湖北省武汉中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

武汉中学2024-2025学年高二下学期3月考月考 数学试卷 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 有三对双胞胎共6人，从中随机选出2人，且不能是同一对双胞胎的选法种数为 ( B ) A．10 B．12 C．13 D．30 2. 已知是等差数列，是等比数列，且.设，数列的前项的和为，则 ( C ) A．242 B．243 C．244 D．245 3. 已知函数的导函数，且满足，则（ B ） A． B． C． D． 4.若函数（均为非零常数）既有极大值也有极小值，则 ( A ) A． B． C． D. 5. 由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（ B ）种 A．540 B．684 C．756 D．792 6. 在数列中，，，，前项和为，则下列说法中不正确的是( D ) A． B． C． D． 7. 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入.现有三男三女6位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ B ）种 A．66 B．93 C．195 D. 273 8. 已知是递增的等比数列，各项都是正数，若，当取得最小值时，( D ) A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知且，则函数的图象可能是 ( BCD ) 9. 函数，则下列说法正确的是 ( ACD ) A．为奇函数 B．当时，的极小值为 C．当时，有三个零点 D．若直线与有三个交点，则 解析：A选项：令，所以，故为奇函数； B选项：当时，，为极大值； C选项：，， 当时，令，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，故在一定有一个零点，又因为在单调递增，上单调递减，而，又因为，所以在内一定有一个零点（或直接利用三次函数的对称性得到有三个零点），故共有三个零点； D选项，因为和直线都关于对称，所以若直线与有三个交点，则由对称性可知. 11. 已知定义在上的函数的导函数分别为，且，，则（ ACD ） A．关于直线 B． C． 的周期为4 D． 解析：A选项：由，得①，②，得③，由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确； B选项：由，得，令，得； 由，得，令，得，所以④，又⑤，令，得，故B错误； C选项：④⑤两式相加，得，得，所以，即函数的周期为4，故C正确； D选项：由，令，得，所以，所以，故D正确. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 函数在处切线的方向向量与向量共线，则 .1 13. 已知函数，当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 14. 为激励高三学子的学习热情，数学老师开发了一款小游戏程序，同学们表现优秀时可参与 一次．游戏规则如下： 第一步，在图①所示的棋盘内，学生点击摇奖，程序会随机放上7 枚黑棋； 第二步，学生自行选择空格放上 2 枚白棋； 最终，每当有4 枚棋子在同一行、列或对角线上时，称为连成一条线．若未连成线，则获 安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况． 现在小明和小红都可参与一次游戏．小明点击摇奖后，出现了图③的情况，若他随机地放 上白棋，则他获二等奖的方法数有_______种；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7枚黑棋中恰有 4 枚在第一列”的条件下，她获一等奖的方法有_____种． 【答案】4,54 【解析】对于小明，在图③的情况下，再放2枚白棋形成二条线的不同情况有4种； 对于小红，9枚棋子形成三条线的形状（下称为“三线”）必然由一行、一列和一对角线构成，由于第一列已经确定，所以当第一或四行连上时，对角线还有1种情况；当第二行或三行连上时，对角线还有2种情况，因此“三线”共有2×1+2×2=6种.由于小红总能保证奖励最大化，所以只需随机出来的形状恰好是“三线”去掉2枚棋子（下称为“准三线”）即可.因此，从第一列之外的5枚棋子中去掉2枚形成的“准三线”共种.但是，有一些“准三线”可以由多个“三线”得到. 其一，第一列和某一对角线形成的“准三线”，可以由3个不同的“三线”得到（如下图），重复计算的“准三线”，可以以由3个不同的“三线”得到（如下图），重复计算的“准三线”有22=4次； 其二，第一列和第二行或三行形成的“准三线”，可以由2个不同的“三线”得到（如下图）， 重复计算的“准三线”有2×1=2次.因此，“准三线”实际上只有60-4-2=54种. 四、解答题：本题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分) 已知等比数列的前项和为. ⑴若成等差数列，求的值. ⑵若存在，使得成等差数列，证明：对于任意的，成等差数列. 【答案】⑴0 【解析】⑴由成等差数列得，； ⑵略. 16. (15分) 已知函数. ⑴当时，求函数在处的切线方程； ⑵ 证明：当 时，函数的极小值小于0. 【解析】(1)当时，,，所以, 所以， ································ 4分 所以函数在处的切线为，即；·······6分 (2)证明：的定义域为(0,+∞)，且， 当时令，则，所以单调递增； 令，则，所以单调递减. ················ 1 2分 故当时，取极小值，当 时，极小值. ··15分 17. (15分) 已知数列为等差数列，且满足. ⑴若，求数列的前项和； ⑵若数列满足，且数列的前项和，求数列 的通项公式. 【解析】⑴当时，由和，得，····· 1分 所以等差数列的公差为，所以，··········· 3分 故，·····················5分 所以.················· 7分 ⑵当时，，可得，··············· 8分 当时，,······9分 也适合上式，·································· 10分 综上所述， ，可得，又，所以，由方程，可得，解得，，············ 13分 所以等差数列的通项，·························· 14分 由得，·························15分 18. (17分) 已知函数. ⑴当时，讨论函数的单调性； ⑵当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）. ①求实数的值； ②求证：. 【解析】⑴函数的定义域为，， ·············1分 因为，令，得，令，得，所以函数在 上单调递增，在 上单调递减 ，································· 4分 ⑵①由⑴得，令，则， ····· 5分 又，所以切点为，····· 6分 由⑴可知，切点在直线的上方，所以切点到直线的距离，整理得 ,···················8分 设，则，令，则在上恒成立， 又，所以由得，即.经检验，方程只有这个解.所以. ······································ 10分 ②依题意，要证， 当时，令，则显然成立，所以在上单调递增，所以，所以成立. ·····12分 当时，要证，即证. 设，则. 设，则. 当时，，，所以在上单调递减，··· 14分 所以，即，所以在上单调递减，所以，即当时，成立. 综上所述，当时，在上恒成立. ············ 17分 19. (17分) 已知函数，过点作曲线的切线，交轴于点，若，则过点作曲线的切线，交轴于点，以此类推，得到数列. ⑴当正整数，试求出与的关系式； ⑵当正整数. ①证明：； ②是否存在正整数（），使得依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，试说明理由. 【解析】⑴由，得，当时，曲线在处的切线方程为，令，则，所以（）·········································4分 ⑵由⑴得，所以当时，，令，则，令，则，令，则，所以，在上单调递增，在上单调递减，··············8分 ①因为，所以，即当时，.·········10分 ②假设存在正整数，使得依次成等差数列，则公差，由①得.又由得，而，所以，即.·········14分 令，则，显然，则在上单调递增，且当时，又，所以函数在上必有唯一零点. ··································15分 另，，运算就终止，即存在成等差数列. 故.·······································17分 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武汉中学2024-2025学年高二下学期3月考月考 数学试卷 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 有三对双胞胎共6人，从中随机选出2人，且不能是同一对双胞胎的选法种数为 ( ) A．10 B．12 C．13 D．30 2. 已知是等差数列，是等比数列，且.设，数列的前项的和为，则 ( ) A．242 B．243 C．244 D．245 3. 已知函数的导函数，且满足，则（ ） A． B． C． D． 4. 若函数（均为非零常数）既有极大值也有极小值，则 ( ) A． B． C． D. 5. 由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（ ）种 A．540 B．684 C．756 D．792 6. 在数列中，，，，前项和为，则下列说法中不正确的是( ) A． B． C． D． 7. 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入.现有三男三女6位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ ）种 A．66 B．93 C．195 D. 273 8. 已知是递增的等比数列，各项都是正数，若，当取得最小值时，( ) A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知且，则函数的图象可能是 ( ) 10. 函数，则下列说法正确的是 ( ) A．为奇函数 B．当时，的极小值为 C．当时，有三个零点 D．若直线与有三个交点，则 11. 已知定义在上的函数的导函数分别为，且，，则（ ） A．关于直线 B． C． 的周期为4 D． 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 函数在处切线的方向向量与向量共线，则 . 13. 已知函数，当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 14. 为激励高三学子的学习热情，数学老师开发了一款小游戏程序，同学们表现优秀时可参与 一次．游戏规则如下： 第一步，在图①所示的棋盘内，学生点击摇奖，程序会随机放上7枚黑棋； 第二步，学生自行选择空格放上2枚白棋； 最终，每当有4枚棋子在同一行、列或对角线上时，称为连成一条线．若未连成线，则获 安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况． 现在小明和小红都可参与一次游戏．小明点击摇奖后，出现了图③的情况，若他随机地放 上白棋，则他获二等奖的方法数有 种；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7枚黑棋中恰有4枚在第一列”的条件下，她获一等奖的方法有 种． 四、解答题：本题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分) 已知等比数列的前项和为. ⑴若成等差数列，求的值. ⑵若存在，使得成等差数列，证明：对于任意的，成等差数列. 16. (15分) 已知函数. ⑴当时，求函数在处的切线方程； ⑵证明：当 时，函数的极小值小于0. 17. (15分) 已知数列为等差数列，且满足. ⑴若，求数列的前项和； ⑵若数列满足，且数列的前项和，求数列 的通项公式. 18. (17分) 已知函数. ⑴当时，讨论函数的单调性； ⑵当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）. ①求实数的值； ②求证：. 19. (17分) 已知函数，过点作曲线的切线，交轴于点，若，则过点作曲线的切线，交轴于点，以此类推，得到数列. ⑴当正整数，试求出与的关系式； ⑵当正整数. ①证明：； ②是否存在正整数（），使得依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，试说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$