平面 ，故 到平面 的距离为 ， 又 在线段 上，故点 到直线 距离的最小值为 ， 由 ，故 ，则 ， 故 . 故选：C. 【例6.11.】 已知四面体 的所有棱长均为10，点 在直线 上，则 到 的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将四面体 补成正方体 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，如图，    则 ， 分别为 ， 的中点， 因为 且 ，故四边形 为平行四边形， 则 且 ， 又因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 且 ， 故四边形 为平行四边形，故 且 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ，即 ， 同理可得 ，故 到 的距离最小值为 . 故选：C. 【例6.12.】 长方体 中， ， ， ，P是棱 上的动点，则 的面积最小时， =______． 【答案】 . 【详解】要使 的面积最小，即点P到直线 距离为最小值. 连接AC， ，因为四棱柱 是长方体，所以 平面 ， 又点P在棱 上，所以点P到平面 的距离是定值． 又因为直线 在平面 中，所以点P到直线 的距离大于等于点P到平面 的距离． 所以点P到直线 的距离最小值等于点P到平面 的距离. 过点D作AC的垂线DE，垂足为E．过点 作 的垂线 ，垂足为 ．连接 ，与 相交于Q．过点Q作 平行于DE与 相交于 ，如图所示． 因为 ， ， ，于是 平面 ．又 平行于DE，因此 平面 ，因此点 到直线 的距离就等于点 到平面 的距离，也就是当点P运动到点 时， 的面积最小． 运用相似三角形相关知识可得，当 的面积最小时， ，而 ， ，又 ， ，因此当 的面积最小时， ． 知识点七：二面角 (1) 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面． (2) 表示方法：如图的二面角可记作：二面角 或 或 ． (3) 二面角的平面角：如图，在二面角 的棱 上任取一点 ，以点 为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于直线 的射线 和 ，则射线 和 构成的 叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角． (4) 二面角的平面角α的范围：[0，π]. 题型7：求二面角 方法提炼 1. 作二面角的常用方法： (1) 定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则 为二面角 的平面角． (2) 垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面各有一条交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②， 为二面角 的平面角． (3) 垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点 向另一个平面作垂线，垂足为点 ，由点 向二面角的棱作垂线，垂足为 ，连接 ，则 为二面角的平面角或其补角．如图③， 为二面角 的平面角． 2. 投影法求二面角： （ 指一个平面在另一个平面上的投影面积， 指平面的原面积）,这个方法对于无棱二面角的求解很简便. 下面以三角形为例证明： 如图，平面 内的△ABC在平面 的射影为△ ，作 于D，连结AD. 于 ， ， 在 内的射影为 ．又 ， （三垂线定理的逆定理）． 为二面角 —BC— 的平面角．设△ABC和△ 的面积分别为S和 ， ，则 ． . 【例7.1.】 如图，在长方体 中，点 分别在棱 上，且 ， ． （1）证明：点 在平面 内； （2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值． 【详解】（1）在棱 上取点 ，使得 ，连接 、 、 、 ，如图所示. 在长方体 中， ，所以四边形 为平行四边形，则 ，而 ，所以 ，所以四边形 为平行四边形，即有 ，同理可证四边形 为平行四边形， ， ，因此点 在平面 内. （2） 在 中， ，即 ，所以 ．在 中， ，如图，设 的中点分别为M，N，连接 ，则 ，所以 为二面角 的平面角．   在 中， ． 所以 ，则 ． 【例7.2.】 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. （1）证明：BE⊥平面EB1C1； （2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值. 【详解】（1）证明：因为 是长方体，所以 侧面 ，而 平面 ，所以 又 ， ， 平面 ，因此 平面 ； （2） [方法一]【三垂线定理】 由（1）知， ，又E为 的中点，所以 ，为等腰直角三角形，所以 ． 如图2，联结 ，与 相交于点O，因为 平面 ，所以 ． 又 ，所以 平面 ． 作 ，垂足为H，联结 ，由三垂线定理可知 ，则 为二面角 平面角的补角． 设 ，则 ，由 ，得 ． 在 中， ，所以 ， 即二面角 的正弦值为 ． [方法二]【利用体积公式结合二面角的定义】 设底面边长为1，高为 ，所以 ． 因为 平面 ，所以 ，即 ， 所以 ，解得 ． 因为 ，所以 是直角三角形， ． 因为 平面 ，所以 到平面 的距离相等设为 ． 同理，A，E到平面 的距离相等，都为1，所以 ， 即 ，解得 ． 设点B到直线 的距离为 ，在 中，由面积相等解得 ． 设 为二面角 的平面角， ， 所以二面角 的正弦值为 ． [方法三]【等价转化后利用射影面积计算】 由（1）的结论知 ，又 ，易证 ，所以 ，所以 ， 即二面角 的正弦值与二面角 的正弦值相等． 设 的中点分别为F，G，H，显然 为正方体，所求问题转化为如图3所示， 在正方体 中求二面角 的正弦值． 设 相交于点O，易证 平面 ， 所以 是 在平面 上的射影． 令正方体 的棱长 ， 则 ， ， ， ． 设二面角 为 ，由 ，则 ， 所以 ． 即二面角 的正弦值为 ． [方法四]【结合（1）的结论找到二面角的平面角进行计算】 如图4，分别取 中点F，G，H，联结 ． 过G作 ，垂足为P，联结 ． 易得E，F，G，H共面且平行于面 ． 由（1）可得 面 ．因为 面 ，所以 ． 又因为E为 中点，所以 ，且均为等腰三角形． 设 ，则 ，四棱柱 为正方体． 在 及 中有 ． 所以 与 均为直角三角形且全等． 又因为 ，所以 为二面角 （即 ）的一个平面角． 在 中， ． 所以 ， 所以 ． 故二面角 的正弦值为 ． 【例7.3.】 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ， 为正三角形，E是AB的中点， .    (1)求点C到平面 的距离. (2)求二面角 的余弦值. 【解析】（1）由题设知 ， ，所以 面 ， 又 ，所以 面 ， 因为 面 ，故 ，即 ， 所以 ，而 ， ， 中 上的高 ，故 ， 令点C到平面 的距离为 ，又 ，且 ， 到面 的距离为正三角形 的高， 所以 ，可得 ，故点C到平面 的距离为 . （2）因为 ，则 ， 又 ，故 为等腰三角形，则 上的高为 ， 令 到 的距离为 ，则 ， 由（1）知：点C到平面 的距离为 ， 若锐二面角 为 ，则 ，故 ， 所以二面角 的余弦值为 . 【例7.4.】 如图，在三棱台 中， 平面 ， 为 中点.，N为AB的中点，    (1)求证： //平面 ； (2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值； 【详解】（1）    连接 .由 分别是 的中点，根据中位线性质， // ，且 ， 由棱台性质， // ，于是 // ，由 可知，四边形 是平行四边形，则 // ， 又 平面 ， 平面 ，于是 //平面 . （2）过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ,连接 . 由 面 ， 面 ，故 ，又 ， ， 平面 ，则 平面 . 由 平面 ，故 ，又 ， ， 平面 ，于是 平面 ， 由 平面 ，故 .于是平面 与平面 所成角即 . 又 ， ，则 ，故 ，在 中， ，则 ， 于是 【例7.5.】 如图，已知正方体 的棱长为 ， 、 分别为棱 、 的中点． (1)证明：直线 平面 ； (2)设平面 与平面 的交线为 ，求点 到直线 的距离及二面角 的余弦值． 【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 、 ， 在正方体 中， 且 ， 、 分别为 、 的中点，则 且 ， 故四边形 为平行四边形，则 且 ， 又因为 且 ，则 且 ， 故四边形 为平行四边形，则 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 因为 且 ，故四边形 为平行四边形，则 ， 、 分别为 、 的中点，则 ，则 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 、 平面 ，所以，平面 平面 ， 平面 ， 平面 . （2）延长 、 交与点 ，连接 ，则直线 即为直线 ， 因为 且 ， 为 的中点，则 ， 故点 为 的中点， 为 的中点， 在 中， ， ， ， 由余弦定理可得 ，则 ， ，则 ， 过点 在平面 内作 直线 ，垂足为点 ，连接 ， ，所以， ， 平面 ， 平面 ， ， ， ， 、 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，故二面角 的平面角为 ， 且 ，故点 到直线 的距离为 ， ，因此，二面角 的平面角的余弦值为 . 【例7.6.】 已知正方体 ， 分别是 的中点，则截面 与平面 所成角的余弦值为 ；截面 与平面 所成角的余弦值为 . 【答案】 【详解】 设边长为a，截面 与平面 所成角为 ， 则 ，且 ， 所以四边形 是菱形，且 ， ∴ ， 又菱形 在面 上的射影为正方形 ， 由 ，得 ， ∴截面 与平面 所成角的余弦值为 . 设截面 与平面 所成角为 ， 取 的中点 ，连结 ，则平面 平面 ， 所以平行四边形 是四边形 在面 上的射影， 由 ，得 ， ∴截面 与平面 所成角的余弦值 . 故答案为： ； . 【例7.7.】 如图 与 所在平面垂直，且 ， ，则二面角 的余弦值为 . 【答案】 【详解】过 A作 的延长线于E， 连结 DE， ∵平面 平面 ，平面 平面 ， ∴ 平面 ∴ E点即为点A在平面 内的射影， ∴ 为 在平面 内的射影，                                                                        设 ，则 ， ∴ 由余弦定理可得 ，∴ ， ∴ ， 又 ，∴ ， 设二面角 为 ，∴ . 而二面角 与 互补， ∴二面角 的余弦值为 . 故答案为： 【例7.8.】 已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E，F分别为 和 的中点，D为棱 上的点． （1）证明： ； （2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小? 【详解】（1）因为 ，所以 ． 又因为 ， ，所以 平面 ．又因为 ，构造正方体 ，如图所示 过E作 的平行线分别与 交于其中点 ，连接 ， 因为E，F分别为 和 的中点，所以 是BC的中点， 易证 ，则 ． 又因为 ，所以 ． 又因为 ，所以 平面 ． 又因为 平面 ，所以 ． （2） [方法一] ：几何法 如图所示，延长 交 的延长线于点S，连接 交 于点T，则平面 平面 ． 作 ，垂足为H，因为 平面 ，连接 ，则 为平面 与平面 所成二面角的平面角． 设 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，过 作 交 于点G． 由 得 ． 又 ，即 ，所以 ． 又 ，即 ，所以 ． 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以，当 时， ． [方法二]：投影法 如图，连接 ， 在平面 的投影为 ，记面 与面 所成的二面角的平面角为 ，则 ． 设 ，在 中， ． 在 中， ，过D作 的平行线交 于点Q． 在 中， ． 在 中，由余弦定理得 EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 当 ，即 ，面 与面 所成的二面角的正弦值最小，最小值为 ． 知识点八：两个平面垂直的判定 1. 平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 平面 与 垂直，记作 ． 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．如图： 2. 平面与平面垂直的判定定理 文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 图形语言： 符号语言： 知识点九：两个平面垂直的性质定理 1. 性质定理 文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 图形语言： 符号语言： 2. 性质定理的推论 (1) 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即 . (2) 如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即 . (3) 如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即 或 . (4) 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即 . (5) 三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即 . 题型8：面面垂直的判定 方法提炼 证明面面垂直的四种方法： (1) 定义法：若两个平面所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直. (2) 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. (3) 若一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面垂直. (4) 若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面. 【例8.1.】 （多选）已知直线 ， 与平面 ， ， ，能使 的充分条件是（    ） A． ， B． ， C． ， ， D． ， ， 【答案】BD 【详解】对于A： ， ， ， 也可能平行，故错误； 对于B：若 ， ，则 ，正确； 对于C： ， ， ，由线面垂直的判定定理可知 不一定垂直于 ，故 也不一定垂直，故错误； 对于D：由 ， ，可得： ，再由 ，可证 ，故正确. 故选：BD 【例8.2.】 如图，在三棱柱 中， ， ， ， ． 证明：平面 平面 ． 【详解】取 的中点O，连接 ， ， ． 四边形 为平行四边形， 又因为 ， ，所以 为等边三角形， 所以 ， ． 在 中， ， ． 因为 ，所以 ． 因为 ， 平面 ，所以 平面 ． 因为 平面 ，所以平面 平面 ． 【例8.3.】 如图，四面体 中， ，E为AC的中点． (1)证明：平面 平面ACD； (2)设 ，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积． 【详解】（1）由于 ， 是 的中点，所以 . 由于 ，所以 ， 所以 ，故 ， 由于 ， 平面 ， 所以 平面 ， 由于 平面 ，所以平面 平面 . （2）[方法一]：判别几何关系 依题意 ， ，三角形 是等边三角形， 所以 ， 由于 ，所以三角形 是等腰直角三角形，所以 . ，所以 ， 由于 ， 平面 ，所以 平面 . 由于 ，所以 ， 由于 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 由于 ，所以当 最短时，三角形 的面积最小 过 作 ，垂足为 ， 在 中， ，解得 ， 所以 ， 所以 过 作 ，垂足为 ，则 ，所以 平面 ，且 ， 所以 ， 所以 . [方法二]：等体积转换 ， ， 是边长为2的等边三角形， 连接 【例8.4.】 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧面 是正三角形，侧面 底面 ，M是 的中点．    (1)求证： 平面 ； (2)在棱 上是否存在点N使平面 平面 成立？如果存在，求出 ；如果不存在，说明理由． 【详解】（1）由侧面 是正三角形，M是 的中点，得 ， 由正方形 ，得 ，而平面 平面 ，平面 平面 ， 且 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，于是 ， 而 平面 ， 所以 平面 . （2）取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，连接 ，连接 ，连接 ，    于是 ，由正方形 ，得 ，则 ，令 ， 显然 是正 的中心， ， ， 又平面 平面 ，平面 平面 ，则 平面 ， 平面 ，即有 ，而 平面 ， 则 平面 ， 平面 ，在平面 内过 作 交 于 ， 显然 ，而 平面 ，因此 平面 ， 连接 并延长交 于 ，连接 ，于是平面 平面 ， 过 作 ，则有 ， ， ， ， ，则 ，又 ， ， 从而点 是线段 的中点， ，过 作 交 于 ， 于是 ，即 ，显然 ，因此 ， 所以在棱 上存在点N使平面 平面 成立， . 题型9：面面垂直证明线面垂直 方法提炼 【例9.1.】 （多选）已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中正确的是（　　） A．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β B．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D．若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β 【答案】ABD 【详解】由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，知： 在A中，由m⊥α，m∥n，得 ，又n⊂β，所以α⊥β，故A正确； 在B中，若α∥β，m⊥α，得 ，又n⊥β，所以m∥n，故B正确； 在C中，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故C错误； 在D中，若α⊥β，m⊂α，a∩β＝n，m⊥n， 则由面面垂直的性质定理得m⊥β，故D正确． 故选：ABD． 【例9.2.】 如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形，平面 平面 ，点 在 上，且 ． 求证： 平面 ； 【详解】不妨设 ， ， 由余弦定理得 ， 在 中， ， 平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 平面 ． 平面 ， 四边形 是菱形， ， 又 ，且 平面 平面 平面 ． 【例9.3.】 如图，三棱柱 中，侧面 底面ABC，且 ， ．    (1)证明： 平面ABC； (2)若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值． 【详解】（1）取BC的中点M，连结MA、 ．    因为 ， ，所以 ， ， 由于AM， 平面 ，且 ， 因此 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 因为平面 平面ABC，平面 平面 ，且 平面 ，所以 平面ABC， 因为 ，所以 平面ABC. （2）将直三棱柱 补成长方体 ． 连接 ，过点C作 ，垂足为P，再过P作 ，垂足为Q，连接CQ，    因为 平面 ，且 平面 ， 所以 ， 又因为 ，由于BD， 平面 ，且 ， 所以 平面 ，则 为直角三角形， 由于 平面 ，所以 ， 因为 ， 平面CPQ，且 ，所以 平面CPQ， 因为 平面CPQ，所以 ， 则∠CQP为平面 与平面 的夹角或补角， 在 中，由等面积法可得 , 因为 ，所以 ， 因此平面 与平面 夹角的余弦值为 . _1234568427.bin _1234568203.bin _1234568182.bin _1234568170.bin _1234567899.bin $$