第四章 微专题4 全等、相似三角形中的特殊模型-【加速度中考】2025年青海中考数学课堂精练本

微专题4全等、相似三角形中的特殊模型 类型1一线三等角模型 学法点拨 1.[2024重庆A卷]如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E, 1.一线三等角 在直线同侧 连接AE,把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE,连接CF并 延长与AB的延长线交于点G,则的值为 A.√2 B.3 C3② 2 D33 2 图① 图② 在直线异侧 D E C B2 y 第1题图 第2题困 图③ 图④ 图①、图③中，∠1=∠2=∠3，则 2.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4,D.E,F分别 △APCo△BDP:图@、图④中，∠1= 是AC,BC,AB边上的点，且∠EDF-45°，DE=DF,则AF ∠2，则△ABC∽△CED.在相似的基础 上添加任一组对应边相等即可证全等， CE= 类型2手拉手模型 2.手拉手模型 3.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB= 如图⑤，∠BAC=∠DAE,∠ADE ∠ECD=90°，D为AB边上一点.若AD=5,BD=12,则DE ∠ABC,则△ADE∽△ABC,△ABD∽ 的长为 △ACE.特别地，当AB=AC或AD= AE时，△ABID≌△ACE. A.11 B.13 C.12 D.25 D F B 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，在等边三角形ABC中，AB=7,D为边BC上一点，BD 图 2,连接AD,将AD绕点D顺时针旋转60得到ED,ED交AC 于点F,连接AE,则哈的值为 A.3 R C33 2 5.解题装瞻开数如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方 形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为() A.2/3+2 B5-☒ 3 C.3-3 D.3+1 50 类型3对角互补模型 学法点拨 6.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B十∠D=3.对角互补模型（常见对角互补的图形辅助线作法） (1)含90°角 180°，点E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+ 如图①，△DECc∽△DFA FD.若∠EAF=55°，则∠BAD= B E 图①D (2)含120°角 第6题图 如图②，△DEC∽△DFA. 7.如图，在四边形ABCD中，∠B十∠ADC=180°，AB= 120° AD,E,F分别是边BC,CD延长线上的点，且∠EAF= ∠BAD.求证：EF=BE-FD, C E 图②@ (3)角平分线 如图②，若点D在∠ABC的平分线上，则 △DE≌△DFA,DA=DC 4.半角模型 (1)含45°半角模型（如图③） B D 第7题图 B D 图③ a.△ABC为等腰直角三角形，∠DAE=45 ①将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACF,则 △ADE≌△AFE,BD+CE=EFP=DE, BD+CD=DF-2AD:②将△ABD沿AD翻 折，得到△AFD,连提EF,则△DEF为直角三 角形。 (2)含60半角摸型（如图④） 类型4半角模型 在等边三角形ABC和等腰三角形DBC中， 8.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC,点M,N BD=CD,∠EDF=号∠BDC=60,剥BE+CP- 在边BC上，且∠MAN=60°.若BM=2,CN=3,则 EF.①将△DBE绕点D旋转得到△DCG,则△DEF≌ △DGF:②将△DEF沿DF翻折得到△DGF,则F,C, MN的长为 G三点共线，△DBE2△DG 60 B 120 第8题图 第9题图 9.[2024宜宾]如图，正方形ABCD的边长为1，M,N是 60 边BC,CD上的动点.若∠MAN=45°，则MN的最小 D G 值为 图④ 51微专题4 全等、相似三角形中的特殊模型 1.A 【解析】如答图,过点F作FH |DC交DC的延 长线于点H..H-90^{},.四边形ABCD是正方 形,则 D-90{}:由旋转的性质得AE-FE, AFF= 90{.'DAE+ AED=90{,HEF+AED= 90{,.. DAE= HEF.在△ADE和△EHF中, (D-/H. DAE=HEF,'.△ADE△EHF(AAS). AE-EF: '.AD=EH.DE=HF..'EH=DC...DE=CH HF$'$HCF-45^*$·DC//AG.' G-45^*}。设 CH一HF一DE一x,正方形ABCD的边长为y,则 CE=y-.CF= 2x.CG=2y.'FG=$ G$ _.H G 第1题答图 2.4/2 【解析】' B=90{,AB=BC../A=/C=$$ 45*, AFD+ADF=135”'EDF=45^} '. ADF+CDE=135*$.AFD=CDE. .DF=ED...AFD△CDE(AAS)...AF CD.AD=CE,.. AF+CE=CD+AD=AC 'AB=BC-4.'AC-AB+BC-4V②.AF+ CE-4/2. 3.B【解析】·'△ACB和△ECD都是等腰直角三角 形, CD=CE,AC=BC,ECD= ACB=90* 'ECD一ACD=ACB一ACD.:ACE= (CE-CD. BCD.在△ACE和△BCD中,{ ACE- BCD. AC-BC. 11 '.ACFBCD(SAS)..'.AE=BD-12.CAE 6.110{}【解析】如答图,延长FD到点G,使DG B-45{'EAD-90{,DE= AE+AD= BE,连接AG': B+ ADC-180{$ ADG十 13.故选B. ADC=180{*,.' B= ADG.在△ABE 和 4.B 【解析】如答图,过点F分别作FH BC于点 [AB-AD. H,FN CE于点N..△ABC是等边三角形, △ADG中,{ B- ADG...△ABE △ADG '$AB-B$C=AC=7.$B- ACB=6 0$}=$BA$C$$ BE-DG. 由旋转的性质得AD-DE, ADE-60{}。..△ADE (SAS)..$AE=AG.BAE=DAG..EF 为等边三角形,.AD=DE,ADE=60^{*} BE+FD...EF=DG+DF=GF,在△AEF 和 BAC.·BAC-DAC=DAE-DAC. [AE-AG. . BAD-CAE..△ABD△ACE(SAS). △AGF中,AF=AF,'.△AEF△AGF(SSS), '$BD-CE. B- ACE=60{*$·BD=2.'$CD= $$.CE=2.·' ACE=60*= ACB,FH 1BC$$ EF-GF. CE·FN '. EAF= GAF-55^{}·' $BAE=$GAD$ '. BAE+ DAF=GAD+DAF=55*$ Sp CD·FH *. BAD- EAG-2 EAF=110*$$$ “.C..A D 第6题答图 7.证明:如答图,在BE上截取BG. 使BG-DF,连接AG. HC B D “:B+ADC=180”, 第4题答图 ADF+ADC=180*, 5.D【解析】解法1:如答图①,过点E分别作EG .乙B-ADF. DF于点G,EH CB的延长线于点H,则 BHE 一 DGE-90{}·.△ABC是边长为2的等边三角 在△ABG和△ADF中. AB-AD. 形,.AB-2,ABC-60{}·四边形ABED是正方 B-/ADF, 第7题答图 形, BE=DE=2. ABE= BED=9 0$$$ '. EBH=180*- ABC- ABE=30{$.'$EH BG-DF, BE·sin EBH=1.BH=BE·cos EBH=3 ..△ABG△ADF(SAS). ·. FG DF,EH BC, DF BC. ..EGF .. BAG= DAF,AG-AF. EHF- GFH-90*$.',四边形EGFH是矩形 ' BAG+EAD=DAF十EAD= EAF= $'$$G=$EH=1.$$BEH+ $BEG=$GEH=9 0$$ · DFG+ BEG=90*$ BEH= DFG. 在 BHE= DGE. △BEH 和△DEG 中, BEH- DEG, BE-DE. [AG-AF, '.BEH DFG(AAS).'DG=BH=3$$ 在△AEG和△AEF中,GAE= FAE, AE-AE, '.DF-DG+FG-V3+1.故选D. '.△AEGC△AEF(SAS)...EG=EF. 解法2:如答图②,延长DA,BC交于点G.·.四边 形ABED是正方形,'BAD-90{*},AD=AB,$ ·FG=BE-BG,.$EF-BE-FD “. BAG-90{*}·△ABC是边长为2的等边三角形 8.V7 【解析】如答图,将△ABM绕点A逆时针旋转 '$AB=2.ABC=60{}'$AG=AB·tan ABC 120{*}得到△ACP,连接PN,过点P作PD |BC于 $$ 3 '$DG-AD+AG=2+2 3.. G=30$$ 点 D.·BAC-120*,AB-ACB- ACB 30{}.由旋转的性质得△ABM△ACP,.B ACP=30{$' NCP=60$BM=$CP=2 .$$$$ BAM=CAP:MAN=60*,BAM+ NAC- NAC+CAP-120*-MAN-60*, 即MAN=PAN.在△MAN和△PAN中, [AM-AP, MAN= PAN,'△MAN△PAN(SAS). 图① 图② AN-AN. 第5题答图 '.MN-PN..PD CN. NCP-60*..'.CD PC·cos 60=1.PD=CD.tan 60-3.'DN= CN-CD-2.MN=PN- PD+DN-$7 DC 第8题答图 9.2V2-2 【解析】如答图,延长CD到点G,使DG= BM·四边形ABCD为正方形,.'AD=BC-AB BAD= ADC=90{' ADG= ADN= B=$$$ 9 0.又':'BM=DG,AB=AD..'$ABM△ADG (SAS)..BAM=DAG,AM=AG·MAN $4$5 {*} 'BAM+DAN=45{ .'DAG+ DAN= 4$5*,即 GAN=45{。在△GAN和△MAN中 [AG-AM. {GAN=MAN,'△GAN△MAN(SAS). AN-/AN. '.GN-MN.设BM=x.MN=y,则GN=y.DG= x..BC=CD-1.'CM=1-x.CN=x-y+1.在 R△CMN中,由勾股定理得MN{}一CM{}+CN,即 1 r十1 2..'.MN的最小值为2v2-2. 1高 第9题答图 11