11.1 余弦定理【6大题型 】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

11.1 余弦定理 【考点梳理】 考点一：余弦定理的理解 考点二：余弦定理解三角形 考点三：余弦定理边角互化判断三角形的形状 考点四：余弦定理边角互化求解 考点五：余弦定理边角互化应用 考点六：余弦定理的综合应用问题 【知识梳理】 知识一　余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ 知识二　余弦定理可以用于两类解三角形问题 1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. 2.已知三角形的三边，求三角形的三个角. 知识三　解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【题型归纳】 题型一：余弦定理的理解 1．（23-24高一下·山东济南）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（19-20高一下·四川成都·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．（22-23高二上·陕西渭南·阶段练习）在中，若，则A=（    ） A． B． C． D． 题型二：余弦定理解三角形 4．（24-25高一下·河北）在中，，则（    ） A．5 B．3或5 C．4 D．2或4 5．（24-25高一上·云南昆明·期末）在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·河南洛阳·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：余弦定理边角互化判断三角形的形状 7．（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 8．（23-24高一下·吉林通化·期末）在中，角所对的边分别为，若，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 9．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 题型四：余弦定理边角互化求解 10．（2024·安徽合肥·一模）在中，内角的对边分别为，若，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 11．（22-23高二上·陕西商洛·期末）在中，内角的对边分别为.若，，且则（    ） A． B． C． D． 12．（2022·山西太原·二模）的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，，则（    ） A． B． C． D．3 题型五：余弦定理边角互化应用 13．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，、分别是、的中点，与的交点为，若，则的最小值为 . 14．（2023·辽宁朝阳·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，且，若，，则的值是 ． 15．（20-21高一下·江苏泰州·期中）在中，设边所对的角为，若，则的最大值为 ． 题型六：余弦定理的综合应用问题 16．（24-25高一下·全国）记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求的值； (2)若点在边上，且，求． 17．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 18．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知中，，，为边上的点． (1)若，求边上的高； (2)若为的中点，且，求线段的长； (3)若平分，求线段长的取值范围． 【高分达标】 一、单选题 19．（24-25高一下·全国）锐角中，，，则a的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（24-25高一下·江苏南通）是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高一下·云南文山）在中，内角所对各边分别为，且，则角（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 23．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的长为（    ） A．9 B． C．3 D． 24．（23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 25．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在中，，，平面内一点O满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 26．（23-24高一下·湖北省直辖县级单位）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高一下·广西河池·期中）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 28．（23-24高一下·广东湛江·期中）设的内角的对边分别为若，，且，则（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·湖北襄阳·期中）中,,点在线段上,下列结论正确的是（） A．若是中线,则 B．若是高,则 C．若是角平分线,则 D．若,则是线段的三等分点 三、填空题 30．（24-25高一下·安徽蚌埠）在中，角所对的边分别为，且，则的形状为 ． 31．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则 ；若，则的最大值为 ． 32．（23-24高一下·江苏南通）如图，为方便市民游览市区中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知AB，AC为夹角为的公路长度均超过5千米，在两条公路AB，AC上设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米.若，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为 千米. 33．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，，为的中点，，为上一点，且，则 ． 34．（23-24高一下·河南南阳·期中）在中，为边上的任一点，若，，则 . 35．（23-24高一下·河北保定·期中）已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且BC边上的高为a，则的取值范围为 ． 四、解答题 36．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）已知在中，，，且． (1)求的值； (2)求的长度． 37．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，． (1)求a的值； (2)过点C作，且，若求λ的值，并求此时的值． 38．（24-25高一下·福建福州）在中，，，分别是角，，所对的边，且满足. (1)求角的大小； (2)设向量，向量，且，判断的形状. 39．（23-24高一下·山东青岛·期末）记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线． (1)求； (2)求； (3)若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1 余弦定理 【考点梳理】 考点一：余弦定理的理解 考点二：余弦定理解三角形 考点三：余弦定理边角互化判断三角形的形状 考点四：余弦定理边角互化求解 考点五：余弦定理边角互化应用 考点六：余弦定理的综合应用问题 【知识梳理】 知识一　余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ 知识二　余弦定理可以用于两类解三角形问题 1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. 2.已知三角形的三边，求三角形的三个角. 知识三　解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【题型归纳】 题型一：余弦定理的理解 1．（23-24高一下·山东济南）设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理可知，. 故选：B 2．（19-20高一下·四川成都·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】用余弦定理求最大边所对角. 【详解】,可设， 最大角为C，， 所以C为钝角. 故选:C 【点睛】此题也可以直接求判断其符号，从而确定角C是钝角、锐角、直角. 3．（22-23高二上·陕西渭南·阶段练习）在中，若，则A=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求角即可. 【详解】可整理为，所以，又，所以. 故选：B. 题型二：余弦定理解三角形 4．（24-25高一下·河北）在中，，则（    ） A．5 B．3或5 C．4 D．2或4 【答案】B 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，得， 即，即， 解得或5， 经检验，均满足题意. 故选：B. 5．（24-25高一上·云南昆明·期末）在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理计算角的余弦值，再结合角的范围即可求角. 【详解】， 所以，且， 所以. 故选：B. 6．（23-24高一下·河南洛阳·期中）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用二倍角余弦公式求解，再利用余弦定理转化求解即可. 【详解】因为，所以， 又，， 所以， 所以. 故选：D 题型三：余弦定理边角互化判断三角形的形状 7．（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据二倍角公式可得，即可利用余弦定理化简得求解. 【详解】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 8．（23-24高一下·吉林通化·期末）在中，角所对的边分别为，若，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，化简可得答案. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 所以为直角三角形. 故选：A. 9．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理，， 因为，所以. 故选：A 题型四：余弦定理边角互化求解 10．（2024·安徽合肥·一模）在中，内角的对边分别为，若，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】给两边同时乘以，结合余弦定理求解即可. 【详解】因为，两边同时乘以得： ，由余弦定理可得， 则，所以有， 又，所以，又因为， 所以. 故选：A 11．（22-23高二上·陕西商洛·期末）在中，内角的对边分别为.若，，且则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理表示出，利用条件变换求解即可. 【详解】因为，，且 由余弦定理知， ， 解得， 故选： 12．（2022·山西太原·二模）的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理角化边可求出结果. 【详解】因为，又因为， 所以， 所以， 所以， 所以，所以. 故选：D 题型五：余弦定理边角互化应用 13．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，、分别是、的中点，与的交点为，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据平面向量运算性质，结合平面向量线性运算的性质，由可以转化为，最后对结合余弦定理进行化简，然后应用基本不等式进行求解即可. 【详解】， ， ， ， ， ， 当且仅当时取等号，即时取等号， 故答案为： 14．（2023·辽宁朝阳·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，且，若，，则的值是 ． 【答案】2 【分析】由余弦定理求得，结合，可求得，故结合可求得，再利用余弦定理即可求得答案. 【详解】由中，可得， 由于，则，且， 由可得， 故， 故答案为：2 15．（20-21高一下·江苏泰州·期中）在中，设边所对的角为，若，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】题目考察余弦定理和基本不等式的综合应用，根据余弦定理写出之间的关系式，应用基本不等式求最大值 【详解】根据题意，在中，若，，则，即，又由，则有，即的最大值为6． 故答案为：6 题型六：余弦定理的综合应用问题 16．（24-25高一下·全国）记的内角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求的值； (2)若点在边上，且，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）根据余弦定理先求，再求，或者应用向量关系平方计算即可. 【详解】（1）如图，在中，因为，，， 所以． （2）方法一   因为点在边上，且， 所以，， 又因为， 所以在中，由余弦定理得，可得． 方法二   ， ， ， ，即． 17．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，在中，． (1)求的长； (2)已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理解方程可得； （2）由已知，问题转化为求的最大值.先根据题意得四点共圆，借助对角互补求出， 再在中利用余弦定理得边角关系，利用基本不等式可求最值. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得，，即， 化简得，解得（舍），或， 故的长为； （2）已知点D在平面内，且， 则四点共圆，， 则， 在中，由余弦定理得，， 则， ，， 解得，当且仅当时等号成立. 即的最大值为， 又，故四边形周长的最大值为. 18．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知中，，，为边上的点． (1)若，求边上的高； (2)若为的中点，且，求线段的长； (3)若平分，求线段长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用余弦定理结合作高法，利用锐角三角函数的定义求解即可. （2）利用向量中线定理求解即可. （3）利用三角形面积相等建立方程，把用三角函数合理表示，结合三角函数的有界性求解即可. 【详解】（1）如图，在中，，作高， 由余弦定理得， (负值舍去)， 所以BC边上的高为 （2）因为M是BC的中点，所以， 平方得， ， 所以(负值舍去)， （3）设， 因为AM平分，所以， 因为， 所以， 即， 整理得，因为， 所以，即线段AM长的范围是. 【高分达标】 一、单选题 19．（24-25高一下·全国）锐角中，，，则a的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据条件，利用余弦定理即可得到答案. 【详解】若a为最大边，由余弦定理可得,则，即，， 若c为最大边，由余弦定理可得,则，即，， 故. 故选：B 20．（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）是顶角为的等腰三角形，BC是底边，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理可得，结合向量数量积运算即可求解. 【详解】由题意知， ， 所以， . 故选：. 21．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）在中，内角所对各边分别为，且，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理结合给定条件得到，再依据三角形中角的范围求解即可. 【详解】因为，且由余弦定理得， 所以，解得，而在中，，则，故A正确. 故选：A． 22．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理化角为边，再通过换元转化为分式函数，变形后利用基本不等式求最值求解可得. 【详解】由余弦定理得，代入得， ， 则，即， ， 令，， 则， 当且仅当时， ，即时等号成立， 此时，，即，为等腰直角三角形时， 取到最小值. 故选：B. 23．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的长为（    ） A．9 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】设，利用已知条件得到各边的长度和的大小，代入余弦定理求解即可. 【详解】由题可知在中，，则， 不妨设，由知，则， 又因为与全等，所以， 由余弦定理可知， 解得，而，所以，所以， 故选：A 24．（23-24高一下·江苏淮安·期中）在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】由已知条件即结合余弦定理和即可得解. 【详解】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B. 25．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）在中，，，平面内一点O满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理、勾股定理可得是直角三角形，点是的外心，，再利用投影向量定义可得答案. 【详解】在中，，，由余弦定理得 ， 所以，即，是直角三角形， 又，所以点是的外心，且点是斜边的中点， 的等边三角形，且， 则向量在向量上的投影向量为 . 故选：C.    二、多选题 26．（23-24高一下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将，变形为求解. 【详解】因为， 所以， 即， 因为，所以或， 故选：AC 27．（23-24高一下·广西河池·期中）为三角形三边，满足，则三角形的形状可为（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】AD 【分析】依题意可得，即可判断. 【详解】因为， 所以， 则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：AD 28．（23-24高一下·广东湛江·期中）设的内角的对边分别为若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用余弦定理求边，再利用等腰三角形求角，即可判断. 【详解】由，得， 由，得．又，，所以． 故选:AD． 29．（23-24高一下·湖北襄阳·期中）中,,点在线段上,下列结论正确的是（） A．若是中线,则 B．若是高,则 C．若是角平分线,则 D．若,则是线段的三等分点 【答案】AC 【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题. 【详解】 A选项：由余弦定理知： 因为是中线，则 则 则 B选项： 则 则故B错误. C选项： 即 则则故C正确. D选项：在中 在中 即若是线段的三等分点，则 但不是方程的解，则选项D错误. 故选：AC. 三、填空题 30．（24-25高一下·安徽蚌埠·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，则的形状为 ． 【答案】直角三角形 【分析】应用余弦定理计算求解得出勾股定理即可判断. 【详解】  由余弦定理得，则， 所以，由此知为直角三角形． 故答案为：直角三角形 . 31．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，则 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 1 6 【分析】应用余弦值求出特殊角再求值；根据余弦定理结合基本不等式求出最大值. 【详解】根据题意，在中， 若，则，则，， 则． 若，则， 即， 又由，则有， 即的最大值为6． 故答案为：1；6. 32．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）如图，为方便市民游览市区中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知AB，AC为夹角为的公路长度均超过5千米，在两条公路AB，AC上设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米.若，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为 千米. 【答案】14 【分析】在中，利用余弦定理求出的值，再在中，结合余弦定理与基本不等式，得解. 【详解】在中，，，， 由余弦定理知，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以与之和的最大值为14． 故答案为：14 33．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，，为的中点，，为上一点，且，则 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，从而可得为中点，，再根据，可得，再由余弦定理及数量积的运算律求解即可. 【详解】解：取中点，连接，如图所示：    则有， 又因为， 所以，所以∥， 又因为为中点，所以为中点， 所以， 所以， 又因为为的中点，， 所以， 平方，得， 即， 解得， 在中，由余弦定理可得：， 所以， 在中，由余弦定理可得：， 将两边平方， 得， 所以. 故答案为： 34．（23-24高一下·河南南阳·期中）在中，为边上的任一点，若，，则 . 【答案】/ 【分析】化简已知等式可得，结合余弦定理可得，可求，从而利用同角三角函数基本关系式即可求解的值. 【详解】设的内角，，的对边分别为，，，    因为，所以， 又由余弦定理可得， 所以，可得， 可得，即，即， 所以由余弦定理，可得， 所以. 故答案为： 35．（23-24高一下·河北保定·期中）已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且BC边上的高为a，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先利用余弦定理求得，和的关系式，继而根据三角形面积公式求得，进而表示出，然后利用基本不等式求得的最小值，根据的表达式求得其最大值． 【详解】由余弦定理得，， 由面积公式， ， ，， ，即， 又，当且仅当时取等号， 的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题 36．（24-25高一下·云南文山·阶段练习）已知在中，，，且． (1)求的值； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式可求出的值，利用同角三角函数的基本关系可求出、的值，再利用结合两角和的余弦公式可求得的值； （2）利用平面向量数量的定义结合可求出、的长，再利用余弦定理可求得的长度. 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 所以． （2）因为， 又因为， 所以，所以，． 由余弦定理可得． 37．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，． (1)求a的值； (2)过点C作，且，若求λ的值，并求此时的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）用表示，根据列式运算求出，进而求出. 【详解】（1）在中，由余弦定理，得， . （2），， 又，则， ， ，解得， ， . 38．（24-25高一下·福建福州·阶段练习）在中，，，分别是角，，所对的边，且满足. (1)求角的大小； (2)设向量，向量，且，判断的形状. 【答案】(1) (2)是以为直角的直角三角形. 【分析】（1）用余弦定理可求角； （2）根据向量平行的结论，可求角，进而判断的形状. 【详解】（1）由余弦定理：， 又为三角形内角，所以 （2）由（1）可得：， 因为，所以或（因为，不成立，故舍去）. 所以，所以. 所以是以为直角的直角三角形. 39．（23-24高一下·山东青岛·期末）记的内角，，对边分别为，，，已知，，边上的中线． (1)求； (2)求； (3)若，分别为边，上的动点，现沿线段折叠三角形，使顶点恰好落在边上点，求长度最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量中线定理建立方程求解参数即可. （2）先用余弦定理求出，再利用正弦定理求解即可. （3）利用折叠性质结合正弦定理将所求边长表示为三角函数，再结合三角函数有界性求解即可. 【详解】（1） 化简得：，， （2）在中，由余弦定理得： ，（负根舍去）， 由正弦定理得：，解得：， 或(舍去) （3）连接，则为线段的垂直平分线 ，设，则， 设，在中，由正弦定理得：， ，最大时即为的补角， 而，所以， ，， 长度最小值. 40．（23-24高一下·陕西西安·期中）设的内角，，的对边分别为，，，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）由（1）知，从而得到，再由三角恒等变换公式化简得到，结合的取值范围，计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得， 又，所以，即； （2）由（1）知， 因为，所以， 所， 所以， 所以， 即，所以， ∵，所以，∴或， 即或，∴或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$