4.1.2 数列中的递推公式 同步训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1 课时2 数列中的递推公式 （限时：30分钟） 基础训练 1.在数列{an}中,已知a1=-,an+1=2an+1,则a3=(　　). A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知数列{an}满足anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),且a1=1,则=(　　). A. B. C. D. 3.在数列{an}中,a1=1,an·an+1=-2(n=1,2,3,…),那么a8=(　　). A.-2 B.- C.1 D.2 4.已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则数列{an}的前2023项的乘积为(　　). A.-1 B.- C. D.1 5.(改编)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则a3+a5= (　　). A.14 B.16 C.18 D.20 6.已知数列{an}满足a1=1,an+1=则{an}的前10项和S10=　　.  7.若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an=n2+3n+2,求数列{an}的通项公式. 能力拔高 8.由1,3,5,…,2n-1,…构成的数列为{an},数列{bn}满足b1=2,当n≥2时,bn=,则b6的值是(　　). A.9 B.17 C.33 D.65 9.(多选题)已知数列{an}满足a1=m(m为正整数),an+1=若a6=1,则下列说法正确的是(　　). A.a5不可能为奇数 B.若a5为偶数,则a5=2 C.若a4为奇数,则a4=1 D.m所有可能的取值为5,32 10.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智玩具,它用九个圆环相连成串,以解开为胜.用an表示解下n(n≤9)个圆环所需的最少移动次数.若a1=1,a2=2,且an=an-2+2n-1(n≥3),则解下7个圆环所需的最少移动次数为　　.  11.在数列{an}中,a1=,an+1=an+,求an. 思维拓展 12.(多选题)如图,小正方形的边长分别为斐波那契数1,1,2,3,5,8,…,从内到外依次连接通过小正方形的圆弧,就得到了一条被称为“斐波那契螺旋线”的弧线.现将每一段“斐波那契螺旋线”所在的正方形边长记为an(n∈N*),数列{an}满足a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),每一段“斐波那契螺旋线”与其所在的正方形围成的扇形面积设为bn(n∈N*),则下列说法正确的是(　　). A.a1+a3+a5+a7=a8 B.a2+a4+a6+a8=a9 C.4(b5-b4)=πa3a6 D.4(b5+b6)=4b7 13.已知数列{an}满足a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*.若{an}是递增数列,且4a2=a1+3a3,求p的值. 14.(原创)(1)已知数列{an}的通项公式为an=n+(n∈N*),判断数列{an}的单调性,并求an的最小值; (2)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=3×2n+1,求数列{an}的通项公式. 参考答案 1.D　【解析】a2=2a1+1=,a3=2a2+1=2. 2.B　【解析】由a2a1=a1+(-1)2,得a2=2; 由a3a2=a2+(-1)3,得a3=. 同理可得a4=3,a5=,则==.故选B. 3.A　【解析】由a1=1,an·an+1=-2,可得a2=-2,a3=1,a4=-2,所以数列{an}的周期为2,所以a8=a2=-2. 4.【解析】根据题意可得a1=2,a2=,a3=-,a4=-3,a5=2,…, 故该数列是以4 为周期的周期数列,且a1a2a3a4=1. 因为2023=4×505+3,所以数列{an}的前2023项的乘积为1505·a1a2a3=2××-=-. 5.B　【解析】因为Sn=n2+n,所以a3=S3-S2=12-6=6. 同理可得a5=10, 所以a3+a5=16.故选B. 6.75　【解析】由题意可知,a1=1,a2=a1+1=2,a3=a2+2=4,a4=a3+1=5,a5=a4+2=7,a6=a5+1=8,a7=a6+2=10,a8=a7+1=11,a9=a8+2=13,a10=a9+1=14, 所以{an}的前10项和S10=1+2+4+5+7+8+10+11+13+14=75. 7.【解析】由题意可得a1·a2·a3·…·an=(n+1)(n+2), 当n=1时,a1=6; 当n≥2时,a1·a2·a3·…·an-1=n(n+1), 故当n≥2时,an=. 又a1=6不满足上式, 所以an= 8.C　【解析】∵bn=(n≥2),∴b2==a2=3,b3==a3=5,b4==a5=9,b5==a9=17,b6==a17=33. 9.AB　【解析】若a5为奇数,则3a5+1=1,即a5=0(舍去); 若a5为偶数,则=1,即a5=2. 若a4为奇数,则3a4+1=2,即a4=(舍去); 若a4为偶数,则=2,即a4=4. 若a3为奇数,则3a3+1=4,即a3=1,则a2=2,a1=4; 若a3为偶数,则=4,即a3=8. 若a2为奇数,则3a2+1=8,即a2=(舍去); 若a2为偶数,则=8,即a2=16. 若a1为奇数,则3a1+1=16,即a1=5; 若a1为偶数,则=16,即a1=32. 故m所有可能的取值为4,5,32. 10.85　【解析】因为a1=1,a2=2,an=an-2+2n-1(n≥3),所以a3=a1+22=5,a4=a2+23=10,a5=a3+24=21,a6=a4+25=42,a7=a5+26=85. 11.【解析】∵a1=,an+1=an+, ∴an+1-an= =-, ∴a2-a1=×, a3-a2=×, …… an-an-1=(n≥2). 以上(n-1)个式子相加,可得当n≥2时,an-a1==. ∵a1=, ∴an=+=(n≥2). 验证得当n=1时,上式也成立,∴an=. 12.AC　【解析】根据a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),得数列{an}的前9项分别为1,1,2,3,5,8,13,21,34, 所以a1+a3+a5+a7=1+2+5+13=21=a8,a2+a4+a6+a8=1+3+8+21=33≠a9,故A正确,B错误; 由题意可得bn=,即4bn=π, 所以4(b5-b4)=π(-)=π(a5-a4)(a5+a4)=πa3a6,故C正确; 4(b5+b6)=π(+)=π(52+82)=89π,4b7=π=π×132=169π, 所以4(b5+b6)≠4b7,故D错误.故选AC. 13.【解析】因为{an}是递增数列,所以an+1-an=|an+1-an|=pn. 而a1=1,因此,a2=p+1,a3=p2+p+1. 又4a2=a1+3a3,所以3p2-p=0,解得p=或p=0. 当p=0时,an+1=an不合题意,舍去,故p=. 14.【解析】(1)当1≤n≤2时,数列{an}是递减数列;a2=a3;当n≥3时,数列{an}是递增数列. 证明:在数列{an}中,an=n+, 则an+1=n+1+, 所以an+1-an=n+1+-n+ =1+-=1-==, 所以当1≤n≤2时,数列{an}是递减数列; a2=a3; 当n≥3时,数列{an}是递增数列. 所以最小值为a2=a3=5. (2)在Sn=3×2n+1中,令n=1,得a1=6+1=7, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3×2n+1-3×2n-1-1=3×2n-1. 因为a1不满足上式, 所以an= 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$