2025年九年级中考数学复习 角平分线七大模型知识精讲

专题一 角平分线相关模型 【知识梳理】 知识点一、角的平分线 如图所示，射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC就叫做这个角的角平分线. PS：角的平分线是一条射线，不是线段或直线. 如果一条射线是某一个角的平分线，那么这条射线必定在该角的内部； 知识点二、角平分线性质定理与判定定理 1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 2. 角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 知识点三、角平分线的画法（尺规作图） 如图所示：作∠AOB的角平分线 （1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E； （2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； （3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线. 【角平分线有关模型】 1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题：例： 已知：P是平分线上的一点，过点P作于点M，过点P作于点N，则①；②OM=ON；③∠MPO=∠NPO；④∠OMP=∠ONP. 2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例： 已知：AD是的平分线，，过点D作于点E，则. 3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），例： 已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF，则. 4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例： 已知：点D是平分线上的一点，过点D作，则是等腰三角形，即. 5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例： 已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则. 6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例： 已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD. 7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例： （1）已知：OC平分，点E、F分别在OA、OB上，过点E作于点M，过点F作于点N，则，如图所示： （2）已知：OC平分，点E、F在OC上，作于点M，作于点N，则，如图所示： （3）已知：OC平分，点E、F在OC上，作，则，如图所示： 【巩固练习】 一．选择题 1．在三角形中，一定能将其面积分成相等的两部分的线是（　　） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．垂直平分线 2．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③PD＝PE；④BD+CE＝BC，其中正确的个数是（　　）个． A．2 B．4 C．3 D．1 3．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（　　） A．BF＝CF B．∠BAE＝∠EAC C．∠C+∠CAD＝90° D．S△BAE＝S△EAC 4．如图，△ABC的三边AC，BC，AB的长分别是4，6，8，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（　　） A．4：3：2 B．6：4：3 C．2：3：4 D．3：4：6 5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，DE＝3，则CF的长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 6．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（　　） A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 7．如图，在正方形ABCD内有一点F，连接AF，CF，有AF＝AB，若∠BAF的角平分线交BC于点E，若E为BC中点，CF＝2，则AD的长为（　　） A． B．4 C．2 D．2.5 8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 9．如图，OP是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，N是射线OA上的动点，若PM＝2，则PN的最小值为 　 　． 10．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，AB＝6，△AMN的周长是15．则AC的长为 　 　． 11．如图，AD是在△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，S△ABC＝30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE＝　 　cm． 12．如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 　 　． 13．如图，已知边长为12的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG，则△CEF的最大面积为 　 　． 14．如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝60°，BE，CD为三角形ABC的角平分线．BE，CD交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝BG；③△BDF≌△CEF；④BC＝BD+CE．其中结论正确的序号有 　 　． 15．如图，在等腰△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线BE与．∠BAC的外角平分线AD交于点F，分别交AC和BC的延长线于点E、D．过点F作FH⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点G，则下列结论：①∠AFB＝45°； ②FE＝FG； ③△DFH为等腰直角三角形；④BD＝AH+BE．其中正确的结论有 　 　． 三．解答题 16．在△ABC中，AB＝AC． （1）尺规作图：作△ABC的角平分线AD； （2）求证：AD⊥BC． 17．如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线． （1）若∠C＝80°，∠BAC＝60°，则∠BED的度数是 　 　； （2）探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论． 18．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G． （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若AB＝12，AC＝8，S△ABC＝60，求DE的长． 19．如图，∠A＝60°，△ABC的角平分线BD，CE交于点F． （1）求证：∠BFC＝2∠DFC； （2）求证：EF＝DF； （3）用等式表示线段BE，BC，CD之间的数量关系，并证明． 20．请回答下列问题： （1）如图1，已知△ABC，利用直尺和圆规，作∠BAC的平分线AD交BC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的基础上，AB＝6，AC＝4，S△ABD＝9，求S△ADC； （3）如图2所示，AD是△ABC的角平分线E、F分别是AB、AC上的点，且∠EDF+∠BAC＝180°，求证：DE＝DF． 21．一次数学综合实践活动中，聪明的小倩同学发现关于三角形角平分线的一个结论． 如图1，已知AD是三角形ABC的角平分线，可以得到．小倩同学的证明思路是这样的：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过三角形的相似可以证明． （1）请根据小倩同学的思路，写出证明该结论的过程． （2）利用以上结论进行计算：在图1中，已知AB＝3，AC＝6，BC＝8，则 BD＝　 　； （3）在图3中，已知∠B＝45°，∠ACB+∠D＝90°，BC＝2，CD＝4，求AD的长． 22．如图，△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，顶点O（0，0），顶点B（﹣1，0），反比例函数经过点A． （1）求反比例函数的表达式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作∠AOB的平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （3）（2）中所作的角平分线与反比例函数交于点C，求C点坐标． 23．如图，矩形ABCD中，∠DBC的角平分线与CD交于点E，点P在线段BE上，过点P作直线AB、AD的垂线，垂足为F、G，与BD交于N、M两点，AB＝1，AD＝t． （1）如图1，当t＝1时，求证：MN＝2NF； （2）如图2，当时，探究线段MN与NF的数量关系，并给出证明； （3）在（2）的条件下，若NF+MG＝MN，求BF的长． 参考答案 【角平分线有关模型】 1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题：例： 已知：P是平分线上的一点，过点P作于点M，过点P作于点N，则①；②OM=ON；③∠MPO=∠NPO；④∠OMP=∠ONP. 【证明】∵OC是∠AOB的角平分线， ∴∠MOP=∠NOP， 在△MOP与△NOP中， ， ∴△MOP≌△NOP（AAS）， ∴PM=PN，OM=ON，∠MPO=∠NPO，∠OMP=∠ONP. 2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例： 已知：AD是的平分线，，过点D作于点E，则. 【证明】如图，∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠EAD， ∴DE⊥AB于点E， ∴∠C=∠AED=90°， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴． 3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），例： 已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF，则. 【证明】如图，∵OD平分∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC， 在△OED和△OFD中， ， ∴ 4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例： 已知：点D是平分线上的一点，过点D作，则是等腰三角形，即. 【证明】是的平分线， ， 又， 是等腰三角形. 5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例： 已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则. 【证明】∵OC平分， ∴∠AOC=∠BOC， ∵DE∥OC， ∴∠E=∠BOC，∠ODE=∠AOC， ∴∠E=∠ODE， ∴ 6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例： 已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD. 【证明】如图，∵OE平分∠AOB， ∴∠DOE=∠FOE， ∴DE⊥OE于点E， ∴∠DEO=∠FEO=90°， 在△DOE和△FOE中， ， ∴△DOE≌△FOE（ASA）， ∴则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD． 7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例： （1）已知：OC平分，点E、F分别在OA、OB上，过点E作于点M，过点F作于点N，则，如图所示： 【证明】∵OC平分， ∴∠EOM=∠FON， 又∵∠OME=∠ONF=90°， ∴. （2）已知：OC平分，点E、F在OC上，作于点M，作于点N，则，如图所示： 【证明】∵OC平分， ∴∠EOM=∠FON， 又∵∠OME=∠ONF=90°， ∴. （3）已知：OC平分，点E、F在OC上，作，则，如图所示： 【证明】∵OC平分， ∴∠EOM=∠FON， 又∵∠OME=∠ONF， ∴. 【巩固练习】 一．选择题 1．在三角形中，一定能将其面积分成相等的两部分的线是（　　） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．垂直平分线 【分析】根据三角形的中线、高、角平分线、线段垂直平分线的概念、三角形的面积公式平时即可． 【解答】解：由三角形的面积公式可知：三角形的中线把三角形面积分成相等的两部分， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的中线、高、角平分线以及线段垂直平分线，熟记三角形的面积公式是解题的关键． 2．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③PD＝PE；④BD+CE＝BC，其中正确的个数是（　　）个． A．2 B．4 C．3 D．1 【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出∠PBC+∠PCB的度数，再由三角形内角和定理可求出∠BPC的度数，①正确；由∠BPC＝120°可知∠DPE＝120°，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，由角平分线的性质可知AP是∠BAC的平分线，②正确；PF＝PG＝PH，故∠AFP＝∠AGP＝90°，由四边形内角和定理可得出∠FPG＝120°，故∠DPF＝∠EPG，由全等三角形的判定定理可得出△PFD≌△PGE，故可得出PD＝PE；由三角形全等的判定定理可得出△BHP≌△BFP，△CHP≌△CGP，故可得出BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，再由DF＝EG可得出BC＝BD+CE，④正确；即可得出结论． 【解答】解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠PBC+∠PCB（180°﹣∠BAC）（180°﹣60°）＝60°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°， 故①正确； ∵∠BPC＝120°， ∴∠DPE＝120°， 过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC， ∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴AP是∠BAC的平分线， 故②正确； PF＝PG＝PH， ∵∠BAC＝60°，∠AFP＝∠AGP＝90°， ∴∠FPG＝120°， ∴∠DPF＝∠EPG， 在△PFD与△PGE中， ， ∴△PFD≌△PGE（ASA）， ∴PD＝PE， 故③正确； 在Rt△BHP与Rt△BFP中， ， ∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL）， 同理，Rt△CHP≌Rt△CGP， ∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE， 两式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE， ∵DF＝EG， ∴BC＝BD+CE， 故④正确； 正确的个数有4个， 故选：B． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 3．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（　　） A．BF＝CF B．∠BAE＝∠EAC C．∠C+∠CAD＝90° D．S△BAE＝S△EAC 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 【解答】解：∵AF是△ABC的中线， ∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意； ∵AE是角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE，B说法正确，不符合题意； ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C+∠CAD＝90°，C说法正确，不符合题意； ∵BE≠EC， ∴S△ABE≠S△AEC，D说法错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 4．如图，△ABC的三边AC，BC，AB的长分别是4，6，8，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（　　） A．4：3：2 B．6：4：3 C．2：3：4 D．3：4：6 【分析】过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E点，OF⊥BC于F点，如图，则根据角平分线的性质得到OE＝OD＝OF，然后根据三角形面积公式得到S△OAB：S△OBC：S△OAC＝AB：BC：AC，最后把结果化为简比即可． 【解答】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E点，OF⊥BC于F点，如图， ∵O是△ABC三条角平分线的交点， ∴OE＝OD＝OF， ∴S△OAB：S△OBC：S△OAC ＝（•AB•OD）：（•BC•OF）：（•AC•OE） ＝AB：BC：AC ＝8：6：4 ＝4：3：2． 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，DE＝3，则CF的长为（　　） A．4 B．6 C．9 D．12 【分析】解法一：根据等腰三角形的性质可知∠B＝∠ACB，根据相似三角形的判定定理可证明△BCF∽△CDE，利用相似三角形的性质定理即可求出CF的长度． 解法二：利用SAS证明△ABD≌△ACD可得S△ABC＝2S△ACD，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【解答】解：解法一： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， 由题意可知：∠BFC＝∠DEC＝90°， ∴△BCF∽△CDE， ∴， 设CD＝x， ∴BC＝2CD＝2x， ∴， ∴CF＝6． 解法二：∵AD是∠BAC的角平分线交BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， ∴S△ABD＝S△ACD， ∴S△ABC＝2S△ACD， ∵DE⊥AC，CF⊥AB， ∴S△ABC，S△ACD， ∵AB＝AC，DE＝3， ∴CF＝2DE＝6． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 6．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（　　） A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 【分析】M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，则得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，即可得出△DBM∽△MBC，再求出△BMC∽△MEC，△DBM∽△EMC，即可得出：acb2，即可求解． 【解答】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM＝∠AEM，MD＝MEDEb， ∴∠BDM＝∠MEC＝90°∠BAC， ∴∠BMC＝90°∠BAC， ∴∠BDM＝∠MEC＝∠BMC， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， ∴△DBM∽△EMC， ∴， ∴BD•EC＝MD•ME， 即：acb2， 即Δ＝b2﹣4ac＝0， 故选：A． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质，根据已知得出∠BDM＝∠MEC＝∠BMC是解题关键． 7．如图，在正方形ABCD内有一点F，连接AF，CF，有AF＝AB，若∠BAF的角平分线交BC于点E，若E为BC中点，CF＝2，则AD的长为（　　） A． B．4 C．2 D．2.5 【分析】连接EF，过点E作EH⊥FC，过点F作FG⊥AE．设正方形的边长AD＝2x， 通过证明△ABE≌△AFE．得到△AFE各边与正方形边长的关系，再利用面积法把FG用含x的代数式表示出来，通过角相等证明FC∥AE，从而得到EH＝FG，在Rt△EHC中利用勾股定理求出x的值，从而求出AD的长． 【解答】解：设AD的长为2x，连接EF，过点E作EH⊥FC于点H，过点F作FG⊥AE于点G．如图所示， ∵四边形ABCD是正方形． ∴AB＝BC＝AD＝2x． ∵E为BC的中点． ∴BE＝EC＝x． ∵AE平分∠BAF， ∴∠BAE＝∠FAE， ∵AF＝AB＝2x，AE＝AE， ∴△BAE≌△FAE（SAS）． ∴EF＝EB＝x，∠AFE＝∠B＝90°，∠AEB＝∠AEF． ∴EF＝EC． ∴∠ECF＝∠EFC． ∵∠ECF+∠EFC+∠CEF＝180°． ∠AEB+∠AEF+CEF＝180°． ∴∠ECF＝∠AEB． ∴FC∥AE． ∵EH⊥FC，FG⊥AE． ∴EH＝FG（平行线间的距离处处相等）． 在Rt△AEF中，AEx． ∵S△AEFAF•EFAE•FG． ∴FG． ∴EH． 在Rt△EHC中，HCFC＝1．EC＝x， ∵EC2＝HC2+EH2． ∴x2＝1+（）2． 解得，x． ∴AD＝2x＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理的应用，本题是一道综合性很强的题目，难度比较大，解题时注意灵活运用正方形、三角形全等的性质． 8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（　　） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【分析】本题通过证明Rt△CDE≌Rt△BDF（AAS）和△ABC为等腰三角形即可求解． 【解答】解：∵BC恰好平分∠ABF， ∴∠FBC＝∠ABC ∵BF∥AC， ∴∠FBC＝∠ACB， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠CBF， 在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝∠ABC， ∴△ABC为等腰三角形， ∴CD＝BD，故②正确； CA＝AB，AD⊥BC，故③正确； ∵∠ACB＝∠CBF，CD＝BD， 在△CDE和△BDF中， ， ∴△CDE≌△BDF（AAS）， ∴DE＝DF，故①正确； ∵BF＝CE， ∴CA＝AB＝AE+CE＝2BF+BF＝3BF，故④正确． 综上所述：正确的结论为①②③④． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到△CDE≌△BDF． 二．填空题 9．如图，OP是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，N是射线OA上的动点，若PM＝2，则PN的最小值为 　2　． 【分析】过P点作PH⊥OA，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PM＝2，然后根据垂线段最短求解． 【解答】解：过P点作PH⊥OA，如图， ∵OP是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，PH⊥OA， ∴PH＝PM＝2， ∵点N是射线OA上的一个动点， ∴PN的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短． 10．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，AB＝6，△AMN的周长是15．则AC的长为 　9　． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得△MOB和△NOC是等腰三角形，从而可得MO＝MB，NO＝NC，然后利用等量代换可得△AMN的周长＝AB+AC，从而进行计算即可解答． 【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵MN∥BC， ∴∠MON＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB， ∴∠ABO＝∠MON，∠ACO＝∠NOC， ∴MO＝MB，NO＝NC， ∵△AMN的周长是15， ∴AM+MN+AN＝15， ∴AM+MO+ON+AN＝15 ∴AM+MB+NC+AN＝15， ∴AB+AC＝15， ∵AB＝6， ∴AC＝15﹣6＝9， 故答案为：9． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 11．如图，AD是在△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，S△ABC＝30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE＝　3　cm． 【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∴S△ABCAB•DEAC•DF＝30（cm2），即13×DE7×DF＝30， 解得DE＝DF＝3cm， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 　5　． 【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论． 【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T． ∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC， ∴FM＝FN， ∴3， ∴AB＝3AD， 设AD＝DC＝a，则AB＝3a， ∵AD＝DC，DT∥AE， ∴ET＝CT， ∴3， 设ET＝CT＝b，则BE＝3b， ∵AB+BE＝3， ∴3a+3b＝3， ∴a+b， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 13．如图，已知边长为12的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG，则△CEF的最大面积为 　18　． 【分析】先根据正方形的性质和角平分线的性质证明出FG＝CG，设CE＝x，则BE＝12﹣x，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE＝∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，得出，然后求出FG＝12﹣x，再根据三角形的面积公式求出△ECF的面积，再根据函数的性质求最值． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DCB＝∠DCG＝90°， ∵CF是∠DCG的角平分线， ∴∠FCG＝45°， ∵FG⊥BG， ∴∠CFG＝45°， ∴FG＝CG， 设CE＝x，则BE＝12﹣x， ∴EG＝CE+CG＝x+FG， ∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE， ∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°， ∴∠BAE＝∠FEG， ∵∠B＝∠G＝90°， ∴△BAE∽△GEF； ∴， ∴， ∴FG＝12﹣x， ∴S△ECFCE×FGx•（12﹣x）（x2﹣12x）（x﹣6）2+18， ∵0， ∴当EC＝6时，S△ECF最大＝18． 故答案为：18． 【点评】主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式以及二次函数求最值，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键． 14．如图，在锐角三角形ABC中，∠BAC＝60°，BE，CD为三角形ABC的角平分线．BE，CD交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝BG；③△BDF≌△CEF；④BC＝BD+CE．其中结论正确的序号有 　①②④　． 【分析】根据∠BFC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）可对①进行判断；根据“ASA”证明△BCF≌△BGF，可对②进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对③进行判断；由②可得BD＝BG，同理可得CE＝CG，可对④进行判断． 【解答】解：∵∠A＝60°，BE、CD为三角形ABC的角平分线， ∴∠EBC+∠DCBABCACB（180°﹣∠A）＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）＝120°，故①正确； 由①得，∠DFB＝60°，∠BFC＝120°， ∵FG平分∠BFC， ∴∠BFGBFC＝60°， 在△BDF和△BGF中， ， ∴△BDF≌△BGF（ASA）， ∴BD＝BG，故②正确； 在△BDF和△CEF中， ∠BFD＝∠CFE＝60°，但没有相等的边， ∴△BDF和△CEF不一定全等，故③错误； 由②可得BD＝BG， 同理可得△CEF≌△CGF（ASA）， ∴CE＝CG， ∴BC＝BG+CG＝BD+CE，故④正确． 综上所述：结论正确的序号有①②④． 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．如图，在等腰△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线BE与．∠BAC的外角平分线AD交于点F，分别交AC和BC的延长线于点E、D．过点F作FH⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点G，则下列结论：①∠AFB＝45°； ②FE＝FG； ③△DFH为等腰直角三角形；④BD＝AH+BE．其中正确的结论有 　①②③　． 【分析】利用等腰直角三角形内外角平分线的性质得到∠AFB＝45°，再利用FH⊥AD易证△FAB≌△FGB，△DFG≌△HFA，从而进行判定． 【解答】解：∵BE是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC外角平分线， ∴∠AFB∠ACB＝45°，故①正确； ∵FH⊥AD， ∴∠AFB＝∠BFG＝45°， 又∵FB＝FB，∠ABF＝∠FBG， ∴△FAB≌△FGB（ASA）， ∴FG＝FA． 又∵可利用角的计算知∠FAE＝∠FEA＝67.5°， ∴FA＝FE， ∴FE＝FG，故②正确； ∵∠DFG＝∠HFA＝∠ACD＝90°， ∴∠FGD＝∠FAH， 又∵FG＝FA， ∴△DFG≌△HFA（ASA）， ∴DF＝FH， ∴△DFH为等腰直角三角形，故③正确； 由△DFG≌△HFA可得DG＝AH，由△FAB≌△FGB可得BG＝AB， ∵BD＝DG+GB， BD＝AH+AB，故④错误． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、角平分线的性质和全等三角形的判定及性质，解题的关键是全等三角形的判定与性质的灵活应用． 三．解答题 16．在△ABC中，AB＝AC． （1）尺规作图：作△ABC的角平分线AD； （2）求证：AD⊥BC． 【分析】（1）根据“作角平分线的基本作法”作图； （2）根据垂直的定义证明． 【解答】（1）解：如图：AD即为所求； （2）证明：由作图得：∠BAD＝∠CAD， ∵AB＝AC，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠ADB＝∠ADC， ∵∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠ADB＝90°， 即：AD⊥BC． 【点评】本题考查了基本作图，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 17．如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线． （1）若∠C＝80°，∠BAC＝60°，则∠BED的度数是 　50°　； （2）探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）求出∠DBE，∠ADB，利用三角形内角和定理即可解决问题． （2）结论：．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理解决问题即可． 【解答】解：（1）∵∠C＝80°，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝40°， ∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线， ∴，∠DECABC＝20°， ∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝100°， ∴∠BED＝180°﹣100°﹣20°＝50°， 故答案为：50°． （2）结论： 理由：∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线， ∴，， ∴∠BED＝∠ABE+∠BAE． 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G． （1）求证：AD垂直平分EF； （2）若AB＝12，AC＝8，S△ABC＝60，求DE的长． 【分析】（1）由“HL”可证Rt△AED≌Rt△AFD，可得AE＝AF，可得结论； （2）利用面积法求解． 【解答】（1）证明：∵AD是△ABC 的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD 的高， ∴DE＝DF， 在 Rt△AED与Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∵DE＝DF， ∴AD垂直平分EF； （2）解：∵DE＝DF，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴60•AB•DE•AC•DF， ∵AB＝12，AC＝8， ∴DE＝6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 19．如图，∠A＝60°，△ABC的角平分线BD，CE交于点F． （1）求证：∠BFC＝2∠DFC； （2）求证：EF＝DF； （3）用等式表示线段BE，BC，CD之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论； （2）过点F作FP⊥AB于点P，FG⊥BC于点G，FQ⊥AC于点Q，由BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，得FP＝FG＝FQ，再根据AAS证出△FEP≌△FDQ即可得出结论． （3）在BC上截取BG＝BE，连接FG，当α＝60°时，∠BFC＝120°，可证明△BGF≌△BEF，得∠BFG＝∠BFE＝60°，则∠CFG＝∠CFD＝60°，再证明△CGF≌△CDF，得CG＝CD，即可证明BE+CD＝BC． 【解答】（1）证明：∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°， ∵△ABC的角平分线BD，CE交于点F， ∴∠FBC，， ∴∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝120°， ∴∠DFC＝180°﹣∠BFC＝60°， ∴∠BFC＝2∠DFC； （2）证明：过点F作FP⊥AB于点P，FG⊥BC于点G，FQ⊥AC于点Q， ∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴FP＝FG＝FQ， ∵∠ABC＝40°，∠BCF＝40°， ∴∠FEP＝∠ABC+∠BCF＝80°， ∵∠FBC＝20°，∠ACB＝80°， ∴∠FDQ＝180°﹣∠FBC﹣∠ACB＝80°， ∴∠FEP＝∠FDQ， 在△FEP与△FDQ中， ， ∴△FEP≌△FDQ（AAS）， ∴EF＝DF； （3）解：BE+CD＝BC， 证明：当α＝60°时，如图，在BC上截取BH＝BE，连接FH， ∵∠BFC＝120°， ∴∠BFE＝∠CFD＝180°﹣∠BFC＝60°， 在△BHF和△BEF中， ， ∴△BHF≌△BEF（SAS）， ∴∠BFH＝∠BFE＝60°， ∴∠CFH＝∠CFD＝60°， 在△CHF和△CDF中， ， ∴△CHF≌△CDF（ASA）， ∴CG＝CD， ∴BE+CD＝BH+CH＝BC． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． 20．请回答下列问题： （1）如图1，已知△ABC，利用直尺和圆规，作∠BAC的平分线AD交BC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的基础上，AB＝6，AC＝4，S△ABD＝9，求S△ADC； （3）如图2所示，AD是△ABC的角平分线E、F分别是AB、AC上的点，且∠EDF+∠BAC＝180°，求证：DE＝DF． 【分析】（1）利用角平分线的作法作∠BAC的平分线AD交BC于点D即可； （2）过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，由角平分线的性质得DM＝DN，再由S△ABDAB•DM求出DM，然后由三角形面积公式即可得出答案； （3）过点D作DH⊥AB于点H，作DQ⊥AC于点Q，则∠EHD＝∠FQD＝90°，由角平分线的性质得DH＝DQ，再证△EHD≌△FQD（AAS），即可得出结论． 【解答】（1）解：如图1，作∠BAC的平分线AD交BC于点D； （2）解：如图3，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N， ∵AD平分∠BAC， ∴DM＝DN， ∵S△ABDAB•DM， ∴96×DM， 解得：DM＝3， ∴DN＝3， ∴S△ADCAC•DN4×3＝6； （3）证明：如图2，过点D作DH⊥AB于点H，作DQ⊥AC于点Q， 则∠EHD＝∠FQD＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴DH＝DQ， ∵∠EDF+∠BAC＝180°， ∴∠AED+∠AFD＝180°， ∵∠DFQ+∠AFD＝180°， ∴∠DEH＝∠DFQ， 在△EHD和△FQD中， ， ∴△EHD≌△FQD（AAS）， ∴DE＝DF． 【点评】本题是三角形综合题，考查了角平分线的尺规作图法、角平分线的性质、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21．一次数学综合实践活动中，聪明的小倩同学发现关于三角形角平分线的一个结论． 如图1，已知AD是三角形ABC的角平分线，可以得到．小倩同学的证明思路是这样的：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过三角形的相似可以证明． （1）请根据小倩同学的思路，写出证明该结论的过程． （2）利用以上结论进行计算：在图1中，已知AB＝3，AC＝6，BC＝8，则 BD＝　　； （3）在图3中，已知∠B＝45°，∠ACB+∠D＝90°，BC＝2，CD＝4，求AD的长． 【分析】（1）过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，先说明AC＝CE，再利用相似三角形的判定得，等量代换即可； （2）由（1）中结论知，，代入计算即可； （3）作EB⊥BD，交DA的延长线于E，说明△EBA≌△CBA（ASA），得BE＝BC＝2，由（1）中结论知，，利用勾股定理求出DE的长，进而得出答案． 【解答】解：（1）如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E， ∴∠E＝∠BAE， ∵AB平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴∠E＝∠CAE， ∴AC＝CE， ∵CE∥AB， ∴△CED∽△BAD， ∴， ∴； （2）由（1）中结论知，， ∴， 解得BD， 故答案为：． （3）作EB⊥BD，交DA的延长线于E， ∴∠E+∠D＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠EBA＝∠ABC＝45°， ∵∠ACB+∠D＝90°， ∴∠E＝∠ACB， ∵AB＝AB， ∴△EBA≌△CBA（ASA）， ∴BE＝BC＝2， 由（1）中结论知，， 在Rt△EBD中，∠EBD＝90°， ∴DE2， ∴ADDE． 【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线利用题中的结论是解决问题（3）的关键． 22．如图，△AOB中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，顶点O（0，0），顶点B（﹣1，0），反比例函数经过点A． （1）求反比例函数的表达式； （2）请用无刻度的直尺和圆规作∠AOB的平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （3）（2）中所作的角平分线与反比例函数交于点C，求C点坐标． 【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求k的值； （2）利用尺规作图可求解； （3）过C作CD⊥x轴于D，则∠ODC＝90°，根据三角形内角和定理得到∠AOB＝60°，根据角平分线的定义得到∠COD＝30°，设C（m，），根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）∵B（﹣1，0）， ∴OB＝1， ∵∠ABO＝90°，∠OAB＝30°， ∴ABOB， ∴A（﹣1，）， ∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A， ∴， ∴k， ∴反比例函数的表达式为y； （2）解：如图所示：射线OC为∠AOB的平分线； （3）过C作CD⊥x轴于D， 则∠ODC＝90°， ∵∠ABO＝90°，∠OAB＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∵OC平分∠AOB， ∴∠COD＝30°， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴设C（m，）， ∴tan30°， 解得m或m（不合题意舍去）， ∴C（，1）． 【点评】本题是反比例函数的综合题，可惜了待定系数法求函数的解析式，基本作图，角平分线的定义，三角函数的定义，正确地作出图形是解题的关键． 23．如图，矩形ABCD中，∠DBC的角平分线与CD交于点E，点P在线段BE上，过点P作直线AB、AD的垂线，垂足为F、G，与BD交于N、M两点，AB＝1，AD＝t． （1）如图1，当t＝1时，求证：MN＝2NF； （2）如图2，当时，探究线段MN与NF的数量关系，并给出证明； （3）在（2）的条件下，若NF+MG＝MN，求BF的长． 【分析】（1）作PK⊥MN于K，根据矩形的性质得到∠A＝90°，根据平行线的性质得到∠FPB＝∠CBE，根据角平分线的定义得到∠CBE＝∠DBE，根据全等三角形的性质得到FN＝KN，求得∠FPG＝90°，根据等腰直角三角形的判定和性质度量是解题的关键； （2）设BF＝3a FN＝4a，根据勾股定理得到BN5a，根据矩形的性质得到∠A＝90°，求得PN＝BN＝5a 由（1）知，∠NPM＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据已知条件得到，求得，列方程即可得到结论． 【解答】（1）证明：作PK⊥MN于K， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵PF⊥AB， ∴PF∥BC， ∴∠FPB＝∠CBE， ∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE＝∠DBE， ∴∠NBP＝∠NPB， ∴PN＝BN， ∵∠BFN＝∠PKN＝90°，∠BNP＝∠BPN， ∴△BFN≌△PKN（AAS）， ∴FN＝KN， ∵PG⊥AD， ∴∠DGM＝90°， ∴四边形AFPG是矩形， ∴∠FPG＝90°， ∵∠GDM＝45°， ∴∠DMG＝45°， ∴△PMN是等腰直角三角形， ∴MN＝2KN， ∴MN＝2FN； （2）解：； 证明：在矩形ABCD中，AB＝1，AD， ∴， 设BF＝3a FN＝4a， ∴BN5a， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵PF⊥AB， ∴PF∥BC， ∴∠FPB＝∠CBE， ∵BE平分∠CBD， ∴∠CBE＝∠DBE， ∴∠NBP＝∠NPB， ∴PN＝BN＝5a 由（1）知，∠NPM＝90°， ∴∠BFN＝∠NPM＝90°， ∵∠BNF＝∠PNM， ∴△BNF∽△MNP， ∴， ∴MNa， ∴； （3）解：∵NF+MG＝MN， ∴， ∵， ∴BF+PM+GM＝AB＝1， ∴， 解得， ∴． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$