第19章 一次函数专题１ 一次函数中等腰三角形的存在性问题训练 2024—2025学年人教版数学八年级下册

   专题１　　一次函数中等腰三角形的存在性问题

一、解决等腰三角形存在性问题必备知识点

1.等腰三角形的概念、性质与判定

（1）概念：有两边相等的三角形是等腰三角形

（2）性质：等腰三角形是轴对称图形，一般有1条对称轴；等腰三角形两底角相等（等边对等角）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合（三线合一）

（3）判定：等角对等边

2.勾股定理

在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方

3.距离公式

两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为：

4.垂直直线

若直线l1：y1=k1x+b1与直线l2：y2=k2x+b2垂直，那么

二、等腰三角形存在性问题处理思路

1.已知三个点（转化为线段长）

在平面直角坐标系中，A、B、C

①当AB=AC时，可得：AB2=AC2，即

②当AB=BC时，可得：AB2=BC2，即

③当AC=BC时，可得：AC2=BC2，即

2.已知两个点（连接可得线段）

如图，已知点A坐标为（1，1），点B坐标为（3，5），在x轴上是否存在点C，使得△ABC是等腰三角形？

方法一（几何法）：

①以A为圆心，AB为半径画圆，与x轴的交点即为所求点C，此时满足AB=AC

②以B为圆心，AB为半径画圆，与x轴的交点即为所求点C，此时满足AB=BC

③连接AB，作线段AB的垂直平分线，与x轴的交点即为所求点C，此时满足CA=CB

注：

（1）该方法简称为“两圆一线”，两圆即a：以A为圆心，AB为半径作圆；b：以B为圆心，AB为半径作圆。“一线”即作线段AB的垂直平分线。

（2）做完后需要检验，当三点共线时，此时三角形不存在，需要舍去。

方法二：（代数法）

设点C坐标为（x，0）

①当AB=AC时，可得：AB2=AC2，即

②当AB=BC时，可得：AB2=BC2，即

③当AC=BC时，可得：AC2=BC2，即

注：几何法一般分三步：分类、画图、计算．

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

【典型例题】

例题1.（2024秋•历下区校级月考）如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求M的坐标；

（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）在x轴上找一点N，且N点在A点的右侧，使得∠ABN=45°，请直接写出N点坐标．

 

 

例题2：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x、y轴分别相交于点A、B，与直线y＝x+2交于点D（3，m），直线y＝x+2交x轴于点C，交y轴于点E．

（1）若点P是y轴上一动点，连接PC、PD，求当|PC﹣PD|取最大值时，P点的坐标．

（2）在（1）问的条件下，将△COE沿x轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB于点M，则当△PMA是等腰三角形时，求BM的长．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【巩固练习】

1.如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．

（1）求△AOB的面积：

（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．

（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．