真题解构与重构 解三角形——以2023年新高考II卷第17题为例

真题解构与重构 解三角形 三角形是几何学中十分重要的几何图形，它不但是最重要的几何学知识，也是其他几何学中最基本、最常见、最重要的构件，无论是初中的平面几何，高中的立体几何与解析几何，三角形都扮演着十分重要的角色，其特性是研究相关几何问题的基石.三角形问题是初、高中教学的重点问题，更是中、高考的重要组成部分.解三角形问题是每年高考的必考试题，有的在选填中出现，有的渗透在立体几何与解析几何中，有的直接在解答题中呈现，近年来的新课程高考试题中，主要占据着解答题第17题或18题的位置，彰显了三角形的问题在学习与考试中的重要地位与作用，是我们教师与学生高度重视的教学问题.以下对2023年全国新课标Ⅱ卷第17题解三角形问题进行解构与重构,激活试题本质属性，感悟三角形知识体系的和谐，提升解三角形的能力. ［真题呈现］ [2023· 新课标Ⅱ卷]（10分）记的内角,,的对边分别为,,，已知面积为，为的中点，且． （1） 若，求； [答案] ［规范解答］因为 为 的中点， 所以,① ①［关键步骤］ 三角形的中线平分三角形的面积 解得，所以,［2分］ 因为,所以. 在中，由余弦定理得，② ②已知两边及夹角求第三边时，选用余弦定理 所以.［3分］ 在中，由余弦定理得,所以. 方法一：在 中，由余弦定理得, 所以,所以.［5分］ 方法二：在 中， 由正弦定理得,③ ③已知两边及一边所对的角求另一边所对的角时，用正弦定理 所以,［3分］ 因为,所以.［4分］ 所以.［5分］ （2） 若，求,． [答案] 方法一：因为 为 的中点，所以. 因为 ，所以, 则在 与 中，由余弦定理得,④ ④在求边时,常根据两角互补,其余弦值互为相反数求解 即, 所以，所以,所以.［6分］ 方法二：因为 为 的中点，所以. 在 与 中，由余弦定理得,⑤ ⑤当在一个三角形中不易求解时，可考虑在两个三角形中找到等量关系建立关系式求解 得,得,所以.［6分］ 在中，由余弦定理得,［7分］ 所以 ,解得.则由解得［10分］ ［真题分析］试题是复合三角形问题，考查正、余弦定理和面积公式，考查三角函数的基本关系，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，考查数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想.试题源于教材人教A版必修第二册练习，，习题6.4综合运用.解答真题时，如果没有给出图示，应根据题目的条件与结论作出大致图形，并且可在图形上标上指定的元素，便于恰当利用解三角形相关的知识进行求解.例如本真题可作出如图所示的图形. ［真题解构］ 解构1 中线长的四类问题 中线长度公式（教材人教A版必修第二册P53习题6.4综合运用T15的结论）.的三边分别为,,，边，，上的中线分别记为,,,则,,，即为中线长度公式.在真题（2）中，由与，即可直接得出. 问题1 已知面积与两边 已知的三内角，，的对边分别为,,.若,,的面积，求边上的中线的长. 解：由题意得, 即, 解得. ①当 为锐角时， , 所以,故. 所以 . ②当 为钝角时， , 所以,故. 所以 .（这正是真题命制的源头） 综上，边上的中线 的长为1或2. 问题2 已知两边与第三边上的中线与第三边的夹角 已知的内角，，的对边分别为,,,,,边上的中线与的夹角为. （1） 求； 解：如图，在 与 中，由余弦定理得 ,① ,② ①②联立解得,或,, 所以  或.（显然当时，正是真题的源泉） （2） 求的面积. [答案] 设三角形 的面积为， 当，时，； 当,时，. 综上，的面积为.（这正是问题1的体现） 问题3 已知两边与其中一边与第三边上中线的夹角 已知的三内角，，的对边分别为,,,,,为的中点， . （1） 求； 解：如图，在 中， 由余弦定理得 , 即.① 由中线长度公式得 ,② ①②联立解得，（负值已舍去）. （2） 求的面积与边上的高. [答案] 由（1）知 的面积 ，即 的面积为. 设 边上的高为， 由 得. 问题4 已知一边一角与面积 已知的内角，，的对边分别为,,,,,面积为，为边的中点. （1） 求; 解：由 解得 由, 解得. 在 中，由余弦定理得 , 所以. （2） 求的大小. [答案] 方法一：在 中，由余弦定理得 , 所以. 方法二：用中线长度公式 . 在 中，由余弦定理得 . 由于,所以.（揭示了真题中元素之间的关系） 解构2 双元素关系 真题（2）问中，已知,我们称为双元素关系，问题即在大前提，边上的中线下命制.解决这类问题基本上是联立方程组求解，如果减少一个条件，则命题一般是关于最值或范围的问题.现将真题（2）问解构为下列问题. 问题1 在中，角，，的对边分别为,,.若,边上的中线. （1） 求的值； 解：因为,边上的中线. 由中线长度公式 得， , 所以. （2） 求面积的最大值. [答案] 在 中，由余弦定理得 , 所以 . 所以 的面积 . 由 得， 所以, 当且仅当 时取等号， 即当  时，  的面积取得最大值.（这正是真题第（2）问的实质体现） 问题2 已知的内角，，的对边分别为,,,面积为，边上的中线，若,求,,. 解：由 得 由 边上的中线 得， 即.② 又,即.③ 在 中，由余弦定理得 由①④得.⑤ 将②③代入⑤得，.⑥ 将⑥与 联立,解得， 将 代入②得. 所以,. 评注 真题给出的直接平方关系，一方面，代入中线长度公式即可求出；另一方面，可直接求出与，从而求出. 问题2是真题（2）问的等价形式之一.从真题的解构可以看出，在三角形中，只需知道三个独立元素或其关系，便可解出其他元素. ［真题重构］ 将真题中的相关关系与元素进行和谐重构，根据题型的特点恰当进行数据调整和关系变化，将条件与结论和试题本身内涵有效结合，便可重构出如下的优秀试题. 重构1 已知的内角，，的对边分别为,,, ,,,则边上的中线（ ） A. 2 B. C. D. [解析]选.因为, ，由余弦定理得 , 即. 又,解得. 所以 .故选. 重构2 已知的内角，，的对边分别为,,.若,,,角的平分线交于点，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 [解析]选.方法一：由内角平分线定理得 . 又， 所以，. 在 与 中，由余弦定理得 由于 . 解得，故选. 方法二：设 ,则由 得 , 即 . 在 中，由余弦定理得 ， 所以, 所以.故选. 重构3 在中，内角，，的对边分别为,,为的中点，. （1） 若，求证：是直角三角形； 解：证明：因为 为 的中点，且, 由中线长度公式得 ,即.① 因为,由正弦定理得 ,即.② 将②代入①得， 所以， 所以 是 为 的直角三角形. （2） 若,，求证：，并求的面积. [答案] 由（1）知,联立, 解得,. 由 得. 由中线长度公式得， 即,解得. 所以，. 因此， 所以. . 即 的面积为. 重构4 已知的内角，，的对边分别为,,是上一点，，，若. （1） 求; 解：因为,所以,. 又. 在 与 中， ， 由余弦定理得 ， 即, 化简得. 又, 所以,, 所以, , 所以. （2） 若的面积为，求的内切圆半径. [答案] 由题意及（1），得， 解得,所以,. 设 内切圆的半径为, 由 得. 所以 的内切圆半径为. 第 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 真题解构与重构 解三角形 三角形是几何学中十分重要的几何图形，它不但是最重要的几何学知识，也是其他几何学中最基本、最常见、最重要的构件，无论是初中的平面几何，高中的立体几何与解析几何，三角形都扮演着十分重要的角色，其特性是研究相关几何问题的基石.三角形问题是初、高中教学的重点问题，更是中、高考的重要组成部分.解三角形问题是每年高考的必考试题，有的在选填中出现，有的渗透在立体几何与解析几何中，有的直接在解答题中呈现，近年来的新课程高考试题中，主要占据着解答题第17题或18题的位置，彰显了三角形的问题在学习与考试中的重要地位与作用，是我们教师与学生高度重视的教学问题.以下对2023年全国新课标Ⅱ卷第17题解三角形问题进行解构与重构,激活试题本质属性，感悟三角形知识体系的和谐，提升解三角形的能力. ［真题呈现］ [2023· 新课标Ⅱ卷]（10分）记的内角,,的对边分别为,,，已知面积为，为的中点，且． （1） 若，求； （2） 若，求,． ［真题分析］试题是复合三角形问题，考查正、余弦定理和面积公式，考查三角函数的基本关系，考查数学运算、逻辑推理等核心素养，考查数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想.试题源于教材人教A版必修第二册练习，，习题6.4综合运用.解答真题时，如果没有给出图示，应根据题目的条件与结论作出大致图形，并且可在图形上标上指定的元素，便于恰当利用解三角形相关的知识进行求解.例如本真题可作出如图所示的图形. ［真题解构］ 解构1 中线长的四类问题 中线长度公式（教材人教A版必修第二册P53习题6.4综合运用T15的结论）.的三边分别为,,，边，，上的中线分别记为,,,则,,，即为中线长度公式.在真题（2）中，由与，即可直接得出. 问题1 已知面积与两边 已知的三内角，，的对边分别为,,.若,,的面积，求边上的中线的长. 问题2 已知两边与第三边上的中线与第三边的夹角 已知的内角，，的对边分别为,,,,,边上的中线与的夹角为. （1） 求； （2） 求的面积. 问题3 已知两边与其中一边与第三边上中线的夹角 已知的三内角，，的对边分别为,,,,,为的中点， . （1） 求； （2） 求的面积与边上的高. 问题4 已知一边一角与面积 已知的内角，，的对边分别为,,,,,面积为，为边的中点. （1） 求; （2） 求的大小. 解构2 双元素关系 真题（2）问中，已知,我们称为双元素关系，问题即在大前提，边上的中线下命制.解决这类问题基本上是联立方程组求解，如果减少一个条件，则命题一般是关于最值或范围的问题.现将真题（2）问解构为下列问题. 问题1 在中，角，，的对边分别为,,.若,边上的中线. （1） 求的值； （2） 求面积的最大值. 问题2 已知的内角，，的对边分别为,,,面积为，边上的中线，若,求,,. ［真题重构］ 将真题中的相关关系与元素进行和谐重构，根据题型的特点恰当进行数据调整和关系变化，将条件与结论和试题本身内涵有效结合，便可重构出如下的优秀试题. 重构1 已知的内角，，的对边分别为,,, ,,,则边上的中线（ ） A. 2 B. C. D. 重构2 已知的内角，，的对边分别为,,.若,,,角的平分线交于点，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 重构3 在中，内角，，的对边分别为,,为的中点，. （1） 若，求证：是直角三角形； （2） 若,，求证：，并求的面积. 重构4 已知的内角，，的对边分别为,,是上一点，，，若. （1） 求; （2） 若的面积为，求的内切圆半径. 第 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$