第19章 一次函数 专题２ 一次函数与全等三角形综合 训练 2024—2025学年人教版数学八年级下册
（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”；
（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”；
（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”；
（4）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”；
（5）两直角三角形的斜边和一组直角边对应相等的两个三角形全等，简写为“HL”定理。
2.几种常见模型回顾
图1 图2 图3 图4 图5 |
图1、图2为“两垂直”全等模型，图1中将 |
图3、图4为“三垂直”全等模型，其中 |
图5中， |
3.等腰直角三角形的性质
抓住等腰直角三角形的两边相等，并且夹角为直角，构造K型图，从而得到全等三角形。
在解函数题目时，我们可以借助设点法，比如一次函数解析式为：y=2x+1，那么我们可以设该函数图像的任意一点坐标为（m，2m+1），再通过全等三角形的性质得到关于m的方程，求出m的值。
当两个点的连线平行于x轴时，纵坐标相等，两点间的距离是横坐标差（右边点的横坐标—左边点的横坐标），如果不知道哪个点在右边，那么是两个点横坐标差的绝对值。即若点A坐标为（x1，y），点B坐标为（x2，y），那么AB之间的距离为：| x1-x2|。例：A（-1，3），B（4，3）（点B在点A的右边），AB的长度=4-（-1）=5
当两个点的连线平行于y轴时，横坐标相等，两点间的距离是纵坐标差（上面点的纵坐标—下面点的横坐标），如果不知道哪个点在上边，那么是两个点纵坐标差的绝对值。即若点P坐标为（x，y1），点Q坐标为（x，y2），那么PQ之间的距离为：| y1-y2|。例：P（1，3）Q（1，10）（点Q在点P的上面），PQ的长度=10-3=7.
旋转前后线段的长度保持不变，如果旋转角度为90°，那么可以构造K型图得到全等三角形；如果旋转的角度为150°，可以构造30°的直角三角形。在30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一般，三边的比为：1：2：
。
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二、典型例题
例题1：（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，过点A作AD⊥CD，过点B作BE⊥CD，垂足分别为D、E．求证：AD=CE，CD=BE．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线PQ与x轴交于点Q（1，0），与y轴交于点P（0，3），以线段PQ为一边作等腰直角三角形PQR，请直接写出点R的坐标．
例题2：如图，已知点C（4，0）是正方形AOCB的一个顶点，直线PC交AB于点E，若E是AB的中点．
（1）求点E的坐标；
（2）求直线PC的解析式；
（3）若点P是直线PC在第一象限的一个动点，当点P运动到什么位置时，图中存在与△AOP全等的三角形？请求出P点的坐标，并说明理由．
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【巩固练习】
1.已知，如图，在第一象限中，点A的坐标是（3，6），射线OM的解析式为y＝
x，作线段AC⊥x轴于点C，点B在射线OM上，且OB的长度为3
．
（1）求△AOB的面积；
（2）试判断△AOB的形状，并说明理由；
（3）直线AB交坐标轴于E、F两点，若点P在线段EF上，点Q在线段OF上，且△FPQ与△AOC全等，求点Q的坐标．
2.（1）认识模型：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）应用模型：①已知直线y=-2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（5，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-3上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形ADPQ是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
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