二项分布、超几何分布、正态分布培优练 -2024-2025学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

培优练　二项分布、超几何分布、正态分布 一、基础达标练 1.若X~B(5,0.1),则P(X≤2)等于(　　) A.0.665 B.0.008 56 C.0.918 54 D.0.991 44 2.已知随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 P 设Y=2X+3,则D(Y)等于(　　) A. B. C. D. 3.某电子管正品率为,次品率为,现对该批电子管进行测试,设首次测到正品的次数为X,则P(X=3)等于(　　) A. B. C. D. 4.有8名学生,其中有5名男生,从中选出4名代表,选出的代表中男生人数为X,则其均值E(X)等于(　　) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 5.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的有(　　) A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=4 D.D(X)= 6.若随机变量X服从正态分布,其正态曲线上的最高点的坐标是,则该随机变量的方差等于(　　) A.9 B.81 C. D. 7.设随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,…,300,则E(X)=　　. 8.一批产品共50件,其中5件次品,其余均为合格品,从这批产品中任意抽取两件,其中出现次品的概率为　　　　　.  9.已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,如果某次没有发芽,那么称该次试验是失败的. (1)第一小组做了3次试验,记该小组试验成功的次数为X,求X的概率分布; (2)第二小组进行试验,到成功了4次为止,求在第4次成功之前共有3次失败的概率. 10.袋中有4只红球,3只黑球,今从袋中随机取出4只球,设取到一只红球得2分,取到一只黑球得1分,试求得分X的均值. 二、能力提升练 11.设随机变量ξ~N(μ,1),函数f(x)=x2+2x-ξ没有零点的概率是0.5,则P(0≤ξ<1)等于(附:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈68.3%,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈95.4%)(　　) A.0.158 7 B.0.135 5 C.0.271 8 D.0.341 3 12.在一次抽奖中,一个箱子里有编号为1至10的10个号码球(球的大小、质地完全相同,但编号不同),其中有n个号码为中奖号码,若从中任意取出4个号码球,其中恰有1个中奖号码的概率为,则这10个小球中,中奖号码球的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 13.(多选题) 已知袋子中有质地大小均相同的2个红球和2个蓝球,现从袋子中随机摸球,则下列说法正确的是(　　) A.每次摸1个球,摸出的球观察颜色后不放回,则第2次摸到红球的概率为 B.每次摸1个球,摸出的球观察颜色后不放回,则第1次摸到红球的条件下,第2次摸到红球的概率为 C.每次摸出1个球,摸出的球观察颜色后放回,连续摸n次后,摸到红球的次数X的方差为 D.从中不放回摸n个球,摸到红球的个数X=k的概率是P 14.一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球,得到黑球的概率是;从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是,则白球的个数为　　　　　;从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)=　　　　　.  三、拓展探究练 15.设随机变量X~B(2,p),Y~B(3,p),若P(X≥1)=,则P(Y=2)=　　　　　.  16.某项调查结果表明,某地区新生儿体重X近似服从正态分布N(μ,σ2),假设随机抽取r个新生儿体检,记ξ表示抽取的r个新生儿体重在(μ-3σ,μ+3σ)以外的个数.若ξ的均值E(ξ)<0.05,则r的最大值是　　　.  [注:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈99.7%] 17.某市举办数学知识竞赛活动,共5 000名学生参加,竞赛分为初试和复试,复试环节共3道题,其中2道单选题、1道多选题,得分规则如下:参赛学生每答对一道单选题得2分,答错得0分;答对多选题得3分,答错得0分.答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩. (1)通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ=66,σ2=144,试估计初试成绩不低于90分的人数. (2)已知小强已通过初试,他在复试中单选题答对的概率为,多选题答对的概率为,且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成绩为Y,求Y的概率分布及均值. 附:P(μ-σ<X<μ+σ)≈68.3%,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈95.4%,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈99.7%. 参考答案 1.D　P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) =×0.10×0.95+×0.1×0.94+×0.12×0.93 =0.991 44. 2.A　∵E(X)=0×+1×+2×=1, ∴D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×, ∴D(Y)=D(2X+3)=4D(X)=. 3.C　P(X=3)=. 4.B　由题意可知,X服从超几何分布, ∴E(X)==2.5. 5.AB　随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=, ∴P(X=1)=, E(X)=0×+1×, D(X)=0-2×+1-2×, 故A正确,D错误; E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=4,故B正确; D(3X+2)=9D(X)=9×=2,故C错误. 6.C　由正态分布密度曲线上的最高点为9,, 知,解得σ=,∴D(X)=σ2=. 7.100　由P(X=k)=·k·300-k, 可知X~B300,,∴E(X)=300×=100. 8.　设抽取的两件产品中次品的件数为X,则X~H(2,5,50),∴P(X=k)=,k=0,1,2, ∴P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)=. 9.解 (1)由题意,得随机变量X的可能取值为0,1,2,3, 则X~B3,, 所以P(X=k)=k1-3-k,k=0,1,2,3, 即P(X=0)=×0×1-3=, P(X=1)=×1×1-2=, P(X=2)=×2×1-1=, P(X=3)=×3=, 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3 P (2)第二小组第7次试验成功,前面6次试验中有3次失败、3次成功,每次试验又是相互独立的, 因此所求概率P=3×1-3×. 10.解 取出4只球颜色及得分情况如下: 4红得8分,3红1黑得7分,2红2黑得6分,1红3黑得5分,因此,X的取值为5,6,7,8, P(X=5)=, P(X=6)=, P(X=7)=, P(X=8)=, 故X的概率分布为 X 5 6 7 8 P 所以E(X)=5×+6×+7×+8×. 11.B　∵函数f(x)=x2+2x-ξ没有零点, 即二次方程x2+2x-ξ=0无实根, ∴Δ=4-4(-ξ)<0,∴ξ<-1. 又∵f(x)=x2+2x-ξ没有零点的概率是0.5, ∴P(ξ<-1)=0.5, 由正态曲线的对称性知μ=-1, ∴ξ~N(-1,1),∴μ=-1,σ=1, ∴μ-σ=-2,μ+σ=0,μ-2σ=-3,μ+2σ=1, ∴P(-2<ξ<0)≈0.683,P(-3<ξ<1)≈0.954, ∴P(0≤ξ<1)=[P(-3<ξ<1)-P(-2<ξ<0)]≈(0.954-0.683)=0.135 5. 12.C　由题意,可得, ∴n(10-n)(9-n)(8-n)=480,将选项中的值代入检验,知选C. 13.AD　对于A选项,记事件A1:第一次摸到红球,事件A2:第一次摸到蓝球,事件B:第二次摸到红球, 则P=P,P, P, 所以,P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=,A对; 对于B选项,每次摸1个球,摸出的球观察颜色后不放回, 记事件A:第一次摸到红球,事件B:第二次摸到红球,则P(AB)=,P(A)=, 由条件概率公式,可得P,B错; 对于C选项,每次摸出1个球,摸出的球观察颜色后放回,连续摸n次后, 摸到红球的次数为X,则X~B, 由二项分布的方差公式可得D(X)=n×,C错; 对于D选项,从中不放回摸n个球, 摸到红球的个数X=k的概率是P,D对.故选AD. 14.5　　根据题意,设白球的个数为y, 又从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是,则,解得y=5, 所以白球的个数为5; 由题意可知ξ~H(3,5,10),∴E(ξ)=3×. 15.　因为随机变量X~B(2,p), 且P(X≥1)=, 所以P(X≥1)=p(1-p)+p2=, 解得p=或p=(舍去), 所以随机变量Y~B3,, 所以P(Y=2)=21-=. 16.16　因为新生儿体重落在(μ-3σ,μ+3σ)内的概率为0.997,则落在(μ-3σ,μ+3σ)外的概率为0.003, 所以ξ~B(r,0.003), 所以E(ξ)=0.003r<0.05,即r<≈16.67. 因为r为正整数,所以r的最大值为16. 17.解 (1)∵学生初试成绩X服从正态分布N(μ,σ2), 其中μ=66,σ2=144, ∴μ+2σ=66+2×12=90, ∴P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)≈×(1-0.954)=0.023, ∴估计初试成绩不低于90分的人数为0.023×5 000=115. (2)Y的所有可能取值为0,2,3,4,5,7, 则P(Y=0)=, P(Y=2)=, P(Y=3)=, P(Y=4)=, P(Y=5)=, P(Y=7)=, ∴Y的概率分布为 Y 0 2 3 4 5 7 P ∴E(Y)=0×+2×+3×+4×+5×+7×. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$