11.2 正弦定理【6大题型 】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

11.2 正弦定理 【考点梳理】 · 考点一：正弦定理解三角形 · 考点二：正弦定理判定三角形解的个数 · 考点三：正弦定理求外接圆的半径 · 考点四：正弦定理边角互化的应用 · 考点五：三角形面积的应用 · 考点六：正余弦公式的综合应用 【知识梳理】 知识点一　正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即＝＝. 知识点二　正弦定理的变形公式 1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2.sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径). 知识点三：角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 知识点四：解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【题型归纳】 题型一：正弦定理解三角形 1．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（23-24高一下·江苏南京）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则b=（    ） A．2 B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，若，，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 题型二：正弦定理判定三角形解的个数 4．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 5．（23-24高一下·江苏泰州·期末）记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D．4 6．（23-24高一下·天津河西·期中）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 题型三：正弦定理求外接圆的半径 7．（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，，，分别为角，，的对边.若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·上海普陀·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　） A． B． C． D． 题型四：正弦定理边角互化的应用 10．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 11．（23-24高一下·江苏盐城·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 12．（23-24高一下·江苏盐城）已知中，角的对边分别是，若，则是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 题型五：三角形面积的应用 13．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为的中点，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，角对应的边分别为，已知，，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·贵州遵义·三模）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型六：正余弦公式的综合应用 16．（23-24高一下·江苏）在中，三个角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求的值： (2)若，，求的面积． 17．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知△ABC的内角所对的边是且 (1)求； (2)若，求△ABC的面积. 18．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C的值； (2)若，求周长的最大值； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【双基达标】 一、单选题 19．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，若，则最小角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ）． A． B． C． D． 21．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 24．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，，，则面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．不存在 25．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）在锐角中，角，，所对的边分别为，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·江苏扬州）在中，角所对的边的长分别为.下列命题中错误的个数是（    ） ①若，则 ②已知，则最小内角的度数为 ③若，则是锐角三角形 ④若，且结合的长解三角形，有两解，则长的取值范围是 A．0 B．1 C．2 D．3 28．（2024·山东泰安·三模）在中，内角所对的边分别为，，，且，延长至点，使得，若，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 二、填空题 29．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，则 ． 30．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，，若最短边的长为，则最长边的长为 ． 31．（24-25高一·江苏·假期作业）在圆内接四边形中，，，，则四边形面积为 ． 32．（2024·吉林长春·模拟预测）在中，已知，当边BC的中线时，的面积为 ． 33．（23-24高一下·广西钦州·期中）在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为 ． 三、解答题 34．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，且. (1)求； (2)已知点在线段上，且，求长. 35．（23-24高一下·江苏连云港·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，线段延长线上一点满足，求的长． 36．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)点M为线段BC的中点，且，，求的面积． 37．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，，D为BC的中点，求AD的长． 38．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，． ①求边的值； ②若的平分线交于点，求的长． 39．（23-24高一下·江苏无锡·期末）请从：①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．（如未作出选择，则按照选择①评分） 在中，，，分别是角，，的对边，若________， (1)求角的大小； (2)若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.2 正弦定理 【考点梳理】 · 考点一：正弦定理解三角形 · 考点二：正弦定理判定三角形解的个数 · 考点三：正弦定理求外接圆的半径 · 考点四：正弦定理边角互化的应用 · 考点五：三角形面积的应用 · 考点六：正余弦公式的综合应用 【知识梳理】 知识点一　正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即＝＝. 知识点二　正弦定理的变形公式 1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2.sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径). 知识点三：角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)． 知识点四：解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【题型归纳】 题型一：正弦定理解三角形 1．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【详解】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则b=（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：C 3．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，若，，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】解：由正弦定理可得，，， ，， 或， 故选：D 题型二：正弦定理判定三角形解的个数 4．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【分析】先求出，再由正弦定理求出角B即可得解. 【详解】由题，所以， 又，所以， 所以且由正弦定理， 所以由得或，故三角形解的个数为2. 故选：C. 5．（23-24高一下·江苏泰州·期末）记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】由正弦定理先计算出，而角有两解，则需要满足且是最大边进而求出的范围. 【详解】角有两解，即角有两解，由正弦定理可知：， 角要有两解，则需满足且，解得：. 故选：C 6．（23-24高一下·天津河西·期中）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理结合大边对大角，小边对小角对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，由正弦定理可得：，所以， 因为，所以，所以三角形有2解，故A错误； 对于B，由正弦定理可得：，所以，此三角形无解，故B错误； 对于C，由正弦定理可得：，所以， 因为，所以，则为钝角，不成立，所以无解，故C错误； 对于D，由正弦定理可得：，所以， 因为，所以，所以此三角形只有唯一解,故D正确. 故选：D. 题型三：正弦定理求外接圆的半径 7．（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，，，分别为角，，的对边.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积求，再根据余弦定理求，再根据正弦定理，即可求解. 【详解】，所以， 根据余弦定理, 即，， 所以. 故选：D 8．（2023·上海普陀·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】. , 设该三角形外接圆的半径为 由正弦定理得 故选：A. 9．（22-23高一下·广东东莞·阶段练习）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理与三角形面积公式，利用条件可解出角，再由利用余弦定理可求，由可得外接圆直径. 【详解】由得， ， 即：，可得. 又因为，可得． 又已知，， 由余弦定理得 ， 解得. 则外接圆直径. 故选：D. 题型四：正弦定理边角互化的应用 10．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】先利用二倍角公式化简，然后利用正余弦定理统一成边的形式，化简变形可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 11．（23-24高一下·江苏盐城·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论. 【详解】由，利用正弦定理，， 即,因,则或（不合题意舍去）， 故△ABC一定是等腰三角形. 故选：A. 12．（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知中，角的对边分别是，若，则是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理，结合诱导公式及二倍角的余弦公式可得，可得，从而可得是等边三角形. 【详解】由， 结合正弦定理可得，所以， 又因为是的内角，故， 所以是等边三角形. 故选：B. 题型五：三角形面积的应用 13．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为的中点，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由结合余弦定理求出，再由余弦定理得，进而由两边平方得，再由三角形面积公式即可得解. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 整理得，故， 又，所以， 所以由得即，    又由题， 所以 ， 即，故， 所以的面积为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：解决中线问题通常用向量法，先由向量得，接着两边平方，再结合余弦定理去求解. 14．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，角对应的边分别为，已知，，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求的值，即可求解的值，由正弦定理结合已知等式可得可求的值，进而利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由及正弦定理得， 所以，又， 所以， 又由正弦定理，即， 所以， 所以， 所以， 即， 解得或（，舍）， 所以的面积. 故选：A. 15．（2024·贵州遵义·三模）在中，角的对边分别为，D为的中点，已知，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理化边为角求出角，在向量化求出边，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 即， 又，所以， 又，所以， 在中，D为的中点，则， 则， 即，解得（舍去）， 所以. 故选：D. 题型六：正余弦公式的综合应用 16．（23-24高一下·江苏）在中，三个角，，所对的边分别为，，，已知． (1)求的值： (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知条件由降幂公式求出，可得的值； （2）余弦定理求出，面积公式求的面积. 【详解】（1）由，解得或， 由中，，所以，. （2）由余弦定理，， 则有，解得，， 所以. 17．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知△ABC的内角所对的边是且 (1)求； (2)若，求△ABC的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和得到，进而利用同角三角函数关系得到答案； （2）由正弦定理得到，利用三角形面积公式得到答案. 【详解】（1）， 由正弦定理得，故， 因为，所以，故， 因为，所以， 故； （2）由（1）知，， 又，由正弦定理得， 即， 故， 所以， 故. 18．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C的值； (2)若，求周长的最大值； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理和三角形面积公式化角为边后，再运用余弦定理即可求得； （2）根据余弦定理化简后，利用基本不等式即可求得的最大值，即得周长最大值； （3）利用三角形面积相等得到，根据正弦定理，将边分别用角表示，利用三角恒等变换将三角形面积表示成，求得的取值范围，利用正弦函数的值域即可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由和正弦定理，三角形面积公式可得，， 因，故得，， 由余弦定理，，因，则； （2）由余弦定理，，即， 整理得，，当且仅当时等号成立，即， 于是，，即当时，周长的最大值为； （3）由可得， 由正弦定理，，即得，，, 则 , 由为锐角三角形可得，，解得，， 则，由正弦函数的图象知，，故得， 即面积的取值范围为. 【点睛】思路点睛：对于三角形的周长最大值，可考虑余弦定理和基本不等式相结合解决；对于三角形面积的范围，一般考虑利用正、余弦定理将面积化成与正弦型函数相关的解析式，利用三角函数的值域求解. 【双基达标】 一、单选题 19．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，若，则最小角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，利用余弦定理求出即可. 【详解】因为，所以， 设，则，，所以， 所以， 所以最小角的余弦值为. 故选：B 20．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得， 故选：C 21．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出到距离，然后根据题意结合图形求解即可. 【详解】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故选：D 22．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理可得, 再由和比定理得. 故选：C. 23．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理边化角和二倍角正弦公式化简，可得或，从而判断三角形的形状； 【详解】由正弦定理得，， 解得或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形， 故选：C. 24．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，，，则面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D．不存在 【答案】D 【分析】把代入，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求出，进而求出面积的最大值. 【详解】由及，得， 在中，由正弦定理得， 即，整理得， 而，即，因此，即， ，当且仅当时取等号，即，， 等号无法取到，面积的最大值不存在. 故选：D 25．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）在锐角中，角，，所对的边分别为，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将两边平方结合二倍角公式可得，由正弦定理将边转化为角可计算出，由为锐角三角形可得，结合正弦定理得，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 由正弦定理得，即， 所以， 所以，即， 所以或（舍去）， 则， 因为三角形为锐角三角形， 则，所以， 解得，所以， 因为 ， 所以的取值范围为. 故选：D. 26．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，用正余弦弦定理可得，因为，将换下，利用基本不等式，得出，所以A的最大值为. 【详解】，由正弦定理、余弦定理可得， 整理得到. 由余弦定理 = 当且仅当时等号成立. 因为，，所以A的最大值为. 故选：B. 27．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，角所对的边的长分别为.下列命题中错误的个数是（    ） ①若，则 ②已知，则最小内角的度数为 ③若，则是锐角三角形 ④若，且结合的长解三角形，有两解，则长的取值范围是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】命题①根据三角形的边角关系结合正弦定理即可解决；命题②由余弦定理求解；命题③根据三角形内角和定理、诱导公式化简并结合已知条件讨论确定符号，从而确定角的情况；命题④结合正弦定理和三角形解的情况可判断. 【详解】命题①：中，若，根据大角对大边，有，由正弦定理可得，于是，①正确； 命题②：已知，则最小内角为C， 由余弦定理得，根据其为最小角，则其不可能为钝角，则，②正确； 命题③：因为， 所以，得， 因为，所以中有0个或2个为负数， 又因为中最多一个为钝角，所以， 即都是锐角，所以为锐角三角形，③正确． 命题④：由，若三角形有两解，则， 所以长的取值范围是，所以④错误. 故命题中有1个错误. 故选：B. 28．（2024·山东泰安·三模）在中，内角所对的边分别为，，，且，延长至点，使得，若，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，利用正弦定理求得，再由余弦定理，得到，求得，再中，由余弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】因为，可得， 由正弦定理得，即， 所以，又因为，所以， 如图所示，由，且，， 在中，由余弦定理得， 解得或（负值舍去）. 故选：C. 二、填空题 29．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，则 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理计算即可. 【详解】由正弦定理可得, 即得. 故答案为：. 30．（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，，若最短边的长为，则最长边的长为 ． 【答案】 【分析】易得，则，再利用两角和的正切公式求出，即可得出最长边和最短边，再利用正弦定理即可得解. 【详解】由，， 得，所以， ， 所以，所以，所以， 故，为最长的边， 由，得， 则， 所以（舍去）， 由正弦定理得，所以. 即最长边的长为. 故答案为：. 31．（24-25高一·江苏·假期作业）在圆内接四边形中，，，，则四边形面积为 ． 【答案】． 【分析】利用余弦定理可求，解得，结合范围，利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】解：因为为圆内接四边形， 所以，则， 利用余弦定理得，， 所以，解得， 所以， 由，，得， 因为，所以， 所以． 故答案为：． 32．（2024·吉林长春·模拟预测）在中，已知，当边BC的中线时，的面积为 ． 【答案】 【分析】用两种方法表示，求得，代入面积公式中计算即可. 【详解】 因为边BC的中线，，所以，，     ， 又， 所以，， . 故答案为：. 33．（23-24高一下·广西钦州·期中）在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】由正弦定理和余弦定理得到，再由外接圆半径，由基本不等式得到，由三角形面积公式求出答案. 【详解】在中， 由正弦定理得由余弦定理得 因为为的内角，则，所以 因为的外接圆的半径为由正弦定理得 所以由余弦定理得 即 因为所以当且仅当时取等号， 故的面积所以面积的最大值为 故答案为： 三、解答题 34．（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，若，，且. (1)求； (2)已知点在线段上，且，求长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理可得答案； （2）由余弦定理求出，平方关系求出，在中再由正弦定理可得答案. 【详解】（1）由余弦定理可得， ，， 解得； （2）由（1）可得， ，， 在中，，， 解得. 35．（23-24高一下·江苏连云港·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，线段延长线上一点满足，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式可得，最后由辅助角公式可得，进而求出角的大小； （2）由正弦定理可得的值，再由余弦定理可得的值． 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 而， 所以，又因为，则， 所以，整理可得， 又因为，则， 可得，则； （2）在中，由正弦定理， 即，解得， 因为，由题意可得，， 在中，， 由余弦定理可得． 36．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)点M为线段BC的中点，且，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为，再利用两角和的正弦公式求解； （2）在中，由余弦定理得到，然后分别在和中，利用余弦定理结合，两式相加并解出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）由题意得，再由正弦定理得 ， 所以， 即 ， 因为， 所以， 所以. （2）在中，由余弦定理得， 即①， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为， 两式相加得②， 由①②得， 所以. 37．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，，D为BC的中点，求AD的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解； （2）根据余弦定理得的值，进而根据三角形面积公式即可求解； （3）根据三角形的中线的向量表达形式，结合向量模长公式即可求解 【详解】（1），即． 即,也即 由余弦定理可得，由，故 （2）由，，由余弦定理可得： 解得：，所以 （3）由余弦定理可得：，解得 又D为BC的中点，则 两边平方可得： 所以AD的长 38．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，． ①求边的值； ②若的平分线交于点，求的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由已知条件可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）①利用余弦定理求出，再由面积公式求出；②由结合三角形的面积公式可求得的长. 【详解】（1）因为，若，则，不满足， 所以，，. （2）①由余弦定理可得， 又，可得，可得， 又，所以，则； ②由题意知，即， 所以. 39．（23-24高一下·江苏无锡·期末）请从：①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．（如未作出选择，则按照选择①评分） 在中，，，分别是角，，的对边，若________， (1)求角的大小； (2)若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）若选①，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；若选②，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；若选③，利用正弦定理将边化角，再由辅助角公式计算可得； （2）利用等面积法及余弦定理求出，再由正弦定理求出外接圆的半径，即可得解； （3）利用正弦定理将、转化为关于的三角函数，再利用三角恒等变换公式及正切函数的性质计算可得. 【详解】（1）若选①，因为， 由正弦定理得， 即， 所以， 由，得，所以， 即，因为，所以. 若选②，由， 化简得. 由正弦定理得， 即，所以. 因为，所以. 若选③，因为，由正弦定理得， 即， 因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以； （2）因为角的平分线为， 由等面积法：， 即，即， 又， 所以，所以，即， 故外接圆的面积； （3）在中，由正弦定理， 得，， 由（1）知，，又，代入上式得，， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 则 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$