4.1.1 数列的概念 同步训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1 课时1 数列的概念 （限时：30分钟） 基础训练 1.(多选题)下列说法正确的是(　　). A.数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数 B.数列若用图象表示,则从图象上看都是一群孤立的点 C.数列的项数一定是无限的 D.数列通项的表达式是唯一的 2.数列1,,,,,…的一个通项公式为an=(　　). A. B. C. D. 3.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数,他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类,如三角形数1,3,6,10,…,正方形数1,4,9,16,…,等等.如图所示,这是正五边形数,将五边形数按从小到大的顺序排列成数列,则此数列的第4项为(　　). A.16 B.17 C.18 D.22 4.已知数列{an}满足an=2n+2n,则a6=(　　). A.42 B.68 C.76 D.142 5.(多选题)若数列{an}的前4项依次是2,0,2,0,则这个数列的通项公式可能是(　　). A.an=1+(-1)n+1 B.an=1-cos nπ C.an=2sin2 D.an=1+(-1)n-1+(n-1)(n-2) 6.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图所示的规律拼成若干个图案: 则第n个图案中的白色地面砖有(　　)块. A.4n-2 B.4n+2 C.3n+3 D.3n-3 7.已知数列{an},an=an+2m(a<0,n∈N*),满足a1=2,a2=4,则a3=　　.  8.已知数列{an}的通项公式是an=. (1)写出该数列的第4项和第7项. (2)试判断和是否是该数列中的项.若是,求出它是第几项;若不是,请说明理由. 能力拔高 9.已知数列1,,,,,,,,,,…,则是数列中的(　　). A.第18项 B.第19项 C.第20项 D.第21项 10.(多选题)下列说法正确的是(　　). A.已知数列{an},an=(n∈N*),那么是这个数列的第10项,且最大项为第一项 B.数列,,2,,…的一个通项公式是an= C.已知数列{an},an=kn-5(n∈N*),且a8=11,则a17=29 D.已知an+1=an+3,则数列{an}是递减数列 11.已知数列{an}满足以下条件:①a1=sin ,a2=2sin ;②数列{an}既不是递增数列,也不是递减数列;③an+2=an(n∈N*).写出数列{an}的一个通项公式:　　.  12.写出下列数列的一个通项公式. (1)0,3,8,15,24,…; (2)1,-3,5,-7,9,…; (3)0,,,,…; (4)1,11,111,1111,…. 思维拓展 13.如图,这是由大小相同的小正三角形按一定规律所拼成的几个图案,其中第1个图有1个小正三角形,第2个图有4个小正三角形,第3个图有9个小正三角形,按此规律,用f(n) 表示第n 个图的小正三角形个数. (1)试写出f(4),f(5)的值; (2)猜想出f(n) 的表达式(不要求证明). 14.已知数列{bn}的通项公式为bn=,n∈N*,求{bn}的最大值. 参考答案 1.AB　【解析】根据数列的定义可知,A正确,B正确;数列作为一个函数,它的定义域是正整数集或正整数集的有限子集,C错误;数列通项的表达式可以不唯一,例如,数列1,0,-1,0,1,0,-1,0,…的通项可以是an=sin ,也可以是an=cos ,D错误.故选AB. 2.B　【解析】数列1,,,,,…, 则其分子为2n-1,分母为2n-1, 所以该数列的通项公式为an=.故选B. 3.D　【解析】第一个正五边形数为1,第二个正五边形数为1+4=5,第三个正五边形数为1+4+7=12,故第四个正五边形数为1+4+7+10=22. 4.C　【解析】由an=2n+2n,令n=6,得a6=26+2×6=76.故选C. 5.ABC　【解析】将前4项代入选项检验可得ABC符合. 6.B　【解析】第1个图案中的白色地面砖有6块,第2个图案中的白色地面砖有10块,第3个图案中的白色地面砖有14块,那么可以推出第n个图案中的白色地面砖有(4n+2)块. 7.2　【解析】由题意得∴a2-a=2,解得a=2或a=-1, 又a<0,∴a=-1. 又a+2m=2,∴m=,∴an=(-1)n+3, ∴a3=(-1)3+3=2. 8.【解析】(1)由通项公式an=可得, a4==,a7==. (2)是,不是.理由如下: 令=,得n2=9, 所以n=3或n=-3(舍去), 故是该数列中的项,并且是第3项. 令=,得n2=,所以n=±, 由于±都不是正整数, 因此不是该数列中的项. 9.A　【解析】将数列分为第1组1个,第2组2个……第n组n个, 即,,,,,,,,,,…,,,,…,, 则在这n组中,每一组中的每个数的分子、分母的和均为n+1, 所以是第6组的第3个数,在数列中的项数为1+2+3+4+5+3=18. 10.ABC　【解析】对于A,令an==,解得n=10,易知最大项为第一项,故A正确; 对于B,数列,,2,,…⇒数列,,,,…⇒数列,,,,…⇒an=,故B正确; 对于C,∵an=kn-5,且a8=11,解得k=2,∴an=2n-5,∴a17=29,故C正确; 对于D,由an+1-an=3>0,易知数列{an}是递增数列,故D错误. 11.an=(答案不唯一)　【解析】由条件①得a1=1,a2=2,由条件③知,数列{an}具有周期性,周期为2, 于是有a3=1=,a4=2=,…,而a1=,a2=, 因此an=,显然数列{an}既不是递增数列,也不是递减数列,所以数列{an}的一个通项公式可以为an=. 12.【解析】(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,所以原数列的一个通项公式为an=n2-1. (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,并且数列的奇数项为正,偶数项为负,所以原数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1). (3)因为5=22+1,10=32+1,17=42+1,所以原数列的一个通项公式为an=. (4)原数列的各项可变为×9,×99,×999,×9999,…,易知数列9,99,999,9999,…的一个通项公式为10n-1,所以原数列的一个通项公式为an=(10n-1). 13.【解析】(1)因为f(4)=1+3+5+7=16,f(5)=1+3+5+7+9=25, 所以f(4)=16,f(5)=25. (2)因为f(1)=1,f(2)=1+3=4=22,f(3)=1+3+5=9=32,f(4)=1+3+5+7=16=42,f(5)=1+3+5+7+9=25=52, 所以猜想f(n)=n2. 14.【解析】∵bn+1-bn=-=,且n∈N*, ∴当n=1,2,3,4,5时,bn+1-bn>0,即b1<b2<b3<b4<b5<b6; 当n=6,7,8,…时,bn+1-bn<0,即b6>b7>b8>…. 故b1<b2<b3<b4<b5<b6>b7>b8>…, ∴{bn}的最大值为b6=. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$