第4讲 第1课时三角函数的图象与性质讲义——2025届高三数学一轮复习

第4讲 第1课时三角函数的图象与性质 课标要求； 1.能画出,,的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值. 2.能利用正弦、余弦函数在上及正切函数在上的图象与性质解决问题. 考情分析； 本讲是高考热点之一，主要考查三角函数的定义域、值域、单调性、周期性、对称性等基本性质,预计2025年高考对于三角函数图象与性质的考查还是一个重点，主要是以选择题或填空题为主，难度不是很大. 理一理 1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1） 正弦函数，的图象中，五个关键点是：，，，①  ，②  ，. （2） 余弦函数，的图象中，五个关键点是：，，，③  ，④  ，. 五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）. ［提醒］ 函数,,,的五个关键点的横坐标是零点和极值点（最值点）. 2. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 ⑤   值域 ⑥   ⑦   ⑧   奇偶性 ⑨奇函数 ⑩偶函数 奇函数 最值 最大值1，当且仅当⑪,时取得;最小值，当且仅当⑫,时取得 最大值1，当且仅当⑬ ,时取得;最小值，当且仅当⑭ ,时取得 无最大值和最小值 单调性 增区间:⑮  ; 减区间:⑯   增区间:⑰  ; 减区间:⑱   增区间：⑲,； 无减区间 周期性 周期为 ,,，最小正周期为⑳   周期为 ,,，最小正周期为㉑   周期为 ,,，最小正周期为㉒   对称性 对称中心 ㉓, ㉔, ㉕, 对称轴 ㉖, ㉗ , 无对称轴 零点 , , , ［提醒］ 正弦、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期;无单调递减区间；在整个定义域内不单调. 记一记 1.对称性与周期性 （1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻对称中心与对称轴之间的距离是个周期； （2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. 2.奇偶性 设，则 （1）为偶函数的充要条件是; （2）为奇函数的充要条件是. 用一用 1. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的部分图象如图所示，则的最小正周期为 第1课时 三角函数的图象与性质（一） 核心考点⇄师生共研 考点一 三角函数的定义域 例1 函数的定义域为 解题技法 三角函数的定义域的求法 （1）求三角函数的定义域一般可归结为解三角不等式（或等式）； （2）求三角函数的定义域经常借助两个工具：三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴； （3）对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式（组）分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集. ［注意］ 解三角不等式时要注意周期，且不可以忽略. 对点训练 1. 函数的定义域为 2. 函数的定义域为 考点二 三角函数的单调性 角度1 利用单调性比较大小 例2 已知函数,设,,,则,,的大小关系是（ ） A. B. C. D. 解题技法 利用单调性比较三角函数值大小的方法 先统一为同名的三角函数，然后利用诱导公式把角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性进行比较. 角度2 求三角函数的单调区间 例3 下列区间中，为函数 的一个单调递减区间的是（ ） A. B. C. D. 求三角函数单调区间的两种方法 （1）代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式（如）整体当作一个角，再利用基本三角函数的单调性列不等式求解. （2）图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间. ［注意］要注意求函数的单调区间时 的符号,若，那么一定要先借助诱导公式将 化为正数.同时切莫忘记考虑函数自身的定义域. 角度3 根据三角函数单调性求参数 例4 （一题多解）已知，函数在上单调递减，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解题技法 已知函数单调性求参数 （1）明确一个不同 “函数在区间上单调”与“函数的单调区间为”两者的含义不同，显然是的子集. （2）抓住两种方法 一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间上的保号性，由此列不等式求解. 对点训练 1. 函数的单调递增区间是（ ） A. , B. , C. , D. , 2. [2022·北京卷]已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 3. 若函数在上单调递增，则实数 的最大值为（ ） A. B. C. D. 考点三 三角函数的值域（最值） 例5 （1） 函数在,上的值域为（ ） A. B. , C. , D. （2） 函数的值域为 解题技法 求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型 （1）形如的三角函数化为的形式，再求值域（最值）； （2）形如的三角函数，可先设,再求化为关于的二次函数的值域（最值）； （3）形如的三角函数，可先设,再求化为关于的二次函数的值域（最值）. 对点训练 1. 已知函数的定义域是，值域为，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小值为 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. 的一个单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 3. [2024·江苏苏北四市调研]若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 当时，函数的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. （多选）已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 在区间上单调递减 D. 为的一个零点 6. , , 的大小关系是 （用“ ”表示） 7. （人教A版必修第一册P207 T5改编）函数的单调递减区间为 8. 当时，函数的值域为 9. 已知函数. （1） 求函数的单调递增区间； （2） 当时，求函数的最大值和最小值. B 综合运用 10. 已知函数,若，是锐角三角形的两个内角，则一定有（ ） A. B. C. D. 11. 若函数在区间上单调递减，则实数 的值可以为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数,若对于任意实数都有和成立，则的最小值为 13. 已知函数. （1） 若,求函数的单调递增区间； （2） 当时，函数的值域是，求实数,的值. C 素养提升 14. 已知函数. （1） 求的单调递减区间； （2） 若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 第1课时三角函数的图象与性质 课标要求； 1.能画出,,的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值. 2.能利用正弦、余弦函数在上及正切函数在上的图象与性质解决问题. 考情分析； 本讲是高考热点之一，主要考查三角函数的定义域、值域、单调性、周期性、对称性等基本性质,预计2025年高考对于三角函数图象与性质的考查还是一个重点，主要是以选择题或填空题为主，难度不是很大. 理一理 1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1） 正弦函数，的图象中，五个关键点是：，，，①  ，②  ，. （2） 余弦函数，的图象中，五个关键点是：，，，③  ，④  ，. 五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）. ［提醒］ 函数,,,的五个关键点的横坐标是零点和极值点（最值点）. 2. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 ⑤   值域 ⑥   ⑦   ⑧   奇偶性 ⑨奇函数 ⑩偶函数 奇函数 最值 最大值1，当且仅当⑪,时取得;最小值，当且仅当⑫,时取得 最大值1，当且仅当⑬ ,时取得;最小值，当且仅当⑭ ,时取得 无最大值和最小值 单调性 增区间:⑮  ; 减区间:⑯   增区间:⑰  ; 减区间:⑱   增区间：⑲,； 无减区间 周期性 周期为 ,,，最小正周期为⑳   周期为 ,,，最小正周期为㉑   周期为 ,,，最小正周期为㉒   对称性 对称中心 ㉓, ㉔, ㉕, 对称轴 ㉖, ㉗ , 无对称轴 零点 , , , ［提醒］ 正弦、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期;无单调递减区间；在整个定义域内不单调. 记一记 1.对称性与周期性 （1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻对称中心与对称轴之间的距离是个周期； （2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期. 2.奇偶性 设，则 （1）为偶函数的充要条件是; （2）为奇函数的充要条件是. 用一用 1. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为函数 为偶函数，所以 ,，所以 ,，又 ,所以 . 2. 已知函数的部分图象如图所示，则的最小正周期为 [解析]设函数 的最小正周期为, 由题图可知，,所以. 第1课时 三角函数的图象与性质（一） 核心考点⇄师生共研 考点一 三角函数的定义域 例1 函数的定义域为 [解析]要使函数有意义，则有 解得,所以 ,,所以函数 的定义域为. 解题技法 三角函数的定义域的求法 （1）求三角函数的定义域一般可归结为解三角不等式（或等式）； （2）求三角函数的定义域经常借助两个工具：三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴； （3）对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式（组）分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集. ［注意］ 解三角不等式时要注意周期，且不可以忽略. 对点训练 1. 函数的定义域为 [解析]要使函数有意义， 则 即 故函数的定义域为 . 2. 函数的定义域为 [解析]方法一：要使函数有意义，必须使.在同一平面直角坐标系中画出 上 和 的图象，如图所示.在 内，满足 的 的值为,,再结合正弦、余弦函数的周期是 ，所以函数 的定义域为. 方法二：,将 视为一个整体，由正弦函数 的图象和性质可知 ,,解得,，所以函数 的定义域为. 考点二 三角函数的单调性 角度1 利用单调性比较大小 例2 已知函数,设,,,则,,的大小关系是（ ） A. B. C. D. [解析]由 ,得,,所以 的单调递减区间为,所以 在 上单调递减，所以,即. 解题技法 利用单调性比较三角函数值大小的方法 先统一为同名的三角函数，然后利用诱导公式把角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性进行比较. 角度2 求三角函数的单调区间 例3 下列区间中，为函数 的一个单调递减区间的是（ ） A. B. C. D. [解析]函数 的单调递减区间即为函数 的单调递增区间，令,解得,令,得,结合选项知,所以 是函数 的一个单调递减区间，，，均不符合题意. 解题技法 求三角函数单调区间的两种方法 （1）代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式（如）整体当作一个角，再利用基本三角函数的单调性列不等式求解. （2）图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间. ［注意］要注意求函数的单调区间时 的符号,若，那么一定要先借助诱导公式将 化为正数.同时切莫忘记考虑函数自身的定义域. 角度3 根据三角函数单调性求参数 例4 （一题多解）已知，函数在上单调递减，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路一：由，可知,利用子集列出不等式组求 . 思路二：由,,解得,. 利用与的关系列出不等式组求 . 思路三：运用特殊值法解选择题，通过排除法确定选项. [解析]方法一：由 ,得,由题意得,, 所以,所以,, 又,所以当 时，.故选. 方法二:因为函数 的单调递减区间为,,所以,,解得,,即 的单调递减区间为,.又 在 上单调递减，所以,解得.又，所以当 时，解得,当 时，不等式组无解.综上所述， 的取值范围是. 方法三:将 代入函数 的解析式，在 上非单调递减，故排除；再将 代入 的解析式，在 上单调递减，排除,.故选. 解题技法 已知函数单调性求参数 （1）明确一个不同 “函数在区间上单调”与“函数的单调区间为”两者的含义不同，显然是的子集. （2）抓住两种方法 一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间上的保号性，由此列不等式求解. 对点训练 1. 函数的单调递增区间是（ ） A. , B. , C. , D. , [解析]选.由题意，函数,令 ,,解得,,即函数 的单调递增区间是,. 2. [2022·北京卷]已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 [解析]选.依题意可知.对于，因为，所以，所以函数 在 上单调递增，故 不正确；对于，因为，所以，所以函数 在 上不单调，故 不正确；对于，因为，所以，所以函数 在 上单调递减，故 正确；对于，因为，所以，所以函数 在 上不单调，故 不正确.故选. 3. 若函数在上单调递增，则实数 的最大值为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题意可得,令,,得,，令,得,所以实数 的最大值为. 考点三 三角函数的值域（最值） 例5 （1） 函数在,上的值域为（ ） A. B. , C. , D. [解析]由,得.当,即 时，;当,即 时，,故 在 上的值域为. （2） 函数的值域为 [解析]由题知 . 令, 则， 即. 解题技法 求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型 （1）形如的三角函数化为的形式，再求值域（最值）； （2）形如的三角函数，可先设,再求化为关于的二次函数的值域（最值）； （3）形如的三角函数，可先设,再求化为关于的二次函数的值域（最值）. 对点训练 1. 已知函数的定义域是，值域为，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为,所以.因为 的值域为，所以,解得，所以实数 的最大值为.故选. 2. 函数的最小值为 [解析]因为,因为,所以当 时，取得最小值,最小值为. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. [解析]选.由函数 有意义得,所以,,所以,,所以函数 的定义域是.故选. 2. 的一个单调递增区间是（ ） A. B. C. D. [解析]选. 将 的图象位于 轴下方的部分关于 轴对称向上翻折，轴上方（或 轴上）的图象不变，即得 的图象（如图）.所以 的一个单调递增区间是.故选. 3. [2024·江苏苏北四市调研]若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为，所以只需考虑正弦型函数的含0的单调递增区间.由,得,所以,解得.故选. 4. 当时，函数的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 [解析]选.分子、分母同时除以,得.因为,所以.因为,所以当 时，取得最大值.所以 的最小值是4. 5. （多选）已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 在区间上单调递减 D. 为的一个零点 [解析]选.,的最小正周期为 ,故 正确；当 时，的最大值为2，故 错误；因为,所以,所以 在区间 上单调递减，故 正确；,所以 为 的一个零点，故 正确. 6. , , 的大小关系是 （用“ ”表示） [解析]因为 , 又 在 上单调递减, 所以 , 即 . 7. （人教A版必修第一册P207 T5改编）函数的单调递减区间为 [解析]由, 得, 解得, 所以函数的单调递减区间为. 8. 当时，函数的值域为 [解析]因为，所以.又,所以当 时，,当 或 时，.即函数的值域为. 9. 已知函数. （1） 求函数的单调递增区间； 解：令,,得,.故函数 的单调递增区间为,. （2） 当时，求函数的最大值和最小值. [答案]当 时，,所以,所以,所以当 时，函数 的最大值为1，最小值为. B 综合运用 10. 已知函数,若，是锐角三角形的两个内角，则一定有（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为，是锐角三角形的两个内角，所以,所以,因为 在，上单调递增，所以，又函数 在 上单调递减，所以,同理，,所以 错误，正确；因为角，的大小关系不确定，所以，错误.故选. 11. 若函数在区间上单调递减，则实数 的值可以为（ ） A. B. C. D. [解析]选..当 时，.因为函数 在区间 上单调递减，所以,解得 ,,当 时，.故选. 12. 已知函数,若对于任意实数都有和成立，则的最小值为 [解析], 因为 恒成立， 所以 ,, 解得 ,; ,因为 恒成立，所以 ,,解得 ,, 所以, 当 时，取得最小值，最小值为. 13. 已知函数. （1） 若,求函数的单调递增区间； 解：函数. [答案]当 时，,由,得,所以函数 的单调递增区间为. （2） 当时，函数的值域是，求实数,的值. [答案] 因为 ,所以, 所以,依题意知. ①当 时，得 解得 ②当 时，得 解得 综上所述，或 C 素养提升 14. 已知函数. （1） 求的单调递减区间； 解：因为, 令,, 解得,, 所以 的单调递减区间为,. （2） 若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围. [答案] 由，可得,又 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以函数 在 上单调递增， ,在 上单调递减， , 所以若函数 在 上有两个不同的零点，即直线 与 的图象有两个交点，如图所示， 所以实数 的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$