11.3 余弦定理、正弦定理应用【9大题型 】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

11.3 余弦定理、正弦定理应用 【考点梳理】 · 考点一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 · 考点二：求三角形的周长或者边长最值或范围问题 · 考点三：几何图形中的计算 · 考点四：求三角形面积最值或者范围问题 · 考点五：测量距离问题 · 考点六：测量高度问题 · 考点七：测量角度问题 · 考点八：正、余弦定理和三角函数综合问题 · 考点九：解三角形的综合问题 【知识梳理】 知识一．几个专业术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 知识二　距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 知识三　高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 【题型归纳】 题型一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 1．（24-25高一下·江苏）在中，角所对的边分别为，若，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论. 【详解】由，利用正弦定理，， 即，因，则或（不合题意舍去）， 故△ABC一定是等腰三角形. 故选：B. 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在三角形中，若，则是（    ）三角形． A．等腰 B．等腰或Rt C．等腰直角 D．Rt 【答案】B 【分析】利用正弦定理将边化角，结合角度范围，即可判断三角形形状. 【详解】由正弦定理，即， 因为，所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：B 3．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知的内角所对的边分别为下列说法正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是直角三角形 D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件 【答案】C 【分析】利用正弦定理和余弦定理，将已知式边角互化，根据正弦函数，余弦函数的图象，借助于二倍角公式、降幂公式化简.即可一一判断正误. 【详解】对于A项，由和正弦定理，， 即，故得或， 即或，即是等腰三角形或直角三角形，故A项错误； 对于B项，因，由余弦定理，， 代入化简得，，即得，故是等边三角形，故B项错误； 对于C项，由和正弦定理，,化简得，(*)， 因,则,代入(*),得， 因，，则，故,即C项正确； 对于D项，若是等边三角形，则,即必成立， 故“”是“是等边三角形”的必要条件，故D项错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查三角形中正弦定理、余弦定理的应用，属于较难题. 解决此类题的方法主要有： （1）边的齐次型问题，一般考虑运用正弦定理化边为角； （2）内角的正弦的齐次型，一般考虑运用正弦定理化角为边； （3）边或正弦的二次型，一般考虑直接运用余弦定理或化角为边后再用余弦定理； （4）正余弦混合的二次型，一般考虑运用降幂公式降次. 题型二：求三角形的周长或者边长最值或范围问题 4．（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【详解】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C 【点睛】方法点睛：求解三角形周长和面积的取值范围问题一般需将表达式转化为边或者角的式子，再利用三角函数性质或基本不等式即可求得取值范围. 5．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由正弦定理化简已知可得，再由是锐角，得到，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围. 【详解】因为， 根据正弦定理得，， 因为为锐角，所以， 所以，即，而A为锐角， 所以， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即， 所以， 即，， 所以. 故选：C. 6．（23-24高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理化简题中条件，得到，再利用基本不等式求的取值范围即可. 【详解】中，， 解得； ，由余弦定理得：， ， ． 故选：D． 题型三：几何图形中的计算 7．（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由可得，解得. 故选：B. 8．（22-23高一下·浙江杭州·期中）在中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用面积相等求出，再结合余弦定理可得答案或建立直角坐标系，分别求出D，E坐标，再利用两点间距离公式，即可求值. 【详解】方法一：因为，，，所以的面积为； 因为AD是的角平分线， 所以， 解得. 在中，，， 所以 ， 即.    故选：A. 方法二：因为，所以， 如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴建立直角坐标系， 则，，， 由是的角平分线可知，直线的方程为：， 因为，，则， 所以直线的方程为：， 联立方程组，可得， 所以， 因为E是AC的中点，所以， 所以，由两点间距离公式得，， 则DE的长度为.    故选：A. 9．（20-21高一下·重庆九龙坡·期中）如图所示，在平面四边形中，是等边三角形，，，，则的面积为（    ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】设，在中，由余弦定理求得，设，结合正弦定理求得，得到，进而求得的值，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】设， 在中，由余弦定理可知， 整理可得，解得， 设，由正弦定理知，解得，所以， 所以， 所以. 故选：D. 题型四：求三角形面积最值或者范围问题 10．（23-24高一下·福建泉州）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可. 【详解】且，, 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ，，，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形，，， ，， ， . 故选：C. 11．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理得，由余弦定理结合不等式可得，进而由面积公式即可求解. 【详解】由于，且外接圆的半径为2，所以． 由余弦定理得， ， 则 故选：D． 12．（21-22高一上·福建福州·期末）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值. 【详解】因为，所以， 即； 由正弦定理可得，所以 ； 当时，取到最大值. 故选：A. 题型五：测量距离问题 13．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（    ）百米. A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解. 【详解】在中，，， 则，， 在中，，，， 则， ， ， 在中，，， 则， . 故选：D. 14．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）成化高中高一同学参加社会实践，测量“周庄外滩”某处河对岸彩灯带的长度，设计方案．如图，河对岸彩灯带从延伸到，同学们在此岸选择两点，距离为，通过测量得，，，，则彩灯带的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，可得，进而在中，利用余弦定理运算求解. 【详解】因为， 在中，， 由正弦定理可得， 在中，可知，， 则，所以， 在中，由余弦定理得． 故选：A. 15．（23-24高一下·四川内江·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（    ） （提示：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】由题意可得是等边三角形，可得千米，记直线与直线的交点为，进而可得为等腰三角形，可求得，计算可求得. 【详解】因为，可得是等边三角形，千米. 记直线与直线的交点为， 所以为的中点，所以为等腰三角形， ， 又， 所以千米， 故选：A. 题型六：测量高度问题 16．（2024·湖南·模拟预测）为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择点和一建筑物的楼顶为测量观测点，已知点为塔底，在水平地面上，塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则塔的高度约为（    ）（，精确到） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】现从四棱锥中提取两个直角三角形和的边角关系，进而分别解出两个三角形边的长，求出塔AB的高度即可. 【详解】平面，平面， 过点作，交于点，则有，， 在中，因为，所以， 在中，因为，所以， 则. 故选：B. 17．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在中，由两角和的正弦得到，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，在中，，代入数值即可得到答案. 【详解】在中，， 则， ， 由正弦定理，可得， 在中，可得. 所以该铁塔的高度约为米． 故选：C. 18．（23-24高一下·江苏苏州·期中）沪苏通长江公铁大桥（如图1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图2），设乘客眼睛离地面的距离为，．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系建立方程，再求解即得. 【详解】在中，，则， 在中，，， 解得，所以主塔. 故选：A 题型七：测量角度问题 19．（22-23高一下·浙江）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，结合正弦定理可得，再根据平方关系可求. 【详解】由题意，在中，由余弦定理， ； 因为，所以， 在中，由正弦定理所以， 解得 由题意，因为为锐角，所以 故选：D. 20．（22-23高一下·福建宁德·期末）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求得，进而由正弦定理求得答案． 【详解】 由题意， 由余弦定理得，，∴， 由正弦定理得，，即，解得． 故选：A． 21．（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度，且能直接观测到，设点的维度（与赤道平面所成角的度数）的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造直角三角形的方法求得. 【详解】设表示卫星，过作截面，截地球得大圆， 过作圆的切线，，线段交圆于，如图， 则，，，， 则. 故选：B 题型八：正、余弦定理和三角函数综合问题 22．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，结合二次函数的性质，即可求解； （2）根据题意，求得，再由，利用正弦定理求得，得到，得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）（1）因为， 可得 ， 因为，所以. （2）解：由题意得 ，可得， 因为，由正弦定理得， 所以，所以， 又因为，则，且，所以， 因为，所以，所以，则， 则，所以函数的值域是. 23．（2025·江西·一模）设向量，，． (1)求的单调递减区间； (2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简求得，再利用正弦型函数的性质求递减区间； （2）由得，结合正弦定理可得，结合余弦定理有，联立求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由题意得 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）因为为锐角三角形，由得， 由可得， 所以，故， 在中，由正弦定理得，所以， 所以①， 由余弦定理得，得②， 由①②解得， 所以的面积为. 24．（2022·山西·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解. （2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，根据角的范围求解. 【详解】（1）及， ，化简得， ，又，. （2）由（1）可得 为锐角三角形， 且，， . ，， 故的取值范围为. 题型九：解三角形的综合问题 25．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解， （2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. （2）由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得    ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 26．（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 【答案】(1)1 (2) 【分析】利用三角恒等变换整理可得，结合最小正周期分析求解； 以为整体，结合正弦函数最值可得.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，结合正弦函数分析求解. 【详解】（1）由题意可知：， 因为函数的最小正周期为，且，所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 可知当，即时，取到最大值3，即. 若条件①：因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得，且，则， 可得，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若条件②；因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为，则， 可得， 即，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为； 若选③：因为，则， 整理得，且，所以， 由正弦定理可得，可得， 则 ， 因为锐角三角形，则，解得， 可得，则，可得 所以的取值范围为. 27．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值； ②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 【高分达标】 一、单选题 28．（24-25高一下·全国）如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取，两点，从，两点测得建筑物顶端的仰角分别为，，且，两点间的距离为，，则该建筑物的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理解，求，结合锐角三角函数定义求建筑物高度． 【详解】在中，，，， 由正弦定理，得， 所以建筑物的高度为， 故选：A． 29．（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 【答案】D 【分析】将已知结合二倍角公式，两角和的正弦公式，化简可得，从而可以判断三角形的形状. 【详解】，， ， 化简得，， ，即， 或， ，或，即或， 是直角三角形或等腰三角形. 故选：D. 30．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】由题意可得是等边三角形，可得千米，记直线与直线的交点为，，进而可得为等腰三角形，可求得，计算可求得. 【详解】因为， 可得是等边三角形，则千米. 记直线与直线的交点为， 所以,为的中点， 所以为等腰三角形， 所以千米. 故选：A. 31．（23-24高一下·山东烟台·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解. 【详解】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形. 故选：D. 32．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【详解】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 33．（23-24高一下·天津河北·期中）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定，，，，则两点距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据正弦定理可求，在中，利用正弦定理可求，在中，根据余弦定理即可求解的值． 【详解】在中，，， 由正弦定理可得， 在中，，， 在中，， 可得． 故选：C． 34．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范围判断CD即可. 【详解】选项A，由可得， 又是的内角，， 所以，由正弦定理得， 因为中，所以，即， 所以，A说法错误； 选项B，设的外接圆半径为，因为， 所以由正弦定理得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积，C说法错误； 选项D，由C知， 解得，当且仅当时等号成立， 由三角形的性质知， 所以，D说法正确； 故选：D 二、多选题 35．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，则（    ） A． B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则的形状能唯一确定 【答案】AB 【分析】应用正弦定理及边角关系判断A、B、D；由余弦定理易得为锐角，而角和角是否为锐角无法确定，即可判断C. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，则，故B正确； 由余弦定理，可知为锐角， 但无法判断角和角是否为锐角，不一定为锐角三角形，故C错误； 由正弦定理得，即，又，所以，所以或，故D错误. 故选：AB 36．（24-25高三下·山东聊城·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A．外接圆的面积为 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】BCD 【分析】由正弦定理求出外接圆半径，即可判断A；由正弦定理可求出角C，判断B；由余弦定理可求出ac的最大值，判断C；由余弦定理求出，可判断D. 【详解】对于A，由题意知，，故设外接圆的半径为R，则， 即得，则外接圆的面积为，A错误； 对于B，若，则， 则，B正确； 对于C，由余弦定理可得，即， 当且仅当时等号成立，则， 故面积的最大值为，C正确； 对于D，由，得， 则，当且仅当时等号成立， 即得，故周长的最大值为，D正确， 故选：BCD 37．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲、乙两船不可能相遇 【答案】AD 【分析】根据三角形的边角关系可得是正三角形，进而根据余弦定理可得，进而可求解速度，即可判定AB，分别计算甲乙两船到达的时间即可判定CD. 【详解】如图，连接． 依题意，（海里），而海里，， 则是正三角形，所以海里． 在中，海里， 由余弦定理得 （海里）， 则有，所以，所以， 所以乙船的行驶速度是（海里/时），故A正确，B不正确． 延长与交于点O，显然有，即， 易得海里，海里，海里， 甲船从出发到点O用时（小时）， 乙船从出发到点O用时（小时）， ，即甲船先到达点O，所以甲、乙两船不可能相遇，C不正确，D正确． 故选：AD． 38．（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，为测量海岛的高度以及其最高处瞭望塔的塔高，测量船沿航线航行，且与在同一铅直平面内，测量船在处测得，，然后沿航线向海岛的方向航行千米到达处，测得，（，测量船的高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】在中由正弦定理得求出可判断BA；求出，由正弦定理求出可判断C；在中，由正弦定理求出可判断D． 【详解】在中，，， ，由正弦定理得，， 即，所以，，故B正确； 且，故A错误； 故， 在中，，， 由正弦定理得，， 所以，故C错误； 对于D，在中，，， ，代入， 所以，故D正确． 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用正弦定理解三角形. 39．（23-24高一下·宁夏吴忠·期末）在中，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，且，则的面积为或 D．若，则一定是等腰三角形 【答案】BC 【分析】对于A，可以根据大角对大边知道，再用正弦定理即可．对于B, 根据锐角三角形，知道，即，因为且在区间单调递增，再用诱导公式即可．对于C，用余弦定理求出，再分类讨论即可．对于D，切化弦，再用二倍角公式转化即可． 【详解】对于A：因为，所以，所以A错误 对于B：因为是锐角三角形，所以，即， 因为且在区间单调递增， 所以，B正确； 对于C：易求出，而，所以， 化简可得，解得或者， 当时，，此时是最大角且， 所以满足钝角三角形，此时， 当时，，此时为最大角且， 所以满足钝角三角形，，此时C正确． 对于D：， 即，即， 所以，而为三角形内角， 所以或者， 所以是等腰三角形或者直角三角形，D错误； 故选：BC． 三、填空题 40．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，角，，所对的边分别为，，c，若，是边上的高，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由余弦定理可得，根据重要不等式及三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 又，所以， 又因为，所以，即， 当且仅当时取等号， 又是边上的高，则， 所以，则的最大值为． 故答案为：. 41．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）在中，分别为内角的对边，若，，且，则 . 【答案】4 【分析】根据正弦定理角化边，三角形面积公式及余弦定理，即可求解． 【详解】因为，所以， 所以，即， 由题干及正弦定理得，①， 由余弦定理得，②， 由①②得，，即， 故答案为：4． 42．（23-24高一下·广东广州·期中）某数学兴趣小组成员为测量某古塔的高度，如图，在塔底的同一水平面上的A、B两点处进行测量，已知在A处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，，则该塔的高度 . 【答案】 【分析】设米，利用求得，再代入余弦定理中即可得解. 【详解】由题意可知，设米， 则， 所以， 所以在中，由余弦定理得， 解得，故，即该塔的高度. 故答案为：. 43．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角、、所对的边分别为，，，若，则的最大值为 ． 【答案】. 【分析】根据余弦定理可得，将表达式化简并代入计算由辅助角公式可求得其最大值. 【详解】由根据余弦定理可得， 即， 所以 （其中,）, , 当取最大值时，的最大值为. 故答案为：. 44．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题知，底边上的高，又，可得，根据余弦定理和均值不等式得到，则计算可得答案. 【详解】 设中，定点到底边的距离为h， 已知，，，， 则 又， 则， 即， 在中，由余弦定理： ， 当且仅当时，等号成立， 故，而， 所以，则， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 45．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）设函数． (1)当时，求函数的最小值并求出对应的； (2)在中，角的对边分别为，若，且，求周长的取值范围． 【答案】(1)当时，函数取到最小值为 (2) 【分析】（1）先对函数化简，得到，再利用函数的图像与性质即可求出结果. （2）利用（1）中条件求出角，再利用余弦定理建立方程，再利用基本不等式和三角形任何两边之和大于第三边，即可求得周长的范围. 【详解】（1）因为 ， 因为，所以， 由的图象与性质知，当，即时，函数取到最小值为， 即当时，函数的最小值为，此时． （2）因为，由（1）得到， ， 即，又在中，则， 所以，即， 又，由余弦定理，得到， 又由基本不等式知，，当且仅当取等号， 所以，则， 又因为，所以， 所以周长的取值范围为． 46．（24-25高一下·浙江杭州·阶段练习）已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且. (1)求角的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角性质及已知，即可确定角的大小； （2）由（1）为等边三角形，令，建立直角坐标系并确定相关点坐标，由及三角形面积公式、辅助角公式、正弦型函数的性质求范围. 【详解】（1）由题设，即， 所以，而，故， 又，则，故. （2）由（1）易知为等边三角形，令，建立如下图的直角坐标系， 则，，，故， 所以 ，当时取最大值为. 47．（23-24高一下·浙江·期中）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 【答案】(1)60°； (2)等边三角形； (3). 【分析】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围. 【详解】（1）∵， ∴由正弦定理得， 即， 即， 即， 由余弦定理得， ∵， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形. （3）因为, 由正弦定理,得 所以 因为为锐角三角形,则, 从而, 所以. 48．（24-25高三上·广东梅州·期中）已知函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 【答案】(1),对称中心为 (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【详解】（1）. 令，则，， 函数的对称中心为，. （2）由可知，， 化简得， ，，， . （3）由可得， 即， 又，则，则，所以. 由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得. 所以，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 49．（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【答案】(1)159米 (2)米 【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果. （2）由图，将表示为，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值. 【详解】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3 余弦定理、正弦定理应用 【考点梳理】 · 考点一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 · 考点二：求三角形的周长或者边长最值或范围问题 · 考点三：几何图形中的计算 · 考点四：求三角形面积最值或者范围问题 · 考点五：测量距离问题 · 考点六：测量高度问题 · 考点七：测量角度问题 · 考点八：正、余弦定理和三角函数综合问题 · 考点九：解三角形的综合问题 【知识梳理】 知识一．几个专业术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 知识二　距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 知识三　高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 【题型归纳】 题型一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 1．（24-25高一下·江苏）在中，角所对的边分别为，若，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 2．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在三角形中，若，则是（    ）三角形． A．等腰 B．等腰或Rt C．等腰直角 D．Rt 3．（23-24高一下·陕西咸阳）已知的内角所对的边分别为下列说法正确的是（    ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是直角三角形 D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件 题型二：求三角形的周长或者边长最值或范围问题 4．（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：几何图形中的计算 7．（2024·河北·模拟预测）在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于（    ） A． B． C．2 D． 8．（22-23高一下·浙江杭州·期中）在中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（    ） A． B． C． D． 9．（20-21高一下·重庆九龙坡·期中）如图所示，在平面四边形中，是等边三角形，，，，则的面积为（    ） A． B． C．14 D． 题型四：求三角形面积最值或者范围问题 10．（23-24高一下·福建泉州）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高三上·陕西西）在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 12．（21-22高一上·福建福州·期末）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型五：测量距离问题 13．（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（    ）百米. A． B． C． D．3 14．（23-24高一下·江苏无锡）成化高中高一同学参加社会实践，测量“周庄外滩”某处河对岸彩灯带的长度，设计方案．如图，河对岸彩灯带从延伸到，同学们在此岸选择两点，距离为，通过测量得，，，，则彩灯带的长度为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·四川内江·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（    ） （提示：） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 题型六：测量高度问题 16．（2024·湖南·模拟预测）为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择点和一建筑物的楼顶为测量观测点，已知点为塔底，在水平地面上，塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则塔的高度约为（    ）（，精确到） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·江苏南京）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，）    A．米 B．米 C．米 D．米 18．（23-24高一下·江苏苏州·期中）沪苏通长江公铁大桥（如图1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图2），设乘客眼睛离地面的距离为，．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为（    ）．    A． B． C． D． 题型七：测量角度问题 19．（22-23高一下·浙江）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高一下·福建宁德·期末）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高一下·江苏南京）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度，且能直接观测到，设点的维度（与赤道平面所成角的度数）的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 题型八：正、余弦定理和三角函数综合问题 22．（23-24高一下·湖南常德·期中）已知向量. (1)求的取值范围； (2)记，在中，角的对边分别为且满足，求函数的值域. 23．（2025·江西·一模）设向量，，． (1)求的单调递减区间； (2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积 24．（2022·山西·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 题型九：解三角形的综合问题 25．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 26．（2024·北京·三模）已知函数的最小正周期为. (1)求的值； (2)在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为在上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.条件①：；条件②：；条件③：的面积为S，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 27．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【高分达标】 一、单选题 28．（24-25高一下·全国）如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取，两点，从，两点测得建筑物顶端的仰角分别为，，且，两点间的距离为，，则该建筑物的高度为（    ）    A． B． C． D． 29．（24-25高一下·河北·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形或等腰三角形 30．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.已知飞机在点时，测得，在点时，测得，千米，则（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 31．（23-24高一下·山东烟台·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 32．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·天津河北·期中）如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定，，，，则两点距离是（    ）    A． B． C． D． 34．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 二、多选题 35．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，则（    ） A． B．若，则 C．若，则为锐角三角形 D．若，则的形状能唯一确定 36．（24-25高三下·山东聊城）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A．外接圆的面积为 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 37．（24-25高一下·全国·单元测试）如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里．当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲、乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲、乙两船不可能相遇 38．（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，为测量海岛的高度以及其最高处瞭望塔的塔高，测量船沿航线航行，且与在同一铅直平面内，测量船在处测得，，然后沿航线向海岛的方向航行千米到达处，测得，（，测量船的高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一下·宁夏吴忠·期末）在中，下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，且，则的面积为或 D．若，则一定是等腰三角形 三、填空题 40．（24-25高一下·全国·单元测试）在中，角，，所对的边分别为，，c，若，是边上的高，，则的最大值为 ． 41．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）在中，分别为内角的对边，若，，且，则 . 42．（23-24高一下·广东广州·期中）某数学兴趣小组成员为测量某古塔的高度，如图，在塔底的同一水平面上的A、B两点处进行测量，已知在A处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，，则该塔的高度 . 43．（23-24高一下·江苏）在中，角、、所对的边分别为，，，若，则的最大值为 ． 44．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 四、解答题 45．（24-25高一下·江苏连云港）设函数． (1)当时，求函数的最小值并求出对应的； (2)在中，角的对边分别为，若，且，求周长的取值范围． 46．（24-25高一下·浙江杭州）已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且. (1)求角的大小； (2)若，求四边形面积的最大值. 47．（23-24高一下·浙江·期中）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的值； (2)若，判断的形状； (3)若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 48．（24-25高三上·广东梅州·期中）已知函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 49．（2024高一·全国）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$