第4讲第2课时 三角函数的图象与性质讲义——2025届高三数学一轮复习

第4讲第2课时 三角函数的图象与性质（二） 核心考点⇄师生共研 考点一 三角函数的周期性 例1 （1） 的最小正周期是 （ ） A. B. C. D. [解析]由于 , 所以函数的最小正周期为.故选. （2） 函数的一个周期为 （ ） A. B. C. D. [解析]易知,的最小正周期分别为 , ，则 , 的公倍数 是的一个周期.故选. 解题技法 求三角函数最小正周期的常用方法 （1）公式法：正弦型、余弦型、正切型函数的最小正周期分别是,,. （2）最小公倍数：由几个三角函数的和组成的函数，可先找出每个函数的最小正周期，求出所有最小正周期的最小公倍数即可. （3）图象法：通过函数的图象观察得到函数的最小正周期. （4）定义法：对于较特殊的函数，不能用上述方法求解时，可用周期的定义验证函数的最小正周期. 对点训练 1. （多选）下列函数中，最小正周期为 的是（ ） A. B. C. D. [解析]选 选项，,最小正周期为 ；选项，由图象（图略）知 的最小正周期为 ；选项，的最小正周期 ;选项，的最小正周期. 2. 若函数的图象与直线的相邻两交点间的距离为 ，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 [解析]选.由题意可知，函数 的最小正周期为 ，因此，.故选. 考点二 三角函数的奇偶性与对称性 角度1 奇偶性 例2 （1） 函数是（ ） A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为 的偶函数 D. 最小正周期为 的奇函数 [解析],可得 的最小正周期为 .因为，所以 是奇函数，所以 是最小正周期为 的奇函数.故选. （2） 已知函数是偶函数，则 的值为  . [解析]因为函数 为偶函数，所以 ,,解得 ，.又，所以，经检验，符合题意. 解题技法 三角函数奇偶性的判断及应用 三角函数奇偶性的判断借助定义，而根据奇偶性求解问题则利用性质为奇函数，则,若为偶函数,则. 角度2 对称性（链接高考） 例3 [2022·新高考Ⅰ卷]记函数的最小正周期为.若 ，且的图象关于点中心对称，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 ［分析及溯源］ 本题考查三角函数的周期性和三角函数图象的对称性，考题源于教材人教A版必修第一册. [解析]因为 ，所以 ，解得.因为 的图象关于点 中心对称，所以，且，所以，又,所以,所以 ，解得，所以，所以.故选. 【考题变式】 1. （条件变式）若本例中的函数变为, ,其余条件不变，则 [解析]由函数 的最小正周期 满足 ，得 ,解得,又因为函数图象关于点 中心对称，所以,且,所以,,所以, 即, 则. 2. （同类变式）已知函数的最小正周期为,最大值为1.若 ,且的图象关于直线对称，则 [解析]因为函数 的最小正周期，最大值为, 所以. 由 ，得 ,解得. 由 的图象关于直线 对称可得， ,， 所以,. 所以,解得. 又,所以,所以, 所以. 故. 解题技法 三角函数对称性的应用技巧 （1）求函数的所有对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式. （2）判断某一直线、某一点是否为对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断. 对点训练 1. [2024·安徽“江南十校”模拟]已知函数,则下列说法正确的是 （ ） A. 点,是曲线的对称中心 B. 点,是曲线的对称中心 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的对称轴 [解析]选.由 得,则曲线 的对称中心为,所以,错误； 由 得,则曲线 的对称轴方程为,所以 正确，错误.故选. 2. 已知函数,，且为偶函数，则  ,图象的对称中心为  . [解析]若 为偶函数， 则,,即 ,， 又因为,所以. 所以, 由 ,得,, 所以 图象的对称中心为,. 考点三 三角函数性质的综合应用 例4 （1） [2024·安徽皖南八校一模]已知函数,则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 在上单调递增 D. 若在区间上的最大值为1，则 [解析]因为， 所以 的最小正周期为 ，错误； 因为，所以直线 不是 图象的一条对称轴，错误； 当 时，,则函数 在 上不单调，错误； 当 时，,因为 在区间 上的最大值为1，所以,解得,正确.故选. （2） [2024·湖北三校联考]（多选）已知函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的最大值为 D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称 [解析]对于，由题意知，所以,解得,故 不正确；对于,,当 时，,此时 单调递减，故 正确； 对于，的最大值为,故 正确； 对于,把 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象，又,故点 不是 图象的对称中心，故 不正确.故选. 解题技法 （1）探究函数、或的性质（定义域、值域、单调性、对称性、最值等）的综合应用时，可利用换元思想（令），将 看作一个整体，结合,,,或，，的性质求解. （2）对于型的函数，首先用辅助角公式将其转化为的形式；若是弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再转化为的形式. 对点训练 已知函数,图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，且函数 为奇函数. （1） 求函数的解析式； 解：由题意知， ,所以, 所以. 因为 为奇函数， 所以 ,,解得 ,. 因为,所以, 所以. （2） 求函数在上的单调递增区间. [答案] 由 ,, 得 ,, 令，得, 令,得, 所以函数 在 上的单调递增区间为,. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. [2024·湖北鄂东示范高中联考]下列函数中最小正周期为 ，且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. [解析]选.对于,,所以函数 是偶函数，且最小正周期为 ，所以选项 不符合题意；对于，是奇函数，且最小正周期为 ，所以选项 不符合题意；对于，是偶函数，且最小正周期为 ，所以选项 符合题意；对于，,所以函数 是偶函数，且最小正周期为,所以选项 不符合题意.故选. 2. [2023·天津卷]已知函数图象的一条对称轴为直线，的一个周期为4，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. [解析]选.对于，,最小正周期为，因为,所以函数 的图象不关于直线 对称，故排除；对于，,最小正周期为，因为,所以函数 的图象关于直线 对称，故选项 符合题意；对于,,函数 和 的最小正周期均为,均不符合题意，故排除，.故选. 3. 已知函数,则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的最小正周期为4 C. 函数的单调递增区间为 ,, D. 函数图象的对称中心为, [解析]选.由,,得,,所以函数 的定义域为,故 错误；函数 的最小正周期,故 错误；由 ,,得,,故函数 的单调递增区间为,,，故 错误；由,得,所以函数 图象的对称中心为,,故 正确.故选. 4. 已知函数的一条对称轴为直线,一个对称中心为点,则 有（ ） A. 最小值2 B. 最大值2 C. 最小值1 D. 最大值1 [解析]选.因为函数 的对称中心到对称轴的最短距离是,两条对称轴间的最短距离是,所以对称中心 到对称轴 的距离用周期可表示为，又因为,所以,所以，所以 有最小值2.故选. 5. [2024·江苏苏州模拟]（多选）已知函数,则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小正周期为 C. 为奇函数 D. 的图象关于直线对称 [解析]选.由题意知 的最大值为，正确；最小正周期 ,正确；为偶函数，错误；的对称轴满足 ,,得,,当 时，,故 正确. 6. 函数的最小正周期为 [解析]作出函数 的大致图象，如图所示.根据图象可知 为周期函数，最小正周期为 . 7. 如果函数的图象关于点对称，那么的最小值为 [解析]由题意得,, 解得,,所以当 时，取得最小值为. 8. 已知条件：①函数的图象关于直线对称；②当时，函数的取值范围是.则同时满足条件①②的函数的一个解析式为 [解析] 满足题意.因为,所以 的图象关于直线 对称，满足条件①.当 时，,则,故，满足条件②. 9. 已知直线是函数图象的一条对称轴，其中. （1） 求 的值； 解：由题意得,， 即,， 又,所以. （2） 当时，求的取值范围. [答案] 由（1）可知，, 当 时，, 又 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以函数 在 上的最大值为，最小值为, 又, , 所以当 时，的取值范围为. B 综合运用 10. 若函数图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆上，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.设两交点坐标分别为,，则,，又函数 为奇函数，所以，当，即 时，函数 取得最大值，所以,,由题意得，解得（负值已舍去）,则.故选. 11. [2024·重庆市质量调研]（多选）已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小水平距离为，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称 C. D. [解析]选.设函数 的最小正周期为,由题意知,所以 ,故 选项正确；因为 ,所以,所以,将 的图象向左平移 个单位长度后，得 的图象，当 时，,故 的图象不关于原点对称，故 选项错误；不恒成立，故 选项错误；当 时，,即直线 是 图象的一条对称轴，所以,故 选项正确.故选. 12. （多选）已知函数,下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 的值域为 C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称 [解析]选.对于,函数 的定义域为,因为,所以函数 是偶函数，所以 选项正确； 对于, , 当 时，,所以；当 时，,所以.所以函数 的值域为，所以 选项正确；对于,当 时，,,则函数 在 上不单调，所以 选项错误；对于,,所以函数 的图象不关于直线 对称，所以 选项错误.故选. 13. 已知函数. （1） 求的最小正周期和图象的对称轴方程； 解：由题意，得 , 所以 的最小正周期 . 令，得, 故 的图象的对称轴方程为. （2） 当时，求的最小值和最大值. [答案] 当 时，, 由函数图象（图略）可知，. 即. 故当 时，的最小值为0，最大值为. C 素养提升 14. 已知函数. （1） 求函数的单调递增区间； 解： , 结合正弦函数的图象与性质， 可得当, 即 时，函数 单调递增， 所以函数 的单调递增区间为 ,. （2） 若函数在区间上恰有两个零点,. ① 求实数的取值范围； [答案] 令, 当 时，, , 所以,图象如图所示. 所以要使 在区间 上恰有两个零点，则 或,所以实数 的取值范围为. ② 求的值. [答案] 设,是函数 的两个零点，即,, 由正弦函数的图象与性质可知 , 即 . 所以,所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲第2课时 三角函数的图象与性质（二） 核心考点⇄师生共研 考点一 三角函数的周期性 例1 （1） 的最小正周期是 （ ） A. B. C. D. （2） 函数的一个周期为 （ ） A. B. C. D. 解题技法 求三角函数最小正周期的常用方法 （1）公式法：正弦型、余弦型、正切型函数的最小正周期分别是,,. （2）最小公倍数：由几个三角函数的和组成的函数，可先找出每个函数的最小正周期，求出所有最小正周期的最小公倍数即可. （3）图象法：通过函数的图象观察得到函数的最小正周期. （4）定义法：对于较特殊的函数，不能用上述方法求解时，可用周期的定义验证函数的最小正周期. 对点训练 1. （多选）下列函数中，最小正周期为 的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的图象与直线的相邻两交点间的距离为 ，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 考点二 三角函数的奇偶性与对称性 角度1 奇偶性 例2 （1） 函数是（ ） A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为 的偶函数 D. 最小正周期为 的奇函数 （2） 已知函数是偶函数，则 的值为  . 解题技法 三角函数奇偶性的判断及应用 三角函数奇偶性的判断借助定义，而根据奇偶性求解问题则利用性质为奇函数，则,若为偶函数,则. 角度2 对称性（链接高考） 例3 [2022·新高考Ⅰ卷]记函数的最小正周期为.若 ，且的图象关于点中心对称，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【考题变式】 1. （条件变式）若本例中的函数变为, ,其余条件不变，则 2. （同类变式）已知函数的最小正周期为,最大值为1.若 ,且的图象关于直线对称，则 解题技法 三角函数对称性的应用技巧 （1）求函数的所有对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数图象对称轴方程、对称中心坐标的形式. （2）判断某一直线、某一点是否为对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断. 对点训练 1. [2024·安徽“江南十校”模拟]已知函数,则下列说法正确的是 （ ） A. 点,是曲线的对称中心 B. 点,是曲线的对称中心 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的对称轴 2. 已知函数,，且为偶函数，则  ,图象的对称中心为  . 考点三 三角函数性质的综合应用 例4 （1） [2024·安徽皖南八校一模]已知函数,则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是图象的一条对称轴 C. 在上单调递增 D. 若在区间上的最大值为1，则 （2） [2024·湖北三校联考]（多选）已知函数的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 的最大值为 D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于点对称 解题技法 （1）探究函数、或的性质（定义域、值域、单调性、对称性、最值等）的综合应用时，可利用换元思想（令），将 看作一个整体，结合,,,或，，的性质求解. （2）对于型的函数，首先用辅助角公式将其转化为的形式；若是弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再转化为的形式. 对点训练 已知函数,图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，且函数 为奇函数. （1） 求函数的解析式； （2） 求函数在上的单调递增区间. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. [2024·湖北鄂东示范高中联考]下列函数中最小正周期为 ，且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 2. [2023·天津卷]已知函数图象的一条对称轴为直线，的一个周期为4，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数,则下列结论正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的最小正周期为4 C. 函数的单调递增区间为 ,, D. 函数图象的对称中心为, 4. 已知函数的一条对称轴为直线,一个对称中心为点,则 有（ ） A. 最小值2 B. 最大值2 C. 最小值1 D. 最大值1 5. [2024·江苏苏州模拟]（多选）已知函数,则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小正周期为 C. 为奇函数 D. 的图象关于直线对称 6. 函数的最小正周期为 7. 如果函数的图象关于点对称，那么的最小值为 8. 已知条件：①函数的图象关于直线对称；②当时，函数的取值范围是.则同时满足条件①②的函数的一个解析式为 9. 已知直线是函数图象的一条对称轴，其中. （1） 求 的值； （2） 当时，求的取值范围. B 综合运用 10. 若函数图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆上，则（ ） A. B. C. D. 11. [2024·重庆市质量调研]（多选）已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小水平距离为，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称 C. D. 12. （多选）已知函数,下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 的值域为 C. 在上单调递减 D. 的图象关于直线对称 13. 已知函数. （1） 求的最小正周期和图象的对称轴方程； （2） 当时，求的最小值和最大值. C 素养提升 14. 已知函数. （1） 求函数的单调递增区间； （2） 若函数在区间上恰有两个零点,. ① 求实数的取值范围； ② 求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$