期末复习(4) 因式分解-【名校课堂】2024-2025学年八年级下册数学同步课时训练（北师大版 2012）

期末复习（四） 因式分解 01知识结构图 变式训练 整 因 2.如图，用1张边长为a的正方形纸片，2张边 因式分解的意义 式互递式 长为b的正方形纸片，3张长、宽分别为b,a 提公因式法 乘 分 因式分解的方法 的长方形纸片拼成新的长方形（无缝隙），通 公式法 法 解 过不同的方法计算面积，探求相应的等式. 02重难点突破 重难点1因式分解 【例1】因式分解： (1)4.x2-9= (1)你得到的等式是 (2)25.x2-30x+9= (3)x(x+2)-x-2= (2)借助拼图的方法，将多项式a2+5ab+4b (4)(2024·东营)2a3一8a= 因式分解. (5)3a.x2+6axy+3ay2= >变式训练 1.因式分解： (1)12a2-362= (2)-a3+2a2-a= (3)(2023·绥化)x2+xy-x2-yz D重难点2因式分解的应用 【例2】新考向开放性问题在日常生活 。思想方法整体思想 中，取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分 【例3】因式分解： 解法”产生的密码，方便记忆.原理是：如对于多 (1)(x2+9)2-36.x. 项式x一y,因式分解的结果是(x一y)(x+ (2)4(.x+y)2-4(x+y- y)(x2+y2).若取x=9,y=9时，则各个因式的 【解答】 值是：x一y=0,x十y=18,x2十y2=162,于是就 可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多 项式4x2一xy,取x=10,y=10时，用上述方法产 生的密码是 (写 出一个即可). 【思路点拨】先将多项式4x一xy2因式 分解，根据题意即可写出相应的密码. 名校置 nen。137 03复习自测 9.小明在抄写因式分解的题目时，不小心漏抄 一、选择题（每小题3分，共30分） 了x的指数，他抄在作业本上的式子是x☐ 1.下列各多项式：①x2一y2:②x十2：③x2十 4y(“☐”表示漏抄的指数)，他只知道该指数 4x;④.x2一10.x+25,其中能直接运用公式法 为不大于10的正整数，并且该题能利用平方 因式分解的个数是 差公式因式分解，则这个指数的取值的可能 A.1 B.2 C.3 D.4 情况最多有 2.将多项式a.xy一a2x因式分解时，应提取的公 A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 因式是 ( 10.若三角形的三边长u,b,c满足(a一c)2十 A.a B.a2 C.ay D.ax (a一c)b=0,则这个三角形一定是() 3.下列分解因式正确的是 A.等腰三角形 B.直角三角形 A.x2-9=(x+3)(x-3) C.等边三角形 D.形状不能确定 B.2.xy+4.x=2(xy+2x) 二、填空题（每小题3分，共15分） C.x2-2.x-1=(x-1)9 11.(2024·浙江)因式分解：a2-7a= D.x2+y2=(x+y) 12.若4x-3是多项式4x2+5.x+a的一个因 4.计算：20252-20242= r 式，则a= A.1 B.206 C.4048 D.4049 13.因式分解：b--12= 5.若x2+(m-3)x+4能用完全平方公式进行 因式分解，则常数m的值为 14.(2023·济宁)已知实数m满足m2一m一1= A.1或5B.7或-1C.5 D.7 0,则2m3一3m2-m十9= 6.若a,b互为相反数，则a2十ab一2=( 15.已知22一1可以被10和20之间某两个整 A.2 B.0 C.-2 D.-1 数整除，则这两个数是 7.对于实数a,b,现用“☆”定义新运算：4☆b 三、解答题（共55分） a3一ab,那么将多项式a☆4因式分解，其结果 16.(12分)因式分解： 为 ( (1)m2-6mn+9n2 A.a(a+2)(a-2) B.a(a+4)(a-4) C.(a+4)(a-4) D.a(a2+4) 8.如图所示，在边长为a的正方形中剪去一个边 长为b的小正方形(a>b),将余下部分拼成一 个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系， (2)4.x2-16y. 可以得到一个关于a,b的恒等式为() (3)(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y). A.(a-b)*=a-2ab+b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.a2-b=(a+b)(a-b) D.a2+ab=a(a+b) 138名经·数子1…八年质下+ 17.(8分)利用因式分解计算： 请仿照上述方法，把下列多项式因式分解： -号×19-号×15. (1)x2-8.x+7. (2)x+7x-18. (2)-101×190+1012+952. 20.(13分)【知识再现】在研究平方差公式时， 我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长 为b的小正方形(a>b),如图1，把余下的阴 影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据 图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一 18.(10分)一种混凝土排水管如图所示，其形状 个关于a,b的等式： 为空心的圆柱，它的内径d=68cm,外径 【知识迁移】在棱长为a的正方体上挖去 D=88cm,长h=200cm,浇制一节这样的排 一个棱长为b(a>b)的小正方体，如图3，把 水管需要多少立方米的混凝土（结果保 余下的部分再切割拼成一个几何体（如图4）. 留π)？ 图1 图2 图3 图4 图3中的几何体的体积为 图4中的几何体的体积为 根据它们的体积关系得到关于a,b的等式： (结果写 成整式的积的形式). 19.(12分)我们知道因式分解与整式乘法是互 【知识运用】 逆的关系，那么逆用乘法公式(x+a)(x+ (1)因式分解：8.x3-1. b)=x2+(a+b)x+ab,+(a+b)x+ (2)已知a-b=4,ab=3,求a3-b的值. ab=(x十a)(x十b)是否可以用于因式分解 呢？当然可以，而且也很简单.例如： (1)x2+5x+6-x2+(3+2)x+3×2 =(x+3)(x+2): (2).x2-5.x-6=x2+(-6+1)x+(-6)×1 =(x-6)(x+1). 名校 月139由折叠的性质知.AE-AC-6.DE-CD. AED- C-90。.$BE= 4.解:(1)设A种品牌足球的单价是r元,B种品牌足球的单价是y AB-AE-10-6-4.在Rt△BDE中,由勾股定理,得DE+BF BD,即CD+4-(8一CD),解得CD-3.在Rt△ACD中.由勾股定 理,得AC+CD-AD,即AD- +3-35. 球的单价是50元,B种品碑足球的单价是80元.(2)设购买n个B 【例4】证明:(1).AD平分乙CAB.乙ACB=90”,DE1AB..DE 种品辞的足球,则响买(50一m)个A种品牌的足球,根据题意,得 DC.(2)在Rt△ACD和Rt△AED中.DC=DE. AD-AD..Rt△ACDRt (50-4)(50-n)+80×0.82750.解得24m25.又'n为 _2. △AED(HL).AC-AE又'DC-DE..点A.D都在CE的垂直平 正整数.^,n可取24,25.^.共有2种购买方案:①购买26个A种 分线上...直线AD是CE的垂直平分线,即ADICE,且CH=EH. 品牌的足球,24个B种品牌的足球,此时总费用为(50一4)×26+ 变式训练 种品牌的足球,此时总费用为(50-4)×25+80×0.8×25-2750 80×0.8×24-2732(元);②购买25个A种品牌的足球.25个B AC-AC. CE-CF,.△AEC 1.证明:连接AC.在△AEC和△AFC中, (元),2732<2750.,为了节约资全,学校应选择购买方案①,即 1AF-AF. 购买26个A种品牌的足球,24个B种品牌的足球。 △AFC(SSS)..CAE一CAF..AC是BAD的平分线.又: 1.B 2.B 3.C 复习自测 B= D-90”..CB=CD. 4.C 5.C 6. B 7.B 8.B 9.2.-3 6 10.3 2.解:(1)AB-AC C-ABC-36-BD-CDAB-AC ADIBC乙ADB-90”。.乙BAD=90”-36-54(2)证明. 14.解;去分母,得3(3r-2)5(2r+1)-15.去括号,得9r-610 BE平分 ABC..ABE-CBE--乙ABC..EF//BC。 一15.移项,合并同类项,得一x一4.系数化为1.得x4.此 FEB-CBEFBE- FEB..FB-FE 不等式的解集在数轴上表示如图: 3. A-C -1012345 1A0. -111 15.解: 4.证明:在△AOB和△COD中. ..△AOB△COD 15 -(--1)(r十5)-r(r+1)-3r-5.根据题 /AOB-/COD. (ASA).OB=OD...点O在线段BD的垂直平分线上.'BE-DE. 心.点E在线段BD的垂直平分线上.*OE垂直平分线段BD. 复习自测 r3.则不等式组的解集是一1<x<3.,整数-的值是0.1.2 1.A 2.A 3.A 4.B 5.C 6.A 7.C 8. A 9.40* 10.8 16.解:(1)设A.B两款纪念品的进货单价分别为i元,y元.根据题意. 11.90* 12.70* 13.1或7 14.证明:AB=AC B= CDE AB.DF1BCDEA DFC-90:D为AC的中点.DA-DC.又'DE-DF. 别为80元和60元.(2)设购买o个B款纪念晶,则购买(70一n)个 '.R△ADER△CDF(HL).'.A-C.A= B-C. A款纪念品,根据题意,得60r+80(70-期)5000,解得n30.; '.△ABC是等边三角形. n为整数,,.用的最小值为30.答;至少应购买B款纪念品30个。 15.解:(1)根据题意,得AC-4+2-25.cD-②+-5. 17.解:(1)方案A1y=5.8r;方案Bty-5r十2000.(2)由题意,得 5.8r<5x+2000,解得r2500.当响买量x的取值范围为 AD=+A=5.AC+CD=(25)+5)=25=AD. . 2000 z2500时,选用方案A比方案B付款少.(3)他应选择 AcD-90”.(2)Ss-S+SA-4×4+x 方案B. 5×25-8+5-13 期末复习(三)图形的平移与旋转 16.解;(1)证明;.AB的垂直平分线MN交AC于点D...DB-DA 【例1】 重难点突破 '.△ABD是等三角形.(2)*,DB-DA,AB-AC.乙A-40”. (1,1) 解:(12 【例2】 ABD- A-40,ABC-C-(180*-40)-2-70。. 120(2)由旋转,得OA-OD.乙AOD- ABD-70--40 -30”。(3)AB的垂直平分 乙DBC-ABC一 120△AOC是等边三角形.'AOC-60'.(OD=AOD 线MN交AB于点E,AE-6.',AB-2AE-12.·△CBD的周长 乙AOC-60.COD-AOC.又:OA-OD.OC1AD. 乙AEO-90. 为20..BD+CD+BC=20...AC+BC-20.*.△ABC的周长为 【例3】 AB+AC+BC-12+20-32 △5 17.解:(1)证明:过点O作ODIAB于点D.OE1AC于点E.则OD OE.ODBOF90”又OB(.Rt△B0DR△(OE 变式练 1.(-1,4) (H)乙B=乙C.AB-AC(2)证明:过点O作ODIAB干点 2.D 3.D 4.C D.OE1AC于点E,则OD-OE,/ODB- OEC-90”又,OB 1.D 2.A 3. B 4.C 5. D 6. B 7.C 8. C 9. 72 10. 12 复习自测 OC.R△BODR△COE(H.DBOECOOB=OC. .OBC-OCB.DBO十OBC-ECOOCB,即 ABC 11.(36.0)12. ACB..AB一AC(3)不一定成立.理由:如图3.过点0作OD 1AB于点D.OE1AC干点E.则OD-OE.乙ODB一OEC-90” 13.解;由题意,得乙B-乙ACB-45”,由平移性质,知乙PB.C-/B 又'OB=OC.Rt△BODR△COE(HL).DBO ECO" 45 PBC-P[CB -45°.PB -PC.BPC-90. OB-OCOBC-OCB*.DBC 乙ECB.'乙ABC ,$=2.即PB-2..PB-PC=2.'.BC= 乙ACB.'.AB=AC.如图4.可知ABAC'当点O在△ABC的外 部时,AB一AC不一定成立. BP+PC-2BB-BC-BC--2-. 14.解(1)图中△ADC和△EDB成中心对称.(2)△ADC和 EDB成中心对称,S一4.S一4.DE一AD.S 二Sm-4..S -SS =8.(3)·△ADC和△EDB 成中心对称.AC-EB-4.在△ABE中,AB-BE之AE<AB十 BE..2<AE<10.即2<2AD10.1<AD<5. 15.解:(1)(-2.3)图略,△A.BC即为所求.(2)(一2.-4) 图 0 0 略,△A.B.C.即为所求(3)(4.5)或(0,3)或(2.-1) 团3 16.解:(1)△APB图略.(2)△APP为等边三角形.理由如下:连接 期末复习(二)一元一次不等式与一元一次不等式组 PP.由旋转的性质,得AP一AP.乙PAP一60”,.△APP为等 重难点突破 边三角形.(3)△BPP为直角三角形,理由如下:'△APC绕点A 【例1】解:解不等式①,得1.解不等式②,得x一7.^.不等式 时针旋转60{后得到△APBBP-PC-5..△APP为等 组的解集为一7之71.解集在数轴上表示如图。 边三角形'PP=AP=3.又'PB-4.'.PP+PB=BP . 乙BPP-90*,即△BP。P为直角三角形。(4)150” 期末复习(四) 效 因式分解 t-2 重难点突破 【例1】(1)(2r+3)(2--3)(2)(5--3)*(3)(r+2)(r-1) 得0.9r+10-0.95c+2.5,解得x-150.故当x-150时,小红在甲。 (4)2a(a+2)(a-2)(5)3a(r+y) 乙两商场的实际花费相同.(3)由0.9r+10<0.95x+2.5.解得;> 【例2】 【例3】解(1)原式-(r+3)(1-3)”.(2)原式-(2+2y-1)。 103010或301010成101030 150.由0.9r+100.95r+2.5.解得x150..当小红累计购物超过 150元时,在甲商场的实际花费少;当小红累计购物超过100元而不 变式练 到150元时,在乙商场的实际花费少。 1.(1)3(2a+b(2a-b)(2)-ata-1) ()(r十)(-) 变式训练 2.解:(1)(a+2)(a+b)-a+3ab+2 1.2<3 2.m2 (2)类似地,可以将面积为 +5a十4的长方形看作是由1张边长为a的正方形纸片,4张 3.解:去分母,得2(z+1)-63(2-t).去括号,得2r+2-6 6- 3r.移项、合并回类项,得5.10.系数化为1.得12.此不等式的 边长为6的正方形纸片,5张长,宽分别为,a的长方形纸片拼成的 解集在数轴上表示如图: (4). 新长方形,其长和宽分别为a十4和a十b,a十5ab+4一(a十b) 复习自渊 1.B 2.D 3.A 4. D 5. B 6. C 7.A 8. C 9. D 10.A 52 1入下,参考答室 11.a(-7) 12.-613.(+2)(-2)(+3) 14.8 15.17,15 AD=AM.BM=BN.*ABCD的周长为BA+AD+BC+CD= 16.解;(1)原式-(m-3n)。(2)原式-4(r+2y)(c-2y)(3)原 式-2{-). (BA+AM)+(BC+CN)-BM+BN-8+8-16. 【例5】 18.解n(号)-x()-n(号)()]-n号+。) 17.解:(1)原式--26.(2)原式-36 【例6】 解:,四边形ABCD是平行四边形..Swo=25.AB ##200(8×(-20044+3) ·DE-2XAC·BF.$.BF-AB·DE 5X3 AC 10-号 变式练 x$44-34)-=×200×78t10-156 000=(em)-0.156(m).答; 1.解:(1)证明;·四边形ABCD是平行四边形..AB-CD,AD- 浇制一节这样的排水管需要0.156tm的混凝土. 10铅的)。 BC. B= D'AF-CE'$AD-AF=BC-CE,即DF=BE在 19.解:(1)原式一(r AB-CD. △ABE和△CDF中. 2BD..△ABE△CDF(SAS). 【知识迁移】-a(a-b)+ab(a-b+(a-b)-b-(a BE-DF. 一b)(0:+ō士) 【知识运用】(1)原式-(2)-1-(2-1)(4+2+1). (2)添加条件:BE-CE. 25350&* 6.解:DG=BH.证明如下:连接DE,BF.'点E.F分别在CABCD ()-b-4ab-3a+-(a-)+2ab-16+6-22. AB 5 14m或 16cr -(a-b(ī+ab+)-4x(22+3-l 的边BC.cD上..So-S.S-Sx..S= 期末复习(五) 分式与分式方程 重难点突破 S..'DG IAE.BH AF.'. S n-AE·DG.S= 【例1】解:原式-2a+4.a-10,a-20.a去1,2..a-3.原 3+4-64-10 -AF·BH,即AE·DG-AF·BH.'AE-AF.DG-BH. 【例2】解;方程两边同乘r(r一1),得3十 一r-r”,解得文-3.检 验;当r-3时,x(r-1)学0.,原方程的解为x-3. 复习自测 1.B 2. B 3.A 4.C 5.C 6. B 7. B 8. B 9. B 10. D 11.36 【例3】解:设汽车原来的平均速度为rkm/h.依题意,得420 12.AD-BC(答案不唯一)13.4V13 14. 15.48cm或(32+ 813)cm 意,答:汽车原来的平均速度是70km/h. 16.解;设它的边数是n,则(t-2)·180”-360 -1260 ,解得n-11. 变式训练 答:它的边数为11. 1.解:原式-y.当r-v2+1,-v2时,原式-2+1-2-1. 17.证明;·四边形ABCD是平行四边形,A.AD/BC,AD-BC. 2.解:方程两边同乘2(2x-1),得2-2r 1-3.解得r-3.检验:当 '. ADB= CBD.·BF=DE.'BF+BD=DE+BD,即DF AD-CB. r一3时,2(2--1)0.1-3是原分式方程的解。 BE.在△ADF和△CBE中, ADF-/CBE...△ADF 3.解:(1)设乙工程队每天修路rm.则甲工程队每天修路2rm.依匙 DF-BE. △CBE(SAS)...AFD-CEB.*.AF//CE. 2: 符合题意。..2z=100.答:甲工程队每天修路100m,乙工程队每天 18.证明:(1).DE,DF是△ABC的中位线,'.DF/AC,DF= 修路50m.(2)设安排乙工程队施工m天,则安排甲工程队施工 -AC.AE-CE-AC.BD-DC.:.DF-CE.DF/CE.1.2C 3600-50m_(36-0.5m)天.依题意,得0.5ar+1.2(36-0.5m) DC-BD. 100 一乙BDF.在△CDE和△DBF中. 40.解得n32..n的最小值为32.答;至少需要安排乙工程队施 2C-BDF..△CDE 工32天. CE-DF. 复习自测 △DBF(SAS).(2)由(1)得,DF-AE.DF//AE...四边形DEAF 1.B 2.D 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.A 9.C 10.B 11.2 是平行四边形.,EF与AD交于点O..OA-OD. 12.6 13.2026 14.2 15.80 19.证明:(1)由折叠的性质可知,乙D一乙ADE.,四边形ABCD为 平行四边形,.DC/AB.D=乙ABC..乙ABC r)=1一2(r-2),解得 16.解:(1)方程两边同乘2(r一2).得2(1一 ADE r-2.检验;当x--2时,2(x-2)01--2是原分式方程 .ED/BC'.四边形BCED为平行四边形.(2)·BE平分 (2)方程两边同乘(1十1)(r-2),得(x-1)(1十1)-3= 的解. 乙ABC...ZCBE=乙EBA-乙CBA.由折叠的性质知,乙DAE (+1)(r-2),解得r-2.检验:当r-2时(r十1)(r-2)-0. &.文一2是原方程的增根,'.原方程无解。 -乙BAE-1乙DAB.·AD/BC..DAB+CBA-180”: 乙EAB+ EBA-90”'乙AEB-90”.AB-AE+BE <a<5.即a-2.3,4.当a-2或a-3时,原式没有意义,.a 周测(1.1) 4.原式-1 1.A 2.D 3. B 4. B 5.C 6.C 7.100* 18.解:设原计划每月生产智能手机文万部,则实际每月生产智能手机 (1+50%)x万部.根据题意,得300 (1+50%)-5,解得:= 300 12.解:CA-CB.B-55”.乙A- B-55'.ACB-180*- 20.经检验,r-20是原方程的解,且符合题意。..(1十50%)r X55*=70”。又?CD是△ABC的高线.'.CD平分乙ACB.” 30.答:每月实际生产智能手机30万部 ACD-乙ACB-3”.。 19.解;(1)设A种茶叶每盒的进价为x元,则B种茶叶每盒的进价为 1.4r元,依题意,得8400400010.解得1=200.经检验.1= 13.BC--AB证明:延长BC至点D.使CD-BC,连接AD.· 200是原方程的解,且符合题意...1.4r一280.答:A种茶叶每盒 是畔 乙ACB-90'.乙BAC-30”.乙ACD-90”.乙B-60”。.乙ACB 的进价为200元,B种茶叶每盒的进价为280元.(2)设第二次购 进A种茶叶ni盒,则购进B种茶叶(100一mn)盒,依题意,得(300 -200)×+(300×0.7-200)×+(400 280)×100+ AC1BD.BC-CD-BD&.BC--AB. (400×0.7-280)×100-m-5 800解得a=40.1100--60. 14.解;(1)证明:·EF//AD。.乙BAD=乙PFA.CAD-P: # AD平分BACBADCAD.PFA乙PAF 答:第二次购进A种茶叶40盒,B种茶叶60盒。 期末复习(六)平行四边形 重难点突破 【例1】解:(1)证明:'AEIBD.CF 1BD.'.AE/CF.即AM/ H一BFE.在△BEF和△CDH中. CN.又·四边形ABCD是平行四边形,*.AB/CD,即AN/CM. BE-CD. 2.四边形CMAN是平行四边形.(2)由(1)知,四边形CMAN是平行 △CDH(AAS)..BF-CH.:乙BAD-CAD..CAD- 四边形,,.CM-AN.又四边形ABCD是平行四边形..AB一CD. AF-AP..AB-PC. H..'$AC=CH..$AC=BF..AB-AF+BF,PC=AP+AC AB//CD.$DM=BN. MDE- NBF.在△MDE和△NBF中. DEM- BFN. 15.解(1)在△ABC中.'C=90”A-30”.乙B-60”。'6-2 MDE-ZNBF.△MDE△NBF(AAS).^.DE-BF-4.在 =3.0 13.由题意,得BP-(6-2)cm.BQ=1cm..△PBQ DM-BN. 过论:①当乙BOP-90时,则BP-2BQ,即6-21-21,解得/= 是等边三角形...BP=BQ,即6-21-1,解得1-2.(2)分两种情况 Rt△BNF中,由勾股定理,得BN- FN+BF-V③+4-5. 1.5:②当乙BPQ-90*时,则BQ-2BP,即72(6-21),得= 【例2】 D 【例3】 144 2.4.综上所述,当1的值为1.5或2.4时,△PBQ是直角三角形。 【例4】 解:.四边形ABCD为平行四边形,'.AD一BC,DC一AB. 周测(1.2~1.3) AB/ DC.AD/BN.'N= MDA. M= NDC."NDC= 1.A 2.D 3. B 4.C 5.B 6.A 7. B 8.C MDA.'N-NDC.M-MDA.M-NCD-CN. 53 i八下·参考答案