精品解析：湖北省十堰市六县市区一中教联体2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题

2025年十堰市六县市区一中教联体3月联考 高一数学试卷 命题学校：竹山一中 命题教师：吕玉俊 审题教师：刘茂林 考试时间：2025年3月19日上午8：00—10：00 试卷满分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 3. 要得到函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义域为的奇函数，，且当时，单调递增，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 7. “”是“在上恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 18 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数是定义域为的奇函数，其零点分别为，若，则关于x的方程的解所在的区间是（ ） A. B. C. D. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若在上恰好有三个零点，则 D. 11. 定义域为R的函数满足，且函数的图像关于直线对称，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于点对称 C. D. 若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数为偶函数，则___________． 13. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为__________单位： 14. 设，用表示不超过x的最大整数，称为取整函数.例如：，，已知函数，则__________的值域为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）求值：. （2）在锐角三角形ABC中，，求的值. 17. 已知函数． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围． 18. 某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上.经过测量，在扇形中，，，记，共设计了两个方案： 方案一:如图1，点在半径上，点在半径上，是扇形弧上的动点，此时矩形的面积记为； 方案二:如图2，点分别在半径和上，点，在扇形弧上，，记此时矩形的面积为. （1）分别用表示两个方案中矩形的面积,； （2）分别求出,的最大值，并比较二者最大值的大小. 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数是“依赖函数”． （1）判断是否是“依赖函数”，并说明理由； （2）若在定义域上是“依赖函数”，求的值； （3）已知函数中在定义域上是“依赖函数”，记，若的解集中恰有两个整数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年十堰市六县市区一中教联体3月联考 高一数学试卷 命题学校：竹山一中 命题教师：吕玉俊 审题教师：刘茂林 考试时间：2025年3月19日上午8：00—10：00 试卷满分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】解：； 故选：B 2. 已知函数，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分段函数求函数值，根据自变量的范围选择对应的式子即可. 【详解】因为， 故选：B. 3. 要得到函数的图象，需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据左加右减的平移原则一一判断，得到答案. 【详解】A选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，A正确； B选项，把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到，B错误； C选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，C错误； D选项，把函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到，D错误. 故选：A 4. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】变形得到，由指数函数单调性，对数函数单调性及中间值比较出大小. 【详解】， 又，在R上单调递增，故，即， 所以. 故选：A 5. 已知是定义域为的奇函数，，且当时，单调递增，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数在原点两边单调性是一致的，即可判断当时，的单调性，又即可得的解集，即可求解不等式． 【详解】因为是定义域为的奇函数且当时，单调递增，所以当，也是增函数，又， 所以当时，；当时，，当时，， 所以不等式，即或，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 6. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得，根据即可求得结果. 【详解】将两边同时平方可得，， 可得； 又，所以； 易知，可得； 又,所以. 故选：C 7. “”是“在上恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次不等式在上恒成立结合参变量分离法求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】根据题意，若在上恒成立， 所以，在上恒成立， 由“对勾函数”可知，函数在上单调递增， 所以，当时，，可得， 所以，在上恒成立“的充要条件是”“， 因为， 因此，“”是“在上恒成立”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点和对称轴列式求得，根据单调区间得，根据正弦函数性质依次判断和，即可得解. 【详解】由题意知，，所以，又因为，所以. 当时，，因为，所以，此时， 经检验，在上不单调，舍去； 当时，，因为，所以，此时， 经检验，在上单调递减. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知函数是定义域为的奇函数，其零点分别为，若，则关于x的方程的解所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可得，即求关于x的方程的根所在的区间，由和的图象有两个交点，知有两个零点，利用零点存在性定理即可得出选项. 【详解】因为函数是奇函数，故其零点对应的点关于原点对称， 且，所以，则关于x的方程为. 分别画出和的图象，如图： 则由图象可知两函数有两个交点， 令，则有两个零点， 因为，， ，， ，，， 所以关于x的方程的解所在的区间是，. 故选：AD. 10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若在上恰好有三个零点，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由图象可得最小正周期，从而求出；B选项，，代入，结合得到；C选项，先求出，进而可得到，求出答案；D选项，先求出，结合函数的最小正周期，得到答案. 【详解】A选项，设的最小正周期为，由图象可知，，即，A正确； B选项，由图象可知，故， 将代入解析式得，即， 又，故，解得，B错误； C选项，由B知，， 当时，， 在上恰好有三个零点，故，解得，C正确； D选项，由A知，的最小正周期为6， 其中， ，，， 故， 所以 ，D正确. 故选：ACD 11. 定义域为R的函数满足，且函数的图像关于直线对称，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于点对称 C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性，对称性与周期性的性质，逐一分析各选项即可得解. 【详解】由，得，所以， 所以的图像关于点对称，故选项A正确； 由得，即， 所以的图像关于点对称，又因为函数的图像关于直线对称， 则，所以，所以， 所以，即，所以是周期函数，且周期为， 故选项B错误，C正确； 若，且的图像关于点对称，所以，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数为偶函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出或，检验后得到不合要求，得到答案. 【详解】根据幂函数定义知，，解得或， 当时，，为奇函数，不合要求， 当时，，定义域为， 故，满足为偶函数，满足要求. 故答案为： 13. 某摩天轮示意图如下图所示，其半径为100m，最低点A与地面距离为8m，转动一圈.若该摩天轮上一吊箱视为质点从A点出发，按顺时针方向匀速旋转，则吊箱B第4次距离地面158m时，所经历的时长为__________单位： 【答案】40 【解析】 【分析】以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，把吊箱B离地面的高度h表示为时间t的三角函数，令即可求出答案. 【详解】以O为坐标原点，如图建立平面直角坐标系， 设吊箱B离地面的高度为h，则 ， 令，得， 或，， 或，， 因为第4次达到158m， 所以时，吊箱B第4次距离地面158m， 故答案为： 14. 设，用表示不超过x的最大整数，称为取整函数.例如：，，已知函数，则__________的值域为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将代入函数解析式，利用取整函数的定义即可求解函数值；根据三角函数的有界性分类讨论，利用取整函数的定义分别求出函数值即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以； ，或，时，； ，或，时，； ，时， ，或，时，， ，时，， 所以的值域为 故答案为：， 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围； （2）分和，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或； 【小问2详解】 ，当时，，解得， 当时，或， 解得或， 故实数的取值范围为或. 16. （1）求值：. （2）在锐角三角形ABC中，，求的值. 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）利用对数运算性质及换底公式化简求值即可； （2）先根据二倍角余弦公式得，利用同角三角函数基本关系得，，然后利用两角和正切公式得，根据角的范围得，即可得解. 【详解】（1） . （2）由已知A，B，C均为锐角， 由，得， ∴， ∴， 又，∴. 又，故， ，故， ∴. 从而. 17. 已知函数． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将的定义域为转化为对任意的恒成立，按照和分类讨论，利用判别式法列不等式组求解即可. （2）按照和、分类讨论，当时，利用复合函数单调性法则判断；当和时，结合二次函数的单调性及对数的真数恒为正，利用复合函数单调性法则列不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意知对任意的恒成立， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得． 综上，a的取值范围是. 【小问2详解】 当时，在区间上单调递减，符合题意； 当时，若在区间上单调递减，则，所以； 当时，若在区间上单调递减，则，所以． 综上，a的取值范围是. 18. 某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上.经过测量，在扇形中，，，记，共设计了两个方案： 方案一:如图1，点在半径上，点在半径上，是扇形弧上的动点，此时矩形的面积记为； 方案二:如图2，点分别在半径和上，点，在扇形弧上，，记此时矩形的面积为. （1）分别用表示两个方案中矩形的面积,； （2）分别求出,的最大值，并比较二者最大值的大小. 【答案】（1），，，. （2），，. 【解析】 【分析】（1）结合图形，按照方案一和二，分别将用的三角函数表示，即得和的表达式； （2）利用三角恒等变换公式和方法将分别化成正弦型函数，利用正弦函数的性质求其最大值，通过作差法比较大小即得. 【小问1详解】 如图1，在中，，， 所以，. 在中，，. 则，. 如图2，过点作于点，过点作的垂线，交弧于点， 在中，，，所以，. 由扇形和矩形的对称性可得，， 则在中， ，则， ，. 则，. 【小问2详解】 由，得，. 方案一： 当时，即时，取最大值，最大值为. 方案二： 所以当时，即时，取最大值，最大值为. 因为， 所以. 【点睛】思路点睛：对于三角函数的实际应用题，一般解题思路为，选设角为自变量，将相关边长，夹角，面积等相关量用该角的三角函数表示，借助于三角恒等变换有关公式将其化成正弦型函数或余弦型函数，利用三角函数的图象性质求解即可. 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数是“依赖函数”． （1）判断是否是“依赖函数”，并说明理由； （2）若在定义域上是“依赖函数”，求的值； （3）已知函数中在定义域上是“依赖函数”，记，若的解集中恰有两个整数，求实数的取值范围． 【答案】（1） 不是“依赖函数”，理由如下： 当时，，则， 故，解得， 所以不是“依赖函数”； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）举出反例，得到不是“依赖函数”； （2）整体法得到，，在定义域上单调递增，且，从而得到，求出； （3）当时，，举出反例得到在定义域上不是“依赖函数”，当时，在上单调递增，要想在定义域上是“依赖函数”，需满足，解得，再分，和三种情况，由的解集中恰有两个整数，得到的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 时，，显然， 解得， 在定义域上单调递增，且， 由题意得，当时，， 要想满足存在唯一的使得， 则，，解得； 【小问3详解】 当时，， 故对于，不存在，使得， 在定义域上不是“依赖函数”， 当时，在上单调递增， 要想在定义域上是“依赖函数”， 需满足，即， 解得（舍去）或0， 故， 若，则的解集为， 的解集中恰有两个整数，故， 若，此时的解集为，不合要求， 若，则的解集为， 的解集中恰有两个整数，故， 综上，实数的取值范围是或. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $