精品解析：陕西省商洛市商南县丹南三校联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024—2025年九年级下学期第一次月考试题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在中，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟米，从山脚到山顶需分钟，则山的高度为（ ） A 米 B. 米 C 米 D. 米 3. 如图，四边形和相似，则和的大小分别为（ ） A 30 B. 33 C. 30 D. 33 4. 如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 5. ∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点F，于点G，若，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，在锐角中，，，分别为，边上的高，点为的中点，连接，，，则结论：①；②；③当时，；④当时，为等边三角形，一定正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 10. 已知两个相似三角形对应角平分线的比为，且这两个三角形的一对对应高之差为，则这两个三角形对应高的长分别为 ___________． 11. 如图，在中，．点在上，且，，若，则________． 12. 点，在反比例函数的图象上，且当时，，写出一个满足条件的值为______． 13. 如图，在中，，， ，则的长为________． 三、解答题（共81分） 14. 计算： 15. 如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点D，使得． 16. 如图，在平行四边形中，点在上，连接，点在上，连接，且．求证：． 17. 如图，在平行四边形中，延长至点E，使，连接交于点F．若，求的长． 18. 如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值． 20. 已知，．例：当，时，，据此求的值． 21. 如图，小明想测量塔的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至塔的另一侧B处，测得仰角为，那么该塔的高度有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到，参考数据：) 22. 如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，． （1）求证：； （2）若，求的值． 23. 一路边灯杆如图所示，垂直于地面．小唯所在兴趣小组要测量该灯杆的长度，将测角仪垂直于地面放置，移动位置并观察，使A，B，F三点在一条直线上，此时在点F处测得点B的仰角为，兴趣小组取点A正下方的点D，用皮尺测量出，，已知测角仪的高度为，点C，D，E在同一直线上．求灯杆的长度．（结果保留根号） 24. 如图，在中，，过点A作，且．连接交于点O，以O为圆心，长为半径作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 25. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为． （1）当移动几秒时，的面积为？ （2）当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？ 26. 问题提出 （1）如图①，在中，，，，则的面积为________． 问题探究 （2）如图②，已知矩形，，，点是矩形内一点，的面积为矩形面积的，且，求满足条件的点到点的距离． 问题解决 （3）陕西省汉中市留坝县地处秦岭南麓腹地，凭借着森林覆盖率高、平均气温低等特点，吸引着众多游客前来度假避暑．如图③，某开发商计划修建一个四边形度假山庄，根据设计要求：，，，，为了丰富游客的游玩体验，要求度假山庄的面积尽可能的大，请问是否存在符合设计要求的最大面积的度假山庄？若存在，求出四边形的最大面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025年九年级下学期第一次月考试题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在中，，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，根据，，即可求出答案． 【详解】解：∵是直角三角形，， ∴是锐角， ∵， ∴， 故选：C． 2. 如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟米，从山脚到山顶需分钟，则山的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，先求出的长，再根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意得（米）， 在中，，， （米）， 故选A． 3. 如图，四边形和相似，则和的大小分别为（ ） A. 30 B. 33 C. 30 D. 33 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质得出对应角相等及对应边成比例即可得出答案． 【详解】由图可知，，，，，，， 四边形和相似， ，, 即, , 故答案为：D． 4. 如图，中， ，点在上，．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD． 【详解】∵∠C=90°， ∴， ∵， ∴AB=5， 根据勾股定理可得BC==3， ∵， ∴cos∠DBC=cosA=， ∴cos∠DBC==，即= ∴BD=， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键． 5. ∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接CD，再利用勾股定理分别计算出AD、AC、BD的长，然后再根据勾股定理逆定理证明∠ADC=90°，再利用三角函数定义可得答案． 【详解】连接CD，如图： ，CD=，AC= ∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==． 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明∠ADC=90°． 6. 如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点F，于点G，若，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质可得，，，再根据等腰三角形的判定与性质可得，，从而可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 7. 如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=×4=2．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=×（1+2）×2=3，从而得出S△AOB=3． 【详解】∵A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点， 且A，B两点的横坐标分别是2和4， ∴当x=2时，y=2，即A（2，2）， 当x=4时，y=1，即B（4，1）， 如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D， 则S△AOC=S△BOD=×4=2， ∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC， ∴S△AOB=S梯形ABDC， ∵S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=×（1+2）×2=3， ∴S△AOB=3， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S与k的关系为S=|k|是解题的关键． 8. 如图，在锐角中，，，分别为，边上的高，点为的中点，连接，，，则结论：①；②；③当时，；④当时，为等边三角形，一定正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，由此即可判断①正确；根据余弦的定义可得，，由此即可判断②正确；在中，解直角三角形即可判断③错误；先根据平行线的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据等边三角形的判定即可判断④正确． 【详解】解：∵，分别为，边上的高，点为的中点， ∴，， ∴，则结论①正确； 在中，， 在中，， ∴，即，则结论②正确； ∵在中，，， ∴，则结论③错误； ∵，， ∴， ∵为边上的高，点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，则结论④正确； 综上，结论正确的有①②④， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 如图，线段、相交于点，请你补充一个条件：______，使与是以点为位似中心的位似图形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了位似图形“看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形”，熟练掌握位似图形的定义是解题关键．补充条件使得即可得． 【详解】解：补充条件，则， 所以与是以点为位似中心的位似图形． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 已知两个相似三角形对应角平分线的比为，且这两个三角形的一对对应高之差为，则这两个三角形对应高的长分别为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为， ∴对应的高的比为，设高分别为， ∵对应高之差为， ∴，解得，， ∴两个三角形对应高分别是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边高的比等于相似比是解题的关键． 11. 如图，在中，．点在上，且，，若，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】过点D作于点F，首先根据等腰三角形三线合一性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，求出，然后利用求解即可． 【详解】如图所示，过点D作于点F， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，， 解得． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角函数的运用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 12. 点，在反比例函数的图象上，且当时，，写出一个满足条件的值为______． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．判断出在每一象限内，随的增大而增大，从而可得，解不等式可得，由此即可得． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，且当时，， ∴在每一象限内，随的增大而增大， ∴， 解得， ∴写出一个满足条件的值为， 故答案为：2（答案不唯一）． 13. 如图，在中，，， ，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，等腰直角三角形的性质，过点A作，结合三角函数值，分别求出、的长度，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，过点A作，如图： ∴，都是直角三角形， ∵， 设，， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（共81分） 14. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、零指数幂、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算含特殊角的三角函数值、零指数幂，再计算二次根式的乘除法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解： ． 15. 如图，中，，请用尺规作图法在上求作一点D，使得． 【答案】见解析 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线交于点D，连接，点D即为所求． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点D，连接，则点D即为所求． ∵， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图−相似变换，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 16. 如图，在平行四边形中，点在上，连接，点在上，连接，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据题干结合平行四边形的性质，推导和中对应角的等量关系，利用相似三角形判定定理“两角对应相等，两个三角形相似”得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， ， 又 （两角对应相等，两个三角形相似）． 17. 如图，在平行四边形中，延长至点E，使，连接交于点F．若，求的长． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，正确找出两个相似三角形是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，根据线段的和差可得，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值． 【答案】． 【解析】 【分析】易证得△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到==，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC=x，在Rt△ABC中，根据三角函数可求cosB． 【详解】∵∠C=90°，MN⊥AB， ∴∠C=∠ANM=90°， 又∵∠A=∠A， ∴△AMN∽△ABC， ∴==， 设AC=3x，AB=4x， 由勾股定理得：BC==， 在Rt△ABC中，cosB=． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，本题关键是表示出BC，AB． 20. 已知，．例：当，时，，据此求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算，理解题干中的公式是解题关键．根据，利用题干中的公式计算即可得． 【详解】解： ． 21. 如图，小明想测量塔的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至塔的另一侧B处，测得仰角为，那么该塔的高度有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到，参考数据：) 【答案】该塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．设该塔的高度为，在和中，解直角三角形可得的长，然后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设该塔的高度为， 由题意得：，，，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 答：该塔的高度约为． 22. 如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）16 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质， 等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定以及性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得出，再证明， 即可得出． （2）由相似三角形的性质可得出， 再结合已知条件可得出的值． 【小问1详解】 证明：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 23. 一路边灯杆如图所示，垂直于地面．小唯所在的兴趣小组要测量该灯杆的长度，将测角仪垂直于地面放置，移动位置并观察，使A，B，F三点在一条直线上，此时在点F处测得点B的仰角为，兴趣小组取点A正下方的点D，用皮尺测量出，，已知测角仪的高度为，点C，D，E在同一直线上．求灯杆的长度．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键．过点作的平行线，分别交于点，先得出四边形和四边形都是矩形，再在和中，解直角三角形求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交于点， 由题意得：，，，， ∴，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， 在中，， 中，，， ∴，， ∴， 答：灯杆的长度为． 24. 如图，在中，，过点A作，且．连接交于点O，以O为圆心，长为半径作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先证出平分，根据角平分线的性质定理可得，则是的半径，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）过点作于点，先解直角三角形可得，利用勾股定理可得，从而可得，再解直角三角形可得，利用勾股定理可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据即可得． 【小问1详解】 证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分， ∵，，即， ∴， ∴是的半径， 又∵， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 由（1）已得：， ∵的半径为3， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定和解直角三角形的方法是解题关键． 25. 如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为． （1）当移动几秒时，的面积为？ （2）当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1）3秒 （2）3秒或秒 【解析】 【分析】（1）求出运动时间为t秒时PB、BQ的长度，根据三角形的面积公式结合△BPQ的面积为9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，②当△BPQ∽△BCA时，分别利用相似三角形的性质列式求解即可． 【小问1详解】 解：运动时间为t秒时（0≤t≤6），PB＝6−t，BQ＝2t， 由题意得：＝PB·BQ＝（6−t）·2t＝＝9， 解得：， 答：当移动3秒时，△BPQ的面积为9cm2； 【小问2详解】 分两种情况： ①当△BPQ∽△BAC时， 则，即， 解得：， ②当△BPQ∽△BCA时， 则，即， 解得：， 综上，当移动3秒或秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的性质，正确理解题意，列出方程或比例式是解答此题的关键． 26. 问题提出 （1）如图①，在中，，，，则的面积为________． 问题探究 （2）如图②，已知矩形，，，点是矩形内一点，的面积为矩形面积的，且，求满足条件的点到点的距离． 问题解决 （3）陕西省汉中市留坝县地处秦岭南麓腹地，凭借着森林覆盖率高、平均气温低等特点，吸引着众多游客前来度假避暑．如图③，某开发商计划修建一个四边形度假山庄，根据设计要求：，，，，为了丰富游客的游玩体验，要求度假山庄的面积尽可能的大，请问是否存在符合设计要求的最大面积的度假山庄？若存在，求出四边形的最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在，最大面积为 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先求出，设，则，利用勾股定理可得的值，从而可得的长，再解直角三角形可得的长，从而可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）先求出的面积为15，再设满足条件的点到点的距离为，利用三角形的面积公式可得，然后在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得； （3）过点作，交延长线于点，连接，先解直角三角形和勾股定理可得的长，再判断出点在以的中点圆心，长为直径的半圆上，设半圆交于点，连接，，交于点，利用三角形的面积公式可得的长，然后利用圆的性质可得当时，的值最大，的面积最大，则四边形的面积最大，利用相似三角形的判定与性质求出的长，从而可得的最大值，由此即可得． 【详解】解：（1）如图，过点作于点， ∵中，， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴的面积为． （2）由题意，画图如下： ∵矩形，，， ∴矩形的面积为， ∵的面积为矩形面积的， ∴的面积为， 设满足条件的点到点的距离为， ∵， ∴， ∴， 在中，，即， 解得或， ∴或或（舍去）或（舍去）， 经检验，和都是所列方程的解， 综上，满足条件的点到点的距离为或． （3）如图，过点作，交延长线于点，连接， ∵， ∴， ∴在中，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴如图，点在以的中点圆心，长为直径的半圆上， 设半圆交于点，连接，，交于点， ∴，，即， ∴， ∴， ∵四边形的面积等于， ∴当的面积最大时，四边形的面积最大， 由圆性质得：当时，的值最大，最大值为， 此时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大面积为， ∴四边形的最大面积为， 答：存在符合设计要求的最大面积的度假山庄，此时四边形的最大面积为． 【点睛】本题考查了解直角三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，较难的是题（3），正确得出当的面积最大时，点的位置是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$