2025年福建省初中数学中考仿真卷⑤

保密★启用前 2024-2025学年度福建省初中数学中考仿真卷⑤ 考试范围：七年级-九年级；考试时间：120分钟；命题人：沈方誉 注意事项： 选择题：填涂浓度需达到光电阅读机识别阈值（≥90%黑度） 主观题：超出答题框部分扫描截断，公式推导需注明引用定理编号 修订处：错误答案划横线（禁用涂改液），正确答案写在剩余空白处 一、单选题 1．如果规定汽车向东行驶3千米记作千米，那么向西行驶5千米记作（   ）千米 A． B． C． D．3 2．嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要秒．将数据用小数表示为（    ）A． B． C． D． 3．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算中正确的是 （    ） A． B． C． D． 5．如图，图1是一个涌泉蜜桔包装箱，现将8个这样的包装箱按图2的四种方式分别叠放成一个大长方体．在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表面积，这个大长方体的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 6．某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为90分，复赛成绩为80分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小颖同学的总成绩为（    ） A．83分 B．80分 C．75分 D．70分 7．某物流公司运送一批货物，若用普通列车送到800千米的某城市，所需时间比规定时间多用2小时；若改为高速列车派送，则所需时间比规定时间少用3小时，已知高速列车的速度是普通列车的倍，则规定送达时间是多少？设规定时间为x小时，则分式方程列式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若关于x 的不等式组无解，则a 的值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 9．如图，直线交反比例函数（）的图象于点和点，交轴于点，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若的面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，以正六边形的对角线的中点为圆心，为半径作，切于点，并交于点，若，则该圆的半径为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．比较大小： ．（填“”、“”或“”） 12．如图，在中，，如果、分别是边，的中点，，的面积是，那么的正切值是 ． 13．一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ． 14．音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图，这组抛物2）线的统一形式为，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则的取值范围为 ． 15．图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ．（参考数据：，，） 16．如图，内接于，是的直径，是的切线，点为切点，点在的延长线上，，，垂足分别为点，，连接．若，，则 ， ． 三、解答题 17．计算：． 18．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 19． 解方程： 20．我国在《黄帝内经》以及《左传》中记载，不同的音调对人体五脏以及情绪有不同的影响．科学研究也表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从本年级选取20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用x表示心率，单位：次/分，数据分为4组：A．，B．，C．，D．） 【数据的收集与整理】 20名同学听音乐前频数分布表 心率x （次/分） 频数 5 5 4 a 各组平均心率 （次分） 64 75 86 95 这20名同学听音乐时的心率在B组的是：71，71，73，74，74，76． 【数据分析】 平均数 中位数 方差 听音乐前 b 78 听音乐时 73 c 99 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：______；______；______； (2)请你结合上表中的两种统计量分析节奏舒缓的音乐对心率的影响； (3)下午在学校的阶梯教室有本年级的100名同学参加这项课题研究，如果该小组在活动时播放该音乐，请估计心率在A组的同学人数． 21．某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为元，B型电脑每台利润为元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这台电脑的销售总利润为y元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变，求a的值． 22．已知等边，点在上，点在延长线上，满足，为上一点，连接，． (1)若点为中点，求证：； (2)若，，求的度数． 23．粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角． (1)求的度数； (2)通过计算，求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离（相关数据：）． 24．综合与实践 某市计划修建一条公路隧道，隧道的截面可以抽象成如图1所示的抛物线，底部宽度为12米，抛物线的最高点C距离的高度为6米，以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在隧道修建的过程中，需要搭建如图2所示的支架．四边形，四边形和四边形都是矩形，点E，点F，点Q和点M均在同一直线上，点D，点H，点R，点N都在抛物线上，点G和点P分别在和上，且米，除线段外，这些矩形的其他边都需要用钢材搭建，求需要钢材长度的最大值； (3)如图3，根据有关部门设计，在隧道两侧的人行道地基宽均为2米，该部门计划在点T正上方和点J正上方之间的抛物线部分设计多列灯，使隧道顶部呈现五彩缤纷的图案．若相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，请你给出一种符合条件的灯的列数，并说明理由． 25．【阅读】若P为所在平面上一点，且，则点P叫做的费马点．如图，在中，如果三角形内部有一点P满足，则的值最小．理由如下： 将绕点A逆时针旋转至，连接 是等边三角形 点四点在同一条直线上．此时，的值最小． 【应用】 （1）如图（一）所示，点P是内一点，且点P是的费马点，已知，，求的长； （2）如图（二）所示，分别以锐角的边向三角形外部作等边，等边，连接交于点P，求证：点P为的费马点； 【拓展】 （3）如图（三），圆内接矩形内有一点于点E，已知，且的最小值是，求的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年度福建省初中数学中考仿真卷⑤答题卡 准考证号 [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 单选题 1 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 填空题 11. 12. 13. 14. 15. 16. 解答题 17．计算：    22024 11 2 0.5 1 3 3       ． 18. 第1页 共4页 19.解方程：  2 24 4 6 xx x      20. (1)填空： a ______；b  ______；c  ______； 21. 22. 第2页 共4页 注意事项 1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3．主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 4．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 5．保持答卷清洁、完整。 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 缺考标记 23. 24. 第3页 共4页 25. 第4页 共4页 《2024-2025 学年度福建省初中数学中考仿真卷⑤》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D A A D A D C 1．B 【难度】0.85 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查正负数的表示，解题的关键是理解正负数表示相反意义的量． 根据规定向东行驶为正，那么向西行驶就为负，由此可得出向西行驶 5千米的表示方法． 【详解】已知规定汽车向东行驶 3千米记作+3千米，因为东和西是相反的方向，所以相反 意义的向西行驶就用负数表示，那么向西行驶 5千米应记作 5 千米． 故选：B． 2．B 【难度】0.85 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成 10na 的形式，其中1 10a  ，n为整数．确定 n的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多 少位， n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时， n是正整数； 当原数的绝对值小于1时， n是负整数． 【详解】解：将数据 58.9 10 用小数表示为0.000089． 故选：B． 3．C 【难度】0.65 【知识点】整式乘法混合运算、提公因式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，熟练掌握公式法和提公因式法进行因式分解是 解题的关键．利用提公因式法、公式法以及整式的乘法逐个分解得结论． 【详解】解：A、  2 2 23 6 9 9x x x x      ，故不符合题意； B、 2 2 2( 2) 4 4 2 4a a a a a       ，故不符合题意； C、  3 2 24 4a a a a   ，故符合题意； D、   21 4 1 2 1 2x x x    ， 故不符合题意； 故选：C． 4．D 【难度】0.65 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，乘方，利用合并同类项，同底数幂的 乘法，乘方的运算法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、 3 3 32a a a  ，故 A不符合题意； B、 2 3 5a a a  ，故 B不符合题意； C、 2 2a a  ，故 C不符合题意； D、  3 3a a   ，故 D符合题意； 故选：D． 5．A 【难度】0.85 【知识点】求小立方块堆砌图形的表面积 【分析】本题考查了求小立方块堆砌图形的表面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先 理解题意以及图形特征得 1个前面 1 个后面 1 个左面 1 个右面 1 个上面 1 个下面的面积 是定值，再分别研究每种方式的特征，运用整体思想进行作答即可． 【详解】解：设这个涌泉蜜桔包装箱的 6个面分别记作，前、后、上、下、左、右， 则 1个前面 1 个后面 1 个左面 1 个右面 1 个上面 1 个下面的面积是定值， 而图 2中①表面积为 4个前，4个后，4个左面，4个右面，4个上面，4个下面的和； ②表面积为 4个前，4个后，8个左面，8个右面，4个上面，4个下面的和； ③表面积为 4个前，4个后，4个左面，4个右面，2个上面，2个下面的和； ④表面积为 2个前，2个后，8个左面，8个右面，4个上面，4个下面的和； ∴在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表面积，这个大长 方体的序号是①， ∴第①叠放方式符合题意， 故选：A． 6．A 【难度】0.85 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查了加权平均数的计算，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式． 根据加权平均数的计算方法，用初赛成绩乘以其权重加上复赛成绩乘以其权重，即可得出总 成绩． 【详解】90 30% 80 70% 90 0.3 80 0.7 27 56 83          （分） 小颖同学的总成绩为 83分． 故选：A． 7．D 【难度】0.65 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据普通列车、高速列车运送所需时间与规 定时间之间的关系，可得出用普通列车运送所需时间为  2x  天，高速列车运送所需时间为  3x  天，利用速度=路程÷时间，结合高速列车的速度是普通列车的倍，即可列出关于 x 的分式方程，此题得解． 【详解】解：由题意可得， 800 5 800 3 2 2x x     ， 故选：D． 8．A 【难度】0.65 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解不等式①得 2x  ，解不等式②得 x a ，根据 不等式组无解，即可得出答案，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： 2 3 6x x x a      ① ② 解不等式①得： 2x  ， 解不等式②得： x a ， ∵不等式组无解， ∴ 2a  ， 故选：A． 9．D 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数系数 k的几何意义，熟练掌握反比例函数系数 k的几何意义 是解题的关键． 根据题意得到 3 2 ABP BCP S S △ △ ， 3 2 ABD BCD S S △ △ ，继而得到 3 2 ADP CDP S S △ △ ，求出 3 36 9 2 2PCDADP S S     ， 得到 9PADO ADSS  ，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接 AO， AP， ∵ 3 2 AB BC  ， ∴ 3 2 ABP BCP S S △ △ ， 3 2 ABD BCD S S △ △ ， ∴ 3 2 ADP CDP S S △ △ ， 6PCDS  ∴ 3 36 9 2 2PCDADP S S     ， ∴ 9PADO ADSS  ，  AD x 轴于点D 1 9 2AOD S OD AD    ， 18OD AD   ， 点A在反比例函数 ky x  ， kAD OD   ， ∴ 18k  ． 故选 D． 10．C 【难度】0.4 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】根据圆的切线的性质可得OP AQ ，设该圆的半径为 r，可求 3sin 33 OP rPAO AO r     ，过Q作QG AC 于G，过D作DH QG 于H，则四边形DHGC 是矩形，可求 3sin 312 3 QG QGPAO AQ     ，计算求解QG的长，进而可得 12 2QH r  ， 2 3 12 2DH r  ，通过解直角三角形即可求解． 【详解】解： AQ 是 O的切线， OP AQ  ， 设该圆的半径为 r， OB OP r   ， 30ACB CAB    ， 2AB BC CD r    ， 3AO r ，  2 3AC r ，  3sin 33 OP rPAO AO r     ， 过Q作QG AC 于G，过D作DH QG 于 H ，如图所示： 四边形DHGC是矩形， HG CD  ，DH CG ， 90HDC  ，  3sin 312 3 QG QGPAO AQ     ， 120 90 30QDH       ， 12QG  ，  2 2 12 2(cm)AG AQ QG   ， 12 2QH r   ， 2 3 12 2DH r  ，  12 2 3tan tan30 32 3 12 2 QH rQDH DH r        ， 解得 3 6r   ， 该圆的半径为 (3 6)cm ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，圆周角定理，切线的性质，正多边形和圆等知 识的综合运用，根据题意构造直角三角形运用三角函数求解是解决问题的关键． 11． 【难度】0.94 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较．根据有理数大小的比较方法“两负数比较大小 绝对值大的反而小”进行比较即可． 【详解】解：∵ 9 9  ， 7 7  ，且9 7 ， ∴ 9 7   ， 故答案为：． 12． 2 5 /0.4 【难度】0.85 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、求角的正切值 【分析】本题考查了三角形中位线的性质与判定，求正切；根据三角形中位线定理得出DE 的长，再结合 ADEV 的面积得出 AE的长，进而得出 AC的长，最后将 ACD 转化为 A 即 可解决问题． 【详解】解： D 、 E分别是边 AB， AC的中点， DE 是 ABCV 的中位线，  DE BC∥ ， 1 2 DE BC ． 又 90ACB   ， 4BC  ， 90AED  ， 2DE  ， DE 垂直平分 AC， DA DC  ， ACD A  ． ADE 的面积是5， 1 2 5 2 AE   ， 则 5AE  ， 2 10AC AE   ． 在Rt ABC△ 中， 4 2tan 10 5 BCA AC    ， ∴ 2tan tan   5 ACD A   ． 故答案为： 2 5 ． 13．12 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一组数据的平均数、标准差、求方差 【分析】本题主要考查了求平均数、标准差、方差的方法，理解并掌握平均数、标准差和方 差的定义是解题关键．方差和标准差的关系．标准差是方差的平方根． 分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子，进行对比容易得出方差，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，数据 1 2, , , nx x x 的平均数为 5，方差为 16， 即  1 2 1 5nx x x xn     L ，      2 2 22 1 2 1 nS x x x x x xn               2 2 21 2 1 5 5 5nx x xn         L 16 ， 则 1 23 2,3 2, 3 2nx x x   的平均数  1 2 1 3 2 3 2 3 2nx x xn       L  1 2 13 2nx x xn      L 3 5 2   17 ， 另一组数据 1 23 2,3 2, ,3 2nx x x   的方差      2 2 21 2 1 3 2 17 3 2 17 3 2 17nx x xn            L      2 2 21 2 1 3 15 3 15 3 15nx x xn         L      2 2 21 2 19 5 5 5nx x xn          L 9 16  144 ， ∴标准差 144 12  ． 故答案为：12． 14． 2 5 a   【难度】0.65 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出 相应的关系式，找出所求问题需要的条件．依据题意，抛物线的顶点在直线 3y x 上可得b的 值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边15m可知其对称轴 15 2 2 b a   ，可得 a的范围． 【详解】解：由题意， 2y ax bx  的顶点为 2 , 2 4 b b a a        ，抛物线的顶点在直线 3y x 上， 2 3 2 4 b b a a     ． 6b  ． 喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边15m， 15 2 2 b a   ，即： 6 15 2 2a   ． 2 5 a   ． 故答案为： 2 5 a   ． 15．94.8 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作 AE CP 于点 E，过点 B作 BF DQ 于 点 F，利用含30的直角三角形的性质，求解 AE，BF，从而可得答案．正确进行计算是解 题关键． 【详解】解：如图，过点A作 AE CP 于点 E，过点 B作BF DQ 于点 F ， 在Rt ACE中， 32ACE  ，  sin32 42.4cmAE AC    ， 同理可得， 42.4cmBF  ， 双翼边缘的端点A与 B之间的距离为10cm， 42.4 10 42.4 94.8cm    当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 94.8cm． 故答案为：94.8． 16． 12 6 13 13 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质 综合 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，相似 三角形的判定和性质等知识点，过C作CH DE 交 ED延长线于点H ，连接CD，根据切线 的性质、正方形的判定可得四边形OCHD为正方形，再由勾股定理 2 2 2CH HE CE  ，可求 出CH，再根据正方形的性质可求OD，即可求得直径 AD；过D作DQ CE 交CE于点Q， 连接 BD，根据等面积法即 1 1 2 2CDE S CE DQ DE CH      ，可求出DQ，由同弧所对的圆 周角相等可得 45CBD CAO   ，进而可求出 BD，再根据 90AOC AFC  ∠ ∠ ，可证 明A、C、O、 F 四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得 CFO CAO CBD ∠ ∠ ∠ ， OCF OAF DCB ∠ ∠ ∠ ，从而证明△OCF∽△DCB，最后由 1 2 OF OC BD DC   ，即可求出OF， 正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过C作CH DE 交 ED延长线于点 H ，过D作DQ CE 交CE于点Q， 连接CD， BD， AD 是 O的直径，OC AD ， OC OA OD   ，  OAC 、 ODC、 ACD为等腰直角三角形， 45ODC OAC    ， DE 是 O的切线， OD DE  ， CH DE ，OC AD ，OC OD ， 四边形OCHD为正方形， 设CH DH OD OC x    ， 则 3HE HD DE x    ， 2 2 2CH HE CE  ， 即 2 2 2( 3) (3 13)x x   ， 解得： 6x  （舍去负值）， 6CH DH OD OC     ， 6 2DC  ， 2 2 6 12AD OD     ； DQ CE ，  1 1 2 2CDE S CE DQ DE CH      ，  1 13 13 3 6 2 2 DQ     ，  6 13 13 DQ  ， 45CBD CAO     ，  6 262 13 BD DQ  ， CF AB ，OC AD ， 90AOC AFC    ． A 、C、O、 F 四点共圆， 45CFO CAO    ， OCF OAF   ， 45CAO CBD     ， OAF DCB∠ ∠ ， CFO CBD   ， OCF DCB∠ ∠ ，  OCF DCB∽ ，  1 2 OF OC BD DC   ， 1 1 6 26 6 13 13 132 2 OF BD      ， 故答案为：12； 6 13 13 ． 17． 5 【难度】0.85 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除，最后计算加 减运算，有括号先计算括号内的运算． 【详解】解：    22024 11 2 0.5 1 3 3       3 11 1 9 2 3       3 11 8 2 3      1 4   = 5 ． 18．不等式组的解集为： 2 4x   ，在数轴上表示见解析． 【难度】0.85 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式 组的解法，及理解在数轴上表示不等式的解集时“ ”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“” 要用空心圆点表示是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出每个不等式的解集即可确定不等式组的解集． 【详解】解： 2 3 5 1 1 3 x x x          ① ② ， 解不等式①得： 4x  ， 解不等式②得： 2x   ， ∴不等式组的解集为： 2 4x   ， 在数轴上表示，如图， ． 19． 2x   或 5x   或 7x   【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解分式方程 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，将等式左边展开后，进行因式分解，将方 程去分母，转化为整式方程，再次利用因式分解将方程转化为两个因式的积为 0的形式，再 进行求解，最后进行检验即可． 【详解】解：  2 24 4 6 xx x      2 28 16 4 6 xx x x       2 28 12 6 xx x x          26 2 6 xx x x      ，    26 2 2x x x         26 2 2 0x x x        26 1 2 0x x      ， ∴  2 0x   或  26 1 0x    ， ∴ 2x   或  26 1x   ， ∴ 2x   或 6 1x    ， ∴ 2x   或 5x   或 7x   ； 经检验 2x   或 5x   或 7x   是原方程的解． ∴原方程的解为： 2x   或 5x   或 7x   ． 20．(1)6；79； 72 (2)从平均数看，节奏舒缓的音乐能使心率降低；从中位数看，节奏舒缓的音乐能对心率无 影响；从方差看，节奏舒缓的音乐能使心率更加稳定（答案不唯一） (3)心率在 A组的同学人数为 40人 【难度】0.65 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布表、求一组数据的平均数、求中位 数 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，平均数，中位数，用样本估计总量，熟知上 述概念是解题的关键． （1）根据平均数，中位数的定义即可解答； （2）根据方差，平均数，中位数做出判断即可； （3）利用样本估计总量即可解答． 【详解】（1）解： 20 5 5 4 6a      ， 5 64 6 75 5 86 4 95 79 20 b         ， 71 73 72 2 c   ， 故答案为：6；79； 72； （2）解：从平均数看，节奏舒缓的音乐能使心率降低； 从中位数看，节奏舒缓的音乐能对心率无影响； 从方差看，节奏舒缓的音乐能使心率更加稳定； （3）解： 0 0100 40 40  人， 答：心率在 A组的同学人数为 40人． 21．(1) 100 50000y x   ； 100 100 3 x  ，且 x为正整数； (2)购进 A型电脑 34台，B型电脑 66台，才能使销售总利润最大，最大利润是 46600元； (3)100 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次 函数 x值的增大而确定 y值的增减情况． （1）根据总利润等于 A、B两种型号电脑的利润之和，即可求出函数解析式，根据“B型电 脑的进货量不超过 A型电脑的 2倍，”列出不等式，即可求出自变量的取值范围； （2）根据一次函数的性质即可求出答案； （3）根据题意列出 y关于 x的函数关系式，可得当 100 0a   时， 50000y  恒成立，即可 求解． 【详解】（1）解：根据题意得： 400 500(100 ) 100 50000y x x x      ； ∵B型电脑的进货量不超过 A型电脑的 2倍， ∴100 2x x  ，解得： 100 3 x  ， ∴自变量 x的取值范围为 100 100 3 x  ，且 x为正整数； （2）解： 100 50000y x   ∵ 100 0  ， ∴当 y随 x的增大而减小， ∴当 34x  时，y有最大值，最大值为 46600， 答：该商店购进 A型电脑 34台，B型电脑 66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600 元； （3）解：根据题意得： (400 ) 500(100 ) ( 100) 50000y a x x a x       ， 当 100 0a   时， 50000y  恒成立， 即当 100a  时，无论该公司如何进货，这100台电脑的销售利润都不变． 22．(1)见解析 (2)100 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、 等边三角形的判定和性质 【分析】（1）延长 AG至 F使GF AG ，连接 BF， EF， AE，证明  SASAGD FBG≌ ， 则有 AD BF ， FBG ADG  ，所以 BF AC∥ ， 再证明  SASABF ACE≌ ，由性质得 AF AE ， BAF CAE   ，从而证明 AFE△ 为等边 三角形，通过等边三角形的性质即可求证； （ 2）延长 AG至M 使 AM AB ，交 BC于 N，由等边三角形的性质得 60ABC  ，证明  AASAGD BGN≌ ，则 AD BN ，所以 AD BM BN NG CE    ，则有 EN BC AB  ， BMN BNM GNE   ，证明 ABM ENG≌ ，通过全等三角形的性质得 20BAM GEN   ，最后通过三角形外角性质即可求解． 【详解】（1）证明：延长 AG至 F 使GF AG ，连接 BF， EF， AE， ∵G是 BD中点， ∴ BG GD ， ∵ AGD FGB  ， ∴  SASAGD FBG≌ ， ∴ AD BF ， FBG ADG  ， ∴ BF AC∥ ， ∵ ABCV 是等边三角形， ∴ 60ABC ACB BAC    ， AB AC ， ∴ 60FBC ACB    ， ∴ 120ABF ACE     ， ∵ AD CE， ∴ BF CE ， 又∵ AB AC ， ∴  SASABF ACE≌ ， ∴ AF AE ， BAF CAE   ， ∴ 60FAE BAC   ， ∴ AFE△ 为等边三角形， ∴ EG AG ； （2）解：延长 AG至M 使 AM AB ，交 BC于N， ∵ ABCV 是等边三角形， ∴ 60ABC  ， AB AC BC  ， ∵ 20ABD  ， AG BG ， ∴ 20BAG ABG   ， ∴ 100ADB  ， 100  ANB ， 80BNM AMB ANE      ， ∴ ADB BNG  ， BM BN ， ∵ AGD BGN  ， ∴  AASAGD BGN≌ ， ∴ AD BN ， ∴ AD BM BN NG CE    ， ∴ EN BC AB  ， BMN BNM GNE   ， ∴ ABM ENG≌ ， ∴ 20BAM GEN   ， ∴ 20 80 100AGE GEN GNE       ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与 性质，三角形的外角性质，等边对等角等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 23．(1)53° (2)粒子 J到 AB的最远距离是16 km 【难度】0.65 【知识点】利用垂径定理求值、应用切线长定理求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，垂径定理的应用，解直角三角形的应用，作出合 适的辅助线是解本题的关键； （1）延长 ,AF BE 交于G，根据切线长定理可得答案； （2）如图，过点O作OH AB 于点 H ，延长HO交 O于点 P，连接 ,AO BO，则此时当 粒子 J运动到 P点时，离 AB的距离最远，再结合垂径定理与解直角三角形可得答案． 【详解】（1）解：延长 ,AF BE 交于G， 由题意得： ,AF BE 是 O的切线， AG BG  ， 53ABE FAB       ； （2）解：如图，过点O作OH AB 于点 H ，延长HO交 O于点 P，连接 ,AO BO， AF 是 O的切线， AO AF  90FAO  ， 53  ， 90 53 37HAO FAO        ，  , 16 kmOH AB AB  ， 1 8km, 90 2 AH AB AHO     ， 在 Rt AOH中， 3tan tan37 4 OHHAO AH      ，  3 3 8 6 km 4 4 OH AH     ，  2 2 2 26 8 10 kmAO OH AH      ， 如图，当粒子 J运动到 P点时，离 AB的距离最远，  6 10 16 kmHP OH OP      ，即粒子 J到 AB的最远距离是16 km 24．(1)  21 6 6 6 6 y x x      (2)需要钢材长度的最大值为 79 3 米； (3)符合条件的LED灯的列数为27或 26，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设   ,0 0 5Q p p  ，得到  22 791 3 3 W p    ，根据二次函数的性质求最值即可； （3）相邻两列LED灯的水平距离为0.3米，LED灯对称分布，据此进行分类讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，    6,0 , 6,0 ,A B 抛物线的最高点为  0,6C ， 设抛物线解析式为 2 6y ax  , 把  6,0B 代入得到，0 36 6a  ， 解得 1 6 a   ， ∴  21 6 6 6 6 y x x      ； （2）解：设   ,0 0 5Q p p  ， 则由已知及抛物线的对称性可知，  21, 6 , 1,0 6 R p p M p       ，  2 21 11, 1 6 , , 6 6 6 N p p H p p                 ，  211, 1 6 6 D p p         ，  ,0F p ,  1,0E p  ， ∴  21 1 6 6 DE MN p        ， 21 6 6 FH QR p        米， 2HR p 米， 设搭建支架需要钢材的长度为W米， ∴  2 21 12 1 6 2 6 2 1 1 6 6 W DE MN FH QR HR DG PN p p p                          22 791 3 3 p    ， ∵ 2 0,0 5 3 p    ， ∴当 1p  时，W 取得最大值为 793 ， 即需要钢材长度的最大值为 79 3 米； （3）符合条件的LED灯的列数为27或 26，理由如下： 由已知可知， 12 2 2 8TJ     （米）， 4OT OJ  米， ∵相邻两列LED灯的水平距离为0.3米，LED灯对称分布， ∴若顶部 C处安装一列LED灯,则OC的两旁还可以各安装 4 0.3 13  （列） 此时安装LED灯的列数为1 13 2 27   （列）， 若顶部 C处不安装LED灯,则最顶部的两列灯应该在OC的两侧，且与OC的水平距离都为 0.15米，  4 0.15 0.3 12   此时安装LED灯的列数为 2 12 2 26   （列）， 综上可知， 符合条件的LED灯的列数为 27或26 25．（1） 2 3PB  （2）见解析 （3）2 2 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和 SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求 解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据费马点的定义证明 PAB PBC∽ ，得到对应边成比例解题即可； （2）连接 PA，过点 A作 AF CD ，AG BE 于点 F，G，根据等边三角形得到 DAC BAE≌ ， 即可得到 ADC ABE  ，CD BE ， DAC BAES S ，然后根据角平分线的判定得到 APD APE   ，然后根据费马点的定义解题即可； （3）先根据费马点的定义得到当 G、F、P、D四点共线时，此时，PA PD PE  的值最小， 且 120APD APE DPE    ，延长 EP交 AD于点 H ，则 EH AD ，连接 BD，即可得 到这时点 P是外接圆的圆心，然后根据最小值和矩形的性质求出半径即可． 【详解】（1）解：∵点 P是 ABC的费马点， ∴ 120APB BPC   ， ∴ 60PAB PBA PBC PBA       ， ∴ PAB PBC  ， ∴ PAB PBC∽ ， ∴ PB PA PC PB  ，即 4 3 PB PB  ， 解得 2 3PB  （负值舍去）， （2）证明：连接 PA，过点 A作 AF CD ， AG BE 于点 F，G， ∵ ABD和 ACE是等边三角形， ∴ AD AB ， AE AC ， 60DAB EAC   ， ∴ DAC BAE  ， ∴ DAC BAE≌ ， ∴ ADC ABE  ，CD BE ， DAC BAES S ， ∴ AF AG ， 又∵ AF CD ， AG BE ， ∴ APD APE   ， 又∵ DFA BFP   ， ∴ 60DPB EPC DAB    ， ∴ 120BPC  ， ∴ 60APD APE   ， ∴ 120APB APC   ， ∴点 P是 ABC的费马点； （3）解：以 AP为边向下作等边 AFP，连接 AE，并绕点 A顺时针旋转60得到 AG，连 接 FG，DE， 根据题目可知当 G、F、P、D四点共线时，此时， PA PD PE  的值最小，且 120APD APE DPE    ， 如图，延长 EP交 AD于点 H ，则 EH AD ，连接BD， 又∵ 60APH DPH   ， ∴ 30PAD PDA   ， ∵ 2AD AB ， ∴ 30ABD  ， ∴点 P为外接圆的圆心， ∴ 1 1 2 2 PH PA PD  ，即 1 2 PE PA ∴ PA PD PE  的值最小为 5 5 2 2 DG PA PD BG PA PD PE PA        ， ∴ 2 2PA PB  ． 【点睛】此题考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，圆的 性质，掌握费马点的定义和应用是解题的关键． 试卷第 1页，共 8页 保密★启用前 2024-2025 学年度福建省初中数学中考仿真卷⑤ 考试范围：七年级-九年级；考试时间：120 分钟；命题人：沈方誉 注意事项： 选择题：填涂浓度需达到光电阅读机识别阈值（≥90%黑度） 主观题：超出答题框部分扫描截断，公式推导需注明引用定理编号 修订处：错误答案划横线（禁用涂改液），正确答案写在剩余空白处 一、单选题 1．如果规定汽车向东行驶 3千米记作 3 千米，那么向西行驶 5千米记作（ ）千米 A． 5 B． 5 C． 3 D．3 2．嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦 娥五号返回器在接近大气层时，飞行1m大约需要 58.9 10 秒．将数据 58.9 10 用小数表 示为（ ）A．0.0000089 B．0.000089 C． 0.0000089 D． 0.000089 3．下列因式分解正确的是（ ） A．  22 9 3x x   B．  22 2 4 2a a a    C．  3 2 24 4a a a a   D．   21 4 1 4 1x x x    4．下列计算中正确的是 （ ） A． 3 3 6a a a  B． 2 3 6a a a  C． 2 2a a  D．  3 3a a   5．如图，图 1是一个涌泉蜜桔包装箱，现将 8个这样的包装箱按图 2的四种方式分别叠放 成一个大长方体．在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表 面积，这个大长方体的序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 6．某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为 90分，复赛成绩为 80分．若总成 绩按初赛成绩占30%，复赛成绩占70%来计算，则小颖同学的总成绩为（ ） A．83分 B．80分 C．75分 D．70分 7．某物流公司运送一批货物，若用普通列车送到 800千米的某城市，所需时间比规定时间 多用 2小时；若改为高速列车派送，则所需时间比规定时间少用 3小时，已知高速列车的速 试卷第 2页，共 8页 度是普通列车的 5 2 倍，则规定送达时间是多少？设规定时间为 x小时，则分式方程列式正确 的是（ ） A． 800 5 800 2 2 3x x     B． 800 5 800 3 2 2x x     C． 800 2 800 2 5 3x x     D． 800 5 800 3 2 2x x     8．若关于 x 的不等式组 2 3 6x x x a      无解，则 a 的值可以是（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 9．如图，直线 y mx n  交反比例函数 ky x  （ 0x  ）的图象于点A和点 B，交 x 轴于点C， 3 2 AB BC  ，过点A作 AD x 轴于点D，连接 BD并延长，交 y轴于点 P， 连接 PC．若 PCD△ 的面积为6，则 k的值为（ ） A．6 B．8 C．9 D．18 10．门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示， 以正六边形 ABCDEF的对角线 AC的中点O为圆心，OB为半径作 O， AQ切 O于点 P， 并交DE于点Q，若 12 3cmAQ  ，则该圆的半径为（ ）cm． A． 2 6 B．3 2 3 C．3 6 D．3 3 二、填空题 11．比较大小： 9 7 ．（填“”、“ ”或“ ”） 12．如图，在Rt ABC△ 中， 90ACB  ，如果D、E分别是边 AB，AC的中点， 4BC  ， ADEV 的面积是5，那么 ACD 的正切值是 ． 13．一组数据 1 2, , , nx x x 的平均数为 5，方差为 16，n是正整数，则 另一组数据 1 23 2,3 2, ,3 2nx x x   的标准差是 ． 14．音乐喷泉（图 1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状 如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边15m，音乐变化时， 抛物线的顶点在直线 3y x 上变动，从而产生一组不同的抛物线 （图，这组抛物 2）线的统一形式为 2y ax bx  ，若要求喷出的 试卷第 3页，共 8页 抛物线水线不能到岸边，则 a的取值范围为 ． 15．图 1是一个地铁站入口的双翼闸机，图 2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的 端点A与 B之间的距离为10cm，双翼的边缘 80cmAC BD  且与闸机侧立面夹角 32ACP BDQ    ．当双翼收起时， 可以通过闸机的物体的最大宽度为 cm．（参考数据： sin32 0.53  ，cos32 0.85  ， tan32 0.62  ） 16．如图， ABCV 内接于 O，AD是 O的直径，DE是 O的切线，点D 为切点，点 E在CB的延长线上，OC AD ，CF AB ，垂足分别为点O， F ，连接OF．若 3DE  ， 3 13CE  ，则 AD  ，OF  ． 三、解答题 17．计算：    22024 11 2 0.5 1 3 3       ． 18．解不等式组 2 3 5 1 1 3 x x x         ，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．解方程：  2 24 4 6 xx x      试卷第 4页，共 8页 20．我国在《黄帝内经》以及《左传》中记载，不同的音调对人体五脏以及情绪有不同的影 响．科学研究也表明舒缓的音乐对降低人的心率，改善心肌供血有较好的辅助作用．某兴趣 小组以“测试节奏舒缓的音乐对心率的影响”为课题展开研究，他们随机从 本年级选取 20名同学，分别测试并记录这些同学在听音乐前和听音乐时 的心率，然后对相关数据进行整理和分析．（用 x表示心率，单位：次/分， 数据分为 4组：A．60 70x  ，B．70 80x  ，C．80 90x  ，D．90 100x  ） 【数据的收集与整理】 20名同学听音乐前频数分布表 心率 x （次/分） 60 70x  70 80x  80 90x  90 100x  频数 5 5 4 a 各组平均心率 （次分） 64 75 86 95 这 20名同学听音乐时的心率在 B组的是：71，71，73，74，74，76． 【数据分析】 平均数 中位数 方差 听音乐前 b 78 124.5 听音乐时 73 c 99 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a ______；b  ______； c  ______； (2)请你结合上表中的两种统计量分析节奏舒缓的音乐对心率的影响； (3)下午在学校的阶梯教室有本年级的 100名同学参加这项课题研究，如果该小组在活动时 播放该音乐，请估计心率在 A组的同学人数． 试卷第 5页，共 8页 21．某公司销售 A型和 B型两种电脑，其中 A型电脑每台利润为 400元，B型电脑每台利润 为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中 B型电脑的进货量不超 过 A型电脑的 2倍，设购进 A型电脑 x台，这100台电脑的销售总利润为 y元． (1)求 y关于 x的函数关系式； (2)该商店购进 A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)实际进货时，厂家对 A型电脑出厂价下调 a  0 200a  元，若该公司保持这两种型号电 脑的售价不变，公司经理发现：无论该公司如何进货，这100台电脑的销售利润都不变，求 a的值． 22．已知等边 ABCV ，点D在 AC上，点 E在 BC延长线上，满足 AD CE，G为 BD上一 点，连接 AG，EG． (1)若点G为 BD中点，求证： AG EG ； (2)若 AG BG ， 20ABD  ，求 AGE 的度数． 试卷第 6页，共 8页 23．粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图 1，图 2是某 环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图 3是粒子加速器的俯视示意图， O是粒子真空 室，C D、 是两个加速电极，高速飞行的粒子 J在A点注入，在粒子真空室内做环形运动， 每次经过CD时被加速，达到一定的速度在 B点引出，粒子注入和引出路径都与 O相切．已 知： 16 kmAB  ，粒子注入路径与 AB夹角 53  ． (1)求 ABE 的度数； (2)通过计算，求粒子 J在环形运动过程中，粒子 J到 AB的最远距离（相关数据： 3tan37 4   ）． 试卷第 7页，共 8页 24．综合与实践 某市计划修建一条公路隧道，隧道的截面可以抽象成如图 1所示的抛物线，底部宽度 AB为 12米，抛物线的最高点 C距离 AB的高度为 6米，以 AB所在直线为 x轴，线段 AB的中垂 线为 y轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在隧道修建的过程中，需要搭建如图 2所示的支架．四边形DEFG，四边形HFQR和四 边形 PQMN都是矩形，点 E，点 F，点 Q和点 M均在同一直线上，点 D，点 H，点 R，点 N都在抛物线上，点 G和点 P分别在HF和 RQ上，且 1DG PN  米，除线段 EM 外，这 些矩形的其他边都需要用钢材搭建，求需要钢材长度的最大值； (3)如图 3，根据有关部门设计，在隧道两侧的人行道地基 ,AT BJ宽均为 2米，该部门计划 在点 T正上方和点 J正上方之间的抛物线部分设计多列LED灯，使隧道顶部呈现五彩缤纷 的图案．若相邻两列LED灯的水平距离为 0.3米，LED灯对称分布，请你给出一种符合条件 的LED灯的列数，并说明理由． 试卷第 8页，共 8页 25．【阅读】若 P为 ABCV 所在平面上一点，且 120APB BPC CPA    ，则点 P叫做 ABCV 的费马点．如图，在 ABCV 中，如果三角形内部有一点 P满足 120APB BPC CPA    ，则 PA PB PC  的值最小．理由如下： 将 APC△ 绕点 A逆时针旋转60至 AP C ，连接 PP 120APC AP C     ' 60AP AP PC P C PAP       ， ， APP  是等边三角形 ' 60AP PP APP AP P      ， PA PB PC PB PP P C        120 , 60APB APC APC APP AP P               点 , , ,B P P C 四点在同一条直线上．此时，PA PB PC  的值最小． 【应用】 （1）如图（一）所示，点 P是 ABCV 内一点，且点 P是 ABCV 的费马点，已知 60ABC  ， 4 3PA PC ， ，求 PB的长； （2）如图（二）所示，分别以锐角 ABCV 的边 AB AC， 向三角形外部作等边 ABD△ ，等边 ACE△ ，连接 ,BE CD交于点 P，求证：点 P为 ABCV 的费马点； 【拓展】 （3）如图（三）， O圆内接矩形 ABCD内有一点 P PE BC， 于点 E，已知 2AD AB ，且 PA PD PE  的最小值是5 2，求 O的半径． ( 姓名： 班级： 考场/座位号： ) ( 注意事项 1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 2．客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 3．主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 4．必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书 写无效。 5．保持答卷清洁、完整。 ) ( 正确填涂 缺考标记 )2024-2025学年度福建省初中数学中考仿真卷⑤答题卡 准考证号 [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 单选题 1 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 填空题 11. 12. 13. 14. 15. 16. 解答题 17．计算：． 18. 第1页 共4页 19.解方程： 20. (1)填空：______；______；______； 21. 22. 第2页 共4页 23. 24. 第3页 共4页 25. 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《2024-2025学年度福建省初中数学中考仿真卷⑤》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D A A D A D C 1．B 【难度】0.85 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查正负数的表示，解题的关键是理解正负数表示相反意义的量． 根据规定向东行驶为正，那么向西行驶就为负，由此可得出向西行驶5千米的表示方法． 【详解】已知规定汽车向东行驶3千米记作+3千米，因为东和西是相反的方向，所以相反意义的向西行驶就用负数表示，那么向西行驶5千米应记作千米． 故选：B． 2．B 【难度】0.85 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：将数据用小数表示为． 故选：B． 3．C 【难度】0.65 【知识点】整式乘法混合运算、提公因式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，熟练掌握公式法和提公因式法进行因式分解是解题的关键．利用提公因式法、公式法以及整式的乘法逐个分解得结论． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、， 故不符合题意； 故选：C． 4．D 【难度】0.65 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，乘方，利用合并同类项，同底数幂的乘法，乘方的运算法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 5．A 【难度】0.85 【知识点】求小立方块堆砌图形的表面积 【分析】本题考查了求小立方块堆砌图形的表面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意以及图形特征得1个前面个后面个左面个右面个上面个下面的面积是定值，再分别研究每种方式的特征，运用整体思想进行作答即可． 【详解】解：设这个涌泉蜜桔包装箱的6个面分别记作，前、后、上、下、左、右， 则1个前面个后面个左面个右面个上面个下面的面积是定值， 而图2中①表面积为4个前，4个后，4个左面，4个右面，4个上面，4个下面的和； ②表面积为4个前，4个后，8个左面，8个右面，4个上面，4个下面的和； ③表面积为4个前，4个后，4个左面，4个右面，2个上面，2个下面的和； ④表面积为2个前，2个后，8个左面，8个右面，4个上面，4个下面的和； ∴在仅知道一个包装箱表面积的情况下，就能推算出其中一个大长方体的表面积，这个大长方体的序号是①， ∴第①叠放方式符合题意， 故选：A． 6．A 【难度】0.85 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查了加权平均数的计算，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式． 根据加权平均数的计算方法，用初赛成绩乘以其权重加上复赛成绩乘以其权重，即可得出总成绩． 【详解】（分） 小颖同学的总成绩为83分． 故选：A． 7．D 【难度】0.65 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据普通列车、高速列车运送所需时间与规定时间之间的关系，可得出用普通列车运送所需时间为天，高速列车运送所需时间为天，利用速度=路程÷时间，结合高速列车的速度是普通列车的倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：由题意可得，， 故选：D． 8．A 【难度】0.65 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解不等式得，解不等式得，根据不等式组无解，即可得出答案，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组无解， ∴， 故选：A． 9．D 【难度】0.65 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 根据题意得到，，继而得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 轴于点 ， ， 点在反比例函数， ， ∴． 故选D． 10．C 【难度】0.4 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】根据圆的切线的性质可得，设该圆的半径为，可求，过作于，过作于，则四边形是矩形，可求，计算求解的长，进而可得，，通过解直角三角形即可求解． 【详解】解：是的切线， ， 设该圆的半径为， ， ， ，， ， ， 过作于，过作于，如图所示： 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ，， ， 解得， 该圆的半径为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，圆周角定理，切线的性质，正多边形和圆等知识的综合运用，根据题意构造直角三角形运用三角函数求解是解决问题的关键． 11． 【难度】0.94 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较．根据有理数大小的比较方法“两负数比较大小绝对值大的反而小”进行比较即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， 故答案为：． 12．/ 【难度】0.85 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、求角的正切值 【分析】本题考查了三角形中位线的性质与判定，求正切；根据三角形中位线定理得出的长，再结合的面积得出的长，进而得出的长，最后将转化为即可解决问题． 【详解】解：、分别是边，的中点， 是的中位线， ，． 又，， ，， 垂直平分， ， ． 的面积是， ， 则， ． 在中， ， ∴． 故答案为：． 13．12 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、求一组数据的平均数、标准差、求方差 【分析】本题主要考查了求平均数、标准差、方差的方法，理解并掌握平均数、标准差和方差的定义是解题关键．方差和标准差的关系．标准差是方差的平方根． 分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子，进行对比容易得出方差，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，数据的平均数为5，方差为16， 即， ， 则的平均数 ， 另一组数据的方差 ， ∴标准差． 故答案为：12． 14． 【难度】0.65 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件．依据题意，抛物线的顶点在直线上可得的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边可知其对称轴，可得的范围． 【详解】解：由题意，的顶点为，抛物线的顶点在直线上， ． ． 喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边， ，即：． ． 故答案为：． 15． 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案．正确进行计算是解题关键． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，， ， 同理可得，， 双翼边缘的端点与之间的距离为， 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 故答案为：． 16． 12 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识点，过作交延长线于点，连接，根据切线的性质、正方形的判定可得四边形为正方形，再由勾股定理，可求出，再根据正方形的性质可求，即可求得直径；过作交于点，连接，根据等面积法即，可求出，由同弧所对的圆周角相等可得，进而可求出，再根据，可证明、、、四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得，，从而证明△△，最后由，即可求出，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交延长线于点，过作交于点，连接，， 是的直径，， ， 、、为等腰直角三角形， ， 是的切线， ， ，，， 四边形为正方形， 设， 则， ， 即， 解得：（舍去负值）， ，， ； ， ， ， ， ， ， ，， ． 、、、四点共圆， ，， ，， ，， ， ， ， 故答案为：12；． 17． 【难度】0.85 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号先计算括号内的运算． 【详解】解： ． 18．不等式组的解集为：，在数轴上表示见解析． 【难度】0.85 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式组的解法，及理解在数轴上表示不等式的解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出每个不等式的解集即可确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示，如图， ． 19．或或 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解分式方程 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，将等式左边展开后，进行因式分解，将方程去分母，转化为整式方程，再次利用因式分解将方程转化为两个因式的积为0的形式，再进行求解，最后进行检验即可． 【详解】解： ， ， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或或； 经检验或或是原方程的解． ∴原方程的解为：或或． 20．(1)；； (2)从平均数看，节奏舒缓的音乐能使心率降低；从中位数看，节奏舒缓的音乐能对心率无影响；从方差看，节奏舒缓的音乐能使心率更加稳定（答案不唯一） (3)心率在A组的同学人数为人 【难度】0.65 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布表、求一组数据的平均数、求中位数 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图，平均数，中位数，用样本估计总量，熟知上述概念是解题的关键． （1）根据平均数，中位数的定义即可解答； （2）根据方差，平均数，中位数做出判断即可； （3）利用样本估计总量即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：；；； （2）解：从平均数看，节奏舒缓的音乐能使心率降低； 从中位数看，节奏舒缓的音乐能对心率无影响； 从方差看，节奏舒缓的音乐能使心率更加稳定； （3）解：人， 答：心率在A组的同学人数为人． 21．(1)；，且x为正整数； (2)购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元； (3)100 【难度】0.65 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． （1）根据总利润等于A、B两种型号电脑的利润之和，即可求出函数解析式，根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，”列出不等式，即可求出自变量的取值范围； （2）根据一次函数的性质即可求出答案； （3）根据题意列出y关于x的函数关系式，可得当时，恒成立，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ； ∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍， ∴，解得：， ∴自变量x的取值范围为，且x为正整数； （2）解： ∵， ∴当y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：该商店购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是元； （3）解：根据题意得： ， 当时，恒成立， 即当时，无论该公司如何进货，这台电脑的销售利润都不变． 22．(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（）延长至使，连接，，，证明，则有，，所以， 再证明，由性质得，，从而证明为等边三角形，通过等边三角形的性质即可求证； （）延长至使，交于，由等边三角形的性质得，证明，则，所以 ，则有，，证明，通过全等三角形的性质得，最后通过三角形外角性质即可求解． 【详解】（1）证明：延长至使，连接，，， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：延长至使，交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形的外角性质，等边对等角等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 23．(1)53° (2)粒子到的最远距离是 【难度】0.65 【知识点】利用垂径定理求值、应用切线长定理求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，垂径定理的应用，解直角三角形的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）延长交于，根据切线长定理可得答案； （2）如图，过点作于点，延长交于点，连接，则此时当粒子运动到点时，离的距离最远，再结合垂径定理与解直角三角形可得答案． 【详解】（1）解：延长交于， 由题意得：是的切线， ， ； （2）解：如图，过点作于点，延长交于点，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 如图，当粒子运动到点时，离的距离最远， ，即粒子到的最远距离是 24．(1) (2)需要钢材长度的最大值为米； (3)符合条件的灯的列数为或，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，得到，根据二次函数的性质求最值即可； （3）相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布，据此进行分类讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线的最高点为， 设抛物线解析式为, 把代入得到，， 解得， ∴； （2）解：设， 则由已知及抛物线的对称性可知，，，，,， ∴， 米，米， 设搭建支架需要钢材的长度为米， ∴， ∵， ∴当时，    取得最大值为， 即需要钢材长度的最大值为米； （3）符合条件的灯的列数为或，理由如下： 由已知可知，（米），米， ∵相邻两列灯的水平距离为米，灯对称分布， ∴若顶部C处安装一列灯,则的两旁还可以各安装（列） 此时安装灯的列数为（列）， 若顶部C处不安装灯,则最顶部的两列灯应该在的两侧，且与的水平距离都为米， 此时安装灯的列数为（列）， 综上可知， 符合条件的灯的列数为或 25．（1）  （2）见解析  （3） 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据费马点的定义证明，得到对应边成比例解题即可； （2）连接，过点A作，于点F，G，根据等边三角形得到，即可得到，，，然后根据角平分线的判定得到，然后根据费马点的定义解题即可； （3）先根据费马点的定义得到当G、F、P、D四点共线时，此时，的值最小，且，延长交于点，则，连接，即可得到这时点是外接圆的圆心，然后根据最小值和矩形的性质求出半径即可． 【详解】（1）解：∵点P是的费马点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）， （2）证明：连接，过点A作，于点F，G， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P是的费马点； （3）解：以为边向下作等边，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，， 根据题目可知当G、F、P、D四点共线时，此时，的值最小，且， 如图，延长交于点，则，连接， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴点P为外接圆的圆心， ∴，即 ∴的值最小为， ∴． 【点睛】此题考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，圆的性质，掌握费马点的定义和应用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$