重点专题2-2 排列与组合常考题型综合【18类题型汇总】- 【重难点突破】2024-2025学年高二数学热点题型专练 （人教A版））

专题2-2 排列与组合常考题型综合 总览 题型·解读 【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 模块一 排列数与组合数的计算 【题型1】排列数的计算 【题型2】组合数的计算 【题型3】组合数与排列数性质辨析 【题型4】排列数与组合数的相关证明 模块二 排列组合应用题 【题型5】排列与组合的辨析与应用 【题型6】相邻问题（捆绑法） 【题型7】不相邻问题（插空法） 【题型8】捆绑法与插空法结合 【题型9】位置有限制的排列问题 【题型10】分组问题（消序） 【题型11】分组分配问题 【题型12】有条件限制的分组分配问题 【题型13】古典概型中的排列组合问题 【题型14】最短路线问题 【题型15】逆向思维（至多至少，正难则反） 【题型16】定序问题 【题型17】相同元素分配问题：挡板法 【题型18】元素配对问题(鞋子成双问题) 重点题型巩固 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 排列数与组合数的计算 【题型1】排列数的计算 基础知识 概念梳理：排列数公式：=n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn. 典型例题 【例题1】若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例题2】解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 巩固练习 题型 【巩固练习1】可表示为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习2】不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习3】（多选）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【题型2】组合数的计算 基础知识 组合数公式 ①连乘表示：==.这里，n,m∈，并且mn. ②阶乘表示：=. 规定：=1. 1. 像排列数公式一样, 公式 一般用于计算; 而公式 及一般用于证明、解方程 (不等式)等. 2. 在解决与组合数有关的问题时, 要注意隐含条件“且 ”的运用. 3. 要注意公式 的逆向运用,可利用“”简化计算过程. 组合数的性质 (1)性质1：= 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2：=+ 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：=+. 典型例题 【例题1】（23-24高二下·浙江台州·期中）方程的解是 . 【例题2】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3 【巩固练习2】若，则正整数的值为 ． 【巩固练习3】解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 【题型3】组合数与排列数性质辨析 典型例题 【例题1】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·江苏南京·期末）（多选）若，为正整数且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）（多选）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【巩固练习2】（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江·期中）（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4】排列数与组合数的相关证明 典型例题 【例题1】证明：． 【例题2】证明：组合数性质； 巩固练习 题型 【巩固练习1】求证：． 【巩固练习2】已知，，. （1）求值：，(2)化简：. 【巩固练习3】已知m是自然数，n是正整数，且．求证： （1）；（2）． 模块二 排列组合应用题 【题型5】排列与组合的辨析与简单应用 基础知识 一、排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 二、组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 典型例题 【例题1】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．120种 【例题2】某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试，其中，语文、数学这门课程同时入选的不同选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【例题3】（24-25高三上·浙江宁波·期末）（多选）从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，共有多少种选择方式，下列各式表述正确的为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（    ） A．10 B．60 C．243 D．15 【巩固练习2】将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰好有两个空盒的方法数为（    ） A．18 B．84 C．24 D．120 【巩固练习3】若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（    ） A． B． C．15 D．360 【题型6】相邻问题（捆绑法） 基础知识 对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序。 典型例题 【例题1】某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为( ) A．24 B．36 C．48 D．60 【例题2】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有________种 巩固练习 题型 【巩固练习1】为了响应国家号召，预防新冠病毒的传播，7位高龄老人排队注射新冠疫苗，要求甲、乙、丙相邻，且乙在甲与丙的中间，则共有种不同的排列方法 . 【巩固练习2】甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【巩固练习3】（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（    ） A．180 B．240 C．288 D．300 【题型7】不相邻问题（插空法） 解题技巧 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可 典型例题 【例题1】某种产品的加工需要经过道工序，如果工序C，D必须不能相邻，那么有______种加工顺序 【例题2】（2024·浙江金华·三模）在义乌，婺剧深受民众喜爱.某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法总数是（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 巩固练习 题型 【巩固练习1】某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（    ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 【巩固练习2】夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有 种. 【巩固练习3】（24-25高三下·青海海东·阶段练习）现有高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1本．若把这5本教材从左到右放置书架的某一层内（该层无其他书籍），要求选择性必修第三册不放最左端，必修第一册不放最右端，选择性必修第一册、选择性必修第二册不相邻，则这5本教材放置顺序共有 种． 【题型8】捆绑法与插空法结合 典型例题 【例题1】（24-25高二上·安徽亳州·期末）数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有 种. 【例题2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（    ） A．16种 B．32种 C．48种 D．64种 【例题3】有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有 　 　种．（结果用数字作答） 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·浙江·期中）已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（    ） A．144 B．288 C．576 D．720 【巩固练习2】哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 【巩固练习3】把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有____________种. 【巩固练习4】“四书” “五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且甲、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有______种．（用数字作答） 【题型9】元素（位置）有限制的排列组合问题 解题技巧 某个或某几个元素要或不要排在指定位置, 可先排这个或这几个元素, 再排其他的元素 (元素优先法): 也可针对特殊元素, 先把指定位置安排好元素, 再排其他的元素 (位置优先法). 典型例题 【例题1】（2024·广东深圳·二模）已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（    ） A．72种 B．96种 C．144种 D．288种 【例题2】（23-24高二下·湖北武汉·期中）学校将从4男4名女中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．要求甲乙同时入选或同时不入选．不同组队形式有（   ）种． A．480 B．360 C．570 D．540 【例题3】（23-24高二下·广东广州·期中）（多选）如下，某高速服务区停车场中有至共8个停车位（每个车位只能停一辆车），现有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则（    ） A．4辆车的停车方法共有1680种 B．4辆车恰好停在同一行的方法有48种 C．2辆黑色车恰好相邻（停在同一行或同一列）的停车方法共有300种 D．相同颜色的车不停在同一行，也不停在同一列的方法有336种 巩固练习 题型 【巩固练习1】现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（    ） A．300 B．120 C．96 D．72 【巩固练习2】（2025·河北邯郸·一模）设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为，，，若，，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如251和121都是“峰型三位数”，在由0，1，2，3，4，5中的部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”的个数为 . 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江·期中）让2名男生和2名女生排到如图的位置中去，每人一格，则性别相同的人不在同一行也不在同一列的排法有 种（用数字作答）.      【巩固练习4】从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 【题型10】分组问题（消序） 解题技巧 注意消序，有n组数量相同就除以 （1）平均分成的组, 不管它们的顺序如何, 都是一种情况,所以分组后一定要除以 ( 为均分的组数), 避免重复计数. （2）不平均分组, 则不会出现重复计数的情况. 典型例题 【例题1】已知有4本不同的书.分成2堆，每堆2本，有________种不同的分堆方法？ 【例题2】（23-24·浙江·期中）8个人分成3人、3人、2人三组，共有（  ）种不同的分组方法. A．1120 B．840 C．560 D．280 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有________种不同的分堆方法？ 【巩固练习2】6本不同的书，分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有______种分法 【巩固练习3】现某处需要三组全民核酸检测人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成，则这9名检测人员分组方法种数为______；若志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名检测人员分组方法种数为______. 【题型11】分组分配问题 解题技巧 分组问题(分成几堆，无序)有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆(组)必须除以，如果有m堆（组）元素个数相同，必须除以． 完全均匀分组:每组的元素个数均相等,最后务必除以组数的阶乘. 部分均匀分组:注意不要重复,有 组均匀,最后必须除以 (或除以 ) 完全非均匀分组: 这种分组不必考虑重复现象. 典型例题 【例题1】提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方、每地至少派一人，则不同的选派方案共有　　 A．18种 B．12种 C．72种 D．36种 【例题2】（2024高二下·全国·专题练习）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即算筹）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､龟算､珠算､和计数.某学习小组有甲､乙､丙3人，该小组要收集九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（ ） A．240 B．300 C．420 D．540 巩固练习 题型 【巩固练习1】在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（　　） A．25种          B．50种         C．300种         D．150种 【巩固练习2】中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ） A．450种 B．360种 C．90种 D．70种 【巩固练习3】阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统．学生李华计划在高一年级每周一至周五每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》《三国演义》《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有 种．（用数字作答） 【巩固练习4】（2025·黑龙江·一模）现将1个红球、1个黄球、1个绿球及3个白球（白球之间没有区别）放入3个不同的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为 ．（用数字作答） 【题型12】有条件限制的分组分配问题 典型例题 【例题1】（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（    ） A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 【例题2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去公司，则不同的安排方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，，C三地参加防控工作，则下列说法正确的是                             （    ） A．不同的安排方法共有64种 B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种 C．若甲必须去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有12种 D．若甲､乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有14种 【巩固练习2】（2025·四川成都·二模）成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有 种. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东深圳·期中）安排甲、乙，丙、丁4位老师到三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所学校，则甲不去学校、乙不去学校工作的分配方案数为 种． 【巩固练习4】（23-24高二下·浙江·期中）每年的3月5日是学雷锋活动纪念日，某学校团委推荐甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加四个乡镇的志愿者服务，每个乡镇至少安排一人，且甲、乙两人安排在同一个乡镇，丙、丁两人不安排在同一个乡镇，则不同的分配方法总数为 ． 【题型13】古典概型中的排列组合问题 典型例题 【例题1】（24-25高三下·江苏扬州·期末）有5名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从5人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（     ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 . 【例题3】（2025·河北保定·一模）由一个1、两个2和三个3排列成一个六位数，则所有相同数字都不相邻的概率为 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为 ． 【巩固练习2】（24-25高二下·云南·开学考试）用这三个数字组成一个三位数（每个数字只能用一次），则这个三位数是偶数的概率为 . 【巩固练习3】（24-25高三上·天津·阶段练习）从甲、乙、丙等6人中选择3人去成都出差，则甲被选中，而乙没有被选中的概率为 . 【巩固练习4】（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）某校高三班第一小组有男生人，女生人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取人参加学校开展的劳动技能学习，恰有名男生参加劳动学习的概率为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ． 【巩固练习5】（23-24高二下·浙江温州·期末）现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人相邻，丙不排在周三的概率为 . 【题型14】最短路线问题 解题技巧 先确定步数，再利用组合数进行计算 典型例题 【例题1】如图为某地街道路线图，甲从街道的处出发，先到达处与乙会和，再一起去到处，则可以选择的最短路径条数为（    ）    A．20 B．18 C．12 D．9 【例题2】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有 种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有 种最短路径的走法． 巩固练习 题型 【巩固练习1】在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（    ） A．90 种 B．105 种 C．260种 D．315 种 【巩固练习2】方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【巩固练习3】（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的，，的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往地和地，小齐保持原地不动，则小明、小华、小齐三人能相遇的概率为 . 【题型15】逆向思维（至多至少，正难则反） 解题技巧 有些排列组合问题, 从正面直接考虑比较复杂, 可以尝试反其道而行, 先求出它的反面情况, 再从整体中将其减去. 如“至多”“最多”的问题：解这类问题必须十分重视“至多”“最多”这两个关键词的含义谨防重复与漏解，用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。 典型例题 【例题1】（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）（多选）在件产品中，有件合格品，件不合格品，从这件产品中任意抽出件，则（   ） A．抽出的件中恰好有件是不合格品的抽法有种 B．抽出的件中恰好有件是不合格品的抽法有种 C．抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有种 D．抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有种 【例题2】（24-25高二下·浙江台州·阶段练习）将东、方、理、想四个字排成一排，经过2次调换（每次调换其中的两个字的位置）能得到排列“东方理想”的排列有（    ） A．6个 B．8个 C．12个 D．24个 巩固练习 题型 【巩固练习1】某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少1名女生，则不同的选法种数为 . 【巩固练习2】某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 【巩固练习3】甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．65 B．73 C．70 D．60. 【题型16】定序问题 解题技巧 定序问题可以用倍缩法，还可以转化为占位插空模型处理 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素和其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数. 典型例题 【例题1】某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（       ） A．120种 B．80种 C．20种 D．48种 【例题2】五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，则不同的排法有_______种. 【例题3】（24-25高三上·浙江绍兴·期末）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】7人排队，其中甲、乙、丙 3 人顺序一定(可以相邻，也可以不相邻)，共有 种不同的排法． 【巩固练习2】《志存高远，勇担使命》主题联欢会节目表上有7个节目，如果保持开场歌舞还是第一个节目，尾曲《难忘今宵》还是最后一个节目，且其它五个节目相对顺序不变情况下，再加进去三个节目，则共有不同的安排方法（ ）种． A．120 B．146 C．226 D．336 【巩固练习3】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 【巩固练习4】甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有( ) A．72种 B．144种 C．360种 D．720种 【题型17】相同元素分配问题：挡板法 解题技巧 对于相同元素分配问题用挡板法，注意与常规分配问题进行区分 将 个相同的元素分成 份( 为正整数),每份至少一个元素,可以用 块隔板,插入 个元素排成一排的 个空隙中,共有 种分法. (运用隔板法要注意是相同元素) 典型例题 【例题1】把6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中,求下列方法的种数. (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子. (4)把15个相同的小球,放入这4个盒子中,要求盒中的球数不小于对应盒子的编号. 【例题2】将4个编号为1、的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求: (1)每个盒至少一个球,有多少种不同的放法? (2)恰好有一个空盒,有多少种不同的放法？ (3)每盒放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,有多少种不同的放法? (4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球(无编号),其余条件不变,恰有一个空盒,有多少种不同的放法? 【例题3】把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（    ）种 A．41 B．56 C．156 D．252 巩固练习 题型 【巩固练习1】个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ． 【巩固练习2】有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有_____多少种分配方案. 【巩固练习3】将 10 个完全相同的小球放入编号分别为 1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中球的个数不小于它的编号,则不同的放法种数为( ) A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【巩固练习4】将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（    ） 【巩固练习5】马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（    ） A．12 B．18 C．21 D．24 【题型18】元素配对问题(鞋子成双问题) 解题技巧 配对问题主要以鞋子或手套来作为命题对象，核心在于成双或不成双，.对于成双问题很容易思考，直接选取整双即可，对于不成双问题，要先取双，然后从每双中，取左右单只即可，难点和易错点在于不成双，一定要分两步思考，先取双，再取只. 典型例题 【例题1】某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的取法种数为________ 【例题2】从6双不同的鞋子中任取4只，恰是两双的选法有 种，恰有一双的选法有 种． 巩固练习 题型 【巩固练习1】从5双不同的袜子中取4只，使至少有2只袜子配成一双的可能取法种数为（    ） A．20 B．30 C．130 D．140 【巩固练习2】从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有 种不同的取法． 【巩固练习3】现有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，4只鞋子恰有两双的种数为 ，4只鞋子有2只成双，另2只不成双的种数为 . 重点题型巩固 1. （24-25高二下·甘肃武威·开学考试）第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是.（以下问题用数字作答） (1)若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？ (2)若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？ 2. （23-24高二下·浙江宁波·期中）甲、乙等6人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为 . 3. （23-24高二下·广东河源·期中）按要求列出式子，再计算结果，用数字作答． (1)在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽取3件． （i）共有多少种不同的抽法？ （ii）抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少种？ （iii）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ (2)现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法， 求：（i）甲、乙不能相邻；         （ii）甲、乙相邻且都不站在两端． 4. （23-24高二上·湖北武汉·期中）（多选）传承红色文化，宣扬爱国精神，东湖中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等6名同学新入方阵参加队列训练，则下列说法正确的是（    ） A．6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为120种 B．6名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为240种 C．6名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480种 D．6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有540种不同的安排方法 5. （23-24高二下·吉林·阶段练习）（多选）在主题为“爱我中华”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛（获奖名次不重复）、甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“甲、乙两人之中有一人的成绩为第三人名，丙的成绩不是第五名."根据这个回答，下列结论正确的有（    ） A．五人名次排列的所有情况共有36种 B．甲、乙的排名不相邻的所有情况共有24种 C．甲、乙的排名均高于丙的排名的所有情况共有8种 D．丙的排名高于甲的排名的所有情况共有24种 6. （23-24高二下·重庆·期中）某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，则4个语言类中恰有1个安排在3个歌舞类节目之间的概率为 ． 7. （23-24高二下·浙江·期中）2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ (3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 8. （23-24高二下·浙江温州·期中）有3名男生、3名女生，求在下列不同条件下各有多少种安排方法．（用具体数字回答） (1)全体排成一排，女生必须站在一起； (2)全体排成一排，3个男生中恰有两人相邻； (3)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边； (4)将这6人分配到3个班级且每个班级至少1人． 9. 在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（　　） A．25种          B．50种         C．300种         D．150种 10. 第届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都举行，组委会安排甲、乙等名工作人员去个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，且甲、乙人必须在一起，则不同的安排方法的种数为（    ） A． B． C． D． 11. 现有12张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法种数为（    ） A．84 B．172 C．160 D．230 $$专题2-2 排列与组合综合 总览 题型·解读 【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 20 / 48 学科网（北京）股份有限公司 模块一 排列数与组合数的计算 【题型1】排列数的计算 【题型2】组合数的计算 【题型3】组合数与排列数性质辨析 【题型4】排列数与组合数的相关证明 模块二 排列组合应用题 【题型5】排列与组合的辨析与应用 【题型6】相邻问题（捆绑法） 【题型7】不相邻问题（插空法） 【题型8】捆绑法与插空法结合 【题型9】位置有限制的排列问题 【题型10】分组问题（消序） 【题型11】分组分配问题 【题型12】有条件限制的分组分配问题 【题型13】古典概型中的排列组合问题 【题型14】最短路线问题 【题型15】逆向思维（至多至少，正难则反） 【题型16】定序问题 【题型17】相同元素分配问题：挡板法 【题型18】元素配对问题(鞋子成双问题) 重点题型巩固 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 排列数与组合数的计算 【题型1】排列数的计算 基础知识 概念梳理：排列数公式：=n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn. 典型例题 【例题1】若，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据排列数得到方程，求出答案. 【详解】由，得，解得． 【例题2】解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 【答案】(1)n=5，(2)x=8 【分析】（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果； （2）先利用排列数公式得到 ，从而得到，对根据排列数公式要求，求出的范围，进而求出结果. 【详解】（1）因为=2， 由，解得， 由原式可得，解得或或． 又因为，所以． （2）因为<6，由，解得且， 由原不等式可得，化简可得，解得， 又且，所以． 巩固练习 题型 【巩固练习1】可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的定义可得出答案． 【详解】 【巩固练习2】不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数公式计算即可. 【详解】由，得，解得， 所以不等式的解集是. 【巩固练习3】（多选）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用排列数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 【题型2】组合数的计算 基础知识 组合数公式 ①连乘表示：==.这里，n,m∈，并且mn. ②阶乘表示：=. 规定：=1. 1. 像排列数公式一样, 公式 一般用于计算; 而公式 及一般用于证明、解方程 (不等式)等. 2. 在解决与组合数有关的问题时, 要注意隐含条件“且 ”的运用. 3. 要注意公式 的逆向运用,可利用“”简化计算过程. 组合数的性质 (1)性质1：= 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后，剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2：=+ 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：=+. 典型例题 【例题1】（23-24高二下·浙江台州·期中）方程的解是 . 【答案】1或2 【分析】由组合数的性质求解即可. 【详解】由可得：或， 则：或， 解得：或或， 当时，显然不符合题意； 当时，则成立； 当时，则成立； 故或. 【例题2】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用组合数的性质求出的值，再利用组合数的性质可求得的值. 【详解】因为，则，解得， 故 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】若，则（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或3 【分析】根据组合数公式的性质求解即可. 【详解】因为，所以或，解得或. 【巩固练习2】若，则正整数的值为 ． 【答案】5或7 【分析】由组合数的性质得到，列出方程，求出答案. 【详解】由组合数性质：，可得，则， 所以或，解得或. 故答案为：5或7 【巩固练习3】解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或,(2) 【分析】（1）（2）根据组合数的性质以及公式即可求解. 【详解】（1）x为正整数， 由可得或， 故或，解得或或或（舍去）， 又均为整数，且， 所以或符合要求，不符合要求， 故或 （2）由组合数的性质可得， 所以由可得， 进而可得， 解得或（舍去），由于，所以，故只取，舍去 【题型3】组合数与排列数性质辨析 典型例题 【例题1】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断BD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以，C正确； 对于D，，D错误. 【例题2】（24-25高二上·江苏南京·期末）（多选）若，为正整数且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】对于A：根据组合数公式分析判断；对于B：根据组合数性质分析判断；对于CD：根据排列数公式分析判断. 【详解】因为，为正整数且， 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为， 则 ， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为 ， 所以，故D正确 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）（多选）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】CD 【分析】根据排列数和组合数的阶乘公式以及性质依次判断各个选项的正误即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确；故选：CD. 【巩固练习2】（多选题）下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用排列数公式，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江·期中）（多选）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，由排列组合数公式依次分析选项，综合可得答案. 【详解】根据题意，依次分析选项: 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确 【题型4】排列数与组合数的相关证明 典型例题 【例题1】证明： ． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式和运算性质，准确化简，即可求解. 【详解】证明 ： ．为了使上述结论在时也成立，我们规定． 由此可知，排列数公式还可以写成． 【例题2】证明：组合数性质； 【分析】利用组合数公式计算化简可证结论； 【详解】证明：+＝+ ＝＝ ＝＝＝； 巩固练习 题型 【巩固练习1】求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据排列数公式可得 【详解】． 【巩固练习2】已知，，. （1）求值：，(2)化简：. 【解题思路】（1）利用组合数的阶乘形式化简计算即可； （2）利用化简式子即可. 【解答过程】（1） ； （2）由（1）知，， 则. 【巩固练习3】已知m是自然数，n是正整数，且．求证： （1）；（2）． 【解题思路】代入阶乘公式，化简证明. 【解答过程】（1）根据组合数公式，可以得到． （2）根据组合数公式，可以得到 ． 模块二 排列组合应用题 【题型5】排列与组合的辨析与简单应用 基础知识 一、排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 二、组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 典型例题 【例题1】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．120种 【答案】D 【分析】利用排列的定义直接列式求解. 【详解】从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共（种）． 【例题2】某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试，其中，语文、数学这门课程同时入选的不同选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据题意可知，若语文、数学这门课程同时入选，则只需从剩余门课程中选择门即可，结合组合的知识，求解即可. 【详解】某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这门课程中选择门报名参加合格性考试， 若语文、数学这门课程同时入选，则只需从剩余门课程中选择门即可， 故不同选法共有种. 【例题3】（24-25高三上·浙江宁波·期末）（多选）从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，共有多少种选择方式，下列各式表述正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】应用分步乘法原理结合组合数计算即可. 【详解】从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞， 先从40个能歌善舞的人中选择15个人有种选择，再从15个人参加艺术节表演中选择7个人唱歌有种选择，剩下的8人跳舞，共有种选择方式，A选项正确； 先从40个能歌善舞的人中选择7个人唱歌有种选择，再从剩下33个人中选择8个人跳舞有种选择，共有种选择方式，B选项正确； 先从40个能歌善舞的人中选择8个人跳舞有种选择，再从剩下32个人中选择7个人跳舞有种选择，共有种选择方式，C选项正确； 不能满足从40个能歌善舞的人中选择15个人参加艺术节表演，其中7个人唱歌，8个人跳舞，D选项错误 巩固练习 题型 【巩固练习1】从5本不同的书中选出3本分别送3位同学每人一本，不同的方法总数是（    ） A．10 B．60 C．243 D．15 【答案】B 【详解】不同的方法总数是 【巩固练习2】将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰好有两个空盒的方法数为（    ） A．18 B．84 C．24 D．120 【答案】A 【分析】由题意符合要求的情况可分为“其中一个盒子中放入1个小球，另一个盒子中放入3个小球”、“两个盒子中均放入2个小球”两种情况，再结合排列、组合的知识即可得解. 【详解】将4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰好有两个空盒，可分为两种情况：其中一个盒子中放入1个小球，另一个盒子中放入3个小球，共有种方法；两个盒子中均放入2个小球，共有种方法；所以符合要求的方法数为. 【巩固练习3】若6个人分4张无座的足球门票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是（    ） A． B． C．15 D．360 【答案】C 【解析】根据组合的定义，结合组合数公式进行计算求解即可. 【详解】因为是无座的足球门票，所以可以看成相同的元素，因此可以看成组合问题， 则有. 【题型6】相邻问题（捆绑法） 基础知识 对于某几个元素相邻的排列问题，可先将相邻的元素捆绑，再将它与其它元素在一起排列，注意捆绑部分的内部顺序。 典型例题 【例题1】某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为( ) A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】C 【解析】先安排甲､乙相邻，有种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列， 故有排法种数为.故选：C 【例题2】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有________种 【答案】24 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式 巩固练习 题型 【巩固练习1】为了响应国家号召，预防新冠病毒的传播，7位高龄老人排队注射新冠疫苗，要求甲、乙、丙相邻，且乙在甲与丙的中间，则共有种不同的排列方法 . 【答案】240 解析：依题意得，不同的排队方法有种.故填：. 【巩固练习2】甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【解析】将甲和乙看作一个整体，有种方法，将丁、戊和甲乙的整体首先安排到两端，则有种方法，再安排丙和剩余的人，有有种方法，根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 【巩固练习3】（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）现有三对双胞胎共6人排成一排，则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是（    ） A．180 B．240 C．288 D．300 【答案】C 【分析】将6人进行编号，先选择一对双胞胎令其相邻，且两人可内部排列，故有种，再就这对双胞胎分别站的位置进行分类求解，结合分类加法计数原理进行求解. 【详解】将6人进行编号，分别为，其中为双胞胎，为双胞胎，为双胞胎， 从左到右站位，分别为， 先从3对双胞胎中选择一对令两人相邻，且两人可内部排列，故有种选择， 再依次进行求解，若这对双胞胎分别站在位，此时3号位可以从剩余的4人中进行选择， 那么4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人，号位置将固定排剩余2人， 此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在位，则1号位置有4种选择，4号位可以从剩余的双胞胎中选择1人， 位置将固定排剩余2人，此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在位，则2号位置有4种选择，1号位可以从剩余的双胞胎中选择1人， 位置可将剩余2人进行全排列，此时共有种选择， 若这对双胞胎分别站在或，可利用同种方法得到共有种选择， 综上，共有种排法. 【题型7】不相邻问题（插空法） 解题技巧 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可 典型例题 【例题1】某种产品的加工需要经过道工序，如果工序C，D必须不能相邻，那么有______种加工顺序 【答案】72 【分析】先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空. 【详解】先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将C，D这2道工序插空，有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序. 【例题2】（2024·浙江金华·三模）在义乌，婺剧深受民众喜爱.某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法总数是（    ） A．36 B．48 C．60 D．72 【答案】C 【分析】间接法，先求出小生和老生不相邻的情况，再减去老旦排在最右边的情况，即可得解. 【详解】首先按照小生和老生不相邻的要求共有种排法，其中老旦排在最右边情况，左侧4个位置，先排花旦、正旦有，由此所成的3个空中将小生、老生插入有，所以排法有种，所以满足题意的不同排法总数是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（    ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 【分析】先捆绑，再全排列后插空得出加工顺序. 【详解】先捆绑再和排列，然后插入共有种排法． 【巩固练习2】夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有 种. 【答案】12 【分析】先将心电图、血压测量两项全排列，再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，最后将抽血放在第一位即可. 【详解】解：由题意得：将心电图、血压测量两项全排列，有种情况， 再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，有种情况 最后将抽血放在第一位，有1种情况，所以共有种情况 【巩固练习3】（24-25高三下·青海海东·阶段练习）现有高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1本．若把这5本教材从左到右放置书架的某一层内（该层无其他书籍），要求选择性必修第三册不放最左端，必修第一册不放最右端，选择性必修第一册、选择性必修第二册不相邻，则这5本教材放置顺序共有 种． 【答案】 【分析】利用正难则反的解题思路，根据容斥原理求得不符合题意的情况数，可得答案. 【详解】由题意，设高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材分别为， 五本书随机排列的情况数为； 若放在最左端，则情况数为，若放在最右端，则情况数为， 若相邻，则情况数为， 若放在最左端，且放在最右端，则情况数为， 若放在最左端，且相邻，则情况数为， 若放在最右端，且相邻，则情况数为， 若放在最左端，放在最右端，相邻，则情况数为， 不符合题意的情况数为， 符合题意的情况数为. 【题型8】捆绑法与插空法结合 典型例题 【例题1】（24-25高二上·安徽亳州·期末）数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有 种. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题，再结合不相邻列式求解. 【详解】依题意，排，相邻且站在正中间，有种站法； 再排，不相邻，而两侧各有2个位置，即不在同侧， 在两侧各取1个位置再排列，共有种站法， 最后排有种站法， 所以不同的站法共有（种）. 【例题2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）2024年4月26日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有（    ） A．16种 B．32种 C．48种 D．64种 【答案】B 【分析】先排两位指令长，然后用四名宇航员的排列总数减去“80后”， “90后”相邻的排法，即可求解. 【详解】两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，有种排法， 剩下的四名宇航员共有种排法，其中两位“80后”彼此相邻，两位“90后”彼此相邻且分别在左侧或右侧的排法共有种， 所以两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80后”彼此不相邻，两位“90后”彼此不相邻，则不同的站法共有种. 【例题3】有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有 　 　种．（结果用数字作答） 【答案】36 【详解】方法一：先排杂技和唱歌共有种排法，再将相声、跳舞看成一个元素有种排法，排完的杂技和唱歌这俩个节目有3个空，从3个空位中选2个排相声、跳舞捆绑成的一个元素和小品，有种排法，故有（错了，插空的时候相声和跳舞可以在同一个空里头） 【修改】有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且均不与跳舞相邻的节目单有 　 　种．（结果用数字作答） 方法二：相声，跳舞看成一体，与唱歌，杂技全排列，共有种， 3个节目有4个空，除去相声旁边的那个空，剩下3个空，小品选其一，有种，故共种． 方法三：从反面考虑相声跳舞相邻是，减去小品相声相邻的,48-12=36 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高二下·浙江·期中）已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（    ） A．144 B．288 C．576 D．720 【答案】C 【分析】利用捆绑法和插空法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】先将教师甲和学生乙捆绑成一个元素，与另外3名学生全排列，则有种方法， 再将剩下的两名教师插入除去与教师甲相邻的四个空位中，有种方法， 所以由分步乘法计数原理可知共有种不同的排法 【巩固练习2】哈尔滨冰雪大世界是享誉国内外的冬季旅游胜地，2024年年初，来自南方的六位南方“小土豆”打卡冰雪大世界，在标志性建筑冰雪城堡前站成一排合影留念，若要求，相邻，A与不相邻，则不同的排队方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．288 【分析】相邻问题利用捆绑法，不相邻问题利用插空法，再利用分步计数原理计算. 【详解】先将捆绑在一起与排，有种排法，然后在三者排好后形成的4个空中插入两人，有种方法， 由分步计数原理得共有种排列方法.故A，B，D错误. 【巩固练习3】把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有____________种. 【答案】36 【详解】试题分析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种. 【巩固练习4】“四书” “五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，将《大学》《论语》捆绑和《周易》看作两个元素，采用插空法排列，根据分步乘法计数原理，可得答案. 【详解】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座， 共有种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有种排法， 排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位， 从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有种排法， 故总共有种排法 【巩固练习5】现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且甲、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有______种．（用数字作答） 【答案】192 【详解】方法一：先去掉甲、乙、丁，排剩下3人共有种排法，再将相声、跳舞看成一个元素有种排法，排完的3人有4个空，若从4个空位中选2个排甲、乙捆绑成的一个元素和小品，有种排法，即；若从4个空位中选1个排甲、乙、丁，则有8种方法，即 综上，共有种 方法二：先去掉丁，再把甲，乙看成一体，与其他三人全排列，共有种， 有5个空，除去甲旁边的那个空，剩下4个空，丁选其一，有种，故共种． 方法三：从反面考虑甲、乙相邻是，减去甲、乙相邻且甲、丁相邻的,240-48=192 【题型9】元素（位置）有限制的排列组合问题 解题技巧 某个或某几个元素要或不要排在指定位置, 可先排这个或这几个元素, 再排其他的元素 (元素优先法): 也可针对特殊元素, 先把指定位置安排好元素, 再排其他的元素 (位置优先法). 典型例题 【例题1】（2024·广东深圳·二模）已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有（    ） A．72种 B．96种 C．144种 D．288种 【答案】C 【分析】根据题意分别求出甲是第一，乙是第一的可能情况，再利用分类加法计数原理计算即可. 【详解】由题意，丙可能是4，5，6名，有3种情况， 若甲是第一名，则获得的名次情况可能是种， 若乙是第一名，则获得的名次情况可能是种， 所以所有符合条件的可能是种. 【例题2】（23-24高二下·湖北武汉·期中）学校将从4男4名女中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．要求甲乙同时入选或同时不入选．不同组队形式有（   ）种． A．480 B．360 C．570 D．540 【答案】C 【分析】甲乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解，甲乙同时不入选时，直接从6人中选4人排列即可得，结合分类加法原理计算． 【详解】甲乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解，甲乙同时不入选时，直接从6人中选4人排列即可得． 因此所求方法数为 【例题3】（23-24高二下·广东广州·期中）（多选）如下，某高速服务区停车场中有至共8个停车位（每个车位只能停一辆车），现有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则（    ） A．4辆车的停车方法共有1680种 B．4辆车恰好停在同一行的方法有48种 C．2辆黑色车恰好相邻（停在同一行或同一列）的停车方法共有300种 D．相同颜色的车不停在同一行，也不停在同一列的方法有336种 【答案】ABD 【分析】对于A，全排列即可；对于B，在一行全排列，再乘即可；对于C，算出停在同一行或同一列方法，再乘即可；对于D，安排好一种颜色的车，在安排另一种颜色即可. 【详解】对于A，4辆车的停车方法共有(种)，故A正确； 对于B，4辆车恰好停在同一行的方法有(种)，故B正确； 对于C，2辆黑色车相邻且停在同一行有6种，停在同一列有4种，黑色车的停车方法共有(6+4)种， 白色车的停车方法共有种，故共有(6+4)(种)方法，故C错误； 对于D，相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，第一辆黑色车8个车位都可停车， 第二辆黑色车只能有3个车位可停车，黑色车共有种方法， 不妨设黑色车停在两个车位，则两白色车只能停共7种选择， 白色车的停车方法共有种方法，故共有（种）方法，故D正确. 巩固练习 题型 【巩固练习1】现要从这5人中选出4人安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，那么一共有多少种不同的安排方法？（    ） A．300 B．120 C．96 D．72 【分析】由分类计数加法原理计算即可． 【详解】若未被选中，则有种安排方法， 若被选中，则有种安排方法， 故共有种安排方法 【巩固练习2】（2025·河北邯郸·一模）设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为，，，若，，则称这个三位数为“峰型三位数”，例如251和121都是“峰型三位数”，在由0，1，2，3，4，5中的部分数字组成的三位数中，“峰型三位数”的个数为 . 【答案】40 【分析】根据给定条件，利用“峰型三位数”是否含有数字0分类，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】①若“峰型三位数”由三个不同的数字组成： 当“峰型三位数”含有数字0时，0必为个位，再从余下5个数字中任取两个，大的数字为十位，有种方法； 当“峰型三位数”没有数字0时，从除0外的5个数字中任取3个，最大数字作十位，有种方法， 此时，“峰型三位数”的个数为； ②若“峰型三位数”由两个不同的数字组成，则一定不包含0，此时共有种方法； 综上，“峰型三位数”的个数为. 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江·期中）让2名男生和2名女生排到如图的位置中去，每人一格，则性别相同的人不在同一行也不在同一列的排法有 种（用数字作答）.      【答案】336 【分析】先安排第一行一男一女，安排第二行时，考虑同列与不同列，即可根据分步乘法技术原理求解. 【详解】由题意可知：第一行安排一男一女，第二行也安排一男一女， 第一步：从2名男生和2名女生中分别选一男一女安排到第一行，此时共有种方法， 第二步：从第二行中选择一个位置安排另一个男生， 若该男生与第一行的女生同列，则另一个女生有3种安排方法， 若该男生与第一行的女生不同列，则有2种方法安排该男生，最后一名女生也有2种方法安排， 故共有种方法安排剩余的一男一女， 因此总的方法有种安排 【巩固练习4】从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 【分析】分甲被选中和甲没被选中两种情况，结合排列数公式即可求解. 【详解】当甲被选中时，不同的选派方案有种； 甲没被选中时，不同的选派方案有种. 故满足条件的不同的选派方案有种. 【题型10】分组问题（消序） 解题技巧 注意消序，有n组数量相同就除以 （1）平均分成的组, 不管它们的顺序如何, 都是一种情况,所以分组后一定要除以 ( 为均分的组数), 避免重复计数. （2）不平均分组, 则不会出现重复计数的情况. 典型例题 【例题1】已知有4本不同的书.分成2堆，每堆2本，有________种不同的分堆方法？ 【答案】3 【分析】根据题意先对4本书进行分组，因为平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以，进而求解. 【详解】4本书平均分成2堆，所以不同的分堆方法的种数为. 【例题2】（23-24高二下·浙江·期中）8个人分成3人、3人、2人三组，共有（  ）种不同的分组方法. A．1120 B．840 C．560 D．280 【答案】D 【分析】根据平均分组求法即可求解. 【详解】根据题意，分组方法数为种 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有________种不同的分堆方法？ 【答案】15 【分析】根据题意先对6本书进行分组，因为平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以，进而求解. 【详解】6本书平均分成3堆， 所以不同的分堆方法的种数为. 【巩固练习2】6本不同的书，分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有______种分法 【答案】60 【分析】根据不平均分组即可求解， 【详解】先从6本书中任取1本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有种取法，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，有种取法，故共有分法种. 【巩固练习3】现某处需要三组全民核酸检测人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成，则这9名检测人员分组方法种数为______；若志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名检测人员分组方法种数为______. 【答案】60，18 【详解】（1）志愿者分组情况有种，搭配3名医生有种；（2）志愿者分组情况有种，搭配3名医生有种. 【题型11】分组分配问题 解题技巧 分组问题(分成几堆，无序)有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆(组)必须除以，如果有m堆（组）元素个数相同，必须除以． 完全均匀分组:每组的元素个数均相等,最后务必除以组数的阶乘. 部分均匀分组:注意不要重复,有 组均匀,最后必须除以 (或除以 ) 完全非均匀分组: 这种分组不必考虑重复现象. 典型例题 【例题1】提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲、乙、丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方、每地至少派一人，则不同的选派方案共有　　 A．18种 B．12种 C．72种 D．36种 【解答】解：将4名教师分成3个组有种分法，再将3个组的教师分到甲、乙、丙三地共有种分法，所以共有36种选派方案， 【例题2】（2024高二下·全国·专题练习）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即算筹）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､龟算､珠算､和计数.某学习小组有甲､乙､丙3人，该小组要收集九宫算､运筹算､了之算､成数算､把头算､珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（ ） A．240 B．300 C．420 D．540 【答案】D 【分析】根据题意，结合分组分配问题，结合排列组合，即可求解. 【详解】根据题意，将6种算法分成3组，有1，1，4一组，有1，2，3一组，以及2，2，2一组， 然后将这3组分配给甲乙丙三个人， 所以不同的分配方案有. 巩固练习 题型 【巩固练习1】在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（　　） A．25种          B．50种         C．300种         D．150种 【答案】D 【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可. 【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种； 当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种. 综上，选法共有. 【巩固练习2】中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ） A．450种 B．360种 C．90种 D．70种 【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得. 【详解】由题知，6名航天员安排三舱， 三舱中每个舱至少一人至多三人， 可分两种情况考虑： 第一种：分人数为的三组，共有种； 第二种：分人数为的三组，共有种； 所以不同的安排方法共有种. 【巩固练习3】阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统．学生李华计划在高一年级每周一至周五每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》《三国演义》《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有 种．（用数字作答） 【答案】240 【分析】根据分步乘法原理结合组合数及排列数计算即可求解. 【详解】 将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有种分配方法， 由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有（种）． 【巩固练习4】（2025·黑龙江·一模）现将1个红球、1个黄球、1个绿球及3个白球（白球之间没有区别）放入3个不同的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为 ．（用数字作答） 【答案】24 【分析】把6个小球按2个球一组分成3组，再放到3个不同盒子即可. 【详解】把6个小球按2个球一组分成3组，有两类分法：每个盒子放入一个白球，有1种方法； 有2个白球放入一个盒子，有种方法，再将分成的3组放入3个盒子有种方法， 所以不同的放法种数为. 【题型12】有条件限制的分组分配问题 典型例题 【例题1】（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（    ） A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 【答案】B 【分析】先分配语文老师，再把数学体育老师按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解； 【详解】两名语文老师由种分配方程； 数学老师按1，2分，则体育老师按2，1分， 或数学老师按2，1分，则体育老师按1，2分，共有, 所以不同的分配方案有 【例题2】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到、、三个公司进行社会实践，要求每个公司都要有大学生去，且甲和乙都不能去公司，则不同的安排方式有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】对公司去的学生人数进行分类讨论，结合分类和分步计数原理可得结果. 【详解】因为甲和乙都不能去公司，对公司去的学生人数进行分类讨论： 若去公司只有个人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司， 此时有种不同的安排方式； 若去公司有人，有种情况，然后将剩余人分为两组，再将这两组分配给、两个公司， 此时有种不同的安排方式； 若去公司有人，只需将甲、乙两人分配给、公司即可，每个公司个人， 此时有种不同的安排方式. 由分类加法计数原理可知，不同的安排方式种数为种. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（多选）为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，，C三地参加防控工作，则下列说法正确的是                             （    ） A．不同的安排方法共有64种 B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种 C．若甲必须去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有12种 D．若甲､乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有14种 【答案】BCD 【分析】四人到三地去，一人只能去一地，用人选地的方法，由分步乘法原理计数；若恰有一地无人去，可先选无人去的一地然后4人去剩下的二地进行计数；若甲必须去A地，且每地均有人去，剩下3人按一地去一人，或只去两地计数；若甲､乙两人都不能去A地，且每地均有人去，可先按地是去丙丁中的1人或2人分类，剩下的人安排去两地进行计数，从而判断各选项． 【详解】四人到三地去，一人只能去一地，方法数为，A错； 若恰有一地无人去，则不同的安排方法数是，B正确； 若甲必须去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法数为，C正确； 若甲､乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法数为，D正确． 【巩固练习2】（2025·四川成都·二模）成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有 种. 【答案】88 【分析】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况，由排列组合以及分类加法计数原理即可求解. 【详解】按照甲，乙是否在“传奇”主会场划分情况： ①甲，乙有且只有1人在主会场，需要在除甲，乙外的四人中选两人去主会场， 剩下的三人去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案； ②甲，乙都不在主会场，从甲，乙外的四人中选三人去主会场， 再将甲，乙安排去剩下的“传承”，“扬辉”两个分会场，且一人去一个分会场， 剩下一人可以去“传承”，“扬辉”两个分会场，有（种）不同的安排方案. 根据分类加法计数原理，共有（种）不同的安排方案. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东深圳·期中）安排甲、乙，丙、丁4位老师到三所学校工作，要求每所学校都有人去，每人只能去一所学校，则甲不去学校、乙不去学校工作的分配方案数为 种． 【答案】17 【分析】由分类加法和分步乘法计数原理计算即可． 【详解】当甲去学校时，若学校有2位老师时，有种，若或学校有2位老师时，有种，共有种不同选法， 当甲去学校时，若甲乙去学校，有种不同选法，若甲去学校乙去学校，有种不同选法，共有种不同选法， 所以共有种 【巩固练习4】（23-24高二下·浙江·期中）每年的3月5日是学雷锋活动纪念日，某学校团委推荐甲、乙、丙、丁、戊、己六名同学参加四个乡镇的志愿者服务，每个乡镇至少安排一人，且甲、乙两人安排在同一个乡镇，丙、丁两人不安排在同一个乡镇，则不同的分配方法总数为 ． 【答案】216 【分析】按照先分组再分配的步骤安排分配方法. 【详解】第一步，将六名志愿者分成4组，要求甲、乙在同一组，戊、己不在同一组， 若分为3，1，1，1的四组，甲、乙必须在3人组，有种分组方法， 若分为2，2，1，1的四组，甲、乙必须在两人组，有种分组方法， 则一共有种分组方法： 第二步，将分好的四组全排列，分配到4个乡镇，有种，故总的分配方法有种． 【题型13】古典概型中的排列组合问题 典型例题 【例题1】（24-25高三下·江苏扬州·期末）有5名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从5人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设其中一个人连续参加两天服务求得总共的排列数，从而知道恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数.再由分步计数求出总排列数.再由古典概型求得概率》 【详解】不妨记五名志愿者为 ，假设a 连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有 种方法， 同理：连续参加了两天社区服务，也各有12 种方法， 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有 种. 总的情况数为 种. 故恰有1人连续参加两天服务的概率为 . 【例题2】（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 . 【答案】 【分析】分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意； 基本事件总数显然是，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为. 【例题3】（2025·河北保定·一模）由一个1、两个2和三个3排列成一个六位数，则所有相同数字都不相邻的概率为 . 【答案】 【分析】求出由一个1，两个2和三个3排列成一个六位数字的情况数，分三个3之间的两个位置只有两个2和三个3之间的两个位置只有一个1和一个2两种情况数，求出三个3之间的两个位置中，其中一个位置有一个1和一个2，另一个位置为2的情况数，据此即可求解. 【详解】由一个1，两个2和三个3排列成一个六位数字共有种结果， 若三个3之间的两个位置只有两个2， 有132323和323231两种， 若三个3之间的两个位置只有一个1和一个2， 有四种， 若三个3之间的两个位置中， 其中一个位置有一个1和一个2，另一个位置为2， 有312323，四种， 共10种结果，所以其概率. 巩固练习 题型 【巩固练习1】大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为 ． 【答案】 【分析】由计数原理确定总的分配方法，再确定小明恰好分配到甲村小学的分配方法，由古典概型概率公式即可求解； 【详解】依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有（种）分配方法， 若小明恰好分配到甲村小学，有（种）分配方法， 根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为． 【巩固练习2】（24-25高二下·云南·开学考试）用这三个数字组成一个三位数（每个数字只能用一次），则这个三位数是偶数的概率为 . 【答案】 【分析】将所有情况列出即可求解. 【详解】0不能在首位，则三个数可组成的三位数总数为：个(102,120,201,210)， 其中是偶数的有：102,120,210共三个，所以三位数为偶数的概率为. 【巩固练习3】（24-25高三上·天津·阶段练习）从甲、乙、丙等6人中选择3人去成都出差，则甲被选中，而乙没有被选中的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意得到共有种情况，甲被选中，而乙没有被选中共有种情况，再利用古典概型公式计算即可. 【详解】甲、乙、丙等6人中选择3人去成都出差，共有种情况， 甲被选中，而乙没有被选中共有种情况，所以甲被选中，而乙没有被选中的概率为. 【巩固练习4】（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）某校高三班第一小组有男生人，女生人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取人参加学校开展的劳动技能学习，恰有名男生参加劳动学习的概率为 ；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率 ． 【答案】 【分析】根据古典概型概率公式，即可求解第一空，根据条件概率的计算公式，结合排列组合即可求解第二空. 【详解】从个人中任选人，全部情况有种， 恰好有两名男生的情况有， 故恰有名男生参加劳动学习的概率为， 有女生参加劳动学习的情况有种， 恰有一名女生参加劳动学习的情况有， 故在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率为 故答案为：， 【巩固练习5】（23-24高二下·浙江温州·期末）现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人相邻，丙不排在周三的概率为 . 【答案】 【分析】利用捆绑法和间接法的原则，先求满足条件的方法种数，再根据古典概型概率公式，即可求解. 【详解】先将甲、乙两人捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排， 再减去丙排在周三的排法即可求得所求事件的不同排法. 所以不同排法的种数为，又5位教师从周一到周五的常规值班一共有种方法，所以教师不站两端，且甲、乙相邻的概率. 【题型14】最短路线问题 解题技巧 先确定步数，再利用组合数进行计算 典型例题 【例题1】如图为某地街道路线图，甲从街道的处出发，先到达处与乙会和，再一起去到处，则可以选择的最短路径条数为（    ）    A．20 B．18 C．12 D．9 【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合组合应用问题求解即得. 【详解】计算最短路径条数需要两步，从到的最短路径条数为，从到的最短路径条数为， 所以可以选择的最短路径条数为. 【例题2】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有 种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有 种最短路径的走法． 【答案】 【分析】小张从处出发选择最短路径前往处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走条街道．因此只需从条街道里面选择条街道向右走和条街道向上走即可；同理先求出从处出发选择最短路径前往处的种数，再求从处出发选择最短路径前往处的种数，根据分布乘法计数原理求解即可. 【详解】小张从处出发选择最短路径前往处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走条街道． 所以从处出发选择最短路径到达处一共有种走法； 同理，从处到达处有种走法，从处到达处有种走法， 所以根据分步乘法计数原理，小张每天早上上班途经街道处的最短路径走法有种． 故答案为：210，90 巩固练习 题型 【巩固练习1】在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（    ） A．90 种 B．105 种 C．260种 D．315 种 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理以及组合数的计算求得正确答案. 【详解】由题可知，不同的路线有种． 【巩固练习2】方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解析】由题意可知，从到最少需要步完成，其中有步是横向的，步是纵向的，步是竖向的， 则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种. 【巩固练习3】（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）如图，这是整齐的正方形道路网，其中小明、小华，小齐分别在道路网臂的，，的三个交汇处，小明和小华分别随机地选择一条沿道路网的最短路径，以相同的速度同时出发，去往地和地，小齐保持原地不动，则小明、小华、小齐三人能相遇的概率为 . 【答案】 【分析】利用组合计数问题求出小明和小华各自到达目的地的试验含有的基本事件种数，再求出小明、小华、小齐三人能相遇的事件含有的基本事件数即得解. 【详解】小明从A到B的不同路径共有种，小华从B到A的不同路径共有种， 因此小明和小华各自到达目的地的试验有个基本事件， 小明经过到达目的地的不同路径有，小华经过到达目的地的不同路径有， 因此小明、小华、小齐三人能相遇的事件有个基本事件， 所以小明、小华、小齐三人能相遇的概率为. 【题型15】逆向思维（至多至少，正难则反） 解题技巧 有些排列组合问题, 从正面直接考虑比较复杂, 可以尝试反其道而行, 先求出它的反面情况, 再从整体中将其减去. 如“至多”“最多”的问题：解这类问题必须十分重视“至多”“最多”这两个关键词的含义谨防重复与漏解，用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。 典型例题 【例题1】（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）（多选）在件产品中，有件合格品，件不合格品，从这件产品中任意抽出件，则（   ） A．抽出的件中恰好有件是不合格品的抽法有种 B．抽出的件中恰好有件是不合格品的抽法有种 C．抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有种 D．抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有种 【答案】ACD 【分析】利用分步乘法计数原理，结合组合数计算可得A正确B错误；对于“至少有件是不合格品”的抽法，C用直接法先分类再分步计算，D用间接法（排除法），先从100个产品中任选3件，再排除3件都是合格品，故CD都正确. 【详解】对于A、B，抽出的件中恰好有件是不合格品，则包括一件不合格品和两件合格品，共有种抽取方法，故A正确B错误； 对于C、D，抽出的件中至少有件是不合格品，可以分为“有件是不合格品”和“有2件是不合格品”两种情况，“有件是不合格品”有种抽取方法，“有2件是不合格品”有种抽取方法，所以共有种抽取方法. 故C正确. 另外，“至少有件是不合格品”的对立事件是“3件都是合格品”，其抽取方法有种，所以，抽出的件中至少有件是不合格品的抽取方法有种.故D正确. 【例题2】（24-25高二下·浙江台州·阶段练习）将东、方、理、想四个字排成一排，经过2次调换（每次调换其中的两个字的位置）能得到排列“东方理想”的排列有（    ） A．6个 B．8个 C．12个 D．24个 【答案】C 【分析】逆向考查，将“东方理想”的排列经过两次调换可得多少种不同的排列. 【详解】逆向考虑由东方理想经过两次调换可以得到几种不同的排列， 第一次调换其中两个字的位置有种， 第二次调换分三种情况： 一是调换另外两个字有1种， 二是第一次调换的两个字互换有1种， 三是将第一次调换中的一个字与另外两个字中的一个调换有2种， 则一共有种， 因会有重复的，如第一次调换后得“方东理想”，第二次调换后得“方东想理”，与第一次调换后得“方东想理”，第二次调换后得“方东理想”相同， 故共有种 巩固练习 题型 【巩固练习1】某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少1名女生，则不同的选法种数为 . 【答案】 【分析】直接利用组合知识分步计算即可. 【详解】由已知可得六名同学选三名同学有种方法，而全选男生的有种方法， 所以至少一名女生的方法有种方法. 【巩固练习2】某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种． 【答案】474. 【分析】采用间接法，首先求解出任意安排节课的排法种数；分别求出前节课连排节和后节课连排3节的排法种数；作差即可得到结果. 【详解】从节课中任意安排节共有：种 其中前节课连排节共有：种；后节课连排3节共有：种 老师一天课表的所有排法共有：种 【巩固练习3】甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（    ） A．65 B．73 C．70 D．60. 【答案】A 【解析】根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，且每人只能去一个地方， 则每人有3种选择，则4人一共有种情况， 若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼､东湖， 每人有2种选择方法，则4人一共有种情况， 故汉口江滩一定要有人去有种情况 【题型16】定序问题 解题技巧 定序问题可以用倍缩法，还可以转化为占位插空模型处理 对于某几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素和其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数. 典型例题 【例题1】某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（       ） A．120种 B．80种 C．20种 D．48种 【答案】C 【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为． 故选：C． 【例题2】五个人并排站在一排，如果甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)，则不同的排法有_______种. 【答案】 【分析】用5个元素的全排列个数除以2各元素的全排列个数可得答案. 【详解】五个人并排站在一排，共有种， 其中甲、乙两人共有种顺序，各占一半， 所以甲必须站在乙的右边(甲乙可不相邻)的不同的排法有种， 【例题3】（24-25高三上·浙江绍兴·期末）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对箱子进行编号，根据定序问题解法得到答案. 【详解】如下图所示，对集装箱进行编号， 则可知1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走， 4号箱子一定在5号箱子前被取走，5号箱子一定在6号箱子前被取走， 根据定序问题用除法得到不同取法的种数为， 故选：C.    巩固练习 题型 【巩固练习1】7人排队，其中甲、乙、丙 3 人顺序一定(可以相邻，也可以不相邻)，共有 种不同的排法． 【答案】840 【分析】利用排列求出不同的排法总数. 【详解】对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列， 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有种不同的方法． 故答案为：840. 【巩固练习2】《志存高远，勇担使命》主题联欢会节目表上有7个节目，如果保持开场歌舞还是第一个节目，尾曲《难忘今宵》还是最后一个节目，且其它五个节目相对顺序不变情况下，再加进去三个节目，则共有不同的安排方法（ ）种． A．120 B．146 C．226 D．336 【答案】D 【解析】去掉首尾，问题等价于排8个节目中安排3个节目，还有5个节目相对顺序固定，故有种方法 【巩固练习3】（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种. 【答案】 【分析】利用捆绑法结合倍缩法可得出不同的下锅顺序种数. 【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅， 所以，不同的下锅顺序种数为种. 【巩固练习4】甲、乙、丙、丁、戊、己六人按一定的顺序依次抽奖，要求甲排在乙前面，丙与丁不相邻且均不排在最后，则抽奖的顺序有( ) A．72种 B．144种 C．360种 D．720种 【答案】B 【解析】第一步先排甲、乙、戊、己，甲排在乙前面，则有种，第二步再将丙与丁插空到第一步排好的序列中，但注意到丙与丁均不排在最后，故有4个空可选，所以有中插空方法，所以根据分步乘法计数原理有种.故选：B. 【题型17】相同元素分配问题：挡板法 解题技巧 对于相同元素分配问题用挡板法，注意与常规分配问题进行区分 将 个相同的元素分成 份( 为正整数),每份至少一个元素,可以用 块隔板,插入 个元素排成一排的 个空隙中,共有 种分法. (运用隔板法要注意是相同元素) 典型例题 【例题1】把6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中,求下列方法的种数. (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子. (4)把15个相同的小球,放入这4个盒子中,要求盒中的球数不小于对应盒子的编号. 【答案】(1)10(2)40(3)30(4)56 【详解】(1)解:先把6个相同的小球排成一行,在首尾两球外侧放置一块隔板,然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板,共有(种)方法. (2)解:恰有一个空盒子,插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板,并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板,如,有种插法；然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒,如,有种插法,故共有(种)方法. (3)解:恰有两个空盒子,插板分两步进行.先在首尾两球外侧放置一块隔板,并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板,有种插法, 如,然后将剩下的两块隔板插入形成空盒. ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子,如000000,有种插法.②将两块板与前面三块板之一并放,如,有种插法.故共有(种)方法. (4)分两步:第一步先将2号盒子放入1个球,3号盒子放入2个球,4号盒子放入3个球, 第二步:接下来将剩下的9个球放入到4个盒子中,不能有盒子不放,用隔板法,9个球不算两端,形成8个空,插入3个板,形成4组,则放法有种. 【例题2】将4个编号为1、的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求: (1)每个盒至少一个球,有多少种不同的放法? (2)恰好有一个空盒,有多少种不同的放法？ (3)每盒放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,有多少种不同的放法? (4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球(无编号),其余条件不变,恰有一个空盒,有多少种不同的放法? 【答案】(1)24(2)144(3)8(4)12 【详解】(1)根据题意知,每个盒子里有且只有一个小球,所求放法种数为(种); (2)先将4个小球分为3组,各组的球数分别为2、1、1,然后分配给4个盒子中的3个盒子, 由分步乘法计数原理可知,所求的放法种数为(种); (3)考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球,则其它3个球均未放入相应编号的盒子, 那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3, 因此,所求放法种数为(种); (4)按两步进行,空盒编号有4种情况,然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子,没有空盒,则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空(不包括两端)中插入2块板,由分步乘法计数原理可知,所求的放法种数为(种). 【例题3】把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（    ）种 A．41 B．56 C．156 D．252 【答案】B 【解析】本题要使用挡板法，在9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板，即产生符合要求的方法数． 【详解】解：问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数． 事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板， 即产生符合要求的方法数．故有种． 巩固练习 题型 【巩固练习1】个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ． 【答案】 【分析】在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板，结合隔板法可得出结果. 【详解】问题等价于：在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板， 所以，不同的分法种数为种. 【巩固练习2】有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有_____多少种分配方案. 【答案】84 【解析】隔板法也就是档板法. 分两步. 第一步:每班分配 1 个名额,只有 1 种分法; 第二步:将剩下的 3 个名额分配给 7 个班. 取 7-1=6 块相同隔板, 连同 3 个相同名额排成一排, 共 9 个位置. 由隔板法知, 在 9 个位置中任取 6 个位置排上隔板,有 种排法. 每一种挿板方法对应一种分法, 由分步计数原理知,共有 种分法. 【巩固练习3】将 10 个完全相同的小球放入编号分别为 1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中球的个数不小于它的编号,则不同的放法种数为( ) A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】D 【详解】根据题意, 先在 2 号盒子里放入 1 个小球, 3 号盒子放入 2 个小球, 原问题即可以转化为将剩下的 7 个小球放入 3 个小盒, 每个小盒至少放一个的问题, 将剩下的 7 个小球排成一排, 排好后有 6 个空位可选, 在 6 个空位中任选 2 个,插入挡板即可,则有 种不同的放法; 故选:D. 【巩固练习4】将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（    ） A．720种 B．420种 C．120种 D．15种 【答案】D 【解析】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书，再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15 【巩固练习5】马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（    ） A．12 B．18 C．21 D．24 【答案】C 【分析】10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法，又两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，即可得出答案. 【详解】解：根据题意，10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法． 先将剩下的8盏灯排成一排，因两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，所以共有种关灯方法． 【题型18】元素配对问题(鞋子成双问题) 解题技巧 配对问题主要以鞋子或手套来作为命题对象，核心在于成双或不成双，.对于成双问题很容易思考，直接选取整双即可，对于不成双问题，要先取双，然后从每双中，取左右单只即可，难点和易错点在于不成双，一定要分两步思考，先取双，再取只. 典型例题 【例题1】某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的取法种数为________ 【答案】 【分析】求出从4双不同花色的袜子从中随机任取3只所有的取法，再求出恰有2只花色相同的取法，根据古典概型求解. 【详解】从4双不同花色的袜子中，其中恰有2只花色相同有（种）不同的选取方法 【例题2】从6双不同的鞋子中任取4只，恰是两双的选法有 种，恰有一双的选法有 种． 【答案】 15 240 【分析】根据组合的定义，恰是两双的抽法有种；对于恰有一双的情形，采用分部抽取，先选一双完整的，再从剩下的5双中选两双再分别抽取一只求解即可； 【详解】恰是两双的选法有种； 对于恰有一双的情形，可先选一双完整的，再从剩下的5双中选两双，然后在这两双中各选一只，共有种 巩固练习 题型 【巩固练习1】从5双不同的袜子中取4只，使至少有2只袜子配成一双的可能取法种数为（    ） A．20 B．30 C．130 D．140 【答案】C 【分析】由对立事件A为“4只没有可配对的袜子”的取法种数，总取法，即可知至少有2只袜子配成一双的可能取法种数，即可知正确选项. 【详解】“4只至少有2只袜子配成一双”的对立事件A为“4只没有可配对的袜子”， ∴A的取法数为种，而总取法有种， ∴“4只至少有2只袜子配成一双” 可能取法种数为种. 【巩固练习2】从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有 种不同的取法． 【答案】130 【分析】考虑恰好有2只能配成一双和恰好有4只能配成两双两种情况，计算相加得到答案. 【详解】当恰好有2只能配成一双有：； 当恰好有4只能配成两双有：； 故共有种不同的取法. 【巩固练习3】现有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，4只鞋子恰有两双的种数为 ，4只鞋子有2只成双，另2只不成双的种数为 . 【答案】 45 1440 【分析】由乘法原理即可求出4只鞋子恰有两双的种数和有2只成双，另2只不成双的种数. 【详解】由题意，从10双中任选2双有种取法， 先选取一双有种选法，再从9双中任取两双有种选法， 每双鞋只取一只各有2种取法， 根据分步乘法计数原理可知选取的种数为：. 重点题型巩固 1. （24-25高二下·甘肃武威·开学考试）第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是.（以下问题用数字作答） (1)若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？ (2)若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？ 【答案】(1)63 (2)540 【分析】（1）根据分类加法计数原理和组合数的性质求解即可； （2）按人数的分配情况分类讨论求解即可. 【详解】（1）由题意知可去名裁判， 所以共有（种）不同的安排方法. （2）亚洲杯组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，则分类如下： ①这6名裁判分为1人，1人，4人这三组，共有（种）不同的安排方法； ②这6名裁判分为1人，2人，3人这三组，共有（种）不同的安排方法； ③这6名裁判分为2人，2人，2人这三组，共有（种）不同的安排方法. 综上所述：组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判， 共有（种）不同的安排方法. 2. （23-24高二下·浙江宁波·期中）甲、乙等6人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为 . 【答案】390 【分析】由题意分类讨论分组情况即①1，1，4型，②1，2，3型，③2，2，2型，求出每种情况的分配情况，由分类加法计数原理即可求得答案. 【详解】去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人去游览， 则三个景区的人数有3种情况：①1，1，4型，则不同种数为； ②1，2，3型，则不同种数为； ③2，2，2型，则不同种数为． 所以共有种. 3. （23-24高二下·广东河源·期中）按要求列出式子，再计算结果，用数字作答． (1)在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽取3件． （i）共有多少种不同的抽法？ （ii）抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少种？ （iii）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ (2)现有甲、乙等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法， 求： （i）甲、乙不能相邻；         （ii）甲、乙相邻且都不站在两端． 【答案】(1)（i）；（ii）；（iii） (2)（i）（ii） 【分析】（1）典型的组合问题，第3问可采用“正难则反”的办法解决. （2）典型排列问题，分别用 “元素不相邻插空法”和“元素相邻捆绑法”解决. 【详解】（1）（i）从这12种产品中任意抽出3件，共有种不同的抽法， （ii）抽出的3件中恰有1件次品是指2件正品，1件次品，则有种不同的抽法， （iii）抽出的3件中至少有1件次品的抽法数，是在12件产品中任意抽出3件的抽法数，减去抽出的3件产品全是正品的抽法数，所以共有种不同的抽法. （2）（i）先将除甲、乙外三人全排列，有种；再将甲、乙插入4个空当中的2个，有种，由分步乘法计数原理可得，完成这件事情的方法总数为种； （ii）（将甲、乙两人“㧢绑”看成一个整体，排入两端以外的两个位置中的一个，有种； 再将其余3人全排列有种，故共有种不同排法. 4. （23-24高二上·湖北武汉·期中）（多选）传承红色文化，宣扬爱国精神，东湖中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等6名同学新入方阵参加队列训练，则下列说法正确的是（    ） A．6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为120种 B．6名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为240种 C．6名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480种 D．6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有540种不同的安排方法 【答案】ABC 【分析】A用倍缩法判断；BC用插空法判断，注意特殊的先排列；D先平均分组，再进行全排列. 【详解】A：可用倍缩法，6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则有种，故A正确； B：小明、小红两人相邻共有种排法，将两人插空到其余四人全排列中共有种，故B正确； C：6人站成一排，小明、小红两人不相邻，先将除小明、小红外的4人进行全排列，有种排法，再将小明、小红两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，故C正确； D：6名同学平均分成三组到进行三种不同的队列训练（每种训练必须有人参加），则有种，故D错误 5. （23-24高二下·吉林·阶段练习）（多选）在主题为“爱我中华”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前5名的决赛（获奖名次不重复）、甲、乙、丙三人一起去询问成绩，回答者说：“甲、乙两人之中有一人的成绩为第三人名，丙的成绩不是第五名."根据这个回答，下列结论正确的有（    ） A．五人名次排列的所有情况共有36种 B．甲、乙的排名不相邻的所有情况共有24种 C．甲、乙的排名均高于丙的排名的所有情况共有8种 D．丙的排名高于甲的排名的所有情况共有24种 【答案】ACD 【分析】由分步乘法计算可得AC正确；由分类加法和分步乘法计算可得B错误；分丙在第一，第二，第四三种情况用分类加法和分步乘法计算得到D正确. 【详解】A：甲、乙两人之中有一人的成绩为第三人名有种情况，丙的成绩不是第五名有种，剩下全排，所以共有种，故A正确； B：设甲排在第三，乙可在第一和第五； 当乙在第一时，有种； 当乙在第五时，有种， 甲乙可以互换，所以共有种，故B错误； C：由条件可知，丙只能在第四， 当甲在第三，乙只能在第一，第二的位置共有种， 由于甲乙可以互换，所以共有种，故C正确； D：丙在第一时，有种； 丙在第二时，分为两种情况，①甲在第三，有种；②乙在第三，甲在第四或五，有种； 丙在第四，甲只能在第五，此时乙在第三，有2种； 所以共有种，故D正确； 故选：ACD. 6. （23-24高二下·重庆·期中）某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，则4个语言类中恰有1个安排在3个歌舞类节目之间的概率为 ． 【答案】 【分析】利用插空法和捆绑法求出符合题意的排列情况总数，再结合古典概型的概率公式求解. 【详解】先把3个歌舞类节目全排列中间形成2个空，从这2个空中选一个位置安排一个语言类节目然后将这4个节目捆绑在一起，与剩余的3个语言节目全排列， 共有种情况，又因为7个节目全排列有种情况， 所以所求概率为. 7. （23-24高二下·浙江·期中）2024龙年春节档新片《热辣滚烫》是一部充满正能量，讲述感人故事的电影，影片通过主人公杜乐莹的成长历程，让我们感受到了奋斗和坚持的力量，激励着每个人在面对困难时勇敢向前．现有4名男生和2名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生互不相邻的坐法有多少种？ (2)若甲不坐最左端，乙不坐最右端，则不同排列方式共有多少种？ (3)若甲不坐在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有多少种？ 【答案】(1)480 (2)504 (3)144 【分析】（1）插空法求解不相邻问题； （2）直接法及间接法计算特殊位置问题； （3）直接法及间接法计算相邻问题. 【详解】（1）不相邻问题插空法，先排4个男生共有种方法，把2个女生插空有种方法，所以不同排列方式共有种： （2）方法一：“间接法”，不同排列方式共有种 方法二：“直接法”，一类甲坐最右端，有种坐法：另一类甲坐中间四个位置中的一个，有种坐法．故有种不同坐法． （3）方法一：共有6个位置，因为甲不坐在两端，所以甲有4种坐法， 当甲确定时，要求乙和丙相邻，共有3种可能， 所以不同排列方式共有种． 方法二：第一步乙、丙相邻共有种方法，第二步乙、丙与余下的三人全排列共有种方法，第三步把甲插入到中间的3个空挡，有种方法，故共有种不同的坐法． 8. （23-24高二下·浙江温州·期中）有3名男生、3名女生，求在下列不同条件下各有多少种安排方法．（用具体数字回答） (1)全体排成一排，女生必须站在一起； (2)全体排成一排，3个男生中恰有两人相邻； (3)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边； (4)将这6人分配到3个班级且每个班级至少1人． 【答案】(1)144 (2)432 (3)504 (4)540 【分析】（1）相邻问题利用捆绑法； （2）先将名女生全排列，再从名男生中选名男生作为一个整体，与另一名男生插入到名女生所形成的个空中的个空中，从而计算可得； （3）利用间接法计算可得； （4）对三个班的人数分，，三种情况讨论，先分组，再分配. 【详解】（1）全体排成一排，女生必须站在一起， 则将名女生看作一个整体与名男生全排列，其中名女生内部也需全排列， 故有种排法； （2）首先将名女生全排列，再从名男生中选名男生作为一个整体， 与另一名男生插入到名女生所形成的个空中的个空， 则有种排法； （3）首先将个人全排列，再减去甲在最左边、乙在最右边的情形， 最后再加上甲在最左边且乙在最右边的情形，故有种排法； （4）依题意若三个班均为人，则有种排法； 若三个班的人数为，则有种排法； 若三个班的人数为，则有种排法； 综上可得一共有种排法. 9. 在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（　　） A．25种          B．50种         C．300种         D．150种 【答案】D 【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可. 【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有种； ②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有种. 综上，选法共有. 10. 第届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都举行，组委会安排甲、乙等名工作人员去个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，且甲、乙人必须在一起，则不同的安排方法的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对甲、乙两人所在的岗位的人数进行分类讨论，利用分组分配的原理结合分类加法计数原理可求得不同的安排方法种数. 【详解】分以下两种情况讨论： （1）若甲、乙两人所在的岗位只分配了甲、乙两人，则另外有一个岗位需要安排两人， 此时，不同的安排方法种数为种； （2）若甲、乙两人所在的岗位分配了三人，则还需从其余四人中抽取一人分配在甲、乙这两人所在的岗位， 此时，不同的安排方法种数为种. 综上所述，不同的安排方法种数为 11. 现有12张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法种数为（    ） A．84 B．172 C．160 D．230 【答案】C 【分析】用间接法分析．先求出“从12张卡片中任取3张的所有取法数”，再分析“取出的3张为同一种颜色”和“取出的3张有2张绿色卡片”的取法数，从而可求出答案． 【详解】根据题意，不考虑限制，从12张卡片中任取3张，共有种取法， 如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况， 如果取出的3张有2张红色卡片，则有种情况， 故所求的取法共有种． $$