期末复习(2) 勾股定理-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（人教版 2012）

1 '.AC-ED.·△BCE为等边三角形...BC-CE. BCE-60°$: DCB=30”$.' DCE=90*.在Rt△DCE中.DC+CE=DE. /1 '.DC+BC-AC,即四边形ABCD是勾股四边形 期末复习(三) 平行四边形 复习自测 【例1】证明:'四边形ABCD是平行四边形,.AB/CD..'.乙ABE 1. B 2. D 3. D 4. A 5. B 6. C 7. B 8. C 9. 1(或2) =乙FCE.'OE是△ABC的中位线..'.E是BC的中点.'BE-CE. 10.- 11.22-2(答案不唯一)12.(2m+7)(2m-7) ABE-乙FCE. BE-CE, 在△ABE和△FCE中, .△ABE△FCE 13.③ 1/BEA-/CEF: 14.解:(1)原式-5××、2-10.(2)原式-(63-3+4v3) (ASA).'.AB=CF.又'AB/CF...四边形ABFC是平行四边形。 【例2】解:(1)证明:'△ABC和入DEF是两个边长为10cm的等 +2-28/+2/-1. 边三角形...AC-DF. ACD- FDE-60”。..AC//DF.'.四边形 ADFC是平行四边形.(2)①图1略,当:一3时,□ADFC是菱形,理 15.解:直角三角形的斜边长为 (3+5)+(5-③)-214(cm),直 由如下:.一3.点B与点D重合:点C与点E重合.又.△ABC和 △DEF是两个边长为10cm的等边三角形,..AD=DF=FE-EA. 角三角形的周长为(3+5)+(5-③)+214-(10+214)m,直 .ADFC是菱形,②可能.图2略,ADFC是矩形..DAC 角三角形的面积为-×(/3+5)x(5-③)-11(cm}). 90*.又· ACD-60” ADC-30DC-2AC-20 cm,AD- 10./3cm.*点B与点E重合,1-(3+10)-1-13(s).$mnrc=AD 16.解;1<12.4<1<5.2<1-2<3. ·AC=103×10=1003(cm*). 'a-26-V19-4. (4+2a- (1-34+4)+2x2-1} 变式练 1.证明:·四边形ABCD是平行四边形.'.AB/CD,AB-CD,AD- BC.E-DCE..AE+CD-AD..AE+AB-BE-BC.. F BCE./DCF/BCF.ICE平分/BCD 17.解:(1)AP-十16,DP-干4.(2)存在最小值.作点A关 2.解:(1)证明:·四边形ABCD是矩形...AD//BC.乙ADC-C 于线段BC的对称点A',连接A'D,交线段BC于点P,过点A作 乙ADC..ADE-CDE.'AD/BC.乙ADE-DEC. 90°.PEF/DC.*.四边形EFDC为平行四边形.'·DE平分 A'EIDC于点E,连接AP'AP-A'P.'k-AP+DP-A'P十 乙CDE一乙DEC.*CD-CE.:.平行四边形EFDC是菱形.又: DP-A'D-AE+DE-4+-52-21 C-90”,.菱形EFDC是正方形.(2)'四边形EFDC是正方形, 期末复习(二)勾股定理 ED=2v2,.CE=CD-2.BC-BE+EC=1+2=3.'在 【例1】证明:连接BD,过点B作DE边上的高BF,垂足为F,则BF Rt△BCD中,BD-/BC+CD=13. -b-a..: Ssxasxa=S+Sue+S-ab-+1+-ab. 复习自测 1.C 2.D 3.A 4.A 5.C 6.A 7. B 8. B 9. B 10. C 11.120 12.6 13.16 14.60 15.2 16.证明:.BE1AC.DF AC... BEC= DFA-90在△BCE -ab+-6+-ab--ab+-+-a(b-a)a+-. BE-DF. 和△DAF中,乙BEC-乙DFA.i.△BCEs2△DAF(SAS)..BC 【例2】解:(1)根据勾股定理,得AB-3②,BC-34.CD-34 1CE-AF. AD-52...四边形ABCD的周长为8v②+234.(2)证明:连接 =AD.BCE= DAF...BC//AD...四边形ABCD是平行四 BD.·BC-34.CD-34.DB-68.*BC+CD-BD. 边形. 17.证明:'四边形ABCD是平行四边形.'.AD/BC,AD=BC.. △BCD是直角三角形,即/BCD-90”。 【例3】 解:作点B关于直线MN的对称点B',连接AB交A:B.于 EDO= FBO.:EF为BD的垂直平分线.'BO=DO.EF 点P,则AP+BP-AP十PB-AB,易知点P即为到A,B距离之和 EDO-/FBO. BD.在△DEO和△BFO中, DO-BO. .△DEO 最短的点,过点A作AE1BB'于点E,则AE-A. B.=8km,BE= 1/EOD-/FOB. AA+BB:-2+4-6(km).由勾股定理,得AB'-AE+EBT- ABFO(ASA)...OE-OF..四边形EBFD是平行四边形,又; +=10(km),即AP+BP-AB'-10km.答:出口P到A,B两$$ EF BD。..平行四边形EBFD是菱形. 村庄的距离之和最短是10km. 18.解:(1)证明;'四边形ABCD是菱形,cOB-OD..E是AD的 【例4】1.5 中点,.'.OE是△ABD的中位线...OE//AB.'OG/EF,',四边 变式训练 形OEFG是平行四边形.'EF1AB.'.乙EFG-90{。'平行四边 1.①③④ 形OEFG是矩形.(2)9.8 2.解:(1)根据题意,得△AGD△CPD,..GDA-乙PDC.又: 19.解:(1)证明:·四边形ABCD为正方形..'.AB-AD,AB/CD.又 ADC-90”.GDP-90”.又'GD=PD-2.PG-22.(2) .'MF//AD..'四边形AMFD为矩形...AD=MF..'AB=FM . MFN=乙BAE-90{。又.MN为BE的垂直平分线。* 'AG-CP-3.AP-1.PG=2.AP+P[G=AG$'△APG FMN+ BMO- BMO+ ABE-90”:FMN- ABE 为直角三角形,乙APG-90”,由(1)得,△PGD为等腰直角三角形, 乙BAE- MFN. 在△ABE和△FMN中, AB-FM. GPD-45*$.. /APD- APG+ /GPD-135$。 .△ABE△FMN 3.解:过点C作CD1AB于点D..BC-400米,AC-300米,ACB ABE- FMN. 一90”.'.根据勾股定理,得AB-500米...-AB·CD一-BC· (ASA).(2)连接ME..'MN为BE的垂直平分线..'.BM一EM. 设BM-ME-x.'AM-8-z.在Rt△AME中,ME-AM+ AC...CD-240米.'240<250...有危脸.'.AB段公路需要暂时 AF",即乙-(8-x)“+6”,解得x-25..BM-25.AM-7.: 封锁。 4.15 AB-8,AE-6.'BE-VAB+AE-10.'S-AB·AE 复习自测 -AM·AE+BE·MO.x8X6-xx6+x 1.B 2. D 3.C 4.C 5.C 6. B 7.C 8.A 9. 90” 10.45 11.(8+2③)12.1028 10MO,解得MO-15..△ABE2△FMN,.MN-BE-10. ON-MN-MO-25. 13.解:根据题意,得乙ACB-90{},在Rt△ABC中,根据勾股定理,得 AB-AC+BC-800 +1500-1700(米).1700-50-34 期末复习(四)一次函数 (分)答;大约34分钟后,欢欢才能达到山顶. 【例1】 14.解;.'ABC是等边三角形... B- ACB-60.DE/AB. C 【例2】 EDC- B-60”..△EDC是等边三角形。.DE-DC-2.在 3 【例3】解:(1)y-0.8x(x0),yz- Rt△DEF中,' DEF-90”,乙EDF-60”,DE-2.乙F-30”; (x(0r<2000). 10.7r+600(x2000). DF-2DE-4.:EF- DF-DE-4-2-23. (2)当0<x<2000时,0.8xx,到甲商店购买省钱.当x2000时, 15.解:(1)正方形,矩形.(2)证明:①:△ABC△DBE...BC-BE 著0.8r<0.7x+600,则x<6000;若0.8x0.7x+600,则x :CBE-60”,.'.△BCE是等边三角形.②:△ABC【2△DBE. 6000;若0.8x-0.7z+600,则x=6000...当购买金题按题价小干 44 BJ八下:参考答案期末复习(二) 勾股定理 01 知识结构图 【解答】 公式:a&+b- 变式:--b-- 如果三角形的三边长a,b.c ##-b:b-e-a: 满风+”,那么这个三 -V 角形是直角三角形 互逆定理 勾股定理 勾股定理的道定理 直角三角形边 长的数树关系 点角三角形的判定 02 重难点突破 重难点1 勾股定理的证明 【例1】 勾股定理神秘而美妙,它的证法多 种多样,其巧妙各有不同,其中“而积法”给了小 法指 聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三 勾股定理的证明是用面积法证明恒等 角形按图1或图2的方式摆放时,都可以用“面 式,通过不同的方式表示同一个图形的 积法”来证明勾股定理,下面是小聪利用图1证 4面积. 明勾股定理的过程: 将两个全等的直角三角形按图1所示的方 变式训练 式摆放,其中 DAB-90{}求证:a^{}十一$ ^*}。 1.课堂上,数学老师要求学生设计图形来证明 证明:连接DB,过点D作BC边上的高 勾股定理,同学们经过讨论:给出了四种图 DF,垂足为F,则DF一EC-b一a. 形,你认为能用来证明勾股定理的图形有 .SmApca-SAco+SAc= .(填序号) _. {# 又'SACB -S△ADo+S△c= 1 2(-a). .?十b-c2。 ④ 重难点2 勾股定理及其逆定理 【例2】如图,每个小正方形的边长都为1. (1)求四边形ABCD的周长. 图1 图2 (2)求证:BCD-90*。 【思路点拨】 请参照上述证法,利用图2完成下面的证明 (1)利用勾股定理求出四边 将两个全等的直角三角形按图2所示的方 形的各边长;(2)求出八BCD的三边长,利用勾 式摆放,其中 /DAB-90^{},求证:a{}+^=c^。$ 股定理的逆定理证明 122 名校课堂·数学·八年下·R 【解答】 短距离是多少千来? B 【思路点拨】运用“两点之间,线段最短” 先确定出点P在AB 上的位置,再利用勾股定 理求出AP十BP的长. 【解答】 C __ BA 运指写 正方形网格中的两个格点之间的距离 可以用勾股定理求出,勾股定理的逆定理是 证明一个角等于90{}的一种思路,本题的第 (2)问还可以通过两个三角形全等来证明, 运桓 )变式训练 . 2.如图,在正方形纸片ABCD上有一点P, 解这类题的关键在于运用几何知识正 PA=1,PD=2,PC=3.现将△PCD剪下,并 确找到符合条件的点的位置,会构造直角三 将它拼到如图所示的位置(C与A重合,P与 角形,利用勾股定理把三角形中有一个直角 G重合,D与D重合).求; 的“形”的特征,转化为三边“数”的关系,因 (1)线段PG的长. 1此它是数形结合的一个典范 (2)APD的度数 式训练 3.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开 发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上 的停靠站A的距离为300米,与公路上另一 停靠站B的距离为400米,且CA |CB,如 图,为了安全起见,爆破点C周围半径250米 范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB 段是否有危险?是否需要暂时封锁?请通过 计算进行说明. 重难点3 勾股定理在实际生活中的应用 【例3】如图,高速公路的一侧有A,B两 个村庄,它们到高速公路所在直线MN的距离 分别为AA =2km,BB =4 km,A B -8 km. 现要在高速公路上A.B 之间设一个出口P,使 A.B两个村庄到P的距离之和最短,则这个最 4名123 n。”. ## 思想方法 方程思想 【例4】如图,在 Rt△ABC 中,B =90{, AB-3,BC=4.将△ABC折 叠,使点B恰好落在边AC 上,与点B重合,AE为折痕,则EB的长为 第4题图 第5题图 运鹤 5. 新考向数学文化如图,“赵爽弦图”是吴国 方程思想常在勾股定理与折叠问题中 的赵爽创制的.以直角三角形的斜边为边长得 出现,利用折叠的性质得到边、角相等,进而 到一个正方形,该正方形由4个全等的直角三 把条件转化到一个直角三角形中,利用勾股 角形再加上中间的小正方形组成,若AEB= 4定理构建方程,从而求出线段长度 90{*.AB-13cm.BE-5cm,则阴影部分的面 D变式练 积是 - A.169 cm{} 4.如图,在长方形ABCD中, B. 25cm{} C.49 cm{} BC=6,CD-3,将△BCD沿 D.64 cm^{} 对角线BD翻折,点C落在 6.如图,数轴上点A,B分别对应数1,2.过点B 点C'处,BC交AD于点E, 作PQ AB,以点B为圆心、AB的长为半径 则线段DE的长为 画弥,交PQ于点C,以原点O为圆心、OC的 03复习自测 长为半径画张,交数轴于点M,则点M对应 的数是 . 一、选择题(每小题5分,共40分) A.③ B.5 C.6 D./7 1.在Rt△ABC中,C-90*,AB-8,AC-5,则 BC的长是 ( _~ A.3 B. 39 C.7 D.89 2.小新将一根铁丝剪成九段,分成三组: # 图 ①2 cm,3 cm,4 cm;②3 cm,4 cm,5 cm; 图2 第6题图 第7题图 ③9cm,40cm,41cm.分别以每组铁丝围成 ( ) 三角形,能构成直角三角形的有 7.如图,图1是由边长为1的六个小正方形组成 A.② B.①② 的图形,它可以围成图2所示的正方体,则图 C.①③ D.②③ 1中正方形的顶点A,B在图2围成的正方体 中的距离是 _~ 3.下列各命题的逆命题成立的是 _~ C./2 B.1 A.0 D.3 A.全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等,那么它们的绝对值相等 8.如图,在Rt△ABC中,C=90{*},分别以各边 C.两直线平行,同位角相等 为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上称 D. 如果两个角都是45^{},那么这两个角相等 为“希波克拉底月牙”.当AC一4,BC一2时, . 阴影部分的面积为 4.如图所示的是办公桌摆件示意图,四边形 - ABCD是矩形,若对角线AC EO,垂足是 A.4 B.4r E,AB-15 cm.BC-8 cm,AE-25 cm,则 CE- C.8r . ) D.9cm A.6cm B. 7cm C.8cm D.8 124 名位课·数·八年晚下·R 二、填空题(每小题5分,共20分) 14.(14分)如图,在等边三角形ABC中,点D,E 9.如果三角形的三边长分别为/②,,2,那么这 分别在边BC,AC上.若CD=2,过点D作 个三角形的最大角的度数为. DE/AB,过点E作EF IDE,交BC的延长 10.小红同学先朝正东方向行进了4km,再朝正 线于点F,求EF的长. 北方向行进了8km,此时小红离出发点的距 离是 km. 11.如图,在Rt△ABC中,ACB-90{},A 30*,BC=2cm.把△ABC沿AB方向平移 1cm,得到△AB'C',连接CC',则四边形 ABCC的周长为 cm. B& 15.(16分)给出定义:若一个四边形中存在相邻 第11题图 第12题图 两边的平方和等于一条对角线的平方,则称 12.将三角板置于两墙之间(如图),ACB 该四边形为勾股四边形, 90*.AC-BC,从三角板的刻度可知AB= (1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾 20cm,小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度 股四边形的名称. (每块砖的厚度相等)为 cm. (2)如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向 三、解答题(共40分) 旋转60{得到△DBE,连接AD,DC,CE. 13.(10分)如图,已知某山的高度AC为800 已知 DCB-30{*,求证: 米,在山上A处与山下B处各建一个索道 ①△BCE是等边三角形 口,且BC-1500米,欢欢从山下索道口坐缆 ②DC*+BC*=AC,即四边形ABCD是 车到山顶,已知缆车每分钟走50米,那么大 勾股四边形. 约多少分钟后,欢欢才能达到山顶 C 名二125 n。”.