第三单元专项练习10：单位“1”转化问题-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）北师大版

第 1 页 共 4 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元专项练习 10：单位“1”转化问题 一、填空题。 1．我国古代哲学名篇《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半， 万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这 样推算，第三天截取后木棍剩下部分的长度占原来长度的( )（填写分数）。 2．一瓶饮料，红红喝了它的 1 2，妈妈喝了剩下的 1 2，她们一共喝了这瓶饮料的 ( )。 3．有一本书 320页，淘淘第一天看了全书的 14，第二天看了余下的 1 6 ，第三天 要从第( )页开始看。 4．一本故事书 150页，第一天看了全书的 15，第二天看了余下的 1 6 ，还剩下 ( )页没有看，第三天应从( )页看起。 5．一根彩带长 9 11 米，第一次截下 1 3，第二次又截去剩下的 1 3，两次一共截去了 全长的( )，还剩下( )米。 6．一段铁丝，第一次剪去它的 1 2，第二次剪去剩下的 1 2，第二次剪去的是这段 铁丝的( )。 7．贝贝读一本书，第一天读了全书的 1 9 ，第二天读了余下的 3 16，那么第二天读 了全书的( )，如果这本书有 162页，还剩下( )页没读。 8．丁丁看一本 180页的故事书，第一天看了全书的 13，第二天看了余下页数的 3 5， 第二天看了全书的    ，第二天看了( )页。 9．27米长的木棒，先截去它的 13，再截去它余下的 1 3，则余下部分的长为 ( )m。 10．“小明第一周花费了本月生活费的 14，第二周花费了余下钱数的 1 3，若把本月 第 2 页 共 4 页 生活费看作单位“1”，则第一周过后还剩下( )，第二周花费的就是它的 13， 第二周花费了全部的( )，由此看来前两周的花费( )。 二、解答题。 11．宣纸质地柔韧，经久耐用，被称为“千年寿纸”。从古至今，宣纸都是创作中 国书面的最佳材料。为了迎接学校书法比赛，六（1）班买来 40张宣纸供大家练 习使用，第一次用去了 1 5，第二次用去了剩下的 1 4 。还剩下几分之几的宣纸没有 用？ 12．大张超市运来 2000千克西瓜，第一天卖出 14，第二天卖出余下的 2 3 ，大张 超市还剩下多少千克的西瓜？ 13．一瓶牛奶重 3 4 kg，淘气喝了这瓶牛奶的 13，笑笑喝了剩下牛奶的 1 2。谁喝得 多？ 14．某工程队修一条长 600米长的公路，第一阶段修了全长的 13，第二阶段修了 剩下的 2 5 ，那么还剩下多少米没有完成？ 第 3 页 共 4 页 15．小杰去新华书店买书，共带了 60元钱。他先买了一本科普读物，恰好花了 他所带钱数的 1 3，接着他又用剩下钱数的 2 5 买了一本小说，那么小杰还剩下多少 元钱？ 16．一桶油重 80千克。第一次用去它的 14 ,第二次用去余下的 1 2 ,还剩下多少千克 油？ 17．幼儿园老师准备折 1200只纸花，她们第一天完成了任务的 15，第二天完成 了余下任务的 1 2，第三天需要折多少只才能完成任务？ 18．2019年植树节，青年植树队计划种植 600棵树苗，分给第一队全部树苗的 25 ， 余下树苗的 2 3 分给第二队，其余的分给第三队。第二队分得了全部树苗的几分 之几？第三队分得了多少棵树苗？ 19．淘气周末去姥姥家，坐公交车行了全程的一半后，剩下路程的 2 3 骑自行车， 余下路程步行。他骑自行车的路程占全程的几分之几？步行的路程占全程的几分 之几？ 第 4 页 共 4 页 20．聪聪幼儿园买 156个苹果，中班小朋友拿 13 走,大班小朋友拿走余下 3 4 的 ， 还剩多少个苹果？ 第 1 页 共 12 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元专项练习 10：单位“1”转化问题 一、填空题。 1．我国古代哲学名篇《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半， 万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这 样推算，第三天截取后木棍剩下部分的长度占原来长度的( )（填写分数）。 【答案】 1 8 【分析】根据题意，每天截取一半，则每次截取的和剩下的一样多，第一天截取 的是木棍总长度的 1 2 ，第二天截取的是 1 2的 1 2，即 1 2 × 1 2＝ 1 4，第三天截取的是 1 4 的 1 2，即 1 4 × 1 2＝ 1 8，据此解答。 【详解】 1 2 × 1 2 × 1 2＝ 1 8 即第三天截取后木棍剩下部分的长度占原来长度的 1 8。 2．一瓶饮料，红红喝了它的 1 2，妈妈喝了剩下的 1 2，她们一共喝了这瓶饮料的 ( )。 【答案】 3 4 【分析】一瓶饮料，红红喝了它的 1 2，还剩这瓶饮料的 1 2，妈妈喝了剩下的 1 2， 即喝了这瓶饮料的 1 4，将红红和妈妈喝了这瓶饮料的几分之几相加即可。 【详解】 1 2＋ 1 2 × 1 2 ＝ 1 2＋ 1 4 ＝ 2 4＋ 1 4 ＝ 3 4 她们一共喝了这瓶饮料的 3 4 。 3．有一本书 320页，淘淘第一天看了全书的 14，第二天看了余下的 1 6 ，第三天 第 2 页 共 12 页 要从第( )页开始看。 【答案】121 【分析】把全书的总页数看作单位“1”，第一天看了全书的 14，用全书的总页数 × 14 ，求出第一天看的页数，用总页数－第一天看的也是，求出余下的页数，再 把余下的页数看作单位“1”，第二天看了余下的 1 6 ，用余下的页数× 1 6 ，求出第二 天看的页数，把第一天看的页数＋第二天看的页数，求出两天看的页数，再加上 1，就是第三天从第几页开始看。 【详解】320× 14 ＋（320－320× 1 4）× 1 6 ＋1 ＝80＋（320－80）× 1 6 ＋1 ＝80＋240× 1 6 ＋1 ＝80＋40＋1 ＝120＋1 ＝121（页） 有一本书 320页，淘淘第一天看了全书的 14，第二天看了余下的 1 6 ，第三天要从 第 121页开始看。 4．一本故事书 150页，第一天看了全书的 15，第二天看了余下的 1 6 ，还剩下 ( )页没有看，第三天应从( )页看起。 【答案】 100 51 【分析】把全书的总页数看作单位“1”，第一天看了全书的 15，用全书的总页数 × 15，求出第一天看的页数；再用全书总页数－第一天看的页数，求出第一天看 完剩下的页数，再把第一天看过完剩下的页数看作单位“1”，第二天看了余下的 1 6 ， 再用第一天看完后剩下的页数× 1 6 ，求出第二天看的页数，再用这本书的总页数 －第一天看页数－第二天看的页数，就是剩下的页数；再把第一天看的页数＋第 二天看的页数＋1，就是第三天应从第几页看起。 【详解】150× 15＝30（页） 第 3 页 共 12 页 （150－30）× 1 6 ＝120× 1 6 ＝20（页） 150－30－20 ＝120－20 ＝100（页） 30＋20＋1 ＝50＋1 ＝51（页） 一本故事书 150页，第一天看了全书的 15，第二天看了余下的 1 6 ，还剩下 100页 没有看，第三天应从 51页看起。 5．一根彩带长 9 11 米，第一次截下 1 3，第二次又截去剩下的 1 3，两次一共截去了 全长的( )，还剩下( )米。 【答案】 5 9 4 11 【分析】把彩带的全长看作单位“1”，用 1－ 13，求出第一次截下后剩下的分率， 再把第一次截下后剩下的长度看作单位“1”，用第一次截下后剩下的分率× 13，求 出第二次截下的分率，再加上第一次截下的分率，求出两次一共截去全长的几分 之几；再用 1减去两次截去全长的分率，求出剩下的长度占全长的分率，再用彩 带的全长×剩下的长度占全长的分率，即可求出剩下的长度。 【详解】（1－ 13）× 1 3＋ 1 3 ＝ 2 3 × 13＋ 1 3 ＝ 2 9 ＋ 1 3 ＝ 2 9 ＋ 3 9 ＝ 5 9 9 11 ×（1－ 59） 第 4 页 共 12 页 ＝ 9 11 × 49 ＝ 4 11（米） 一根彩带长 9 11 米，第一次截下 1 3，第二次又截去剩下的 1 3，两次一共截去了全长 的 5 9，还剩下 4 11米。 6．一段铁丝，第一次剪去它的 1 2，第二次剪去剩下的 1 2，第二次剪去的是这段 铁丝的( )。 【答案】 1 4 【分析】将铁丝长度看作单位“1”，第一次剪去它的 1 2，还剩这段铁丝的（1－ 1 2）， 再将剩下的长度看作单位“1”，剩下的对应分率×第二次剪去的对应分率＝第二次 剪去这段铁丝的几分之几，据此列式计算。 【详解】（1－ 1 2）× 1 2 ＝ 1 2 × 1 2 ＝ 1 4 第二次剪去的是这段铁丝的 1 4。 7．贝贝读一本书，第一天读了全书的 1 9 ，第二天读了余下的 3 16，那么第二天读 了全书的( )，如果这本书有 162页，还剩下( )页没读。 【答案】 1 6 117 【分析】根据题意可知，把全书看成单位“1”，第一天读完之后，还有全书的（1 － 1 9 ）没读，用（1－ 1 9 ）乘第二天读了余下的 3 16，即可算出第二天读了全书的 多少，再用求出的答案加上第一天读了全书的 1 9 之和乘全书的页数，算出读了的 页数，最后用 162减去读了的页数，即可算出还剩下多少页没读。 【详解】第二天读了全书的：（1－ 1 9 ）× 3 16 ＝ 8 3 9 16  第 5 页 共 12 页 ＝ 1 6 读了的页数：（ 1 1 6 9 + ）×162 ＝（ 3 2 18 18  ）×162 ＝ 5 18 ×162 ＝45（页） 没读的页数：162－45＝117（页） 【点睛】此题考查了学生的分析理解能力，关键是要把全书看作单位“1”。 8．丁丁看一本 180页的故事书，第一天看了全书的 13，第二天看了余下页数的 3 5， 第二天看了全书的    ，第二天看了( )页。 【答案】 2 5 ；72 【分析】用单位“1”减去 13，求出余下页数占全书的几分之几，再将其乘 3 5，求出 第二天看的占全书的几分之几，从而利用乘法求出第二天具体看了多少页。 【详解】（1－ 13）× 3 5 ＝ 2 3 × 35 ＝ 2 5 180× 25 ＝72（页） 所以，第二天看了全书的 2 5 ，第二天看了 72页。 【点睛】本题考查了分数乘法的应用，求一个数的几分之几是多少，用乘法。 9．27米长的木棒，先截去它的 13，再截去它余下的 1 3，则余下部分的长为 ( )m。 【答案】12 【分析】根据题意，把木棒长看作单位“1”，先截去它的 13，剩余的长是：27×（1 － 1 3），剩余的再截去 1 3，就是 27×（1－ 1 3）× 1 3，剩下的部分就用先截去 1 3剩下 第 6 页 共 12 页 的部分减去余下截去 1 3部分。 【详解】27×（1－ 13）－27×（1－ 1 3）× 1 3 ＝27× 2 3 －27× 2 3 × 13 ＝18－18× 13 ＝18－6 ＝12（m） 【点睛】本题考查分数乘法的计算，求一个数的几分之几是多少。 10．“小明第一周花费了本月生活费的 14，第二周花费了余下钱数的 1 3，若把本月 生活费看作单位“1”，则第一周过后还剩下( )，第二周花费的就是它的 13， 第二周花费了全部的( )，由此看来前两周的花费( )。 【答案】 3 4 1 4 相等 【分析】若把本月的生活费看作是单位“1”，则第一周过后还剩下（1－ 14）＝ 3 4 ，第二周花费的就是它的 1 3，即 3 4 的 1 3，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出 第二周花费了全部的几分之几，然后把第一周的花费和第二周的花费进行比较即 可。 【详解】1－ 14＝ 3 4 ； 3 4 × 13＝ 1 4； 因为第一周和第二周都花费了本月生活费的 1 4， 所以第一周的花费和第二周的花费相等。 【点睛】此题考查了判断单位“1”的方法：一般是把“比、占、是、相当于”后面 的量看作单位“1”，即分数“的”字前面的量看作单位“1”；用到的知识点：一个数 乘分数的意义。 二、解答题。 11．宣纸质地柔韧，经久耐用，被称为“千年寿纸”。从古至今，宣纸都是创作中 国书面的最佳材料。为了迎接学校书法比赛，六（1）班买来 40张宣纸供大家练 第 7 页 共 12 页 习使用，第一次用去了 1 5，第二次用去了剩下的 1 4 。还剩下几分之几的宣纸没有 用？ 【答案】 3 5 【分析】将买来的宣纸总数量看作单位“1”，1－第一次用去了几分之几＝第一次 用后剩下这些宣纸的几分之几，第一次用后剩下这些宣纸的几分之几×第二次用 去的对应分率＝第二次用去了这些宣纸的几分之几，1－第一次用去了几分之几 －第二次用去了几分之几＝还剩下几分之几没有用，据此列式解答。 【详解】1－ 15－（1－ 1 5）× 1 4 ＝ 4 5 － 4 5 × 1 4 ＝ 4 5 － 1 5 ＝ 3 5 答：还剩下 3 5的宣纸没有用。 【点睛】本题出现的两个分率单位“1”不统一，关键是统一单位“1”，然后再用减 法计算。 12．大张超市运来 2000千克西瓜，第一天卖出 14，第二天卖出余下的 2 3 ，大张 超市还剩下多少千克的西瓜？ 【答案】500千克 【分析】第一天卖出西瓜总重量的 1 4 ，是把西瓜总重量看作单位“1”，单位“1”已 知，根据分数乘法的意义，列式：2000× 14 ，求出第一天卖出的西瓜的重量，西 瓜总重量减去第一天卖出的西瓜的重量，等于余下西瓜的重量，把余下西瓜的重 量看作单位“1”， 单位“1”已知，根据分数乘法的意义，用余下西瓜的重量乘 23 ， 求出第二天卖出的西瓜的重量，用余下西瓜的重量减去第二天卖出的西瓜的重量， 即可求出大张超市还剩下多少千克的西瓜。 【详解】2000－2000× 14 ＝2000－500 第 8 页 共 12 页 ＝1500（千克） 1500－1500× 23 ＝1500－1000 ＝500（千克） 答：大张超市还剩下 500千克的西瓜。 【点睛】此题的解题关键是确定前后单位“1”的不同，掌握求一个数的几分之几 是多少的计算方法。 13．一瓶牛奶重 3 4 kg，淘气喝了这瓶牛奶的 13，笑笑喝了剩下牛奶的 1 2。谁喝得 多？ 【答案】一样多 【分析】淘气喝了这瓶牛奶的 1 3，是把这瓶牛奶的质量看作单位“1”，则还剩下 这瓶牛奶的（1－ 13）；笑笑喝了剩下牛奶的 1 2，是把剩下的牛奶质量看作单位“1”， 那么笑笑喝了（1－ 13）× 1 2；比较两人喝的牛奶占这瓶牛奶的分率大小，得出结 论。 【详解】淘气喝了这瓶牛奶的 1 3； 笑笑喝了这瓶牛奶的： （1－ 13）× 1 2 ＝ 2 3 × 1 2 ＝ 1 3 1 3＝ 1 3 答：淘气和笑笑喝的一样多。 【点睛】明确单位“1”的不同，以及求一个数的几分之几是多少，用乘法计算是 解题的关键。 14．某工程队修一条长 600米长的公路，第一阶段修了全长的 13，第二阶段修了 剩下的 2 5 ，那么还剩下多少米没有完成？ 第 9 页 共 12 页 【答案】240米 【分析】第一阶段修了全长的 1 3，还剩全长的 1－ 1 3＝ 2 3 ，根据求一个数的几分 之几是多少用 600×（1－ 13）＝400（米），第二阶段修了剩下的 2 5 ，还剩 1－ 2 5 ＝ 3 5，求 400的 3 5即是还没有完成的，用 400×（1－ 2 5 ）。据此解答。 【详解】方法一： 1 2600 1 1 3 5               2 3600 3 5    240 （米） 答：还剩下 240米没有完成。 方法二： 1600 200 3   （米） 2(600 200) 160 5    （米） 600 200 160 240   （米） 答：还剩下 240米没有完成。 【点睛】解答此题的关键是先求出第一阶段修了后还剩的长度，再根据分数乘法 的意义解答。 15．小杰去新华书店买书，共带了 60元钱。他先买了一本科普读物，恰好花了 他所带钱数的 1 3，接着他又用剩下钱数的 2 5 买了一本小说，那么小杰还剩下多少 元钱？ 【答案】24元 【详解】60－60× 13 ＝60－20 ＝40（元） 40×（1－ 25 ） ＝40× 35 ＝24（元） 第 10 页 共 12 页 答：小杰还剩下 24元钱。 16．一桶油重 80千克。第一次用去它的 14 ,第二次用去余下的 1 2 ,还剩下多少千克 油？ 【答案】30千克 【详解】80×(1- 14 )=60(千克） 60×(1- 1 2 )=30(千克） 答：还剩下 30千克油. 17．幼儿园老师准备折 1200只纸花，她们第一天完成了任务的 15，第二天完成 了余下任务的 1 2，第三天需要折多少只才能完成任务？ 【答案】480只 【分析】把要折的纸花总数看作单位“1”，第一天完成了任务的 15，用纸花的总 数× 15，求出第一天折纸花的数量；第二天完成了余下任务的 1 2，是把余下的数 量看作单位“1”，先用总数减去第一天折的数量求出余下的数量，再乘 1 2，即是 第二天折的数量；最后用总数分别减去第一天、第二天折的数量，求出第三天需 要折纸花的数量。 【详解】第一天完成：1200× 15＝240（只） 第二天完成： （1200－240）× 1 2 ＝960× 1 2 ＝480（只） 第三天需完成： 1200－240－480 ＝960－480 ＝480（只） 答：第三天需要折 480只才能完成任务。 【点睛】分数乘法的意义：求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 第 11 页 共 12 页 18．2019年植树节，青年植树队计划种植 600棵树苗，分给第一队全部树苗的 25 ， 余下树苗的 2 3 分给第二队，其余的分给第三队。第二队分得了全部树苗的几分 之几？第三队分得了多少棵树苗？ 【答案】第二队： 2  5 第三队：120棵 【分析】（1）将树苗总量当作单位“1”分给了第一队全部树苗的 25 ，根据分数减 法的意义，还剩下全部的 1－ 25 ，又余下树苗的 2 3 分给了第二队，根据分数乘法 的意义，第二队分得了全部的（1－ 25 ）× 2 3 。 （2）根据分数减法的意义，用单位“1”分别减去第一队和第二队分得的占总量的 分率，即得第三队分得了总量的几分之几，根据分数乘法的意义，用总量乘第三 队分得的占总量的分率，即得第三队分得了多少棵树苗。 【详解】第二队：（1－ 25 ）× 2 3 ＝ 3 2 5 3  ＝ 2 5 600×（1－ 25 － 2 5 ） ＝600× 15 ＝120（棵） 答：第二队分得了全部树苗的 2 5 ，第三队分得了 120棵树苗。 【点睛】此题主要考查分数乘法的相关应用，找准单位“1”是解题关键，求一个 数的几分之几用乘法解决。 19．淘气周末去姥姥家，坐公交车行了全程的一半后，剩下路程的 2 3 骑自行车， 余下路程步行。他骑自行车的路程占全程的几分之几？步行的路程占全程的几分 之几？ 【答案】 1 3； 1 6 【分析】由题意可知，把全程看作单位“1”，坐公交车行了全程的一半后，则还 第 12 页 共 12 页 剩下全程的（1－ 1 2），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，则骑自 行车的路程占全程的（1－ 1 2）× 2 3 ，用单位“1”减去坐公交车和骑自行车行驶的 路程占全程的分率即可求出步行的路程占全程的几分之几。 【详解】（1－ 1 2）× 2 3 ＝ 1 2 × 2 3 ＝ 1 3 1－ 1 2－ 1 3 ＝ 1 2－ 1 3 ＝ 1 6 答：他骑自行车的路程占全程的 1 3，步行的路程占全程的 1 6 。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 20．聪聪幼儿园买 156个苹果，中班小朋友拿 13 走,大班小朋友拿走余下 3 4 的 ， 还剩多少个苹果？ 【答案】26个 【详解】156×（1- 13 ）×(1- 3 4 )=26（个） 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元专项练习10：单位“1”转化问题 一、填空题。 1．我国古代哲学名篇《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这样推算，第三天截取后木棍剩下部分的长度占原来长度的( )（填写分数）。 【答案】 2．一瓶饮料，红红喝了它的，妈妈喝了剩下的，她们一共喝了这瓶饮料的( )。 【答案】 3．有一本书320页，淘淘第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天要从第( )页开始看。 【答案】121 4．一本故事书150页，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩下( )页没有看，第三天应从( )页看起。 【答案】 100 51 5．一根彩带长米，第一次截下，第二次又截去剩下的，两次一共截去了全长的( )，还剩下( )米。 【答案】 6．一段铁丝，第一次剪去它的，第二次剪去剩下的，第二次剪去的是这段铁丝的( )。 【答案】 7．贝贝读一本书，第一天读了全书的，第二天读了余下的，那么第二天读了全书的( )，如果这本书有162页，还剩下( )页没读。 【答案】 117 8．丁丁看一本180页的故事书，第一天看了全书的，第二天看了余下页数的，第二天看了全书的，第二天看了( )页。 【答案】；72 9．27米长的木棒，先截去它的，再截去它余下的，则余下部分的长为( )m。 【答案】12 10．“小明第一周花费了本月生活费的，第二周花费了余下钱数的，若把本月生活费看作单位“1”，则第一周过后还剩下( )，第二周花费的就是它的，第二周花费了全部的( )，由此看来前两周的花费( )。 【答案】 相等 二、解答题。 11．宣纸质地柔韧，经久耐用，被称为“千年寿纸”。从古至今，宣纸都是创作中国书面的最佳材料。为了迎接学校书法比赛，六（1）班买来40张宣纸供大家练习使用，第一次用去了，第二次用去了剩下的。还剩下几分之几的宣纸没有用？ 【答案】 1－－（1－）× ＝－× ＝－ ＝ 答：还剩下的宣纸没有用。 12．大张超市运来2000千克西瓜，第一天卖出，第二天卖出余下的，大张超市还剩下多少千克的西瓜？ 【答案】 2000－2000× ＝2000－500 ＝1500（千克） 1500－1500× ＝1500－1000 ＝500（千克） 答：大张超市还剩下500千克的西瓜。 13．一瓶牛奶重kg，淘气喝了这瓶牛奶的，笑笑喝了剩下牛奶的。谁喝得多？ 【答案】 淘气喝了这瓶牛奶的； 笑笑喝了这瓶牛奶的： （1－）× ＝× ＝ ＝ 答：淘气和笑笑喝的一样多。 14．某工程队修一条长600米长的公路，第一阶段修了全长的，第二阶段修了剩下的，那么还剩下多少米没有完成？ 【答案】 方法一： （米） 答：还剩下240米没有完成。 方法二：   （米） （米） （米） 答：还剩下240米没有完成。 15．小杰去新华书店买书，共带了60元钱。他先买了一本科普读物，恰好花了他所带钱数的，接着他又用剩下钱数的买了一本小说，那么小杰还剩下多少元钱？ 【答案】 60－60× ＝60－20 ＝40（元） 40×（1－） ＝40× ＝24（元） 答：小杰还剩下24元钱。 16．一桶油重80千克。第一次用去它的,第二次用去余下的,还剩下多少千克油？ 【答案】 80×(1-)=60(千克） 60×(1-)=30(千克） 答：还剩下30千克油. 17．幼儿园老师准备折1200只纸花，她们第一天完成了任务的，第二天完成了余下任务的，第三天需要折多少只才能完成任务？ 【答案】 第一天完成：1200×＝240（只） 第二天完成： （1200－240）× ＝960× ＝480（只） 第三天需完成： 1200－240－480 ＝960－480 ＝480（只） 答：第三天需要折480只才能完成任务。 18．2019年植树节，青年植树队计划种植600棵树苗，分给第一队全部树苗的 ，余下树苗的 分给第二队，其余的分给第三队。第二队分得了全部树苗的几分之几？第三队分得了多少棵树苗？ 【答案】 第二队：（1－）× ＝ ＝ 600×（1－－） ＝600× ＝120（棵） 答：第二队分得了全部树苗的，第三队分得了120棵树苗。 19．淘气周末去姥姥家，坐公交车行了全程的一半后，剩下路程的骑自行车，余下路程步行。他骑自行车的路程占全程的几分之几？步行的路程占全程的几分之几？ 【答案】 （1－）× ＝× ＝ 1－－ ＝－ ＝ 答：他骑自行车的路程占全程的，步行的路程占全程的。 20．聪聪幼儿园买156个苹果，中班小朋友拿 走,大班小朋友拿走余下的 ，还剩多少个苹果？ 【答案】 156×（1- ）×(1- )=26（个） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 6 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元专项练习 10：单位“1”转化问题 一、填空题。 1．我国古代哲学名篇《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半， 万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这 样推算，第三天截取后木棍剩下部分的长度占原来长度的( )（填写分数）。 【答案】 1 8 2．一瓶饮料，红红喝了它的 1 2，妈妈喝了剩下的 1 2，她们一共喝了这瓶饮料的 ( )。 【答案】 3 4 3．有一本书 320页，淘淘第一天看了全书的 14，第二天看了余下的 1 6 ，第三天 要从第( )页开始看。 【答案】121 4．一本故事书 150页，第一天看了全书的 15，第二天看了余下的 1 6 ，还剩下 ( )页没有看，第三天应从( )页看起。 【答案】 100 51 5．一根彩带长 9 11 米，第一次截下 1 3，第二次又截去剩下的 1 3，两次一共截去了 全长的( )，还剩下( )米。 【答案】 5 9 4 11 6．一段铁丝，第一次剪去它的 1 2，第二次剪去剩下的 1 2，第二次剪去的是这段 铁丝的( )。 【答案】 1 4 7．贝贝读一本书，第一天读了全书的 1 9 ，第二天读了余下的 3 16，那么第二天读 了全书的( )，如果这本书有 162页，还剩下( )页没读。 第 2 页 共 6 页 【答案】 1 6 117 8．丁丁看一本 180页的故事书，第一天看了全书的 13，第二天看了余下页数的 3 5， 第二天看了全书的    ，第二天看了( )页。 【答案】 2 5 ；72 9．27米长的木棒，先截去它的 13，再截去它余下的 1 3，则余下部分的长为 ( )m。 【答案】12 10．“小明第一周花费了本月生活费的 14，第二周花费了余下钱数的 1 3，若把本月 生活费看作单位“1”，则第一周过后还剩下( )，第二周花费的就是它的 13， 第二周花费了全部的( )，由此看来前两周的花费( )。 【答案】 3 4 1 4 相等 二、解答题。 11．宣纸质地柔韧，经久耐用，被称为“千年寿纸”。从古至今，宣纸都是创作中 国书面的最佳材料。为了迎接学校书法比赛，六（1）班买来 40张宣纸供大家练 习使用，第一次用去了 1 5，第二次用去了剩下的 1 4 。还剩下几分之几的宣纸没有 用？ 【答案】 1－ 15－（1－ 1 5）× 1 4 ＝ 4 5 － 4 5 × 1 4 ＝ 4 5 － 1 5 ＝ 3 5 答：还剩下 3 5的宣纸没有用。 12．大张超市运来 2000千克西瓜，第一天卖出 14，第二天卖出余下的 2 3 ，大张 超市还剩下多少千克的西瓜？ 第 3 页 共 6 页 【答案】 2000－2000× 14 ＝2000－500 ＝1500（千克） 1500－1500× 23 ＝1500－1000 ＝500（千克） 答：大张超市还剩下 500千克的西瓜。 13．一瓶牛奶重 3 4 kg，淘气喝了这瓶牛奶的 13，笑笑喝了剩下牛奶的 1 2。谁喝得 多？ 【答案】 淘气喝了这瓶牛奶的 1 3； 笑笑喝了这瓶牛奶的： （1－ 13）× 1 2 ＝ 2 3 × 1 2 ＝ 1 3 1 3＝ 1 3 答：淘气和笑笑喝的一样多。 14．某工程队修一条长 600米长的公路，第一阶段修了全长的 13，第二阶段修了 剩下的 2 5 ，那么还剩下多少米没有完成？ 【答案】 方法一： 1 2600 1 1 3 5               2 3600 3 5    240 （米） 第 4 页 共 6 页 答：还剩下 240米没有完成。 方法二： 1600 200 3   （米） 2(600 200) 160 5    （米） 600 200 160 240   （米） 答：还剩下 240米没有完成。 15．小杰去新华书店买书，共带了 60元钱。他先买了一本科普读物，恰好花了 他所带钱数的 1 3，接着他又用剩下钱数的 2 5 买了一本小说，那么小杰还剩下多少 元钱？ 【答案】 60－60× 13 ＝60－20 ＝40（元） 40×（1－ 25 ） ＝40× 35 ＝24（元） 答：小杰还剩下 24元钱。 16．一桶油重 80千克。第一次用去它的 14 ,第二次用去余下的 1 2 ,还剩下多少千克 油？ 【答案】 80×(1- 14 )=60(千克） 60×(1- 1 2 )=30(千克） 答：还剩下 30千克油. 17．幼儿园老师准备折 1200只纸花，她们第一天完成了任务的 15，第二天完成 了余下任务的 1 2，第三天需要折多少只才能完成任务？ 【答案】 第 5 页 共 6 页 第一天完成：1200× 15＝240（只） 第二天完成： （1200－240）× 1 2 ＝960× 1 2 ＝480（只） 第三天需完成： 1200－240－480 ＝960－480 ＝480（只） 答：第三天需要折 480只才能完成任务。 18．2019年植树节，青年植树队计划种植 600棵树苗，分给第一队全部树苗的 25 ， 余下树苗的 2 3 分给第二队，其余的分给第三队。第二队分得了全部树苗的几分 之几？第三队分得了多少棵树苗？ 【答案】 第二队：（1－ 25 ）× 2 3 ＝ 3 2 5 3  ＝ 2 5 600×（1－ 25 － 2 5 ） ＝600× 15 ＝120（棵） 答：第二队分得了全部树苗的 2 5 ，第三队分得了 120棵树苗。 19．淘气周末去姥姥家，坐公交车行了全程的一半后，剩下路程的 2 3 骑自行车， 余下路程步行。他骑自行车的路程占全程的几分之几？步行的路程占全程的几分 之几？ 【答案】 第 6 页 共 6 页 （1－ 1 2）× 2 3 ＝ 1 2 × 2 3 ＝ 1 3 1－ 1 2－ 1 3 ＝ 1 2－ 1 3 ＝ 1 6 答：他骑自行车的路程占全程的 1 3，步行的路程占全程的 1 6 。 20．聪聪幼儿园买 156个苹果，中班小朋友拿 13 走,大班小朋友拿走余下 3 4 的 ， 还剩多少个苹果？ 【答案】 156×（1- 13 ）×(1- 3 4 )=26（个） 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元专项练习10：单位“1”转化问题 一、填空题。 1．我国古代哲学名篇《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这样推算，第三天截取后木棍剩下部分的长度占原来长度的( )（填写分数）。 2．一瓶饮料，红红喝了它的，妈妈喝了剩下的，她们一共喝了这瓶饮料的( )。 3．有一本书320页，淘淘第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天要从第( )页开始看。 4．一本故事书150页，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩下( )页没有看，第三天应从( )页看起。 5．一根彩带长米，第一次截下，第二次又截去剩下的，两次一共截去了全长的( )，还剩下( )米。 6．一段铁丝，第一次剪去它的，第二次剪去剩下的，第二次剪去的是这段铁丝的( )。 7．贝贝读一本书，第一天读了全书的，第二天读了余下的，那么第二天读了全书的( )，如果这本书有162页，还剩下( )页没读。 8．丁丁看一本180页的故事书，第一天看了全书的，第二天看了余下页数的，第二天看了全书的，第二天看了( )页。 9．27米长的木棒，先截去它的，再截去它余下的，则余下部分的长为( )m。 10．“小明第一周花费了本月生活费的，第二周花费了余下钱数的，若把本月生活费看作单位“1”，则第一周过后还剩下( )，第二周花费的就是它的，第二周花费了全部的( )，由此看来前两周的花费( )。 二、解答题。 11．宣纸质地柔韧，经久耐用，被称为“千年寿纸”。从古至今，宣纸都是创作中国书面的最佳材料。为了迎接学校书法比赛，六（1）班买来40张宣纸供大家练习使用，第一次用去了，第二次用去了剩下的。还剩下几分之几的宣纸没有用？ 12．大张超市运来2000千克西瓜，第一天卖出，第二天卖出余下的，大张超市还剩下多少千克的西瓜？ 13．一瓶牛奶重kg，淘气喝了这瓶牛奶的，笑笑喝了剩下牛奶的。谁喝得多？ 14．某工程队修一条长600米长的公路，第一阶段修了全长的，第二阶段修了剩下的，那么还剩下多少米没有完成？ 15．小杰去新华书店买书，共带了60元钱。他先买了一本科普读物，恰好花了他所带钱数的，接着他又用剩下钱数的买了一本小说，那么小杰还剩下多少元钱？ 16．一桶油重80千克。第一次用去它的,第二次用去余下的,还剩下多少千克油？ 17．幼儿园老师准备折1200只纸花，她们第一天完成了任务的，第二天完成了余下任务的，第三天需要折多少只才能完成任务？ 18．2019年植树节，青年植树队计划种植600棵树苗，分给第一队全部树苗的 ，余下树苗的 分给第二队，其余的分给第三队。第二队分得了全部树苗的几分之几？第三队分得了多少棵树苗？ 19．淘气周末去姥姥家，坐公交车行了全程的一半后，剩下路程的骑自行车，余下路程步行。他骑自行车的路程占全程的几分之几？步行的路程占全程的几分之几？ 20．聪聪幼儿园买156个苹果，中班小朋友拿 走,大班小朋友拿走余下的 ，还剩多少个苹果？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元专项练习10：单位“1”转化问题 一、填空题。 1．我国古代哲学名篇《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这样推算，第三天截取后木棍剩下部分的长度占原来长度的( )（填写分数）。 【答案】 【分析】根据题意，每天截取一半，则每次截取的和剩下的一样多，第一天截取的是木棍总长度的 ，第二天截取的是的，即×＝，第三天截取的是的，即×＝，据此解答。 【详解】××＝ 即第三天截取后木棍剩下部分的长度占原来长度的。 2．一瓶饮料，红红喝了它的，妈妈喝了剩下的，她们一共喝了这瓶饮料的( )。 【答案】 【分析】一瓶饮料，红红喝了它的，还剩这瓶饮料的，妈妈喝了剩下的，即喝了这瓶饮料的，将红红和妈妈喝了这瓶饮料的几分之几相加即可。 【详解】＋ ＝＋ ＝＋ ＝ 她们一共喝了这瓶饮料的。 3．有一本书320页，淘淘第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天要从第( )页开始看。 【答案】121 【分析】把全书的总页数看作单位“1”，第一天看了全书的，用全书的总页数×，求出第一天看的页数，用总页数－第一天看的也是，求出余下的页数，再把余下的页数看作单位“1”，第二天看了余下的，用余下的页数×，求出第二天看的页数，把第一天看的页数＋第二天看的页数，求出两天看的页数，再加上1，就是第三天从第几页开始看。 【详解】320×＋（320－320×）×＋1 ＝80＋（320－80）×＋1 ＝80＋240×＋1 ＝80＋40＋1 ＝120＋1 ＝121（页） 有一本书320页，淘淘第一天看了全书的，第二天看了余下的，第三天要从第121页开始看。 4．一本故事书150页，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩下( )页没有看，第三天应从( )页看起。 【答案】 100 51 【分析】把全书的总页数看作单位“1”，第一天看了全书的，用全书的总页数×，求出第一天看的页数；再用全书总页数－第一天看的页数，求出第一天看完剩下的页数，再把第一天看过完剩下的页数看作单位“1”，第二天看了余下的，再用第一天看完后剩下的页数×，求出第二天看的页数，再用这本书的总页数－第一天看页数－第二天看的页数，就是剩下的页数；再把第一天看的页数＋第二天看的页数＋1，就是第三天应从第几页看起。 【详解】150×＝30（页） （150－30）× ＝120× ＝20（页） 150－30－20 ＝120－20 ＝100（页） 30＋20＋1 ＝50＋1 ＝51（页） 一本故事书150页，第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩下100页没有看，第三天应从51页看起。 5．一根彩带长米，第一次截下，第二次又截去剩下的，两次一共截去了全长的( )，还剩下( )米。 【答案】 【分析】把彩带的全长看作单位“1”，用1－，求出第一次截下后剩下的分率，再把第一次截下后剩下的长度看作单位“1”，用第一次截下后剩下的分率×，求出第二次截下的分率，再加上第一次截下的分率，求出两次一共截去全长的几分之几；再用1减去两次截去全长的分率，求出剩下的长度占全长的分率，再用彩带的全长×剩下的长度占全长的分率，即可求出剩下的长度。 【详解】（1－）×＋ ＝×＋ ＝＋ ＝＋ ＝ ×（1－） ＝× ＝（米） 一根彩带长米，第一次截下，第二次又截去剩下的，两次一共截去了全长的，还剩下米。 6．一段铁丝，第一次剪去它的，第二次剪去剩下的，第二次剪去的是这段铁丝的( )。 【答案】 【分析】将铁丝长度看作单位“1”，第一次剪去它的，还剩这段铁丝的（1－），再将剩下的长度看作单位“1”，剩下的对应分率×第二次剪去的对应分率＝第二次剪去这段铁丝的几分之几，据此列式计算。 【详解】（1－）× ＝× ＝ 第二次剪去的是这段铁丝的。 7．贝贝读一本书，第一天读了全书的，第二天读了余下的，那么第二天读了全书的( )，如果这本书有162页，还剩下( )页没读。 【答案】 117 【分析】根据题意可知，把全书看成单位“1”，第一天读完之后，还有全书的（1－）没读，用（1－）乘第二天读了余下的，即可算出第二天读了全书的多少，再用求出的答案加上第一天读了全书的之和乘全书的页数，算出读了的页数，最后用162减去读了的页数，即可算出还剩下多少页没读。 【详解】第二天读了全书的：（1－）× ＝ ＝ 读了的页数：（）×162 ＝（）×162 ＝×162 ＝45（页） 没读的页数：162－45＝117（页） 【点睛】此题考查了学生的分析理解能力，关键是要把全书看作单位“1”。 8．丁丁看一本180页的故事书，第一天看了全书的，第二天看了余下页数的，第二天看了全书的，第二天看了( )页。 【答案】；72 【分析】用单位“1”减去，求出余下页数占全书的几分之几，再将其乘，求出第二天看的占全书的几分之几，从而利用乘法求出第二天具体看了多少页。 【详解】（1－）× ＝× ＝ 180×＝72（页） 所以，第二天看了全书的，第二天看了72页。 【点睛】本题考查了分数乘法的应用，求一个数的几分之几是多少，用乘法。 9．27米长的木棒，先截去它的，再截去它余下的，则余下部分的长为( )m。 【答案】12 【分析】根据题意，把木棒长看作单位“1”，先截去它的，剩余的长是：27×（1－），剩余的再截去，就是27×（1－）×，剩下的部分就用先截去剩下的部分减去余下截去部分。 【详解】27×（1－）－27×（1－）× ＝27×－27×× ＝18－18× ＝18－6 ＝12（m） 【点睛】本题考查分数乘法的计算，求一个数的几分之几是多少。 10．“小明第一周花费了本月生活费的，第二周花费了余下钱数的，若把本月生活费看作单位“1”，则第一周过后还剩下( )，第二周花费的就是它的，第二周花费了全部的( )，由此看来前两周的花费( )。 【答案】 相等 【分析】若把本月的生活费看作是单位“1”，则第一周过后还剩下（1－）＝ ，第二周花费的就是它的，即的，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出第二周花费了全部的几分之几，然后把第一周的花费和第二周的花费进行比较即可。 【详解】1－＝； ×＝； 因为第一周和第二周都花费了本月生活费的， 所以第一周的花费和第二周的花费相等。 【点睛】此题考查了判断单位“1”的方法：一般是把“比、占、是、相当于”后面的量看作单位“1”，即分数“的”字前面的量看作单位“1”；用到的知识点：一个数乘分数的意义。 二、解答题。 11．宣纸质地柔韧，经久耐用，被称为“千年寿纸”。从古至今，宣纸都是创作中国书面的最佳材料。为了迎接学校书法比赛，六（1）班买来40张宣纸供大家练习使用，第一次用去了，第二次用去了剩下的。还剩下几分之几的宣纸没有用？ 【答案】 【分析】将买来的宣纸总数量看作单位“1”，1－第一次用去了几分之几＝第一次用后剩下这些宣纸的几分之几，第一次用后剩下这些宣纸的几分之几×第二次用去的对应分率＝第二次用去了这些宣纸的几分之几，1－第一次用去了几分之几－第二次用去了几分之几＝还剩下几分之几没有用，据此列式解答。 【详解】1－－（1－）× ＝－× ＝－ ＝ 答：还剩下的宣纸没有用。 【点睛】本题出现的两个分率单位“1”不统一，关键是统一单位“1”，然后再用减法计算。 12．大张超市运来2000千克西瓜，第一天卖出，第二天卖出余下的，大张超市还剩下多少千克的西瓜？ 【答案】500千克 【分析】第一天卖出西瓜总重量的，是把西瓜总重量看作单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义，列式：2000×，求出第一天卖出的西瓜的重量，西瓜总重量减去第一天卖出的西瓜的重量，等于余下西瓜的重量，把余下西瓜的重量看作单位“1”， 单位“1”已知，根据分数乘法的意义，用余下西瓜的重量乘，求出第二天卖出的西瓜的重量，用余下西瓜的重量减去第二天卖出的西瓜的重量，即可求出大张超市还剩下多少千克的西瓜。 【详解】2000－2000× ＝2000－500 ＝1500（千克） 1500－1500× ＝1500－1000 ＝500（千克） 答：大张超市还剩下500千克的西瓜。 【点睛】此题的解题关键是确定前后单位“1”的不同，掌握求一个数的几分之几是多少的计算方法。 13．一瓶牛奶重kg，淘气喝了这瓶牛奶的，笑笑喝了剩下牛奶的。谁喝得多？ 【答案】一样多 【分析】淘气喝了这瓶牛奶的，是把这瓶牛奶的质量看作单位“1”，则还剩下这瓶牛奶的（1－）；笑笑喝了剩下牛奶的，是把剩下的牛奶质量看作单位“1”，那么笑笑喝了（1－）×；比较两人喝的牛奶占这瓶牛奶的分率大小，得出结论。 【详解】淘气喝了这瓶牛奶的； 笑笑喝了这瓶牛奶的： （1－）× ＝× ＝ ＝ 答：淘气和笑笑喝的一样多。 【点睛】明确单位“1”的不同，以及求一个数的几分之几是多少，用乘法计算是解题的关键。 14．某工程队修一条长600米长的公路，第一阶段修了全长的，第二阶段修了剩下的，那么还剩下多少米没有完成？ 【答案】240米 【分析】第一阶段修了全长的，还剩全长的1－＝，根据求一个数的几分之几是多少用600×（1－）＝400（米），第二阶段修了剩下的，还剩1－＝，求400的即是还没有完成的，用400×（1－）。据此解答。 【详解】方法一： （米） 答：还剩下240米没有完成。 方法二：   （米） （米） （米） 答：还剩下240米没有完成。 【点睛】解答此题的关键是先求出第一阶段修了后还剩的长度，再根据分数乘法的意义解答。 15．小杰去新华书店买书，共带了60元钱。他先买了一本科普读物，恰好花了他所带钱数的，接着他又用剩下钱数的买了一本小说，那么小杰还剩下多少元钱？ 【答案】24元 【详解】60－60× ＝60－20 ＝40（元） 40×（1－） ＝40× ＝24（元） 答：小杰还剩下24元钱。 16．一桶油重80千克。第一次用去它的,第二次用去余下的,还剩下多少千克油？ 【答案】30千克 【详解】80×(1-)=60(千克） 60×(1-)=30(千克） 答：还剩下30千克油. 17．幼儿园老师准备折1200只纸花，她们第一天完成了任务的，第二天完成了余下任务的，第三天需要折多少只才能完成任务？ 【答案】480只 【分析】把要折的纸花总数看作单位“1”，第一天完成了任务的，用纸花的总数×，求出第一天折纸花的数量；第二天完成了余下任务的，是把余下的数量看作单位“1”，先用总数减去第一天折的数量求出余下的数量，再乘，即是第二天折的数量；最后用总数分别减去第一天、第二天折的数量，求出第三天需要折纸花的数量。 【详解】第一天完成：1200×＝240（只） 第二天完成： （1200－240）× ＝960× ＝480（只） 第三天需完成： 1200－240－480 ＝960－480 ＝480（只） 答：第三天需要折480只才能完成任务。 【点睛】分数乘法的意义：求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 18．2019年植树节，青年植树队计划种植600棵树苗，分给第一队全部树苗的 ，余下树苗的 分给第二队，其余的分给第三队。第二队分得了全部树苗的几分之几？第三队分得了多少棵树苗？ 【答案】第二队：   第三队：120棵 【分析】（1）将树苗总量当作单位“1”分给了第一队全部树苗的，根据分数减法的意义，还剩下全部的1－，又余下树苗的分给了第二队，根据分数乘法的意义，第二队分得了全部的（1－）×。 （2）根据分数减法的意义，用单位“1”分别减去第一队和第二队分得的占总量的分率，即得第三队分得了总量的几分之几，根据分数乘法的意义，用总量乘第三队分得的占总量的分率，即得第三队分得了多少棵树苗。 【详解】第二队：（1－）× ＝ ＝ 600×（1－－） ＝600× ＝120（棵） 答：第二队分得了全部树苗的，第三队分得了120棵树苗。 【点睛】此题主要考查分数乘法的相关应用，找准单位“1”是解题关键，求一个数的几分之几用乘法解决。 19．淘气周末去姥姥家，坐公交车行了全程的一半后，剩下路程的骑自行车，余下路程步行。他骑自行车的路程占全程的几分之几？步行的路程占全程的几分之几？ 【答案】； 【分析】由题意可知，把全程看作单位“1”，坐公交车行了全程的一半后，则还剩下全程的（1－），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，则骑自行车的路程占全程的（1－）×，用单位“1”减去坐公交车和骑自行车行驶的路程占全程的分率即可求出步行的路程占全程的几分之几。 【详解】（1－）× ＝× ＝ 1－－ ＝－ ＝ 答：他骑自行车的路程占全程的，步行的路程占全程的。 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，明确用乘法是解题的关键。 20．聪聪幼儿园买156个苹果，中班小朋友拿 走,大班小朋友拿走余下的 ，还剩多少个苹果？ 【答案】26个 【详解】156×（1- ）×(1- )=26（个） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$