第十章 二元一次方程组（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024，江西专用）

第十章 二元一次方程组（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共6小题，每题3分，共18分。 1．已知是一个二元一次方程，则a的值为（　　） A．±2 B．-2 C．2 D．无法确定 【答案】B 【解析】解：∵是一个二元一次方程， ∴a−2≠0且a2−3＝1， 解得：a＝−2， 故答案为：B． 2．已知是二元一次方程的解，则的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【解析】解：根据题意得，， ∴， 故答案为：B 3．某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面已知每张卡纸可以裁出个侧面，或者裁出个底面，如果个侧面和个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面，根据题意得：，解这个方程组，得：，因为每个包装盒有一个侧面，所以包装盒的个数为：2x=2×6=12， 故答案为：C. 4．已知关于x，y的方程组的解是.则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵ 关于x，y的方程组的解是， ∴ 关于x，y的方程组的解满足 解得 故答案为：D. 5．在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设小长方形花圃的长为xm，宽为ym， 根据题意可得：， 解得：， ， 一个小长方形花圃的面积为：， 故答案为：D． 6．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】解： ①当时，原方程组可化为， 解得， 将、代入也成立， ∴当时，方程组的解也是的解，①正确； ②由题意得， ⑤+⑥得2x+y=6+3a， ∴6+3a=3， 解得a=-1，②正确； ③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a， ∴x+y=4， ∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确； ④∵x+y=4， ∴x，y都为自然数的解为， ∴x，y都为自然数的解有5对，④正确； ∴正确的个数为4， 故答案为：D 二、填空题：共6小题，每题3分，共18分。 7．已知方程，用关于的代数式表示，则=　 　． 【答案】 【解析】解：根据条件，即视x为已知量，y为未知量，则y=5-3x. 故答案为：5-3x. 8．已知方程，则　 　 【答案】1 【解析】解：∵ ∴ 解得：， ∴， 故答案为：． 9．小亮解方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★，这个数★＝　 　，●＝　 　． 【答案】﹣2；8 【解析】解：把x＝5代入2x﹣y＝12中，得：y＝﹣2， 当x＝5，y＝﹣2时，2x+y＝10﹣2＝8， 故答案为：﹣2；8. 10．若方程组的解满足k=a+b+c，则点P（k+2,1-2k）在第　 　象限． 【答案】四 【解析】【分析】本题考查了解三元一次方程组和点坐标所在象限的判定，方程组三方程相加即可求出的值，从而得到k的值，即可得到P的坐标，再进行判断即可． 解： ， 得 ， 整理得 ， ∴ ， ∴ ， 点为 ， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 11．如图1，天平呈平衡状态， 其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各 的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘， 并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2．则被移动的玻璃球的质量为　 　 g． 【答案】10 【解析】解：根据图1，设左侧玻璃球总重x克，右侧玻璃球总重y克，则得到方程x=y+40； 根据图2，设玻璃球质量为a克，则得到方程x-a=y+20+a，整理得x=y+20+2a 于是得到方程组. ①-②得0=20-2a，即a=10. 即被移动的玻璃球质量为10g. 故答案为：10. 12．已知A(2，0)，点P(x，y)的坐标满足，且，则k的值为 　 　． 【答案】-34或54 【解析】解：∵S△AOP=4，A（2，0）， ∴×2×=4，解得：y=±4， 解方程组， 由②×2-①得：11y=10-k， ∵点P（x，y）满足方程组， ∴当y=4时，11×4=10-k，解得k=-34； 当y=-4时，11×（-4）=10-k，解得k=54； 综合上述两种情况可得：k的值为-34或54. 故答案为：-34或54. 三、解答题：共5小题，每题6分，共30分。 13．解方程组： （1）． （2） 【答案】（1）解： ①+②得，，解得：； 将代入①得，，解得：； ∴原方程组的解为： （2）解： 4×①-②得，，解得：； 将代入②得，，解得：； ∴原方程组的解为： 14．已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根． 【答案】解：由题意得①，②，得：， ∴， 则5的立方根为． 故的立方根为． 15．已知： 是关于x、y二元一次方程，点A在坐标平面内的坐标为点B（3，2）将线段AB平移至A’B’的位置，点B的对应点B’（-1，3）．求点A’的坐标 【答案】解： 是关于x、y二元一次方程， ， 解得： 往左边平移了4个单位长度，再往上平移了1个单位长度， 也做了同样的平移， 16．阅读下列材料： 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？结合你学过的知识，解决下列问题： （1）若设公鸡有x只，母鸡有y只， ①则小鸡有　 　只，买小鸡一共花费　 　文钱；（用含x，y的式子表示） ②根据题意列出一个含有x，y的方程：　 　； （2）若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【答案】（1）100-x-y；（100-x-y）；5x+3y+（100-x-y）=100 （2）解：设公鸡有x只，母鸡有y只． 根据题意，得： ， 解得 ， 100-x-y=100-12-4=84（只）． 答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只． 17．张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务， 用．如图 1 所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成．如图 2 所示的坚式与横式两种上面无盖的长方体纸盒 (加工时接缝材料不计)． （1）做1个坚式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板张　 　 张，需要长方形纸板　 　张． （2）若该厂购进正方形纸板 162 张，长方形纸板338张， 问坚式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【答案】（1）5；10 （2）解：设竖式纸盒加工x个、横式纸盒加工y个，恰好能将购进的纸板全部用完， 依题意，得：， 解得：． 答：竖式纸盒加工38个、横式纸盒加工62个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【解析】（1）解：1＋2×2＝5（张） 4＋3×2＝10（张） 【分析】（1）由一个竖式无盖纸盒需要1个正方形纸板、4个长方形纸板及一个横式无盖纸盒需要2个正方形纸板、3个长方形纸板，可求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，所需长方形及正方形纸板数量； （2）设竖式纸盒加工x个、横式纸盒加工y个，恰好能将购进的纸板全部用完，根据共用162张正方形纸板及338张长方形纸板，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论. 四、解答题：共3小题，每题8分，共24分。 18．已知二元一次方程组 的解的和是2，求x、y、k的值． 【答案】解：方程组 得： ， ∵方程组的解的和为2， ∴ + =2， 解得：k= 3 ． 19．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科中，将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于的二元一次方程组 可以写成矩阵的形式 例如：可以写成矩阵的形式． （1）填空：将写成矩阵形式为　 　 （2）若矩阵所对应的方程组的解为求与的值． 【答案】（1） （2）解：根据矩阵形式得到方程组为， 将代入上述方程得， 解得 【解析】解：(1)化简方程得，因此矩阵形式为． 【分析】（1）将方程组化为的形式，即可写出矩阵形式； （2）由矩阵形式写出方程组，再将代入即可得到关于未知数a，b的方程组，解方程即可. 20．北京丰台站是亚洲最大铁路枢纽客站．北京丰台站交通枢纽是北京丰台站的重要配套工程，设计施工中采用了绿色建筑设计及建造技术，通过设置空气源热泵、节能灯具、高性能建材等，节约能源及建筑材料．北京丰台站交通枢纽将在2023年年内实现主体结构封顶．施工单位租用两种车型为交通枢纽运送高性能建材，若用2辆A型车和1辆B型车载满高性能建材，一次可运送10吨：用1辆A型车和2辆B型车载满高性能建材，一次可运送11吨． 根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满高性能建材，一次分别可运送多少吨？ （2）现有高性能建材31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都载满高性能建材． ①请你帮施工单位列出所有可能的租车方案： ②若1辆A型车需租金300元/次，1辆B型车需租金320元/次，则最少的租车费是多少元？ 【答案】（1）解：设1辆A型车一次可运送x吨，1辆B型车一次可运送y吨．根据题意，得： ， 解得， 答：1辆A型车一次可运送3吨，1辆B型车一次可运送4吨． （2）解：①根据题意，得 ∵x、y均为非负整数∴或或 ∴有三种租车方案： 方案一：租用9辆A型车，1辆B型车； 方案二：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案三：租用1辆A型车，7辆B型车． ②2540． 【解析】解：（2）② 方案一费用：9×300+320=3020元， 方案二费用：5×300+320×4=2780元， 方案三费用：300+320×7=2540元， ∴方案三租车费用最少，最少费用为2540元. 五、解答题：共2小题，每题9分，共18分。 21．【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3） 若，求的值． 【答案】（1）；（解析：∵ 被开方数为非负数，∴a≥0.） （2）解：由题意得，，，要使两者的和为0，只能同时满足：，解得：，代入原式：； （3）解：由题意可知，被开方数， 解得：，化简原式可得：， ∴， ∴， ∴. . 22．阅读材料：小明在解二元一次方程组时采用了一种“整体代换”的解法： 解：由①，得：③ 将③代入②得，，即， 把代入③，得． ∴方程组的解为． 请你模仿小明的方法，解决下列问题： （1）若，则　 　． （2）解方程； （3）已知关于x、y的方程组，求的值． 【答案】（1）9 （2）解：， 由①得， 由②得， 把③代入④，得， 解得：， 把代入③，得， 解得：， ∴； （3）解：， 由①得， 由②得， 由得． 【解析】解：（1）由题意得， 故答案为：3 六、解答题：共1小题，每题12分，共12分。 23．定义：在平面直角坐标系xOy中，若点，的横坐标值与纵坐标值的有序实数对，都是方程的解，则称三点共线.(如：点的横坐标与纵坐标的有序实数对为是方程的解.) （1）已知方程，判断A、B、C、D四个点中哪三个点共线？.请写出判断过程. （2）已知方程， ①对于任意实数的值该方程总有一个固定的解，请求出固定的解； ②以①的解中值为点的横坐标，值为点的纵坐标，若点，与点三点共线，求与的值. 【答案】（1）对于 对于； 对于； 对于. 三点共线. （2）①法一：因为为任意实数，不妨取和； 当时得； 当时得. 联立 解得 所以固定的解为. 法二：得， 即. 因为对于任意实数的值该方程总有一个固定的解，所以 ， 解得. 所以固定的解为. ②由①得，因为与点三点共线， 所以， 得 解得. 所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共6小题，每题3分，共18分。 1．已知是一个二元一次方程，则a的值为（　　） A．±2 B．-2 C．2 D．无法确定 2．已知是二元一次方程的解，则的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．9 3．某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面已知每张卡纸可以裁出个侧面，或者裁出个底面，如果个侧面和个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（　　） A． B． C． D． 4．已知关于x，y的方程组的解是.则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 5．在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（　　） A． B． C． D． 6．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：共6小题，每题3分，共18分。 7．已知方程，用关于的代数式表示，则=　 　． 8．已知方程，则　 　 9．小亮解方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★，这个数★＝　 　，●＝　 　． 10．若方程组的解满足k=a+b+c，则点P（k+2,1-2k）在第　 　象限． 11．如图1，天平呈平衡状态， 其中左侧秤盘中有一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有2个各 的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘， 并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图2．则被移动的玻璃球的质量为　 　 g． 12．已知A(2，0)，点P(x，y)的坐标满足，且，则k的值为 　 　． 三、解答题：共5小题，每题6分，共30分。 13．解方程组： （1）． （2） 14．已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根． 15．已知： 是关于x、y二元一次方程，点A在坐标平面内的坐标为点B（3，2）将线段AB平移至A’B’的位置，点B的对应点B’（-1，3）．求点A’的坐标 16．阅读下列材料： 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？结合你学过的知识，解决下列问题： （1）若设公鸡有x只，母鸡有y只， ①则小鸡有　 　只，买小鸡一共花费　 　文钱；（用含x，y的式子表示） ②根据题意列出一个含有x，y的方程：　 　； （2）若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 17．张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务， 用．如图 1 所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成．如图 2 所示的坚式与横式两种上面无盖的长方体纸盒 (加工时接缝材料不计)． （1）做1个坚式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板张　 　 张，需要长方形纸板　 　张． （2）若该厂购进正方形纸板 162 张，长方形纸板338张， 问坚式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 四、解答题：共3小题，每题8分，共24分。 18．已知二元一次方程组 的解的和是2，求x、y、k的值． 19．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科中，将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于的二元一次方程组 可以写成矩阵的形式 例如：可以写成矩阵的形式． （1）填空：将写成矩阵形式为　 　 （2）若矩阵所对应的方程组的解为求与的值． 20．北京丰台站是亚洲最大铁路枢纽客站．北京丰台站交通枢纽是北京丰台站的重要配套工程，设计施工中采用了绿色建筑设计及建造技术，通过设置空气源热泵、节能灯具、高性能建材等，节约能源及建筑材料．北京丰台站交通枢纽将在2023年年内实现主体结构封顶．施工单位租用两种车型为交通枢纽运送高性能建材，若用2辆A型车和1辆B型车载满高性能建材，一次可运送10吨：用1辆A型车和2辆B型车载满高性能建材，一次可运送11吨． 根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都载满高性能建材，一次分别可运送多少吨？ （2）现有高性能建材31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完且恰好每辆车都载满高性能建材． ①请你帮施工单位列出所有可能的租车方案： ②若1辆A型车需租金300元/次，1辆B型车需租金320元/次，则最少的租车费是多少元？ 五、解答题：共2小题，每题9分，共18分。 21．【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3） 若，求的值． 22．阅读材料：小明在解二元一次方程组时采用了一种“整体代换”的解法： 解：由①，得：③ 将③代入②得，，即， 把代入③，得． ∴方程组的解为． 请你模仿小明的方法，解决下列问题： （1）若，则　 　． （2）解方程； （3）已知关于x、y的方程组，求的值． 六、解答题：共1小题，每题12分，共12分。 23．定义：在平面直角坐标系xOy中，若点，的横坐标值与纵坐标值的有序实数对，都是方程的解，则称三点共线.(如：点的横坐标与纵坐标的有序实数对为是方程的解.) （1）已知方程，判断A、B、C、D四个点中哪三个点共线？.请写出判断过程. （2）已知方程， ①对于任意实数的值该方程总有一个固定的解，请求出固定的解； ②以①的解中值为点的横坐标，值为点的纵坐标，若点，与点三点共线，求与的值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$