2025年云南省（2015-2024年）数学中考分式方程专题复习讲义

分式方程的实际应用专题复习 1、 考情分析 1. 题型分布 年份 题号 题型 考察知识点 2017年 18题 解答题 分式方程的应用——找规律 2018年 18题 解答题 分式方程的应用——工程问题 2019年 18题 解答题 分式方程的应用——行程问题 2020年 18题 解答题 分式方程的应用——工程问题 2021年 18题 解答题 分式方程的应用——销售问题 2022年 12题 选择题 分式方程概念的理解和简单应用能力——工程问题 2023年 11题 选择题 分式方程概念的理解和简单应用能力——行程问题 2024年 22题 解答题 分式方程的应用——行程问题 2. 分值分布 年份 题号 题型 分值 2017年 18题 解答题 6分 2018年 18题 解答题 6分 2019年 18题 解答题 6分 2020年 18题 解答题 6分 2021年 18题 解答题 6分 2022年 12题 选择题 4分 2023年 11题 选择题 3分 2024年 22题 解答题 6分 以满分100120分的试卷来看，分式方程分值占比约在5%10%。整体上，其分值占比相对稳定，在初中数学知识体系中占据一定比重，是考查学生方程应用和数学建模能力的重要知识点。 2、 知识梳理 1. 分式方程的概念 (1) 分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程叫做分式方程。例如等都是分式方程。 (2) 注意:“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，是判定一个方程为分式方程的依据。 2. 分式方程的解法 解分式方程的一般步骤为: (1) 方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程注意:当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母; (2) 解这个整式方程，求出整式方程的解; (3) 检验:将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则解是原分式方程解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程解，原分式方程无解。 例如，解方程最简公分母为（x−1）（x+1），两边同乘该式得到2x+1=x−1，解整式方程得x=−3，经检验x=−3时最简公分母不为0，所x=−3是原方程的解。 3. 分式方程应用的解题步骤 分式方程解应用题的一般步骤:设、列、解、验、答 审题，找等量关系 (1) 设:设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的代数式表示相关量 (2) 列:列方程，根据等量关系列出分式方程。 (3) 解:解所列的分式方程，求出未知数的值. (4) 验:验根，要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. (5) 答:即写出答案，注意答案完整. 经常考察的题型 (1) 行程问题：路程=速度×时间 (2) 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间 (3) 销售问题（利润=售价进价） 3、 真题精析 1. 典型题目剖析 2024云南22题——分式方程的应用行程问题 (1) 题目： 某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观,已知A地到B地的路程为300km,乘坐C型车比乘坐D型车少用2h,C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度。 (2) 剖析： · 条件梳理：A 地到 B 地的路程是 300km。乘坐 C 型车比乘坐 D 型车少用 2h。C 型车的平均速度是 D 型车的平均速度的 3 倍 。 · 设未知数：设 D 型车的平均速度为xkm/h，因为 C 型车的平均速度是 D 型车的 3 倍，则 C 型车的平均速度为3xkm/h。 · 列方程：根据行程公式，乘坐 D 型车从 A 地到 B 地所需时间为h，乘坐 C 型车从 A 地到 B 地所需时间为h。由于乘坐 C 型车比乘坐 D 型车少用 2h，所以可列方程：。 · 解方程：先对等式左边进行通分，此时方程变为，可得6x = 600。解得x = 100。经检验，当x = 100时，3x=3×100 = 300≠0，x = 100是原分式方程的解。 (3) 总结： · 主要涉及行程问题的基本公式：时间 = 路程 ÷ 速度，通过该公式建立关于速度的分式方程来求解实际问题。 · 在解决行程类实际问题时，要清晰把握路程、速度和时间的关系。先根据题目条件设出合适的未知数，再依据等量关系列出方程，最后求解并检验方程的解是否符合实际情况。 · 本题通过速度倍数和时间差的关系建立分式方程，重点考查了对行程公式的运用以及解方程和实际应用的能力。 2. 易错点汇总与分析 · 方程建立错误：学生难以从实际情境中精准梳理数量关系，抽象出正确的方程模型。像在涉及两次购买、工程进度对比等问题时，对各量之间的关联把握不准，导致方程列错。 · 忽略实际意义：求解方程后，未充分考虑解在实际问题中的合理性。比如实际问题里人数、面积、价格等取值应符合现实情况，学生常忽略对解的检验，未舍去不符合实际的增根。 · 计算失误：在解方程的去分母、移项、合并同类项、分式运算等环节，学生因粗心或运算能力不足，频繁出现计算错误，影响最终答案的正确性。 · 单位换算错误：当题目中涉及速度、面积等单位，且单位不统一时，学生容易忽略单位换算，致使计算出错。 3. 命题趋势总结与预测 · 注重实际应用：持续将数学知识与生活实际紧密结合，涵盖购物、工程、交通、环境、旅游等多元领域。未来会创设更丰富的生活场景，考查学生运用方程（组）知识解决实际问题的能力。 · 方程（组）考查持续稳定：试卷中方程（组）相关题目占一定比例且分值稳定，主要考查分式方程和二元一次方程组。后续难度可能提升，会强化对解的检验、方程实际意义的考查，还可能与函数、不等式等知识综合。 · 题目难度梯度合理：题目多处于试卷的特定位置，难度中等，既能考查学生对基础知识的掌握，又能检验其分析、解决问题的能力。后续命题会维持该难度梯度，通过细节和易错点筛选不同能力层次的学生。 4. 教学与学习建议 教学建议 · 强化实际应用教学：课堂多引入生活实例，引导学生构建数学模型，提升其解决实际问题的能力。 · 注重方程教学细节：强调方程建立过程，加强计算能力训练，培养学生对方程解的检验意识。 · 开展小组合作学习：组织学生小组合作分析实际问题，培养团队协作与思维能力，拓宽解题思路。 · 知识整合与拓展：整合方程与其他数学知识教学，拓展难度稍高的方程应用问题，培养学生综合运用能力与创新思维。 学习建议 · 积累实际问题模型：日常学习中整理不同类型实际问题的数学模型，总结常见等量关系与解题方法，以便快速应对新问题。 · 提高计算能力：安排时间进行解方程专项练习，养成认真书写计算过程的习惯，检查并纠正错误。 · 加强检验意识：解完方程后，代入原方程和实际问题检验，确保解的合理性。 · 积极参与课堂讨论：课堂上积极参与小组讨论，分享思路，学习他人优点，及时请教不懂的问题。 · 拓展学习：完成课本练习后，拓展课外数学应用问题，关注数学在生活各领域的应用，提升综合能力与学习兴趣。 4、 解题技巧 1. 快速找最简公分母技巧 对于一般的分式方程，先将各分母分解因式，最简公分母就是各分母因式中最高次幂的乘积。例如，对于分式方程，分母x(x-1)和=(x+1)(x-1)，最简公分母x(x+1)(x-1)。 2. 避免增根错误技巧 牢记解分式方程必须检验，将求出的整式方程的根代入最简公分母，若最简公分母为0，则该根为增根，应舍去。在解题过程中，可将检验步骤单独列出，养成良好的解题习惯。 3. 实际应用问题解题技巧 认真审题，确定题目类型（如行程、工程、销售等），找出关键信息和等量关系。设出合适的未知数，根据等量关系列出分式方程，注意单位统一。解出方程后，要检验根是否符合实际意义。 4. 特殊分式方程的巧解技巧 对于一些特殊的分式方程，如，可通过换元法简化计算。设，则原方程变为 5、 真题与专题练习 真题练习 1.2017云南18题——分式方程的应用找规律 某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元． （1）该商店第一次购进水果多少千克？ （2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？ 注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和． 2.2018云南18题——分式方程的应用工程问题 某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？ 3.2019云南18题——分式方程的应用行程问题 为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围，推进平安校园建设，甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动．已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍，甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度。 4.2020云南18题——分式方程的应用工程问题 某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？​ 5.2021云南18题——分式方程的应用销售问题 “30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五•一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息： 请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金。 6.2022云南12题——分式方程概念的理解工程问题 某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7.2023云南14题——分式方程概念的理解行程问题 阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，则下列方程正确的是（ ） A.B. C. D. 题型1练习 1.从广州到某市，可乘坐普通大巴走高速公路，也可以乘坐高铁.已知普通大巴行驶的路程是300千米，高铁行驶的路程是普通大巴的1.2倍. 1高铁行驶的路程为千米; 2若高铁行驶的平均速度千米/时是普通大巴的平均速度千米/时的2.4倍，且乘坐高铁所需时间比普通大巴所需时间缩短1.5小时，求高铁平均速度. 2.一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，按原计划的速度匀速行驶60km后,再以原计划速度的1.5倍匀速行驶,结果比原计划划提前40min到达目的地,求原计划的行驶.速度. 3.小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均速度是线路上行驶的平均速度的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少30分钟，求汽车在线路一上和线路二上行驶的平均速度. 4.2024年，平谷区教委稳步推进阳光乐跑行动，帮助学生在体育锻炼中增强体质、享受乐趣、健全人格、锤炼意志，厚植爱国主义情怀，培养全面发展的新时代好少年，形成平谷区中小学生乐跑新风尚.某校八年级学生小明通过一个学期的乐跑活动，跑步速度每分钟提升了60米，乐跑活动后跑2000米所用时间与乐跑活动前跑1600米所用时间相同.请你用学过的知识计算一下小明同学乐跑活动后的跑步速度. 5.甲、乙两地相距1200km,从甲地到乙地乘高铁列车比乘特快列车少用8h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的3倍，乘高铁列车从甲地到乙地需要多长时间? 题型2练习 1.2024.四川自贡中考真题为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动，已知七3班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，中组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同，求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子. 2.2024.山东中考真题为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为A.200B.300C.400D.500 3.某市为了呈现出美好的城市环境，该市某单位把绿化工作承包给专门的绿化公司.已知甲公司报价比乙公司报价平均每平方米多20元如果计划给甲、乙公司的资金分别为30万元和28万元，那么当甲、乙两公司每平方米报价为多少时，才使两公司承包的面积一样? 4..2024.四川广元中考真题我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”。现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，设B种绿植单价是x元，则可列方程是 5.阜新我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作，设原计划每天接种x万人，根据题意,所列方程正确的是 6.黔西南州中考施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务.设原计划每天施工x米,所列方程正确的是 题型三练习 1.青海中考某班举行趣味项目运动会,从商场购买了定数量的乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品.若每副羽毛球拍的价格比每副乒乓球拍的价格贵6元，且用400元购买乒乓球拍的数量与用550元购买羽毛球拍的数量相同.设每副乒乓球拍的价格为x元，则下列方程正确的是 2.某商场经理预测一种应季羊毛衫能在市场上畅销，就用5000元购进一批这种羊毛衫，上市后果然供不应求，于是经理又用11000元购进了第二批这种羊毛衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了5元求该商场第一批羊毛衫每件的进价。 3.幸福超市欲销售牛奶共360箱，当销售了150箱后，为尽快减少库存进行促销，平均每天销售的箱数比原来每天销售的箱数多了40%，这样幸福超市共用六天时间将这批牛奶全部售出幸福超市促销后平均每天销售多少箱牛奶。 4.第九届亚冬会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举办，本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”。某商场销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品。若用1500元购买“滨滨”纪念品的数量比用1800元购买“妮妮”纪念品的数量多5个，且个“妮妮"纪念品的价格是个“滨滨”纪念品价格的1.5倍.求“滨滨”和“妮妮"两种纪念品的单价分别是多少元. 5.数学源于生活，寓于生活，用于生活、在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用。为了激发学生学习数学的兴趣，学校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知15000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的2.5倍.求每套《古今数学思想》的价格. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$