第19章 一次函数专题１ 一次函数中等腰三角形的存在性问题训练 2024—2025学年人教版数学八年级下册

专题１　　一次函数中等腰三角形的存在性问题 一、解决等腰三角形存在性问题必备知识点 1.等腰三角形的概念、性质与判定 （1）概念：有两边相等的三角形是等腰三角形 （2）性质：等腰三角形是轴对称图形，一般有1条对称轴；等腰三角形两底角相等（等边对等角）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合（三线合一） （3）判定：等角对等边 2.勾股定理 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 3.距离公式 两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为： 4.垂直直线 若直线l1：y1=k1x+b1与直线l2：y2=k2x+b2垂直，那么 二、等腰三角形存在性问题处理思路 1.已知三个点（转化为线段长） 在平面直角坐标系中，A、B、C ①当AB=AC时，可得：AB2=AC2，即 ②当AB=BC时，可得：AB2=BC2，即 ③当AC=BC时，可得：AC2=BC2，即 2.已知两个点（连接可得线段） 如图，已知点A坐标为（1，1），点B坐标为（3，5），在x轴上是否存在点C，使得△ABC是等腰三角形？ 方法一（几何法）： ①以A为圆心，AB为半径画圆，与x轴的交点即为所求点C，此时满足AB=AC ②以B为圆心，AB为半径画圆，与x轴的交点即为所求点C，此时满足AB=BC ③连接AB，作线段AB的垂直平分线，与x轴的交点即为所求点C，此时满足CA=CB 注： （1） 该方法简称为“两圆一线”，两圆即a：以A为圆心，AB为半径作圆；b：以B为圆心，AB为半径作圆。“一线”即作线段AB的垂直平分线。 （2） 做完后需要检验，当三点共线时，此时三角形不存在，需要舍去。 方法二：（代数法） 设点C坐标为（x，0） ①当AB=AC时，可得：AB2=AC2，即 ②当AB=BC时，可得：AB2=BC2，即 ③当AC=BC时，可得：AC2=BC2，即 注：几何法一般分三步：分类、画图、计算． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 【典型例题】 例题1.（2024秋•历下区校级月考）如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处． （1）求A、B两点的坐标； （2）求M的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． （4）在x轴上找一点N，且N点在A点的右侧，使得∠ABN=45°，请直接写出N点坐标． 例题2：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x、y轴分别相交于点A、B，与直线y＝x+2交于点D（3，m），直线y＝x+2交x轴于点C，交y轴于点E． （1）若点P是y轴上一动点，连接PC、PD，求当|PC﹣PD|取最大值时，P点的坐标． （2）在（1）问的条件下，将△COE沿x轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB于点M，则当△PMA是等腰三角形时，求BM的长． 【巩固练习】 1.如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B． （1）求△AOB的面积： （2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标． （3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标． 2.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，顶点C，D都在第一象限内，OA、OB的长分别为4和3． （1）求点D的坐标； （2）求直线BC的解析式； （3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3.如图，在矩形ABCO中，点O为坐标原点，点B（4，3），点A、C在坐标轴上，点Q在BC边上，直线L1：y＝kx+k+1交y轴于点A．对于坐标平面内的直线，先将该直线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，这种直线运动称为直线的斜平移．现将直线L1经过2次斜平移，得到直线L2． （1）求直线L1与两坐标轴围成的面积； （2）求直线L2与AB的交点坐标； （3）在第一象限内，在直线L2上是否存在一点M，使得△AQM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处． （1）求直线AC所表示的函数的表达式； （2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标； （3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积． 5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线y=−x+b相交于点C（2，m）． （1）求点A、B的坐标； （2）求m和b的值； （3）若直线y=−x+b与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【例题１】解：（1）直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B， ∴令y=0，则x=6；令x=0，则y=8， ∴A（6，0），B（0，8）． （2）∵A（6，0），B（0，8）， ∴OA=6，OB=8， ∴， 由折叠的性质可知AB=AB′=10，BM=B′M ∴OB′=AB′-OA=4， 设OM=m,则B′M=BM=8-m, 在Rt△OB′M中，根据勾股定理得：m2+42=（8-m）2， 解得：m=3， ∴M（0，3）． （3）点P的坐标为（4，0）或（-9，0）或（1，0）或； 理由如下：由（2）知OB′=4，OM=3，可得MB′＝５，分以下几种情况讨论： ①如图1，以点M为圆心，B′M长为半径画圆交x轴于一点P，此时MP=MB′=5， ∴， ∴P（4，0）； ②如图2，以点B′为圆心，B′M长为半径画圆交x轴于一点P，此时MP=MB′=5， ∴OP=9或1， ∴P（-9，0）或（1，0）； ③如图3，作线段B′M的垂直平分线交x轴于一点P，此时MP=PB′， 设OP=x,则MP=B′P=4-x, 根据勾股定理得32+x2=（4-x）2， 解得：， ∴．综合上述，点P的坐标为（4，0）或（-9，0）或（1，0）或． （4）N（56，0）； 理由如下：如图4：作∠ABN=45°，作AK⊥BN垂足为K， ∴∠KAB=∠ABN=45°， ∴BK=AK， ∵AB=10，AB2=BK2+AK2， ∴102=2AK2， 解得：， ∴， 设AN=x, 则， ∴， ∵ON=6+x, ∴BN2=OB2+ON2， ∴， 解得：x=50或（不合题意，舍去）， ∴ON=6+50=56， ∴N（56，0）． 【例题２】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x、y轴分别相交于点A、B，与直线y＝x+2交于点D（3，m），直线y＝x+2交x轴于点C，交y轴于点E． （1）若点P是y轴上一动点，连接PC、PD，求当|PC﹣PD|取最大值时，P点的坐标． （2）在（1）问的条件下，将△COE沿x轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB于点M，则当△PMA是等腰三角形时，求BM的长． 【分析】（1）取C关于y轴的对称点C'，当P与C'、D三点共线时，|PC﹣PD|取最大值，利用待定系数法求C'D的解析式，可得此时P的坐标； （2）分三种情况讨论：①当AP＝AM时，如图2，②当AP＝PM时，如图3，过P作PN⊥AB于N，③当AM＝PM时，如图4，过P作PN⊥AB于N，分别计算即可． 【解答】解：（1）当x＝3时，m＝3+2＝5， ∴D（3，5）， 把D（3，5）代入y＝﹣x+b中， ﹣3+b＝5， b＝8， ∴y＝﹣x+8， 当y＝0时，x+2＝0， x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）， 如图1，取C关于y轴的对称点C'（2，0），P1是y轴上一点，连接P1C、P1C'、P1D，则P1C＝P1C'， ∵|P1D﹣P1C'|＝|P1D﹣P1C|≤C'D， ∴当P与C'、D共线时，|PC﹣PD|有最大值是C'D， 设直线C'D的解析式为：y＝kx+b， 把C'（2，0）和D（3，5）代入得：， 解得：， ∴直线C'D的解析式为：y＝5x﹣10， ∴P（0，﹣10）； （2）分三种情况： ①当AP＝AM时，如图2， 由（1）知：OP＝10， 由勾股定理得：AP2， ∵AB＝8， ∴BM＝AB+AM＝82； 同理得：BM1＝28； ②当AP＝PM时，如图3，过P作PN⊥AB于N， ∵∠BNP＝90°，∠NBP＝45°， ∴△BNP是等腰直角三角形， ∵PB＝18， ∴BN9， ∵AB＝8， ∴AN＝98， ∵AP＝PM，PN⊥AM， ∴AM＝2AN＝2， ∴BM＝8210； ③当AM＝PM时，如图4，过P作PN⊥AB于N， ∵AN，PN＝9， 设MN＝x，则PM＝AN＝x， 由勾股定理得：PN2+MN2＝PM2， ， 解得：x＝40， ∴BM＝AB+AN+MN＝84049； 综上，当△PMA是等腰三角形时，BM的长是82或28或10或49． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到点的对称性、图形的平移、等腰三角形的判定、勾股定理等，其中（2）有难度，要注意分类求解，避免遗漏． １.如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数yx的图象交于点A，且与x轴交于点B． （1）求△AOB的面积： （2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标． （3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标． 【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由三角形面积公式可求解； （2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（﹣7，0），连接AH，交y轴于点C，由两点距离公式可求最小值，用待定系数法可求AH解析式，即可求点C坐标； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数yx的图象交于点A，且与x轴交于点B． ∴点B（7，0），﹣x+7x ∴x＝3， ∴点A（3，4） ∴S△AOB7×4＝14； （2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（﹣7，0），连接AH，交y轴于点C， ∴此时AC+BC最小值为AH， ∵点A（3，4），点H（﹣7，0）， ∴AH2， ∴AC+BC最小值为2， 设直线AH解析式为：y＝kx+b，且过点A（3，4），点H（﹣7，0）， ∴， 解得： ∴直线AH解析式为：yx； （3）如图2，过点Q作QE⊥OB， ∵以同样的速度运动， ∴BQ＝OP， ∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D， ∴点D（0，7）， ∴OD＝OB＝7，且∠DOB＝90°， ∴∠DBO＝45°，且QE⊥OB， ∴∠QBE＝∠EQB＝45°， ∴QE＝BE， ∴QBQEEB， 若PB＝QB，且OP＝BQ， ∴OP＝PBBQ， ∴BE＝EQ， ∴OE＝7， ∴点Q（7，）， 若QP＝QB，且QE⊥OB， ∴PE＝BE， ∵OB＝7＝OP+PE+BE， ∴7BE+2BE， ∴BEQE， ∴OE ∴点Q（，）， 如图3，若BP＝PQ，过点P作PF⊥BQ， ∴BF＝FQBQ， ∵∠ABO＝45°，PF⊥AB， ∴∠FPB＝∠ABO＝45°， ∴PF＝BF， ∴PBBF， ∴7﹣BQ ∴BQ＝14﹣7， ∴BE＝QE＝77， ∴点Q坐标为（14﹣7，77）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． ２．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，顶点C，D都在第一象限内，OA、OB的长分别为4和3． （1）求点D的坐标； （2）求直线BC的解析式； （3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）过点D作DE⊥OA于点E，由“AAS”可证△DEA≌△AOB，推出DE＝AO＝4，AE＝BO＝3，OE＝AE+AO＝3+4＝7可得点D的坐标为（4，7）； （2）同理可求点C坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）由等腰三角形的性质和两点距离公式可求点P坐标． 【解答】解：（1）过点D作DE⊥OA于点E，如图所示： ∵OA、OB的长分别为4和3， ∴点A（0，4），点B（3，0）， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝∠DEA＝∠DAB＝90°， ∵OA⊥OB， ∴∠DAE+∠OAB＝∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠DAE＝∠ABO， 在△DAE和△AOB中， ， ∴△DEA≌△AOB（AAS）， ∴DE＝AO＝4，AE＝BO＝3， ∴OE＝AE+AO＝3+4＝7， ∴点D的坐标为（4，7）； （2）过点C作CF⊥OB于点F， 同理可证：△AOB≌△BFC， ∴BF＝4，CF＝3， ∴OF＝OB+BF＝7， ∴点C的坐标为（7，3） 设直线BC的解析式为：y＝kx+b， 由题意可得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为：yx； （3）存在， 理由如下：∵OA、OB的长分别为4和3， ∴AB5， ∴CD＝5 ∵∠DCP'＝90°，△PCD为等腰三角形， ∴PC＝CD， 设点P（x，x）， ∴5， ∴x1＝3，x2＝11， ∴点P（3，0）或（11，6）． 【点评】本题是一次函数的综合题，考查了待定系数法可求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，两点距离公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． ３．如图，在矩形ABCO中，点O为坐标原点，点B（4，3），点A、C在坐标轴上，点Q在BC边上，直线L1：y＝kx+k+1交y轴于点A．对于坐标平面内的直线，先将该直线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，这种直线运动称为直线的斜平移．现将直线L1经过2次斜平移，得到直线L2． （1）求直线L1与两坐标轴围成的面积； （2）求直线L2与AB的交点坐标； （3）在第一象限内，在直线L2上是否存在一点M，使得△AQM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）直线L1与两坐标轴围成的面积OD×AO，即可求解； （2）将直线L1经过2次斜平移，得到直线L2：y＝2（x﹣2）+3﹣2＝2x﹣3，即可求解； （3）分∠QAM为直角、∠AQM为直角、∠AMQ为直角三种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）将点A（0，3）代入直线L1：y＝kx+k+1并解得：k＝2， 故L1的表达式为：y＝2x+3， 设：L1与x轴交点坐标为D，则其坐标为（，0）， 直线l1与两坐标轴围成的面积OD×AO3； （2）将直线L1经过2次斜平移，得到直线L2：y＝2（x﹣2）+3﹣2＝2x﹣3， 当y＝3时，x＝3， 即直线L2与AB的交点坐标为（3，3）； （3）①当∠QAM为直角时， ∵这种情况下，因为M在l2，Q在BC边上，三角形AQM不能形成等腰直角三角形， ∴M不存在； ②当∠AMQ为直角时，AM＝MQ， 过点M作x轴的平行线分别交AO、BC于点G、H， 设点M（m，2m﹣3），点Q（4，n）， ∵∠AMG+∠GAM＝90°，∠AMG+∠QMH＝90°， ∴∠QMH＝∠GAM，∠AGM＝∠MHQ＝90°，AM＝MQ， ∴△AGM≌△MHQ（AAS）， ∴AG＝MH，即：|3﹣2m+3|＝4﹣m， 解得：m＝2或， 故点M（，）或（2，1）； ③当∠AQM为直角时，如图： 同理可得：M（，）； 故点M（，）或（2，1）或M（，）． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． ４．如图1，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（6，8）．D是AB边上一点（不与点A、B重合），将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点E处． （1）求直线AC所表示的函数的表达式； （2）如图2，当点E恰好落在矩形的对角线AC上时，求点D的坐标； （3）如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△OEA的面积． 【分析】（1）利用矩形的性质，求出点A、C的坐标，再用待定系数法即可求解； （2）Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即可求解； （3）①当EC＝EO时，ONOC＝4＝EM，则△OEA的面积OA×EM；②当OE＝OC时，利用勾股定理得：NE2＝EC2﹣CN2＝EO2﹣ON2，求出ON，进而求解． 【解答】解：（1）∵点B的坐标为（6，8）且四边形OABC是矩形， ∴点A、C的坐标分别为（6，0）、（0，8）， 设AC的表达式为y＝kx+b， 把A、C两点的坐标分别代入上式得，解得， ∴直线AC所表示的函数的表达式是； （2）∵点A的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，8）， ∴OA＝6，OC＝8． ∴Rt△AOC中，AC， ∵四边形OABC是矩形， ∴∠B＝90°，BC＝6，AB＝8， ∵沿CD折叠， ∴∠CED＝90°，BD＝DE，CE＝6，AE＝4， ∴∠AED＝90°， 设BD＝DE＝a，则AD＝8﹣a， ∵Rt△AED中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2， ∴42+a2＝（8﹣a）2，解得a＝3， ∴点D的坐标为（6，5）； （3）过点E分别作x、y轴的垂线，垂足分别为M、N， ∵EN⊥OC，EM⊥OA，OC⊥OA， ∴∠ENO＝∠NOM＝∠OME＝90°， ∴四边形OMEN是矩形， ∴EM＝ON． ①当EC＝EO时， ∵EC＝EO，NE⊥OC， ∴ONOC＝4＝EM， △OEA的面积OA×EM6×4＝12； ②当OE＝OC时， ∵EN⊥OC， ∴∠ENC＝∠ENO＝90°， 设ON＝b，则CN＝8﹣b， 在Rt△NEC中，NE2＝EC2﹣CN2， 在Rt△ENO中，NE2＝EO2﹣ON2， 即62﹣（8﹣b）2＝82﹣b2， 解得：b， 则EM＝ON， △OEA的面积OA×EM6； 故△OEA的面积为12或． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、矩形的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． ５．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线yx+b相交于点C（2，m）． （1）求点A、B的坐标； （2）求m和b的值； （3）若直线yx+b与x轴相交于点D，动点P从点D开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒． ①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）在y＝x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣2；即可得出答案； （2）求出点C（2，4），代入直线yx+b即可得出答案； （3）求出D（10，0），则OD＝10，AD＝OA+OD＝12；①设PD＝t，则AP＝12﹣t，过C作CE⊥AP于E，由三角形面积得出方程，解方程即可； ②过C作CE⊥AP于E，则CE＝4，AE＝4，由勾股定理求出AC＝4；分三种情况：当AC＝PC时；当AP＝AC时；当PC＝PA时；分别求出t的值即可． 【解答】解：（1）在y＝x+2中，当x＝0时，y＝2； 当y＝0时，x＝﹣2； ∴A（﹣2，0），B（0，2）； （2）∵点C在直线y＝x+2上， ∴m＝2+2＝4， 又∵点C（2，4）也在直线yx+b上， ∴2+b＝4， 解得：b＝5； （3）在yx+5中，当y＝0时，x＝10， ∴D（10，0）， ∴OD＝10， ∵A（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∴AD＝OA+OD＝12； ①设PD＝t，则AP＝12﹣t，过C作CE⊥AP于E，如图1所示： 则CE＝4， ∵△ACP的面积为10， ∴（12﹣t）×4＝10， 解得：t＝7； ②存在，理由如下： 过C作CE⊥AP于E，如图1所示： 则CE＝4，OE＝2， ∴AE＝OA+OE＝4， ∴AC4； a、当AC＝PC时，AP＝2AE＝8， ∴PD＝AD﹣AP＝4， ∴t＝4； b、当AP＝AC时，如图2所示： 则AP1＝AP2＝AC＝4， ∴DP1＝12﹣4，DP2＝12+4， ∴t＝12﹣4，或t＝12+4； c、当PC＝PA时，如图3所示： 设EP＝m，则CP，AP＝m+4， ∴m+4， 解得：m＝0， ∴P与E重合，AP＝4， ∴PD＝8， ∴t＝8； 综上所述，存在t的值，使△ACP为等腰三角形，t的值为4或12﹣4或12+4或8． 【点评】本题是一次函数综合题目，考查了一次函数的应用、坐标与图形性质、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握一次函数的应用和等腰三角形的性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/18 22:49:57；用户：勤十二；邮箱：xiawangsky@163.com；学号：1844534 学科网（北京）股份有限公司 $$