第3讲 第2课时 简单的三角恒等变换讲义——2025届高三数学一轮复习

第3讲 第2课时 简单的三角恒等变换 核心考点⇄师生共研 考点一 三角函数式的化简 例1 （1） 若 ,则（ ） A. 1 B. C. D. （2） 0. 解题技法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 对点训练 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 2. 化简. 考点二 三角函数式的求值 角度1 给角求值 例2 求值：（ ） A. 1 B. 2 C. D. 解题技法 给角求值问题的基本思路 观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为 （1）特殊角的三角函数值； （2）正、负相消的项和特殊角的三角函数值； （3）可约分的项和特殊角的三角函数值等. 角度2 给值求值（链接高考） 例3 [2023· 新课标Ⅰ卷]已知,,则（ ） A. B. C. D. 【考题变式】 1. （条件变式）已知,,则（ ） A. 1 B. C. D. 2. （同类变式）已知,,则（ ） A. B. C. D. 解题技法 给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把“所求角”用“已知角”表示. （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或者和或差的二倍形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解. 角度3 给值求角 例4 已知,,,,且 ,则（ ） A. B. C. D. 解题技法 “给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是，选余弦函数；若角的范围为，选正弦函数. 对点训练 1. [2024·湖南长沙适应性测试]若,则（ ） A. B. C. D. 2. 3. 已知，，,则 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知,，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知锐角 ， 满足,,则（ ） A. B. 或 C. D. 3. 已知,,则（ ） A. B. C. D. 4. （多选）已知， ,则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. [2024·河北承德一模]（多选）已知 ,,,下列选项正确的有 （ ） A. B. C. D. 6. 已知,则 7. 化简： 8. 求值： 9. 已知函数. （1） 求的值； （2） 若,,求 的值. B 综合运用 10. （多选）（人教A版必修第一册 改编）已知且,则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. “无字证明”就是将数学命题用简单、有创意且易于理解的几何图形来呈现.如图，请根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式，第一个括号为 ，第二个括号为 12. 已知 ， 为锐角，且,则 13. 已知，，. （1） 求的值； （2） 若，，求的值. C 素养提升 14. 已知. （1） 求 的值; （2） 已知,，且,求 的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 第2课时 简单的三角恒等变换 核心考点⇄师生共研 考点一 三角函数式的化简 例1 （1） 若 ,则（ ） A. 1 B. C. D. [解析]因为 , 所以,, 所以 .故选. （2） 0. [解析]原式 . 解题技法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 对点训练 1. 化简：（ ） A. B. C. D. [解析]选.原式 . 2. 化简. 解：原式 . 考点二 三角函数式的求值 角度1 给角求值 例2 求值：（ ） A. 1 B. 2 C. D. [解析]原式 . 解题技法 给角求值问题的基本思路 观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角的三角函数值转化为 （1）特殊角的三角函数值； （2）正、负相消的项和特殊角的三角函数值； （3）可约分的项和特殊角的三角函数值等. 角度2 给值求值（链接高考） 例3 [2023· 新课标Ⅰ卷]已知,,则（ ） A. B. C. D. ［分析及溯源］ 本题考查两角和与差的正弦公式与二倍角公式，是典型的“给值求值”问题，考题源于教材人教A版必修第一册例6和. [解析]依题意，得 所以，所以，所以.故选. 【考题变式】 1. （条件变式）已知,,则（ ） A. 1 B. C. D. [解析]选.由题可得，. 因为, 所以, 所以, 所以. 2. （同类变式）已知,,则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由 与 得, 所以.所以.故选. 解题技法 给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把“所求角”用“已知角”表示. （1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或者和或差的二倍形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解. 角度3 给值求角 例4 已知,,,,且 ,则（ ） A. B. C. D. [解析]由题意得，,所以,因为,,所以,所以,所以,, 所以,又因为,所以. 解题技法 “给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正弦、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是，选余弦函数；若角的范围为，选正弦函数. 对点训练 1. [2024·湖南长沙适应性测试]若,则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题意得, 所以 ,所以.故选. 2. [解析]原式. 3. 已知，，,则 [解析]由题可得， ， 即， 因为，，所以，， 所以，所以. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知,，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题知 . 因为，所以, ,所以, 结合,得. 2. 已知锐角 ， 满足,,则（ ） A. B. 或 C. D. [解析]选.由题意可知,,故,又 ，故. 3. 已知,,则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题知 , 因为,所以,所以, 则 . 4. （多选）已知， ,则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题知,所以,故 错误；因为 ,所以,,,故,，均正确. 5. [2024·河北承德一模]（多选）已知 ,,,下列选项正确的有 （ ） A. B. C. D. [解析]选.由于 且,所以,又,，故 或 .当 时， 不满足题意，故 ,所以，故 错误；,故 正确；,故 错误；,所以,故 正确.故选. 6. 已知,则 [解析] . 7. 化简： [解析]原式. 8. 求值： [解析]原式 . 9. 已知函数. （1） 求的值； 解：因为, 所以 . （2） 若,,求 的值. [答案] 由,, 得,又, 所以, 所以. B 综合运用 10. （多选）（人教A版必修第一册 改编）已知且,则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题得，化简得,则 或,又,则,错误；,正确；,正确;由 且，结合 得,故，错误. 11. “无字证明”就是将数学命题用简单、有创意且易于理解的几何图形来呈现.如图，请根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式，第一个括号为 ，第二个括号为 [解析]如图所示， ，，在 中，,在 中，. 12. 已知 ， 为锐角，且,则 [解析]由题知,即 , 则,则. 因为 , 为锐角，所以 ,则. 13. 已知，，. （1） 求的值； 解：因为，又因为，， 所以. 因为，且，， 所以. （2） 若，，求的值. [答案] 由（1）得，，，则. 因为，所以，， 又，所以， 又因为, 所以， 所以 . C 素养提升 14. 已知. （1） 求 的值; 解：由已知得 ， 所以. . （2） 已知,，且,求 的值. [答案] 由, 可得, 则 . 因为,所以, 又,则, 因为,, 则,则, 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$