2025年九年级中考数学专题复习课件 二次函数的图象和性质

2025年数学中考复习 3.14 二次函数的图象和性质 基础知识 项目三 函数 考点要求 壹 1.二次函数的概念 了解二次函数的概念和表示法,能举出二次函数的实例,初步形成模型观念. 2.二次函数的图像和性质 (1)通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义; (2)能画二次函数的图像,通过图像了解二次函数的性质,知道二次函数系数与图像形状和对称轴的关系; (3)会求二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值,能解决相应的实际问题; (4)知道二次函数和一元二次方程之间的关系,会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解. 对标要求 核心知识点 贰 知识点1 二次函数的概念 名称 定义 性质 二 次 函 数 一般地,形如______________(是常数,≠0)的函数,叫作二次函数. 是自量,______,______,_____,分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数. 对标要求 名称 图像 性质 y=ax²(a>0) 对称轴是轴; 顶点坐标是(0,0) 开口方向上 顶点是抛物线的最低点 知识点2 二次函数的图象和性质 对标要求 名称 图像 性质 y=ax²(a<0) 对称轴是轴; 顶点坐标是(0,0) 开口方向下 顶点是抛物线的最高点 对标要求 二次函数 对称轴 对称轴是轴 顶点坐标 顶点坐标是（0，k） 开口方向 (1)当a>0时，开口向上;(2)当a<0时，开口向下 知识点3 二次函数的图象和性质 对标要求 最值 (1)当a>0,且x=0时，y最小，最小值=_k; (2)当a<0,且x=0时，y最大，最大值=k. 对标要求 平移规律 (1)y=ax²向上平移个单位长度得到y=ax²+k(k>0); (2)y=ax²向下平移个单位长度得到y=ax²—k(k>0). 对标要求 知识点4 二次函数的图象和性质 对称轴 对称轴是 顶点坐标 顶点坐标是(,0) 开口方向 (1)当a>0时，开口向上; (2)当a<0时，开口向下. 对标要求 最值 (1)当a>0,且x=时，y最小，最小值=0; (2)当a<0,且x=，时，y最大，最大值=0 对标要求 平移规律 (1)y=ax²向 右平移个单位长度得到y=a(x—h)²(h<0); (2)y=ax²向_左平移个单位长度得到y=a(x-h)²(h>0). 对标要求 知识点5 二次函数的图象和性质 对称轴 对称轴是 顶点坐标 顶点坐标是() 开口方向 (1)当a>0时，开口向上;(2)当a<0时，开口向下 对标要求 最值 (1)当a>0,且x=时，y最小，最小值=; (2)当a<0,且x=时，y最大，最大值= 对标要求 增减性 (1)若a>0,当x<h时，y随x的增大而减小;当x>h时，y随x的增大而增大。 (2)若a<0,当x<h时，y随x的增大而增大;当x>h时，y随x的增大而减小。 对标要求 知识点6 二次函数 的图象和性质 二次函数 对称轴 对称轴是______________. 顶点坐标 顶点坐标是_____________________. 开口方向 (1)当>0时,开口向______; (2)当<0时,开口向_______. 上 下 对标要求 最值 (1)当>0,且=________时,最小,最小值=_____________; (2)当<0,且=________时,最大,最大值=_____________. 对标要求 增减性 (1)若a>0,当x<-时,y随x的增大而减小;当x>-时,y随x的增大而增大. (2)若a<0,当x<-时,y随x的增大而增大;当x>-时,y随x的增大而减小. 对标要求 知识点7 用待定系数法求二次函数的解析式 待定系数法 (1)求二次函数y=ax²+bx+c的解析式，需求出a,b,c的值； (2)由已知条件(如二次函数图像上三个点的坐标)列出关于a,b,c的方程，求出a,b,c的值，就可以写出二次函数的解析式. 对标要求 二次函数图像与轴的位置关系 一元二次方程 根的情况 的值 知识点8 二次函数与一元二次方程的关系 对标要求 有两个公共点 有两个不相等的实数根 △>0 只有一个公共点 有两个相等的实数根 △=0 无公共点 无实数根 △<0 对标要求 考点攻坚 叁 考点1 二次函数的概念 例1 (2024·天津河东区一模)函数是二次函数,则的值是 . 【解析】根据二次函数的定义列出,且,进而求得答案.故答案为. 对标要求 考点2 二次函数的图像和性质 例2(2022·湖南郴州)关于二次函数,下列说法中正确的是( ) A.函数图像的开口向下 B.函数图像的顶点坐标是(1,5) C.该函数有最大值,最大值是5 D.当时,随的增大而增大 【解析】二次项系数为1,且对称轴1,因此当1时,随的增大而增大.故选D. 对标要求 考点3 二次函数图像的平移 例3(2024·漯河)将抛物线向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线是( ) 【解析】根据“左加右减,上加下减”的法则进行解答即可.将抛物线向右平移3个单位,再向上平移4个单位,得到的抛物线的函数表达式为:.故选A. A.+4 C.+4 D.-4 B.+4 对标要求 考点4 二次函数图像和系数的关系 例4(2023·四川南充)抛物线与轴的一个交点为(,0),若≤≤,则实数的取值范围是( ) 【解析】由抛物线与轴有交点，可得0,故或;分两种情况：①当时，对称轴,要满足题意，只需时有,可得.②当时，,要满足题意，对称轴只需时有,可得,分别解不等式可得答案.故选B. A B.或 C. D.或 对标要求 考点5 待定系数法求二次函数解析式 例5(2023·上海)一个二次函数的顶点在轴正半轴 . 【解析】根据二次函数的图象与系数关系求解,(答案不唯一). 对标要求 考点6 二次函数与一元二次方程的关系 例6(2024·银川)若二次函数的图象与轴有交点,则的取值范围是 . 【解析】利用根的判别式的意义得到,然后解不等式即可.故答案为. 对标要求 专项训练 肆 1.(2023·武汉)二次函数图象的顶点所在的象限是(B ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 提分训练 对标要求 2.(2022·台州)已知二次函数,其中,则该函数的图象可能为( ) C 对标要求 3.(2022·齐齐哈尔)抛物线的顶点坐标是(B) A.(9,) B.(,) C.(9,3) D.(,3) 对标要求 4.(2022·嘉兴)将抛物线向上平移3个单位,所得抛物线的解析式是(A ) A. B. C. D. 5.经过三点的抛物线的解析式是 . 对标要求 提升训练 6.(2024·广东)若点都在二次函数的图象上,则( ) A A. D. 对标要求 7.(2024·广西)课堂上,数学老师组织同学们围绕关于的二次函数的最值问题展开探究. 【经典回顾】二次函数求最值的方法. (1)老师给出,求二次函数的最小值. ①请你写出对应的函数解析式; ②求当取何值时,函数有最小值,并写出此时的值; 对标要求 【举一反三】老师给出更多的值,同学们即求出对应的函数在取何值时,的最小值.记录结果,并整理成下表: 注:*为②的计算结果. a …… -4 -2 0 2 4 …… x …… ※ 2 0 -2 -4 …… y最小值 …… ※ -9 -3 -5 -15 …… 对标要求 【探究发现】老师:“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现.” 甲同学:“我发现,老师给了值后,我们只要取,就能得到的最小值.” 乙同学:“我发现,的最小值随值的变化而变化,当由小变大时,的最小值先增大后减小,所以我猜想的最小值中存在最大值.” (2)请结合函数解析式,解释甲同学的说法是否合理? (3)你认为乙同学的猜想是否正确? 若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由. 对标要求 答案 7.解：(1)①把a= 4代入y=²+2a+a-3,得 y=²+2×(-4)+(-4)-3=²-8-7; ∴y=²-8-7; ②∵y=²-8-7= ∴当=4时，y有最小值为-23; (2)∵y=²+2a+a-3=(+a)²-a²+a-3, ∵抛物线的开口向上，∴当=-a时，y有最小值； ∴甲的说法合理； 对标要求 答案 对标要求 课堂练习 伍 1.(2023·洛阳)下列函数中,值的增大而减小的是( ) A. B. C. D. D 对标要求 2.(2023·成都)将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是( ) A.B. C.D. A 对标要求 3.把二次函数配方成顶点式为( ) C A. B. C. D. 对标要求 4.(2023·天水)二次函数的图象的对称轴是( C ) A. B. C. D. 5.(2022·漠河)若二次函数的图象经过点(2,4),则该图象必经过点(A) A.(2,4) B.(2,4) C.(4,2) D.(4,2) 对标要求 6.(2023·崇左)函数的大致图象是(A ) 对标要求 7.(2022·江阴)已知点(,),(,),(,)在下列某一函数图象上, 且,那么这个函数是(D) A. B. C. D. 对标要求 8.(2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度(单位:m)与小球的运动时间(单位:s)之间的关系式是.有下列结论: ①小球从抛出到落地需要6s; ②小球运动中的高度可以是30m; ③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度. 其中,正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 C 对标要求 9.(2022·黑龙江)把二次函数的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,平移后抛物线的解析式为 . 10.(2024·广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点处)的高度是m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为,则 m. 对标要求 11.(2022·怀化)已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点,则实数的值为 . 12.(2022·百色)已知二次函数在时,取得的最大值为15,则的值为(D ) A.1 B.2 C.3 D.4 对标要求 13.(2023·包头)已知二次函数,若点 在该函数的图象上,且,则的值为 . 14.若是关于的二次函数,则 . 2 3 对标要求 15.(2024·宝鸡)在校园科技节期间,科普员为同学们进行了水火箭的发射表 演,图1是某型号水火箭的实物图,水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线.为了解水火箭的相关性能,同学们进一步展开研究.如图2建立直角坐标系.水火箭发射后落在水平地面处.科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时,从发射到着陆过程中,水火箭距离地面的竖直高度(m)与离发射点的水平距离(m)的几组关系数据如下表所示: 水平距离（m) 0 3 4 10 15 20 22 27 竖直高度(m) 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24 对标要求 (1)根据表中数据,请确定抛物线的表达式; (2)请计算当水火箭飞行至离发射点的水平距离为5m时,水火箭距离地面的竖直高度. 对标要求 答案 15.解：(1)由题意可得，抛物线的对称轴是直线 =15 ∴抛物线的顶点为(15,9)。∴可设抛物线为y=a(-15)²十9。 又抛物线过(10,8),∴25a=-1.∴a=-. ∴抛物线的表达式为y=-(-15)²十9. (2)由题意，结合(1)y=--15)²十9 ∴令=5,则y=--15)²十9=5. ∴水火箭距离地面的竖直高度为5m 对标要求 谢谢观看 $$