精品解析：山东省部分学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年高二3月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（ ） A. 9种 B. 10种 C. 19种 D. 90种 2. 现有3名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来3名同学顺序不变，不同的方法共有（ ） A. 12种 B. 20种 C. 6种 D. 8种 3. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数中，偶数的个数为（ ） A. 60 B. 52 C. 32 D. 20 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 某冷饮店有种瓶装饮品可供选择，现有位同学到店，每人购买一瓶，则恰好购买了种饮料的购买方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，那么集合中满足的元素的个数为（ ） A. 232 B. 144 C. 184 D. 252 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求函数导数正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. C. 的单调递增区间为 D. 的极大值为 11. 已知函数，下列结论中正确的有（ ） A. 是的极小值点 B. 有三个零点 C. 的极小值是 D. 函数为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有________种. 13. 已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为_______． 14. 设函数，若恒成立，求a的取值范围____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从包含甲、乙2人8人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒； （3）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （4）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； （5）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒. 16. 现有大小相同8只球，其中2只不同的红球，3只不同的白球，3只不同的黑球. （1）将这8只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？ （2）将这8只球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排列的方法？ （3）现取4只球，各种颜色的球都必须取到，共有多少种方法？(最后答案用数字作答) 17. 已知函数在处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值. 18. 已知函数． （1）已知在处取得极小值，求a的值； （2）对任意，不等式恒成立，求a取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二3月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（ ） A. 9种 B. 10种 C. 19种 D. 90种 【答案】C 【解析】 【分析】由分类加法计数原理，即可解题. 【详解】由分类加法计数原理知，不同的选法种数为. 故选 C. 2. 现有3名同学站成一排，再将甲、乙2名同学加入排列，保持原来3名同学顺序不变，不同的方法共有（ ） A. 12种 B. 20种 C. 6种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，先安排甲同学的位置，再安排乙同学的位置，最后根据分步乘法计数原理计算出总的方法数. 【详解】原来名同学站成一排，有个空位可以插入甲同学，所以甲同学有种不同的排法.  当甲同学插入后，此时包括原来名同学和甲同学一共有个人， 这个人形成了个空位，所以乙同学有种不同的排法.  故完成将甲、乙名同学加入排列这件事，分两步： 第一步甲同学有种排法，第二步乙同学有种排法， 那么根据分步乘法计数原理，不同的方法共有（种）.  故选：B. 3. 用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的三位数中，偶数的个数为（ ） A. 60 B. 52 C. 32 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】按照0否在末位分类讨论可得． 【详解】末位是0的有， 末位不是0的有：，共有20＋32＝52个． 故选：B. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 则， 故选：C. 5. 某冷饮店有种瓶装饮品可供选择，现有位同学到店，每人购买一瓶，则恰好购买了种饮料的购买方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】先指定购买的种饮料，然后要求位同学只能购买这种饮料，利用间接法结合分步计数原理可得结果. 【详解】先指定购买的种饮料，共种，要求这位同学只能购买这种饮料， 利用间接法，每位同学共有种选择，共种购买方法， 除去位同学所买的饮料都是同一种，共种情况， 由分步乘法计数原理可知，恰好购买了种饮料的购买方法种数为种. 故选：A. 6. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，然后求导求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可； 【详解】， 因为，所以， 所求的切线方程为，即． 故选：A. 7. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知在区间上恒成立，即可由定义域及不等式求得的取值范围. 【详解】函数，. 则， 因为在区间上单调递减， 则在区间上恒成立，即， 所以在区间上恒成立， 所以，解得， 故选：A. 8. 设集合，那么集合中满足的元素的个数为（ ） A. 232 B. 144 C. 184 D. 252 【答案】A 【解析】 【分析】分的值为、、进行讨论，结合组合数的性质计算即可得. 【详解】若， 则中有个为，个为或， 此时共有种； 若， 则中有个为，个为或， 此时共有种； 若， 则中有个为，个为或， 此时共有种； 即共有种不同排列， 即集合中满足的元素的个数为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求函数的导数正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数的运算法则逐个运算求解可判断其正误. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误. 故选：BC. 10. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. C. 的单调递增区间为 D. 的极大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】求导研究函数的单调性，得出极小值点为，得出的值即可. 【详解】，则， 得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则是的极小值点， 因是的极小值点，故， 此时在和上单调递增，在上单调递减， 则，极大值为. 故A、D正确，B、C错误， 故选：AD 11. 已知函数，下列结论中正确的有（ ） A. 是的极小值点 B. 有三个零点 C. 的极小值是 D. 函数为奇函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A、C，利用导数，结合极小值点定义，可得答案；对于B，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；对于D，整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案． 【详解】对于A，求导：已知函数，可得， 令，即，解得或. 当时，函数在上单调递增. 当时，，函数在上单调递减. 当时，，函数在上单调递增. x (-,-3) -3 (-3,1) 1 (1,+) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小植 单调递增 根据极小值点的定义，在左侧函数单调递减，右侧函数单调递增，所以是的极小值点，故A正确. 对于C，根据极值点的定义， 是的极小值点， .故C正确. 对于B，利用零点存在性定理： 因，， . 因，故函数在内存在一个零点； 又因，故函数在内存在一个零点； 因，故函数在内存在一个零点. 综上，可知函数存在三个零点，故B正确. 对于D，由，即. 因，而，可得，故不是奇函数，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有________种. 【答案】60 【解析】 【分析】从5人中选1人两天都参加，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，并列式计算即得. 【详解】从5人中选1人两天都参加，有种方法，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，有种方法， 所以不同安排方式共有（种）. 故答案为：60 13. 已知直线l为曲线过点的切线．则直线l的方程为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设切点为，由导数的几何意义求得切线方程，代入点坐标求出，再回代得切线方程． 【详解】∵，∴.    设直线与曲线相切于点，则直线的斜率为， ∴过点的切线方程为， 即，又点在切线上， ∴，整理得， ∴， 解得或； ∴所求的切线方程为或. 故答案为：或. 14. 设函数，若恒成立，求a的取值范围____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，对求导，对分和讨论，利用导数分析单调性，求出函数的最值即可求解. 【详解】， 由题意恒成立，则， ①当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得 ②当时，存在，不满足题意， 综上，实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒； （3）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （4）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒； （5）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒. 【答案】（1）60 （2）480 （3）180 （4）180 （5）210 【解析】 【分析】（1）有特殊要求的元素（或位置）优先考虑（2）有特殊要求的元素（或位置）优先考虑（3）元素相邻用捆绑法（4）元素不相邻用插空法（5）按甲跑第四棒和甲不跑第四棒分类 【小问1详解】 先安排甲、乙2人位置，再从出甲、乙之外的6人中选2人安排他们的位置，则方法数为 【小问2详解】 先从甲、乙2人中选一人安排其位置，再从出甲、乙之外的6人中选3人安排他们的位置，则方法数为 【小问3详解】 先把甲、乙2人看作一个元素，再从除甲、乙之外的6人中选2人和甲和乙这个整体来排序，则方法数为 【小问4详解】 从除甲、乙之外的6人中选2人排序，再让甲和乙来插空，则方法数为 【小问5详解】 第一步，从除甲、乙之外的6人中选2人 第二步，分甲跑第四棒和甲不跑第四棒 则方法数为 16. 现有大小相同的8只球，其中2只不同的红球，3只不同的白球，3只不同的黑球. （1）将这8只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？ （2）将这8只球排成一列，黑球不相邻且不排两端，有多少种排列的方法？ （3）现取4只球，各种颜色的球都必须取到，共有多少种方法？(最后答案用数字作答) 【答案】（1）432 （2）2880 （3）45 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法可求不同排列的总数. （2）利用插空法可求不同排列的总数. （3）根据有两球同色分类后可求不同排列的总数. 【小问1详解】 把相同颜色的球看成一个整体，故3种不同的颜色的排法有， 2只不同的红球的排列有，3只不同的白球的排列有，3只不同的黑球的排列有， 故不同的排列的总数为. 【小问2详解】 先把除黑球外的5只球全排列，共有种， 再把3个黑球插入上述5个球中间的4个空挡，有种， 故共有. 【小问3详解】 取4只球，若各种颜色的球都必须取到，则必有一种颜色取两个球，其余颜色各取一个， 故不同的取法总数为. 17. 已知函数在处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）由导数的意义令，列方程组求解即可； （2）由导数分析单调性和极值即可； 【小问1详解】 ，切点坐标为， ，即，解得， 【小问2详解】 ，定义域为， 得或， 得或得； 的单调递增区间为，单调递减区间为； 的极大值为的极小值为. 18. 已知函数． （1）已知在处取得极小值，求a的值； （2）对任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据函数解析式得到函数的定义域，再根据求导以及极值可求得a的值，注意一定要验证； （2）根据恒成立问题，构造新的函数，根据函数的导函数判断函数的单调性，求得最值，即可求得结果. 【小问1详解】 因，定义域为 所以 因为在取得极小值，所以，所以， 检验：，定义域为， ， x 3 - 0 + ↓ 极小值 ↑ 所以； 小问2详解】 因为对恒成立 所以令 ①即时，恒成立， 在单调递增恒成立， ②即时，， x 1 - 0 + 0 ↓ 极小值 ↑ 所以，与题意不符，舍去， 综上所述：． 19. 已知函数. （1）当时，证明：； （2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）因为函数的定义域为，当时，，将问题转化为当时，，构造函数，利用导数研究的值域即可证明； （2）求导，令，再求导，利用放缩可知，得到在单调递增，，分类讨论和时的正负，从而确定是否有极值点以及极值点的个数. 【小问1详解】 证明：因为函数的定义域为，当时，. 要证，只需证：当时，. 令，则， 则在上单调递增， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 由， 令， 则. 所以在单调递增，， ①时，，. 则在上为增函数，在上无极值点，矛盾. ②当时，.由（1）知，， ，则，则使. 当时，，，则在上单调递减； 当时，，，则在上单调递增. 因此，在区间上恰有一个极值点， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$