4.2.2 等差数列的性质及其应用 同步训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2 课时2 等差数列的性质及其应用 （限时：30分钟） 基础训练 1.已知在等差数列{an}中,a7+a8=16,a4=1,则a11=(　　). A.15 B.30 C.31 D.64 2.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为(　　). A.26 B.29 C.39 D.52 3.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题:将1至2024中被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列的项数为(　　). A.134 B.135 C.136 D.137 4.已知数列{an}是等差数列,且a7+a13=20,则a9+a10+a11=(　　). A.36 B.30 C.24 D.18 5.若数列{an}是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9=(　　). A.39 B.20 C.19.5 D.33 6.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a5+a6+a8+a10+a11=40,若am=8,则m的值为(　　). A.2 B.4 C.6 D.8 7.已知在等差数列{an}中,a4=4,a7=,则数列{an}的通项公式为an=  　.  8.(改编)已知三个数成等差数列,其和为12,后两项之积为第一项的12倍,求这三个数. 能力拔高 9.(多选题)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则(　　). A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=0 10.(多选题)若数列{an}是等差数列,则下列数列仍为等差数列的是(　　). A.{|2an|} B.{an+1-an} C.{pan+q}(p,q为常数) D.{2an+n} 11.“二十四节气”是干支历中表示自然节律变化以及确立“十二月建”(月令)的特定节令.从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列,若冬至的日影长为18.5尺,立春的日影长为15.5尺,则春分的日影长为(　　). A.9.5尺 B.10.5尺 C.11.5尺 D.12.5尺 12.若等差数列{an},{bn}满足对任意n∈N*都有=,则+=　　.  思维拓展 13.(多选题)在等差数列{an}中,首项a1=2,公差d=3,依次取出项的序号被3除余2的项组成数列{bn},则(　　). A.b1=5 B.b2=8 C.an=3n-1 D.{bn}中的第675项是{an}中的第2025项 14.(原创)已知等差数列{an}的首项是1,公差是3,等差数列{bm}的首项是3,公差是4,求由两个数列的所有公共项组成的新数列{cn}的通项公式. 参考答案 1.A　【解析】由已知得a7+a8=a4+a11=16,a4=1,则1+a11=16,解得a11=15.故选A. 2.C　【解析】∵5,x,y,z,21成等差数列, ∴y既是5和21的等差中项,也是x和z的等差中项. ∴5+21=2y,∴y=13,则x+z=2y=26, ∴x+y+z=39. 3.B　【解析】由题意知,被3除余1且被5除余1的数即被15除余1的数,故an=15n-14,n∈N*. 令an=15n-14≤2024,得n≤135, 因为n∈N*,所以此数列的项数为135. 4.B　【解析】∵数列{an}是等差数列,a7+a13=20, ∴a10=10, ∴a9+a10+a11=3a10=30. 5.D　【解析】由等差数列的性质得, a1+a4+a7=3a4=45, a2+a5+a8=3a5=39, a3+a6+a9=3a6. 又2×3a5=3a4+3a6, 所以3a6=33,即a3+a6+a9=33. 6.D　【解析】∵a5+a6+a8+a10+a11=40,∴(a5+a11)+(a6+a10)+a8=40. 根据等差数列的性质知,a5+a11=a6+a10=2a8,即5a8=40,解得a8=8,又d≠0,∴m=8. 7.-2　【解析】∵a4=4,a7=,∴公差d==,a1=a4-3d=-, ∴an=-+(n-1)=-2. 8.【解析】设这三个数依次为a-d,a,a+d, 由题意可得解得 所以这三个数依次为2,4,6. 9.CD　【解析】根据等差数列的性质,得a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51. 因为a1+a2+a3+…+a101=0,所以a51=0,所以a1+a101=a2+a100=a3+a99=2a51=0. 10.BCD　【解析】对于A,数列-1,1,3是等差数列,取绝对值的两倍后,2,2,6不是等差数列,故A不满足题意. 对于B,若数列{an}是等差数列,利用等差数列的定义知,{an+1-an}为常数列,故{an+1-an}是等差数列,故B满足题意. 对于C,若等差数列{an}的公差为d,则(pan+1+q)-(pan+q)=p(an+1-an)=pd为常数,故{pan+q}是等差数列,故C满足题意. 对于D,因为(2an+1+n+1)-(2an+n)=2(an+1-an)+1=2d+1为常数,所以{2an+n}是等差数列,故D满足题意. 故选BCD. 11.D　【解析】设该等差数列为{an},公差为d,则a1=18.5,a4=15.5,又2a4=a1+a7,即a7=2a4-a1=2×15.5-18.5=12.5,所以春分的日影长为12.5尺. 12.1　【解析】由等差数列的性质可得b3+b9=b4+b8=2b6,a7+a5=2a6, 所以+====1. 13.AC　【解析】因为a1=2,d=3,所以an=2+(n-1)×3=3n-1,故C正确;数列{an}中项的序号被3除余2的项是第2项、第5项、第8项……,所以b1=a2=5,b2=a5=14,故A正确,B错误;设数列{bn}中的第k项是数列{an}中的第m项,则m=3k-1,所以当k=675时,m=3×675-1=2024,即数列{bn}中的第675项是数列{an}中的第2024项,故D错误.故选AC. 14.【解析】由题意知an=1+3(n-1)=3n-2,bm=3+4(m-1)=4m-1,n,m∈N*, 令an=bm,则-2+3n=-1+4m,则n==m+,∴m+1为3的倍数, 令m=3k-1(k∈N*), 则公共项ck=b3k-1=12k-5(k∈N*), 即cn=12n-5. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$