精品解析：天津市宝坻区第四中学2024-2025学年高二下学期第一次质量检测数学试卷

宝坻四中2024-2025学年度第二学期第一次质量检测 高二数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（ ） A. 3 B. 8 C. 12 D. 18 3. 已知曲线C：上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 4. 用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字三位数的个数为（ ） A. 652 B. 648 C. 504 D. 562 5. 已知函数，则（ ） A 1 B. 2 C. D. 6. 函数的单调递减区间为（    ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉．现有5支救援队前往三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲和乙两支救援队必须去同一个受灾点，则不同的安排方法数是（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 9. 若对于任意的，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有__________种不同的投入方法． 11. 计算______ 12. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则_____. 13. 已知函数，，则的最小值为________________. 14. 若函数有极值点，则实数c的取值范围为_______． 15. 函数导函数的图像如图所示，以下结论正确的序号是______． （1）是函数的极值点； （2）是函数的极小值点 （3）在区间上严格增； （4）在处切线的斜率大于零； 三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 从位女生，位男生中选出人参加校园大扫除活动． （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）如果至少有位女生人选，共有多少种不同的选择方法？ （3）如果既有男生又有女生人选，共有多少种不同的选择方法？ 17. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最值. 18. 已知函数． （1）若在处的切线与直线平行，求实数m的值； （2）若，求函数的极值． 19. 已知函数． （1）当时，曲线在点处的切线方程； （2）求函数单调区间； （3）若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围． 20. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，； （3）如果，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宝坻四中2024-2025学年度第二学期第一次质量检测 高二数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式和法则计算、逐一判断即可． 【详解】解 ，故A正确； 故B正确； 故C正确， 故D错误. 故选： 2. 书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（ ） A. 3 B. 8 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理进行求解, 【详解】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书， 第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为. 故选：B. 3. 已知曲线C：上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线的倾斜角. 【详解】因为，所以，则， 所以曲线C在点P处的切线的斜率为，则倾斜角为. 故选：B 4. 用0，1，…，9十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 652 B. 648 C. 504 D. 562 【答案】B 【解析】 【分析】应用乘法原理计算求解. 【详解】用0，1，…，9十个数字， 先取百位数有9种情况，因为无重复数字再取十位数有9种情况，最后个位数字有8种情况。 所以可以组成无重复数字的三位数的个数为. 故选：B. 5. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，代入即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C 6. 函数的单调递减区间为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出定义域以及导函数，利用导数与函数单调性的关系求解即可 【详解】由题意， 在中，， 当时，解得（舍）或， 当即时，函数单调递减， ∴的单调递减区间为. 故选：B. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，可得对恒成立，可得对恒成立，求得的最大值即可. 【详解】由，可得， 因为函数在区间上单调递增， 所以对恒成立，即对恒成立， 即对恒成立， 令，则，因为，所以， 所以在上单调递减， 所以，所以， 所以实数k的取值范围是. 故选：D. 8. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉．现有5支救援队前往三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲和乙两支救援队必须去同一个受灾点，则不同的安排方法数是（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】分两情况：一是仅有甲和乙两支救援队去同一个受灾点，二是甲和乙两支救援队和其中一个救援队去同一个受灾点，然后根据分类加法原理求解即可. 【详解】若仅有甲和乙两支救援去队同一个受灾点，则有种不同的安排方法； 若甲和乙两支救援队和其中一个救援队去同一个受灾点，则有种不同的安排方法， 所以由分类加法原理可知共有种不同的安排方法， 故选：C 9. 若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求出导数可知的单调性，由题可知在单调递增，即可求出的范围. 【详解】对于任意的，都有， 即对于任意的，都有， 令，则在上单调递增， 又，令，解得， 则时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 故选：D 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有__________种不同的投入方法． 【答案】81 【解析】 【分析】根据分步乘法技术原理即可求解. 【详解】每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法， 故答案为：81 11. 计算______ 【答案】##5040 【解析】 【分析】利用排列数计算公式，代入计算即可. 【详解】. 故答案为：. 12. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数的几何意义以及两直线的位置关系与斜率的关系求解. 【详解】因为，所以，所以，所以， 直线的斜率为，因为，所以， 故答案为：. 13. 已知函数，，则最小值为________________. 【答案】 【解析】 【分析】求导后结合正弦函数的取值分析即可. 【详解】因为，令，可得，而，， 所以，，函数单调递减；，，函数单调递增， 所以时函数最小为值， 所以函数在的最小值分别为. 故答案为：. 14. 若函数有极值点，则实数c的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意，有两个不同的实数根，利用求解实数c的取值范围. 【详解】，则， 函数有极值点，则有有两个不同的实数根， 可得，解得或. 实数c的取值范围为. 故答案为： 15. 函数的导函数的图像如图所示，以下结论正确的序号是______． （1）是函数的极值点； （2）是函数的极小值点 （3）在区间上严格增； （4）在处切线的斜率大于零； 【答案】（1）（3）（4）； 【解析】 【分析】利用导函数与原函数的关系一一判定即可. 【详解】由图象可得时，，且时，时，即是函数的极小值点，（1）正确； 而时，，但与时，，∴不是函数的极值点，（2）不正确； 由图象可知上，∴在区间上严格增，（3）正确； 处，所以该处切线的斜率大于零，（4）正确； 故答案为：（1）（3）（4）； 三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 从位女生，位男生中选出人参加校园大扫除活动． （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）如果至少有位女生人选，共有多少种不同的选择方法？ （3）如果既有男生又有女生人选，共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据组合数的含义求解即得； （2）根据“至少有位女生”的反面情况为“没有女生”，运用间接法即得． （3）根据“既有男生又有女生人选”的反面情况为“都是女生”或“都是男生”，运用间接法即得． 【小问1详解】 从位女生，位男生中选出人参加校园大扫除活动的选择方法数为； 小问2详解】 “至少有位女生”的反面情况为“没有女生” 又没有女生人选的选择方法数为， 由（1）可得，至少有1位女生人选的选择方法数为． 【小问3详解】 “既有男生又有女生人选”的反面情况为“都是女生”或“都是男生” 又因为都是女生人选的选择方法数为，都是男生人选的选择方法数为， 由（1）可得，既有男生又有女生人选的选择方法数为． 17. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】(1)求导，根据函数在处取得极值求解； (2)由(1)得到，利用导数法求解最值. 【小问1详解】 ， 函数在处取得极值， 所以有，经检验满足题意； 【小问2详解】 由(1)可知：， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故函数在处取得极小值，因此， ，， 故函数的最大值为，最小值为. 18 已知函数． （1）若在处的切线与直线平行，求实数m的值； （2）若，求函数的极值． 【答案】（1） （2）极小值为2，无极大值 【解析】 【分析】（1）求导，可得切线斜率，即可根据直线平行满足的斜率关系求解， （2）根据导数求解函数的单调性，即可由极值定义求解. 【小问1详解】 由函数，定义域为， 可得， 可得，即在处的切线的斜率为， 因为在处的切线与直线平行， 可得，则； 【小问2详解】 若，可得，所以，其中， 可得， 令，可得， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以当时，函数取得极小值为，无极大值． 19. 已知函数． （1）当时，曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）由可得，令，分析可知直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 所以，，，有，即， 故曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ，则， 当时，，在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 综上所述，当时，函数的增区间为； 当时，函数增区间为，减区间为； 【小问3详解】 当时，由可得，令，其中， 则直线与函数在上的图象有两个交点， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，函数的极大值为，且，， 故当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 20. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，； （3）如果，且，证明：． 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减为； （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数知识可得的单调区间； （2）由题可得，然后研究单调性，可完成证明； （3）方法1，由导数知识可得大致图象，据此可得，然后通过研究函数，可得对恒成立，最后由题意，结合，可完成证明；方法2，要证，即证，然后通过研究可完成证明；方法3，令，要证，即证：，然后通过研究可完成证明. 【小问1详解】 . 。 则的单调递增区间为，单调递减为； 【小问2详解】 因的图象与的图象关于直线对称， 则. 构造函数， 则. 因，则， 则在上单调递增，则， 即当时，； 【小问3详解】 法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，，，时，， 函数在处取得极大值，且，如图所示． 由，不妨设，则必有， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，， 也即对恒成立．由，得， 所以，即， 又因为，且在上单调递减，所以， 即 法二：欲证，即证，由法一知， 故， 又因为在上单调递减，故只需证， 又因为， 故也即证，构造函数， 则等价于证明对恒成立． 由，则在上单调递增， 所以，即已证明对恒成立， 故原不等式成立． 法三：由，得，化简得， 不妨设，由法一知，．令，则， 代入，得，反解出，则， 故要证：，即证：， 又因为，等价于证明：， 构造函数，则， 令. 故在上单调递增，， 从而也在上单调递增，，即证成立， 也即原不等式成立． 【点睛】关键点睛：对于极值点偏移问题，常有两种思路，第一种将所证不等式转化为，后利用，构造与或有关的函数，将双变量问题转变为单变量问题；第二种思路，将双变量问题转变为与，之间差值或商值有关的单变量问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$