精品解析：上海市建平中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试卷

2024-2025学年上海市建平中学高三年级下学期 3月月考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知复数，其中i为虚数单位，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】应用复数除法化简，进而求复数的模. 【详解】，则. 故答案为： 2. 已知全集，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】全集，，故. 故答案为：. 3. 在的展开式中，常数项为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出通项，然后令的指数为零即可． 【详解】解：由题意得：， 令得， 故常数项为． 故答案为：． 4. 已知随机变量，若，则______. 【答案】0.1## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】由随机变量，得， 则. 故答案为：0.1 5. 数列满足（n为正整数），且与的等比中项是2，则______. 【答案】1或 【解析】 【分析】先判断是等差数列，然后根据等比中项的知识列方程求得. 【详解】由题意可得数列是公差为3的等差数列， ，， 与的等比中项是2，， 即，解得或， 或. 故答案为：1或 6. 若实数x，y满足，则的取值范围是__________； 【答案】； 【解析】 【分析】令，，可将化为，根据三角函数值域可求得结果. 【详解】 可令， 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解. 7. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型概率的计算公式求解即可. 【详解】甲分得2张电影券连号的情况有4种，甲分得2张电影券的情况有种， 在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为. 故答案为：. 8. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】画出曲线的图象，数形结合判断直线与曲线的交点个数. 【详解】曲线即，表示以为圆心，以1为半径的一个半圆， 直线表示斜率为1的一组平行线，当直线过时，， 当直线和半圆相切时，由，解得或（舍去）， 要使曲线与直线有两个相异的交点，则b满足， 故答案为：. 9. 已知函数为奇函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用求得的关系式，根据函数奇偶性的定义列方程，由此求得，进而求得. 【详解】 ， 则，， 若，则，定义域是， 定义域不关于原点对称，不符合题意，所以， 所以，要使的定义域关于原点对称， 则需，则， 此时的定义域是. 则由解得， 此时 ，，符合题意. 所以 故答案为： 10. 已知双曲线的两条渐近线将双曲线所在平面分为上，下，左，右4个部分（不含渐近线上的点），若位于上部分，不位于下部分，则C的离心率的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件得到渐近线斜率和与的关系，得到，再利用离心率的公式求出离心率范围即可. 【详解】由双曲线性质得双曲线的两条渐近线方程为， 因为位于上部分，不位于下部分，而，， 所以得到，则C的离心率. 故答案为： 11. 为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长155米，宽10米的公路（如图矩形ABCD），公路的一侧划有31个长5米宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），此时，停车位相对道路倾斜的角度，其中，该路段改造后的停车位比改造前增加______个. 【答案】18 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及余弦函数的性质可求得，，设改造后停车位数量最大值为n， 过停车位顶点做射线垂线，垂足为，则顶点到线段ME距离为，利用几何性质可得，令即可求解. 【详解】由图可知，， 即，，已知， ，则， 则，化简得，解得或， 因，则，故，， 设改造后停车位数量最大值为n，如图， 过停车位顶点做射线垂线，垂足为， 则顶点到线段ME距离为， 又由图及题意可得：，， 则， 注意到， 则， 则， 则， 则，， 又，则， 令， 即改造后最大停车位数量为49，则改造后的停车位比改造前增加18. 故答案为：18. 12. 已知，（i，，2，3）均为实数，且满足，，，，且的最大值是______. 【答案】25 【解析】 【分析】本题可通过设向量，将已知条件转化为向量的形式，再利用向量的运算和几何意义求解的最大值. 【详解】设向量，，. 由，，， 可得，， 已知， 所以， 移项得到， 即，也就是， 这表明点在以为直径的圆上. 根据两点间距离公式，可知， 要求的最大值，即求的最大值，也就是求的最大值. 因为，，当，，三点共线且，在的两侧时，取得最大值， 此时. 另外，此时在以为直径的圆与圆的交点位置，如图所示， 因为，， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛： 遇到此类多个变量的代数关系求最值问题，优先考虑将其转化为向量形式，利用向量的性质和运算来解决.通过分析向量之间的夹角关系和模长的最值之间的关系，来求得所求的最大值. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. “”是“直线与垂直”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件以及两直线间的位置关系等知识确定正确答案. 【详解】当时，，， ，充分性成立； “直线与垂直”恒成立， 并不需要a参与其中，必要性不成立. 故选：A 14. 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.在研究树高y与胸径x之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）：假设树高y与胸径x满足的经验回归方程为，则（ ） 胸径x/cm 8 9 10 11 12 树高y/m 8.2 10 11 12 13.8 A. 当胸径时，树高y的预测值为14 B. C. 表中的树高观测数据y的40%分位数为10 D. 当胸径时，树高y的离差为0.32 【答案】B 【解析】 【分析】利用样本中心点求得，然后根据预测值、百分位数、离差的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意可知，，， 经验回归方程过点，，解，故B正确； 对于A，由B可知，当胸径时，树高y的预测值为，A错误； 对于C，，表中的树高观测数据y的40%分位数为，C错误； 对于D，由B可知，当胸径时，树高y的预测值为， 树高y离差为，D错误. 故选：B. 15. 已知函数，.若存在，存在，使成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出和的值域，再把原问题转化为函数值域有交集问题，建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】由题意得函数， 故函数的值域为，而，， 由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 故的值域为，而存在，存在， 使成立，可得， 则且，解得，故B正确. 故选：B. 16. 已知数列满足，有如下两个命题：命题：“是严格增数列”的充要条件是“存任使得对任意，都有”；命题：“是严格减数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”.则下列说法中正确的是（ ） A. 和都是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是假命题，是真命题 D. 和都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】在分析递推式的单调性时，假设数列趋近于到，限满足，解得是唯一可能的解。对于命题，当时，将递推式展开，由于为负且接近0，故，数列递增；反之若数列递增且有上界，必收敛到0，从而进入该区间。类似地，命题中，当时，，数列递减；若数列递减且有下界，同样趋近于到0后进入正数区间。排除初始值极端情况（如大正数导致跳转为负但递增趋向0，大负数递推后趋向正但递减）即可求解. 【详解】讨论命题的充分性，令，其中且， 代入递推式得：， 需证明，即， 定义函数, 需证明当时， ， 由于，函数在时严格递减， 结合得当时，， 所以， 所以命题的充分性成立， 讨论命题的必要性， 若无上界，则当时，， 当主要项为，所以， 代入递推公式得：， 但为负数，与矛盾， 因此必有上界，由于严格递增且有上界， 所以必趋近到某一实数， 所以， 当时，右边为， 等式成立，若，由于严格递增且趋近于， 必有，但递推式要求， 当可能小于1， 与不矛盾，定义函数， 需证明仅当， 当，令，则， 因此， 由不等式， 令，得， 因此， 当，若存在满足， 则，但， 当，若， 则左边为非负数，右边为正数，矛盾, 若，则左边为负数，右边为正数，亦矛盾， 因此是唯一解，对， 存在，使得当时， 由于严格递增且趋近于0， 若存在某，则对任意有，与矛盾， 因此必存在，使得当时， 综上，当时， 所以命题的必要性得证， 讨论命题的充分性， 递推式为， 由于，令且， 代入得， 需证明， 定义函数， 需证明，当， ， 在时严格递增，且， 故当时，， 即， 当时，，数列严格递减， 所以充分性得证，讨论命题的必要性， 假设数列无下界，则当， 递推式中的项， 因此， 当，故， 但这与数列严格递减矛盾， 所以数列必有下界，由于数列严格递减且有下界， 必趋近于到某一实数， 所以， 定义， 需证明仅当， 当， 当，若存在， 则， 但此时，矛盾， 当，数列严格递减且收敛到负数， 但递推式中可能为正数，矛盾， 对，存在，使得当时， 若存在某，则递推式生成的可能为正数，导致数列无法严格递减， 因此必存在，使得当时， 所以当时， 所以必要性成立. 故选：A. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，的中点为，的中点为. （1）证明：平面； （2）若直线与面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理结合菱形的性质得到，再利用线面平行的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 如图，设的中点为，连结， 因为的中点为，的中点为，所以是的中位线， 所以，，因为底面是菱形， 所以，，所以，， 得到四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，故平面. 【小问2详解】 由题意得平面，连接， 如图，作，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，底面是菱形，所以，，， 设，则，， 则，，而的中点为， 的中点为，由中点坐标公式得， 则，易得面的法向量为， 因为直线与面所成角为，所以， 由图形得是锐角，解得，则此时，， 得到，而，， 设面的法向量为， 则，， 令，解得，，故， 设点到平面的距离为，由点到平面的距离公式得 . 18. 在中，角所对的边分别为. （1）若，求的面积S； （2）若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用同角三角函数的平方关系，把化成，根据正弦定理可得，在根据余弦定理，可得角，再结合余弦定理，表示出，可得的值，进而利用可求面积. （2）根据，结合可得：，再结合基本不等式，可求的最小值. 【小问1详解】 由， 得. 由正弦定理得. 所以， 因为，所以. 在中，， 由余弦定理， 得，解得. 所以. 即的面积S为. 【小问2详解】 因为为角C平分线，，所以. 在中，， 所以， 由，得，所以. 因为，所以由基本不等式，得， 所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 19. 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1）； （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求得正确答案. （2）①先求得的关系式，然后利用构造法证得为等比数列； ②先求得，然后求得的最大值，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 设为“第一天选择米饭套餐”：为“第二天选择米饭套餐”， 则为“第一天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：. 【小问2详解】 ①：证明：设为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，，， 由全概率公式得： 因此，. 是以为首，为公比的等比数列. ②：根据①可得， 所以，下求的最大值， 要求的最大值，则为偶数， 当为偶数时，， 此时是单调递减数列， 所以的最大值为， 因此，则m的取值范围是. 20. 如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”. （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； （3）若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的最小值. 【答案】（1）； （2）存在，2条； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据焦距、离心率及参数关系求标准方程； （2）设直线为，，联立椭圆并应用韦达定理得，，根据及已知列方程求参数k，即可得答案. （3）设切线方程为，切线方程为，且，根据相切关系得到是的两个不相等实根，由韦达定理求出. 【小问1详解】 由椭圆的焦距为，离心率为，得，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知：，显然直线不与轴重合，设直线为，， 由消去得，， 则，圆半径为1，则， 于是，即，解得， 所以满足条件的直线有2条. 【小问3详解】 设切线方程为，切线方程为，且，， 由圆与相切，得，化简得， 同理，于是是的两个不相等实根， 则，由在椭圆上，得， 因此，而，则当时，取得最小值， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：求出两条切线方程，再构造一元二次方程是求解第3问的关键. 21. 已知函数，若点P是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点：则点P是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； （1）若，，求； （2）若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）若，记函数的所有点组成的集合为N，且，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“特征点”的定义进行分析，从而求得. （2）根据“特征点”的定义列方程组，化简求得定直线. （3）先证明“特征点”是切点，然后根据二次函数的性质来求得的取值范围. 【小问1详解】 假设，存在“特征点”， 则存在两条互相垂直的切线，设为和处的切线， ，， 由于的值域为，只能在和 或者和的情况下成立， 即或. 当时，，所以切线方程为. 当时，， 所以切线方程为，. 由解得，所以“特征点”为. 当结果同上. 因此. 【小问2详解】 证明：设“特征点”是在和处的切线的交点， ，， 在和处的切线方程为，， 联立，解得，即， 两条切线相互垂直， ，， 的所有“特征点”在一条定直线上. 【小问3详解】 ，由题意可知不存在图象上的点，使得该点是“特征点”， 先证明：对任意的实数a，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点， 反证法：假设该点不是切点， 则存在切线，它与函数图象交于点Q， ， 化简得，，， 同理可得，，两条切线重合，矛盾， 该点本身一定是切点，假设，处切线互相垂直， 不妨令B是两条切线的交点，则由上可知，， ， ， ， 即， 设，则，即， 由题意可知图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点B， 方程对无解， 设，其对称轴为， 当时，取最小值，要使得无解，只需， 解得，实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市建平中学高三年级下学期 3月月考数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知复数，其中i为虚数单位，则______. 2. 已知全集，，则______. 3. 在的展开式中，常数项为___________. 4. 已知随机变量，若，则______. 5. 数列满足（n为正整数），且与的等比中项是2，则______. 6. 若实数x，y满足，则的取值范围是__________； 7. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影券全部分给甲、乙、丙、丁4人，每人至少1张，则在甲分得2张电影券的条件下，其分得2张电影券连号的概率为______. 8. 已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是______. 9. 已知函数为奇函数，则______. 10. 已知双曲线的两条渐近线将双曲线所在平面分为上，下，左，右4个部分（不含渐近线上的点），若位于上部分，不位于下部分，则C的离心率的取值范围为______. 11. 为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长155米，宽10米的公路（如图矩形ABCD），公路的一侧划有31个长5米宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），此时，停车位相对道路倾斜的角度，其中，该路段改造后的停车位比改造前增加______个. 12. 已知，（i，，2，3）均为实数，且满足，，，，且的最大值是______. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分. 13. “”是“直线与垂直”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 14. 经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高.在研究树高y与胸径x之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表）：假设树高y与胸径x满足的经验回归方程为，则（ ） 胸径x/cm 8 9 10 11 12 树高y/m 8.2 10 11 12 13.8 A. 当胸径时，树高y的预测值为14 B. C. 表中的树高观测数据y的40%分位数为10 D. 当胸径时，树高y的离差为0.32 15. 已知函数，.若存在，存在，使成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 已知数列满足，有如下两个命题：命题：“是严格增数列”的充要条件是“存任使得对任意，都有”；命题：“是严格减数列”的充要条件是“存在使得对任意，都有”.则下列说法中正确的是（ ） A. 和都是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是假命题，是真命题 D. 和都是假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，的中点为，的中点为. （1）证明：平面； （2）若直线与面所成角为，求点到平面的距离. 18. 在中，角所对的边分别为. （1）若，求的面积S； （2）若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 19. 马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 20. 如图，已知椭圆的上、下焦点分别为，，焦距为2，离心率为，称圆心在椭圆上运动，且半径为的圆是椭圆的“环绕圆”. （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线与椭圆的另一个交点为点，“环绕圆”的面积为，三角形的面积为，试判断，是否存在点，使，若存在，求满足条件的直线的条数，若不存在，请说明理由； （3）若过原点可作“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆于、两点，直线，的斜率存在，记为，，求的最小值. 21. 已知函数，若点P是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点：则点P是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； （1）若，，求； （2）若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； （3）若，记函数的所有点组成的集合为N，且，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $