热点03 圆填空题（5大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（北京专用）

热点03 圆填空题 圆是中考数学的必考考点，基础题一般出现在北京中考的第13题，第14题，第15题等。多以填空题的形式出现。多考察圆的基础知识，一般不涉及辅助线，或含有简单辅助线例如链接，熟练掌握圆的基础知识可以轻松得分。 【题型1 求度数】 主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点，掌握圆周角定理成为解题的关键．还需掌握切线的性质，四边形的内角和等。 1．（2024年北京市燕山区中考数学押题模拟）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 2．（2024年北京市清华大学附属中学中考三模）如图，为的直径，C为上一点，，，交于点D，连接，那么 ． 3．（北京师范大学实验中学2022-2023学年九年级三模）如图，是的弦，是的切线，若，则 °． 4．（北京市第三十五中学2022-2023学年九年级下学期数学开学）如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °． 5．（2024·北京延庆·模拟预测）如图，与分别相切于A，B两点，连接．若，则的度数为 ．    【题型2 求线段长】 考查了圆的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 6．（2022年年北京理工附中九年级下二模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为点，，，则 ． 7．（2022·北京朝阳·二模）如图，为的弦，的半径为，于点，交于点，且，则弦的长是 ． 8．（2024·北京大兴·二模）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．若，，则的长是 ． 9．（2024·北京门头沟·二模）如图，是的直径，弦于点，，如果则的半径长为 ． 10．（2024·北京朝阳·一模）如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为 ．    【题型3 求阴影部分面积】 考查了30度所对直角边等于斜边一半、勾股定理、垂径定理、圆周角定理和扇形面积公式，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 11．（2024·北京顺义·二模）小红在手工课上制作的折扇，折扇展开是一个扇形，如图所示，已知扇形的半径是，扇形的圆心角是，则扇形的面积是 ． 12．（北京市首都师范大学第二附属中学2024~2025学年上学期九年级10月）如图，已知与相切于点A，点B为上一点，，过点B作于点C，交于点D，连接．已知，则图中阴影部分的面积是 ． 13．（2023·北京门头沟·二模）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、E、D分别在、弧上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分的面积是 ． 14．（北京市玉渊潭中学2023-2024学年九年级下学期开学）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ．    15．（北京市第二中学2023-2024学年九年级下学期月考）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【题型4 圆与三角函数综合】 考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，三角函数等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，三角函数的相关知识是解题的关键． 16．（2022·北京东城·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以为直径的圆过C，D两点，则 ． 17．（北京师范大学附属中学2023-2024 学年九年级下学期月考）如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则 ． 18．（23-24九年级下·北京海淀·开学考试）如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则 ． 19．（2021·北京海淀·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在网格交点上，是的外接圆，则的值是 ． 20．（2023·北京海淀·二模）如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则 ． 【题型5 圆相关的最值问题】 主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形或利用垂线段最短等性质是解题的关键． 21．（北京陈经纶中学2020—2021学年九年级上学期12月）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为 ． 22．（北京市铁路第二中学2023-2024学年九年级上学期期中）如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 23．（北京市昌平区2023-2024学年九年级上学期期末）如图，是直径，点C是上一点，且，点D是的中点，点P是直径上一动点，则的最小值为 ． 24．（北京市三帆中学2024一2025学年上学期期末模拟）如图所示， 是的直径，，， 的切线与直线交于点，点是上一个动点． 过作， 垂足为， 则 的最大值为 ． 25．（北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2024~2025学年上学期九年级期中）如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为 ．    （建议用时：20分钟） 一、单选题 1．如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点在的延长线上，与相切，切点为点，如果，那么（　　） A． B． C． D． 3．如图，以点O为圆心的扇形中，，，再以点A为圆心，为半径作弧，交弧于点C，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，弦，半径于点，，则的半径为（    ）    A． B． C． D．5 5．如图，在中，直径于点，，，则弦的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 二、填空题 6．如图，是的角平分线，过点的圆与相切，与边分别交于点．若，，，则的长为 ． 7．如图，已知正方形与正五边形都内接于，则的度数为 ． 8．如图，点、、是正方形网格上的三个格点，以为圆心，为半径作，点是圆上任意一点，且是锐角，则的值为 ． 9．如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上一点，于点E，于点H，连接．若，则 ． 10．如图，正方形边长为，内切圆上一动点，连接、，则的最小值为 ． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点03 圆填空题 圆是中考数学的必考考点，基础题一般出现在北京中考的第13题，第14题，第15题等。多以填空题的形式出现。多考察圆的基础知识，一般不涉及辅助线，或含有简单辅助线例如链接，熟练掌握圆的基础知识可以轻松得分。 【题型1 求度数】 主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识点，掌握圆周角定理成为解题的关键．还需掌握切线的性质，四边形的内角和等。 1．（2024年北京市燕山区中考数学押题模拟）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为 ． 【答案】/13度 【详解】解：∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024年北京市清华大学附属中学中考三模）如图，为的直径，C为上一点，，，交于点D，连接，那么 ． 【答案】/40度 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为． 3．（北京师范大学实验中学2022-2023学年九年级三模）如图，是的弦，是的切线，若，则 °． 【答案】58 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：58． 4．（北京市第三十五中学2022-2023学年九年级下学期数学开学）如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °． 【答案】 【详解】解：，是的两条切线， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（2024·北京延庆·模拟预测）如图，与分别相切于A，B两点，连接．若，则的度数为 ．    【答案】/132度 【详解】∵与分别相切于A，B两点， ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 【题型2 求线段长】 考查了圆的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 6．（2022年年北京理工附中九年级下二模）如图，是的直径，是的弦，，垂足为点，，，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知，垂直平分，， ， 在中，， ． 故答案为：． 7．（2022·北京朝阳·二模）如图，为的弦，的半径为，于点，交于点，且，则弦的长是 ． 【答案】 【详解】连接，如图， ∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2024·北京大兴·二模）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．若，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示， ∵， ∴， ∵，是直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2024·北京门头沟·二模）如图，是的直径，弦于点，，如果则的半径长为 ． 【答案】2 【详解】解：如图，连接，， ∵是的直径，弦， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 10．（2024·北京朝阳·一模）如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴，即， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴． 【题型3 求阴影部分面积】 考查了30度所对直角边等于斜边一半、勾股定理、垂径定理、圆周角定理和扇形面积公式，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 11．（2024·北京顺义·二模）小红在手工课上制作的折扇，折扇展开是一个扇形，如图所示，已知扇形的半径是，扇形的圆心角是，则扇形的面积是 ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 12．（北京市首都师范大学第二附属中学2024~2025学年上学期九年级10月）如图，已知与相切于点A，点B为上一点，，过点B作于点C，交于点D，连接．已知，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 由圆周角定理可得： ， ． 故答案为: 13．（2023·北京门头沟·二模）如图，扇形的圆心角为直角，边长为1的正方形的顶点C、E、D分别在、弧上，，交的延长线于点F．则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：正方形的边长为1， ， ， ，，， 长方形的面积 故答案为：． 14．（北京市玉渊潭中学2023-2024学年九年级下学期开学）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】 【详解】解：设旋转后与半圆O交于点C，连接，过点C作于点D，如图，   ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（北京市第二中学2023-2024学年九年级下学期月考）如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【详解】解：记与半圆O交于点，连接，作于点， 由旋转的性质可知，两个半圆面积相等，， 图中阴影部分的面积， 若， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积是， 故答案为：． 【题型4 圆与三角函数综合】 考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，三角函数等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，三角函数的相关知识是解题的关键． 16．（2022·北京东城·二模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以为直径的圆过C，D两点，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 17．（北京师范大学附属中学2023-2024 学年九年级下学期月考）如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 18．（23-24九年级下·北京海淀·开学考试）如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴OD＝， ∴． 故答案为：． 19．（2021·北京海淀·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点均在网格交点上，是的外接圆，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作直径BD，连接CD， 由勾股定理得，BD=， 在Rt△BDC中，cos∠BDC=， 由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC， ∴cos∠BAC=cos∠BDC=， 故答案为：． 20．（2023·北京海淀·二模）如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查垂径定理、解直角三角形，先利用垂径定理得到，再利用勾股定理求得，然后利用正切定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，又， ∴， ∴， 故答案为：3． 【题型5 圆相关的最值问题】 主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形或利用垂线段最短等性质是解题的关键． 21．（北京陈经纶中学2020—2021学年九年级上学期12月）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，的半径为1，直线切于点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接、，如图， 直线切于点， ， 在中，， 当最小时，最小， 当直线时，有最小值2， 的最小值为． 故答案为． 22．（北京市铁路第二中学2023-2024学年九年级上学期期中）如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：作A关于的对称点Q，连接交于P，此时， 根据两点之间线段最短，的最小值为的长度， 连接， ∵点B为弧的中点， ∴， ∵A、Q关于对称， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，即的最小值为4． 故答案为：4． 23．（北京市昌平区2023-2024学年九年级上学期期末）如图，是直径，点C是上一点，且，点D是的中点，点P是直径上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，，，，． 可知，根据“两点之间线段最短”得当C，P，三点共线时，最小，即． ∵点C在上，，点D是的中点， ∴， ∵点D关于的对称点， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 24．（北京市三帆中学2024一2025学年上学期期末模拟）如图所示， 是的直径，，， 的切线与直线交于点，点是上一个动点． 过作， 垂足为， 则 的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：在延长线取点，使得， ∴，即求的最大值， ∵， ∴， ∴随着的运动，时， 当平移至与相切时，有最大值，延长交于点， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴，， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 的最大值为， 故答案为：． 25．（北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2024~2025学年上学期九年级期中）如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大值为 ．    【答案】/ 【详解】如图，过点作的垂线，在垂线上截取，连接，   ， ， 绕点顺时针旋转得到， ， 在和中， ， ， ， 连接，并延长交圆于点，即为最大值， ，， ， ， ， ， 故答案为：． （建议用时：20分钟） 一、单选题 1．如图，是的直径，是的中点，连接，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，得到，得出，即可得到答案． 【详解】如图，连接， 是的中点， ， ， ， 故选：A． 2．如图，是的直径，点在的延长线上，与相切，切点为点，如果，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，连接，由切线的性质推导出，而，所以，于是得到问题的答案．正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 与相切，切点为点， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．如图，以点O为圆心的扇形中，，，再以点A为圆心，为半径作弧，交弧于点C，则阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查计算不规则图形的面积，等边三角形的判定和性质．掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，，先证是等边三角形，根据阴影部分的面积求解． 【详解】解：如图，连接，，作于点H， 由作图知，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积， 故选D． 4．如图，在中，弦，半径于点，，则的半径为（    ）    A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵在中，弦，半径于点， ∴， ∴， 故选：D． 5．如图，在中，直径于点，，，则弦的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：，， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：B． 二、填空题 6．如图，是的角平分线，过点的圆与相切，与边分别交于点．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，作圆O的直径，连接，证明，同理，连接，，是的角平分线，是的切线，得，证明，对应边成比例得，证明，求出，再证明，求出，进而可得BC． 【详解】解：如图，作圆O的直径，连接， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，， 连接， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，已知正方形与正五边形都内接于，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，熟练掌握正五边形和正方形的性质是解题的关键．根据题意得到，求得，得到，即可得到结论． 【详解】解：正方形与正五边形都内接于， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 8．如图，点、、是正方形网格上的三个格点，以为圆心，为半径作，点是圆上任意一点，且是锐角，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值等知识点，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半成为解题的关键． 根据题意求出，根据圆周角定理求出的度数，再根据特殊角的三角函数值解答即可． 【详解】解：由题意和正方形的性质得，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上一点，于点E，于点H，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】过点作于点G，连接，证明是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得，根据三角形外接圆的性质可得点O在上，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理求出，，由圆周角定理得到，结合，证明，推出即可． 【详解】解：过点作于点G，连接， ∵D为优弧的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵是的外接圆， ∴点O在上， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点H，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 10．如图，正方形边长为，内切圆上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆与相似三角形的综合应用，勾股定理，正方形的性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据正方形的性质和勾股定理求出、的长，以及内切圆的半径，构建相似三角形，根据相似三角形的对应边之比相等求出，结合两点之间，线段最短即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为， 故正方形的对角线， ∴， ∵点在正方形的内切圆上， 故， 在上取一点，使得，连接、、，如图： 故， ∵，，， ∴， ∴， 即， 故， 当点、、三点共线时，，此时，的值最小， 即点、、三点共线时，有最小值，为． 故答案为： ． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$