（篇一）第二单元长方体（一）·概念认识篇【十大考点】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）北师大版

篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元长方体（一）·概念认识篇【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元长方体（一）·概念认识篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的基础概念和认识为主，其中包括长方体和正方体的基本概念、棱长及棱长和的计算与实际应用等内容，棱长和问题是本专题的重点问题。 总体评价 讲解建议 本专题考察较为基础，多以填空和简单应用为主，建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 十个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的认识及特征 3 【考点二】正方体的认识及特征 4 【考点三】长方体的表面展开图 6 【考点四】正方体的表面展开图 9 【考点五】长方体的棱长及棱长总和 12 【考点六】正方体的棱长及棱长总和 13 【考点七】长方体的棱长总和与生活实际应用问题 14 【考点八】正方体的棱长总和与生活实际应用问题 16 【考点九】长方体和正方体的等长转化问题 17 【考点十】长方体和正方体棱长的增减变化问题 18 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的认识及特征。 【方法点拨】 1. 长方体的定义。 由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 【典型例题】 长方体。 (1)长方体有( )个面，每个面的形状是( )，( )的面是完全相同的。 (2)长方体有( )条棱，( )的棱长度相等。 (3)长方体有( )个顶点。 (4)长方体的12条棱可以分成( )组，相交于同一顶点的三条棱的长度( )。 【对应练习1】 实践课上，琳琳用小棒做了一个长方体框架，这个框架上任意一条棱都有另外( )条棱与它平行，这几条棱的长度关系是( )。 【对应练习2】 一个长方体（非正方体）最多可以有( )个面是正方形。 【对应练习3】 老师为同学们准备了一些小棒（有多余），用这些小棒和橡皮泥做一个长方体框架。这个长方体框架的长是( )cm、宽和高都是( )cm。 小棒长度 根数 6cm 1 5cm 5 3cm 9 【考点二】正方体的认识及特征。 【方法点拨】 1. 正方体的认识。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别。 【典型例题】 正方体有( )个面且所有的面完全相同，它有( )条棱，所有棱的长度都相等。 【对应练习1】 长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 【对应练习2】 有一个正方体，六个面分别写有字母a、b、c、d、e、f，从三个不同的角度观察，结果如下图所示，则字母f对面的字母是( )。 【对应练习3】 想一想、选一选。 下图分别是长方体或正方体一个顶点处的3条棱。（单位： cm） 图1                  图2                  图3 请从以下图形中选择6个面（可重复选择），围出相应的长方体或正方体。 (1)围成图1应选择( )个( )号、( )个( )号和( )个( )号图形。 (2)围成图2应选择( )。 (3)围成图3应选择( )。 【考点三】长方体的表面展开图。 【方法点拨】 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 【典型例题1】问题一：找相对面。 在下面的展开图中找出相对的面，并用“上”“下”“前”“后”“左”“右”标明6个面。 【对应练习1】 把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有3的面与标有( )的面相对，标有6的面与标有( )的面相对。 【对应练习2】 下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则( )字在下面，“城”字在前面，( )字在后面，“创”字在( )面，“市”字在( )面。 【对应练习3】 在长方体展开图中，用数字表示前、后、左、右、上、下六个面，如果“1”是右面，那么“5”是( )面。“6”的对面是( )。 【典型例题2】问题二：判断表面展开图。 下列不是长方体侧面展开图的是( )。 A． B． C． D． 【对应练习1】 下列图形中，折叠后不能围成一个长方体的是( )。 A． B． C． D． 【对应练习2】 下面图形沿着虚线折叠，不能围成长方体的是( )。 A． B． C． D． 【对应练习3】 下图中能折成长方体的有( )个。    A．1 B．2 C．3 D．4 【考点四】正方体的表面展开图。 【方法点拨】 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 【典型例题1】问题一：找相对面。 将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是( )。 【对应练习1】 下面是一个正方体的展开图（如图），把这个正方体展开图折叠成正方体后，“你”字对面的字是( )。 你 我 的 中 国 梦 【对应练习2】 如图是一个正方体的展开图。在这个正方体中，与a面相对的是( )面，与b面相对的是( )面。 【对应练习3】 有三块相同的数字积木（每块积木的面上分别标有1～6六个数字）。摆放如图，相对两个面上的数字乘积最大是( )。 【典型例题2】问题二：判断表面展开图。 下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【对应练习1】 下列各图中，不能折成正方体的是( )。 A．B．C． D． 【对应练习2】 请从下图①一④中选一个面和原来5个面形成正方体展开图。这个面是( )。 A．① B．② C．③ D．④ 【对应练习3】 下面哪个不是正方体的展开图( )。 A． B． C． D． 【考点五】长方体的棱长及棱长总和。 【方法点拨】 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 【典型例题1】棱长和。 用铁丝制作一个长3分米、宽2分米，高1分米的长方体框架，接口处需要另费0.4分米，至少需要( )分米的铁丝。 【对应练习1】 用铁丝做一个长7cm、宽5cm、高3cm的长方体框架，至少需要( )dm长的铁丝。 【对应练习2】 用铁丝制作一个长3分米、宽2分米，高1分米的长方体框架，至少需要( )分米的铁丝。 【对应练习3】 一个底面周长为24厘米的长方体，高是5厘米，它的棱长总和是( )厘米。 【典型例题2】反求长、宽、高。 用一根84cm长的铁丝恰好可以焊成一个长方体框架。框架长10cm，宽6cm，高( )cm。 【对应练习1】 用200厘米长的铁丝做成一个长方体框架，长是25厘米，宽是14厘米，则它的高是( )厘米。 【对应练习2】 用一根长144cm的铁丝围一个长8cm，宽( )cm，高4cm的长方体模型。 【对应练习3】 用320cm的灯带做一个长25cm、宽15cm的长方体彩灯框架，那么长方体彩灯框架的高是( )cm。 【考点六】正方体的棱长及棱长总和。 【方法点拨】 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 【典型例题1】棱长和。 一个正方体的棱长是3厘米，这个正方体所有棱长的和是( )厘米。 【对应练习1】 有一个正方体棱长是8厘米，它的棱长总和是( )厘米。 【对应练习2】 一个正方体的棱长是0.5dm，它所有的棱长总和是( )dm。 【对应练习3】 一个正方体纸盒每个面的周长都是20厘米，它的棱长是( )厘米，棱长总和是( )厘米。 【典型例题2】反求棱长。 用一根长36厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是( )厘米。 【对应练习1】 一个正方体棱长的和是24cm，它的一条棱长是( )cm。 【对应练习2】 把一根长48厘米的铁丝折成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )。 【对应练习3】 用一根60cm长的铁丝做一个正方体形状的笼子，这个笼子的棱长是( )cm。 【考点七】长方体的棱长总和与生活实际应用问题。 【方法点拨】 解决长方体的棱长总和与生活实际应用问题，需要熟练掌握棱长总和公式。 【典型例题】 母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得更精美，按照右图的方法捆扎，打结处需要20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要多少厘米丝带？    【对应练习1】 用一根丝带捆扎一个礼盒（如下图），打结处的丝带长30厘米，捆扎这个礼盒至少需要多长的丝带？ 【对应练习2】 小明同学为爷爷准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，长、宽、高分别24厘米、20厘米、8厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米彩带？    【对应练习3】 一条丝带长10米，用这种丝带捆扎一种礼盒，捆扎方法如下图，结头处用去的丝带长30厘米，这条丝带最多可以捆扎多少个这样的礼盒？ 【考点八】正方体的棱长总和与生活实际应用问题。 【方法点拨】 解决正方体的棱长总和与生活实际应用问题，需要熟练掌握棱长总和公式。 【典型例题】 五一期间，外地游客小明到“广州市场步行街”买到一个礼物，这个礼物的礼盒是一个正方体，这个礼盒用打包带按如图所示方法捆起来（打结处打包带长20厘米），一共要用多少厘米的打包带？ 【对应练习1】 快递公司要把一个棱长为40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要30厘米。捆扎这个物体一共需要多少米包装袋？ 【对应练习2】 妈妈给奶奶买了一件母亲节礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎，打结处需要45厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 【对应练习3】 给一个正方体礼品盒包装，用了50厘米长的丝带，其中，打结用了14厘米。礼品盒一个面的边长是多少厘米？ 【考点九】长方体和正方体的等长转化问题。 【方法点拨】 长方体和正方体的等长转化问题，即在棱长总和相等的情况下，可以根据相关条件求出所需要的数据。 【典型例题】 1．一根钢丝可以做成棱长4分米的正方体框架。如果用这根钢丝做成一个长5分米、宽4分米的长方体框架，它的高是多少分米？ 2．乐乐参加学校手工制作社团，他用一根铁丝正好制作一个长是厘米，宽是厘米，高是厘米的长方体。他如果想用这根铁丝制作一个正方体，请同学们帮他设计一下，正方体的棱长应该是多少厘米？ 【对应练习1】 用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一个长12厘米、宽7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不计） 【对应练习2】 用一根铁丝制成了一个长7厘米，宽6厘米，高2厘米的长方体框架，如果用这根铁丝制成一个正方体框架，正方体的棱长是多少厘米？ 【对应练习3】 一根铁丝恰好可以焊接成一个长14厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架，若这根铁丝也恰好能焊接成一个正方体框架，那么这个正方体框架的棱长是多少厘米？ 【考点十】长方体和正方体棱长的增减变化问题。 【方法点拨】 棱长的增减变化相对于后续表面积的增减变化，较为简单，注意推断。 【典型例题】 一个长方体长6厘米，宽5厘米，高5厘米，把它的长、宽、高各增加1厘米，得到一个新的长方体，问新的长方体的棱长总和是多少？ 【对应练习1】 把一个棱长是8厘米的正方体切成两个完全一样的长方体，这两个长方体的棱长总和与原来正方体的棱长总和相比，增加了多少厘米？ 【对应练习2】 一个长方体被截成两个完全相同的正方体。两个正方体的棱长之和比原来的长方体的棱长之和增加了16厘米。原来的长方体最长的棱是多少厘米？ 【对应练习3】 一个长方体的铁块，被截成两个完全相等的正方体。两个正方体棱长之和比原来长方体棱长之和增加了16厘米。求原来长方体的长是多少厘米？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 19 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 19 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元长方体（一）·概念认识篇【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元长方体（一）·概念认识篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的基础概念和认识为主，其中包括 长方体和正方体的基本概念、棱长及棱长和的计算与实际应 用等内容，棱长和问题是本专题的重点问题。 总体评价 讲解建议 本专题考察较为基础，多以填空和简单应用为主，建议作为 本章基础内容进行讲解。 考点数量 十个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的认识及特征 ....................................................................................... 3 【考点二】正方体的认识及特征 ....................................................................................... 4 【考点三】长方体的表面展开图 ....................................................................................... 6 【考点四】正方体的表面展开图 ....................................................................................... 9 【考点五】长方体的棱长及棱长总和 ..............................................................................12 【考点六】正方体的棱长及棱长总和 ..............................................................................13 【考点七】长方体的棱长总和与生活实际应用问题 .......................................................14 【考点八】正方体的棱长总和与生活实际应用问题 .......................................................16 【考点九】长方体和正方体的等长转化问题 .................................................................. 17 第 3 页 共 19 页 【考点十】长方体和正方体棱长的增减变化问题 ...........................................................18 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的认识及特征。 【方法点拨】 1. 长方体的定义。 由 6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有 6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有 12条棱，相对的 4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 【典型例题】 长方体。 第 4 页 共 19 页 (1)长方体有( )个面，每个面的形状是( )，( )的面是完 全相同的。 (2)长方体有( )条棱，( )的棱长度相等。 (3)长方体有( )个顶点。 (4)长方体的 12条棱可以分成( )组，相交于同一顶点的三条棱的长度 ( )。 【对应练习 1】 实践课上，琳琳用小棒做了一个长方体框架，这个框架上任意一条棱都有另外 ( )条棱与它平行，这几条棱的长度关系是( )。 【对应练习 2】 一个长方体（非正方体）最多可以有( )个面是正方形。 【对应练习 3】 老师为同学们准备了一些小棒（有多余），用这些小棒和橡皮泥做一个长方体框 架。这个长方体框架的长是( )cm、宽和高都是( )cm。 小棒长度 根数 6cm 1 5cm 5 3cm 9 【考点二】正方体的认识及特征。 【方法点拨】 1. 正方体的认识。 由 6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的 长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有 6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 第 5 页 共 19 页 正方体有 12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的 6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有 12条棱，且正方体的 12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高 相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长 和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有 6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的 面相等且平行。 （3）区别。 【典型例题】 正方体有( )个面且所有的面完全相同，它有( )条棱，所有棱的 长度都相等。 【对应练习 1】 长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 第 6 页 共 19 页 【对应练习 2】 有一个正方体，六个面分别写有字母 a、b、c、d、e、f，从三个不同的角度观察， 结果如下图所示，则字母 f对面的字母是( )。 【对应练习 3】 想一想、选一选。 下图分别是长方体或正方体一个顶点处的 3条棱。（单位： cm） 图 1 图 2 图 3 请从以下图形中选择 6个面（可重复选择），围出相应的长方体或正方体。 (1)围成图 1应选择( )个( )号、( )个( )号和 ( )个( )号图形。 (2)围成图 2应选择( )。 (3)围成图 3应选择( )。 【考点三】长方体的表面展开图。 【方法点拨】 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有 54 种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行 4个面，上下各 1个面，共有 27种； （2）二三一式，即中间一行 3 个面，上一行 2 个面，下一行 1 个面，共有 18 种； （3）二二二式，即三行各有 2个面，呈阶梯状排列，共有 6种； （4）三三式，即两行各 3个面，上下错位连接，共 3种，以上共计 54种。 2. 口诀。 第 7 页 共 19 页 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相 连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 【典型例题 1】问题一：找相对面。 在下面的展开图中找出相对的面，并用“上”“下”“前”“后”“左”“右”标明 6个面。 【对应练习 1】 把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有 3的面与标有( )的面相对，标有 6的面与标有( )的面相对。 第 8 页 共 19 页 【对应练习 2】 下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则( )字在下面，“城” 字在前面，( )字在后面，“创”字在( )面，“市”字在( )面。 【对应练习 3】 在长方体展开图中，用数字表示前、后、左、右、上、下六个面，如果“1”是右 面，那么“5”是( )面。“6”的对面是( )。 【典型例题 2】问题二：判断表面展开图。 下列不是长方体侧面展开图的是( )。 A． B． C． D． 【对应练习 1】 下列图形中，折叠后不能围成一个长方体的是( )。 A． B． 第 9 页 共 19 页 C． D． 【对应练习 2】 下面图形沿着虚线折叠，不能围成长方体的是( )。 A． B． C． D． 【对应练习 3】 下图中能折成长方体的有( )个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【考点四】正方体的表面展开图。 【方法点拨】 1. 正方体的展开图共有 11 种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 第 10 页 共 19 页 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧 连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 【典型例题 1】问题一：找相对面。 将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是( )。 【对应练习 1】 下面是一个正方体的展开图（如图），把这个正方体展开图折叠成正方体后，“你” 字对面的字是( )。 第 11 页 共 19 页 你 我 的 中 国 梦 【对应练习 2】 如图是一个正方体的展开图。在这个正方体中，与 a面相对的是( )面， 与 b面相对的是( )面。 【对应练习 3】 有三块相同的数字积木（每块积木的面上分别标有 1～6六个数字）。摆放如图， 相对两个面上的数字乘积最大是( )。 【典型例题 2】问题二：判断表面展开图。 下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【对应练习 1】 下列各图中，不能折成正方体的是( )。 A． B． C． D． 【对应练习 2】 请从下图①一④中选一个面和原来 5个面形成正方体展开图。这个面是 第 12 页 共 19 页 ( )。 A．① B．② C．③ D．④ 【对应练习 3】 下面哪个不是正方体的展开图( )。 A． B． C． D． 【考点五】长方体的棱长及棱长总和。 【方法点拨】 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指 12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为 L=（a+b+h） ×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用， 此时注意简化计算步骤。 【典型例题 1】棱长和。 用铁丝制作一个长 3分米、宽 2分米，高 1分米的长方体框架，接口处需要另费 0.4分米，至少需要( )分米的铁丝。 第 13 页 共 19 页 【对应练习 1】 用铁丝做一个长 7cm、宽 5cm、高 3cm的长方体框架，至少需要( )dm 长的铁丝。 【对应练习 2】 用铁丝制作一个长3分米、宽 2分米，高 1分米的长方体框架，至少需要( ) 分米的铁丝。 【对应练习 3】 一个底面周长为 24厘米的长方体，高是 5厘米，它的棱长总和是( )厘 米。 【典型例题 2】反求长、宽、高。 用一根 84cm长的铁丝恰好可以焊成一个长方体框架。框架长 10cm，宽 6cm， 高( )cm。 【对应练习 1】 用 200厘米长的铁丝做成一个长方体框架，长是 25厘米，宽是 14厘米，则它的 高是( )厘米。 【对应练习 2】 用一根长 144cm的铁丝围一个长 8cm，宽( )cm，高 4cm的长方体模型。 【对应练习 3】 用 320cm的灯带做一个长 25cm、宽 15cm的长方体彩灯框架，那么长方体彩灯 框架的高是( )cm。 【考点六】正方体的棱长及棱长总和。 【方法点拨】 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为 L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 【典型例题 1】棱长和。 一个正方体的棱长是 3厘米，这个正方体所有棱长的和是( )厘米。 【对应练习 1】 有一个正方体棱长是 8厘米，它的棱长总和是( )厘米。 第 14 页 共 19 页 【对应练习 2】 一个正方体的棱长是 0.5dm，它所有的棱长总和是( )dm。 【对应练习 3】 一个正方体纸盒每个面的周长都是 20厘米，它的棱长是( )厘米，棱长 总和是( )厘米。 【典型例题 2】反求棱长。 用一根长 36厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是 ( )厘米。 【对应练习 1】 一个正方体棱长的和是 24cm，它的一条棱长是( )cm。 【对应练习 2】 把一根长 48厘米的铁丝折成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )。 【对应练习 3】 用一根 60cm长的铁丝做一个正方体形状的笼子，这个笼子的棱长是 ( )cm。 【考点七】长方体的棱长总和与生活实际应用问题。 【方法点拨】 解决长方体的棱长总和与生活实际应用问题，需要熟练掌握棱长总和公式。 【典型例题】 母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得更精美，按照右图的方法捆扎， 打结处需要 20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要多少厘米丝带？ 第 15 页 共 19 页 【对应练习 1】 用一根丝带捆扎一个礼盒（如下图），打结处的丝带长 30厘米，捆扎这个礼盒 至少需要多长的丝带？ 【对应练习 2】 小明同学为爷爷准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，长、宽、高分 别 24厘米、20厘米、8厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长 18厘米， 一共需要多少厘米彩带？ 【对应练习 3】 一条丝带长 10米，用这种丝带捆扎一种礼盒，捆扎方法如下图，结头处用去的 丝带长 30厘米，这条丝带最多可以捆扎多少个这样的礼盒？ 第 16 页 共 19 页 【考点八】正方体的棱长总和与生活实际应用问题。 【方法点拨】 解决正方体的棱长总和与生活实际应用问题，需要熟练掌握棱长总和公式。 【典型例题】 五一期间，外地游客小明到“广州市场步行街”买到一个礼物，这个礼物的礼盒是 一个正方体，这个礼盒用打包带按如图所示方法捆起来（打结处打包带长 20厘 米），一共要用多少厘米的打包带？ 【对应练习 1】 快递公司要把一个棱长为 40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带 按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要 30厘米。捆扎这个物体一共需要多少 米包装袋？ 【对应练习 2】 妈妈给奶奶买了一件母亲节礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎，打结处 需要 45厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 第 17 页 共 19 页 【对应练习 3】 给一个正方体礼品盒包装，用了 50厘米长的丝带，其中，打结用了 14厘米。礼 品盒一个面的边长是多少厘米？ 【考点九】长方体和正方体的等长转化问题。 【方法点拨】 长方体和正方体的等长转化问题，即在棱长总和相等的情况下，可以根据相关条 件求出所需要的数据。 【典型例题】 1．一根钢丝可以做成棱长 4分米的正方体框架。如果用这根钢丝做成一个长 5 分米、宽 4分米的长方体框架，它的高是多少分米？ 2．乐乐参加学校手工制作社团，他用一根铁丝正好制作一个长是10厘米，宽是8 厘米，高是6厘米的长方体。他如果想用这根铁丝制作一个正方体，请同学们帮 他设计一下，正方体的棱长应该是多少厘米？ 【对应练习 1】 用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为 8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一 个长 12厘米、宽 7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不 计） 第 18 页 共 19 页 【对应练习 2】 用一根铁丝制成了一个长 7厘米，宽 6厘米，高 2厘米的长方体框架，如果用这 根铁丝制成一个正方体框架，正方体的棱长是多少厘米？ 【对应练习 3】 一根铁丝恰好可以焊接成一个长 14厘米、宽 6厘米、高 4厘米的长方体框架， 若这根铁丝也恰好能焊接成一个正方体框架，那么这个正方体框架的棱长是多少 厘米？ 【考点十】长方体和正方体棱长的增减变化问题。 【方法点拨】 棱长的增减变化相对于后续表面积的增减变化，较为简单，注意推断。 【典型例题】 一个长方体长 6厘米，宽 5厘米，高 5厘米，把它的长、宽、高各增加 1厘米， 得到一个新的长方体，问新的长方体的棱长总和是多少？ 【对应练习 1】 把一个棱长是 8厘米的正方体切成两个完全一样的长方体，这两个长方体的棱长 总和与原来正方体的棱长总和相比，增加了多少厘米？ 第 19 页 共 19 页 【对应练习 2】 一个长方体被截成两个完全相同的正方体。两个正方体的棱长之和比原来的长方 体的棱长之和增加了 16厘米。原来的长方体最长的棱是多少厘米？ 【对应练习 3】 一个长方体的铁块，被截成两个完全相等的正方体。两个正方体棱长之和比原来 长方体棱长之和增加了 16厘米。求原来长方体的长是多少厘米？ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元长方体（一）·概念认识篇【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元长方体（一）·概念认识篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的基础概念和认识为主，其中包括长方体和正方体的基本概念、棱长及棱长和的计算与实际应用等内容，棱长和问题是本专题的重点问题。 总体评价 讲解建议 本专题考察较为基础，多以填空和简单应用为主，建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 十个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的认识及特征 3 【考点二】正方体的认识及特征 4 【考点三】长方体的表面展开图 7 【考点四】正方体的表面展开图 11 【考点五】长方体的棱长及棱长总和 14 【考点六】正方体的棱长及棱长总和 15 【考点七】长方体的棱长总和与生活实际应用问题 16 【考点八】正方体的棱长总和与生活实际应用问题 18 【考点九】长方体和正方体的等长转化问题 20 【考点十】长方体和正方体棱长的增减变化问题 22 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的认识及特征。 【方法点拨】 1. 长方体的定义。 由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 【典型例题】 长方体。 (1)长方体有( )个面，每个面的形状是( )，( )的面是完全相同的。 (2)长方体有( )条棱，( )的棱长度相等。 (3)长方体有( )个顶点。 (4)长方体的12条棱可以分成( )组，相交于同一顶点的三条棱的长度( )。 【答案】(1) 6 长方形 相对 (2) 12 相对 (3)8 (4) 4 不相等 【对应练习1】 实践课上，琳琳用小棒做了一个长方体框架，这个框架上任意一条棱都有另外( )条棱与它平行，这几条棱的长度关系是( )。 【答案】 三/3 相等 【对应练习2】 一个长方体（非正方体）最多可以有( )个面是正方形。 【答案】2/二/两 【对应练习3】 老师为同学们准备了一些小棒（有多余），用这些小棒和橡皮泥做一个长方体框架。这个长方体框架的长是( )cm、宽和高都是( )cm。 小棒长度 根数 6cm 1 5cm 5 3cm 9 【答案】 5 3 【考点二】正方体的认识及特征。 【方法点拨】 1. 正方体的认识。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别。 【典型例题】 正方体有( )个面且所有的面完全相同，它有( )条棱，所有棱的长度都相等。 【答案】 6 12 【对应练习1】 长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 【答案】 8 6 12 【对应练习2】 有一个正方体，六个面分别写有字母a、b、c、d、e、f，从三个不同的角度观察，结果如下图所示，则字母f对面的字母是( )。 【答案】c 【对应练习3】 想一想、选一选。 下图分别是长方体或正方体一个顶点处的3条棱。（单位： cm） 图1                  图2                  图3 请从以下图形中选择6个面（可重复选择），围出相应的长方体或正方体。 (1)围成图1应选择( )个( )号、( )个( )号和( )个( )号图形。 (2)围成图2应选择( )。 (3)围成图3应选择( )。 【答案】(1) 2 ③ 2 ⑤ 2 ② (2)4个⑤号图形， 2个⑥号图形 (3)6个⑥号图形 【考点三】长方体的表面展开图。 【方法点拨】 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 【典型例题1】问题一：找相对面。 在下面的展开图中找出相对的面，并用“上”“下”“前”“后”“左”“右”标明6个面。 【答案】如图： 【对应练习1】 把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有3的面与标有( )的面相对，标有6的面与标有( )的面相对。 【答案】 5 1 【对应练习2】 下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则( )字在下面，“城”字在前面，( )字在后面，“创”字在( )面，“市”字在( )面。 【答案】 明 文 左 右 【对应练习3】 在长方体展开图中，用数字表示前、后、左、右、上、下六个面，如果“1”是右面，那么“5”是( )面。“6”的对面是( )。 【答案】 前 2 【典型例题2】问题二：判断表面展开图。 下列不是长方体侧面展开图的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【对应练习1】 下列图形中，折叠后不能围成一个长方体的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【对应练习2】 下面图形沿着虚线折叠，不能围成长方体的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【对应练习3】 下图中能折成长方体的有( )个。    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【考点四】正方体的表面展开图。 【方法点拨】 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 【典型例题1】问题一：找相对面。 将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是( )。 【答案】5 【对应练习1】 下面是一个正方体的展开图（如图），把这个正方体展开图折叠成正方体后，“你”字对面的字是( )。 你 我 的 中 国 梦 【答案】梦 【对应练习2】 如图是一个正方体的展开图。在这个正方体中，与a面相对的是( )面，与b面相对的是( )面。 【答案】 d f 【对应练习3】 有三块相同的数字积木（每块积木的面上分别标有1～6六个数字）。摆放如图，相对两个面上的数字乘积最大是( )。 【答案】18 【典型例题2】问题二：判断表面展开图。 下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【答案】B 【对应练习1】 下列各图中，不能折成正方体的是( )。 A．B．C． D． 【答案】C 【对应练习2】 请从下图①一④中选一个面和原来5个面形成正方体展开图。这个面是( )。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【对应练习3】 下面哪个不是正方体的展开图( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【考点五】长方体的棱长及棱长总和。 【方法点拨】 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 【典型例题1】棱长和。 用铁丝制作一个长3分米、宽2分米，高1分米的长方体框架，接口处需要另费0.4分米，至少需要( )分米的铁丝。 【答案】24.4 【对应练习1】 用铁丝做一个长7cm、宽5cm、高3cm的长方体框架，至少需要( )dm长的铁丝。 【答案】6 【对应练习2】 用铁丝制作一个长3分米、宽2分米，高1分米的长方体框架，至少需要( )分米的铁丝。 【答案】24 【对应练习3】 一个底面周长为24厘米的长方体，高是5厘米，它的棱长总和是( )厘米。 【答案】68 【典型例题2】反求长、宽、高。 用一根84cm长的铁丝恰好可以焊成一个长方体框架。框架长10cm，宽6cm，高( )cm。 【答案】5 【对应练习1】 用200厘米长的铁丝做成一个长方体框架，长是25厘米，宽是14厘米，则它的高是( )厘米。 【答案】11 【对应练习2】 用一根长144cm的铁丝围一个长8cm，宽( )cm，高4cm的长方体模型。 【答案】24 【对应练习3】 用320cm的灯带做一个长25cm、宽15cm的长方体彩灯框架，那么长方体彩灯框架的高是( )cm。 【答案】40 【考点六】正方体的棱长及棱长总和。 【方法点拨】 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 【典型例题1】棱长和。 一个正方体的棱长是3厘米，这个正方体所有棱长的和是( )厘米。 【答案】36 【对应练习1】 有一个正方体棱长是8厘米，它的棱长总和是( )厘米。 【答案】96 【对应练习2】 一个正方体的棱长是0.5dm，它所有的棱长总和是( )dm。 【答案】6 【对应练习3】 一个正方体纸盒每个面的周长都是20厘米，它的棱长是( )厘米，棱长总和是( )厘米。 【答案】 5 60 【典型例题2】反求棱长。 用一根长36厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是( )厘米。 【答案】3 【对应练习1】 一个正方体棱长的和是24cm，它的一条棱长是( )cm。 【答案】2 【对应练习2】 把一根长48厘米的铁丝折成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )。 【答案】4厘米/4cm 【对应练习3】 用一根60cm长的铁丝做一个正方体形状的笼子，这个笼子的棱长是( )cm。 【答案】5 【考点七】长方体的棱长总和与生活实际应用问题。 【方法点拨】 解决长方体的棱长总和与生活实际应用问题，需要熟练掌握棱长总和公式。 【典型例题】 母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得更精美，按照右图的方法捆扎，打结处需要20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要多少厘米丝带？    【答案】 60×2＋40×2＋30×4＋20 ＝120＋80＋120＋20 ＝340（厘米） 答：捆扎这个礼品盒一共需要340厘米丝带。 【对应练习1】 用一根丝带捆扎一个礼盒（如下图），打结处的丝带长30厘米，捆扎这个礼盒至少需要多长的丝带？ 【答案】 25×2＋20×2＋10×4＋30 ＝50＋40＋40＋30 ＝90＋40＋30 ＝130＋30 ＝160（厘米） 答：捆扎这个礼盒至少需要160厘米的丝带。 【对应练习2】 小明同学为爷爷准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，长、宽、高分别24厘米、20厘米、8厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米彩带？    【答案】 24×2＋20×2＋8×4＋18 ＝48＋40＋32＋18 ＝88＋32＋18 ＝120＋18 ＝138（厘米） 答：一共需要138厘米彩带。 【对应练习3】 一条丝带长10米，用这种丝带捆扎一种礼盒，捆扎方法如下图，结头处用去的丝带长30厘米，这条丝带最多可以捆扎多少个这样的礼盒？ 【答案】 15×2＋10×2＋6×4＋30 ＝30＋20＋24＋30 ＝104（厘米） 10米＝1000厘米 1000÷104≈9（个） 答：这条丝带最多可捆扎9个这样的礼盒。 【考点八】正方体的棱长总和与生活实际应用问题。 【方法点拨】 解决正方体的棱长总和与生活实际应用问题，需要熟练掌握棱长总和公式。 【典型例题】 五一期间，外地游客小明到“广州市场步行街”买到一个礼物，这个礼物的礼盒是一个正方体，这个礼盒用打包带按如图所示方法捆起来（打结处打包带长20厘米），一共要用多少厘米的打包带？ 【答案】 （4×2＋2×4）×40＋20 ＝（8＋8）×40＋20 ＝16×40＋20 ＝640＋20 ＝660（厘米） 答：一共要用660厘米的打包带。 【对应练习1】 快递公司要把一个棱长为40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要30厘米。捆扎这个物体一共需要多少米包装袋？ 【答案】 40×8＋30 ＝320＋30 ＝350（厘米） 350厘米＝3.5米 答：捆扎这个物体一共需要3.5米包装带。 【对应练习2】 妈妈给奶奶买了一件母亲节礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎，打结处需要45厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 【答案】 8×25＋45 ＝200＋45 ＝245（厘米） 答：捆扎这个礼物一共需要245厘米丝带。 【对应练习3】 给一个正方体礼品盒包装，用了50厘米长的丝带，其中，打结用了14厘米。礼品盒一个面的边长是多少厘米？ 【答案】 （50－14）÷4 ＝36÷4 ＝9（厘米） 答：礼品盒一个面的边长是9厘米。 【考点九】长方体和正方体的等长转化问题。 【方法点拨】 长方体和正方体的等长转化问题，即在棱长总和相等的情况下，可以根据相关条件求出所需要的数据。 【典型例题】 1．一根钢丝可以做成棱长4分米的正方体框架。如果用这根钢丝做成一个长5分米、宽4分米的长方体框架，它的高是多少分米？ 【答案】 4×12＝48（分米） 48÷4＝12（分米） 12－5－4 ＝7－4 ＝3（分米） 答：它的高是3分米。 2．乐乐参加学校手工制作社团，他用一根铁丝正好制作一个长是厘米，宽是厘米，高是厘米的长方体。他如果想用这根铁丝制作一个正方体，请同学们帮他设计一下，正方体的棱长应该是多少厘米？ 【答案】 （厘米） 答：正方体的棱长应该是8厘米。 【对应练习1】 用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一个长12厘米、宽7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不计） 【答案】 8×12÷4－12－7 ＝96÷4－12－7 ＝24－12－7 ＝12－7 ＝5（厘米） 答：这个长方体的高是5厘米。 【对应练习2】 用一根铁丝制成了一个长7厘米，宽6厘米，高2厘米的长方体框架，如果用这根铁丝制成一个正方体框架，正方体的棱长是多少厘米？ 【答案】 长方体的棱长总和为： （7＋6＋2）×4 ＝15× 4 ＝60（厘米） 正方体的棱长为：60÷12＝5（厘米） 答：正方体的棱长是5厘米。 【对应练习3】 一根铁丝恰好可以焊接成一个长14厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架，若这根铁丝也恰好能焊接成一个正方体框架，那么这个正方体框架的棱长是多少厘米？ 【答案】 （14＋6＋4）×4÷12 ＝24×4÷12 ＝8（厘米） 答：这个正方体框架的棱长是8厘米。 【考点十】长方体和正方体棱长的增减变化问题。 【方法点拨】 棱长的增减变化相对于后续表面积的增减变化，较为简单，注意推断。 【典型例题】 一个长方体长6厘米，宽5厘米，高5厘米，把它的长、宽、高各增加1厘米，得到一个新的长方体，问新的长方体的棱长总和是多少？ 【答案】 [(6+1)+(5+1)+(5+1)]×4 =[7+6+6]×4 =19×4 =76（厘米） 答：新的长方体的棱长总和是76厘米. 【对应练习1】 把一个棱长是8厘米的正方体切成两个完全一样的长方体，这两个长方体的棱长总和与原来正方体的棱长总和相比，增加了多少厘米？ 【答案】8×8＝64（厘米） 答：增加了64厘米。 【对应练习2】 一个长方体被截成两个完全相同的正方体。两个正方体的棱长之和比原来的长方体的棱长之和增加了16厘米。原来的长方体最长的棱是多少厘米？ 【答案】16÷8×2＝4（厘米） 答：原来的长方体最长的棱是4厘米。 【对应练习3】 一个长方体的铁块，被截成两个完全相等的正方体。两个正方体棱长之和比原来长方体棱长之和增加了16厘米。求原来长方体的长是多少厘米？ 【答案】16÷8＝2（厘米） 2×2＝4（厘米） 答：原来长方体的长是4厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 37 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 37 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元长方体（一）·概念认识篇【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元长方体（一）·概念认识篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的基础概念和认识为主，其中包括 长方体和正方体的基本概念、棱长及棱长和的计算与实际应 用等内容，棱长和问题是本专题的重点问题。 总体评价 讲解建议 本专题考察较为基础，多以填空和简单应用为主，建议作为 本章基础内容进行讲解。 考点数量 十个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的认识及特征 ....................................................................................... 3 【考点二】正方体的认识及特征 ....................................................................................... 5 【考点三】长方体的表面展开图 ....................................................................................... 9 【考点四】正方体的表面展开图 ..................................................................................... 16 【考点五】长方体的棱长及棱长总和 ..............................................................................21 【考点六】正方体的棱长及棱长总和 ..............................................................................25 【考点七】长方体的棱长总和与生活实际应用问题 .......................................................28 【考点八】正方体的棱长总和与生活实际应用问题 .......................................................30 【考点九】长方体和正方体的等长转化问题 .................................................................. 33 第 3 页 共 37 页 【考点十】长方体和正方体棱长的增减变化问题 ...........................................................35 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的认识及特征。 【方法点拨】 1. 长方体的定义。 由 6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有 6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有 12条棱，相对的 4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 【典型例题】 长方体。 第 4 页 共 37 页 (1)长方体有( )个面，每个面的形状是( )，( )的面是完 全相同的。 (2)长方体有( )条棱，( )的棱长度相等。 (3)长方体有( )个顶点。 (4)长方体的 12条棱可以分成( )组，相交于同一顶点的三条棱的长度 ( )。 【答案】(1) 6 长方形 相对 (2) 12 相对 (3)8 (4) 4 不相等 【分析】根据长方体的特征，长方体有 6个面，每个面都是长方形（特殊的长方 体有两个相对的面是正方形），长方体中相对的面完全相同；它有 12条棱，相 对的棱的长度相等；长方体有 4条长、4条宽、4条高，相交于同一顶点的三条 棱就是长方体的长、宽和高；三条棱相交的点就是顶点，据此解答即可。 【详解】（1）长方体有 6个面，每个面的形状是长方形，相对的面是完全相同 的。 （2）长方体有 12条棱，相对的棱长度相等。 （3）长方体有 8个顶点。 （4）长方体的 12条棱可以分成 4组，相交于同一顶点的三条棱的长度不相等。 【点睛】本题考查长方体，明确长方体的特征是解题的关键。 【对应练习 1】 实践课上，琳琳用小棒做了一个长方体框架，这个框架上任意一条棱都有另外 ( )条棱与它平行，这几条棱的长度关系是( )。 【答案】 三/3 相等 【分析】长方体有 12条棱，其中 4条长、4条宽、4条高，长、宽、高分别平行 且相等。据此填空。 【详解】这个框架上任意一条棱都有另外 3条棱与它平行，这几条棱的长度关系 是相等。 第 5 页 共 37 页 【点睛】本题考查了长方体，掌握长方体的特征是解题的关键。 【对应练习 2】 一个长方体（非正方体）最多可以有( )个面是正方形。 【答案】2/二/两 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正 方形），相对的面的面积相等；由此解答。 【详解】在一个长方体（非正方体）中最多可以有 2个面是正方形。 【点睛】此题主要考查长方体的特征。 【对应练习 3】 老师为同学们准备了一些小棒（有多余），用这些小棒和橡皮泥做一个长方体框 架。这个长方体框架的长是( )cm、宽和高都是( )cm。 小棒长度 根数 6cm 1 5cm 5 3cm 9 【答案】 5 3 【分析】长方体有 12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一 组有 4条棱，据此分析。 【详解】同样长度的小棒最少需要 4根，6cm的小棒只有 1根，无法用，可选 5 厘米的小棒 4根做长方体的长，3厘米的小棒 8根做长方体的宽和高。 【点睛】关键是熟悉长方体的特征。 【考点二】正方体的认识及特征。 【方法点拨】 1. 正方体的认识。 由 6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的 长方体。 2. 正方体的组成。 第 6 页 共 37 页 （1）面。 正方体有 6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有 12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的 6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有 12条棱，且正方体的 12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高 相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长 和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有 6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的 面相等且平行。 （3）区别。 【典型例题】 正方体有( )个面且所有的面完全相同，它有( )条棱，所有棱的 第 7 页 共 37 页 长度都相等。 【答案】 6 12 【分析】根据正方体的特征，正方体有 6个面，每个面都是正方形，且面积相等， 正方体有 8个顶点，12条棱，每条棱长度相等，据此解答即可。 【详解】正方体有 6个面且所有的面完全相同，它有 12条棱，所有棱的长度都 相等。 【对应练习 1】 长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 【答案】 8 6 12 【分析】长方体特征： （1）长方体有 6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方 形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全 相同。 （2）长方体有 12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有 4条棱。 （3）长方体长方体有 8个顶点，每个顶点连接三条三条棱，三条棱分别叫做长 方体的长、宽、高。 正方体特征： （1）6个面都是正方形，且面积相等； （2）8个顶点； （3）12条棱长度都相等； 【详解】根据长方体和正方体的共同特征可知：长方体和正方体都有 8个顶点， 6个面，12条棱。 【对应练习 2】 有一个正方体，六个面分别写有字母 a、b、c、d、e、f，从三个不同的角度观察， 结果如下图所示，则字母 f对面的字母是( )。 【答案】c 第 8 页 共 37 页 【分析】根据题意，正方体 6个面，分别由 6个字母表示，根据相邻则不可能相 对的原则，我们先来看相邻 f的有，已知与 f相邻的有 a、d，在第二个正方体中， a与 c、b相邻，a的对面是 e，所以 f与 e也相邻；有第一图和第三图可知，d 和 a、f、e、c相邻，所以 d对面是 b；综合前面，f与 a、d、e、b相邻，则相对 的是 c。 【详解】根据相邻则不可能相对的原则，相邻的有 f：a、d、e、b，，则相对的 是 c。 字母 f对面的字母是 c。 【对应练习 3】 想一想、选一选。 下图分别是长方体或正方体一个顶点处的 3条棱。（单位： cm） 图 1 图 2 图 3 请从以下图形中选择 6个面（可重复选择），围出相应的长方体或正方体。 (1)围成图 1应选择( )个( )号、( )个( )号和 ( )个( )号图形。 (2)围成图 2应选择( )。 (3)围成图 3应选择( )。 【答案】(1) 2 ③ 2 ⑤ 2 ② (2)4个⑤号图形， 2个⑥号图形 (3)6个⑥号图形 【分析】长方体有六个面都是长方形，前后面、左右面、上下面两两相对，十二 条棱中有三条长三条宽三条高。正方体的六个面都是正方形，十二条棱都相等。 据此解答。 【详解】（1）根据图 1可知长方体的长宽高分别是 9、7、4，围成长方体需要 第 9 页 共 37 页 ③号 2个、⑤号 2个、②号 2个分别对应前后面、左右面、上下面。 （2）根据图 2可知长方体的长宽高分别是 7、7、4，围成长方体需要 4个⑤号 图形、 2个⑥号图形分别对应前后左右面、上下面。 （3）根据图 3可知正方体的棱长是 7，围成正方体需要 6个⑥号图形。 【考点三】长方体的表面展开图。 【方法点拨】 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有 54 种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行 4个面，上下各 1个面，共有 27种； （2）二三一式，即中间一行 3 个面，上一行 2 个面，下一行 1 个面，共有 18 种； （3）二二二式，即三行各有 2个面，呈阶梯状排列，共有 6种； （4）三三式，即两行各 3个面，上下错位连接，共 3种，以上共计 54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相 连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 【典型例题 1】问题一：找相对面。 第 10 页 共 37 页 在下面的展开图中找出相对的面，并用“上”“下”“前”“后”“左”“右”标明 6个面。 【答案】见详解 【分析】根据长方体展开图的特征，右图属于长方体展开图的“1－4－1”型，再 根据长方体对面是相同的长方形（特殊情况有一组对面是正方形），即可确定右 图各面分别是原长方体的哪个面。最大的两个面是上下的两个面，根据掀开的顺 序可以看出，最上面的那个面是上面，中间的那个大的面是下面；最左边的面是 左面，最右边的面是右面；最下面的一个面是前面，剩下的就是后面。 【详解】如图： 【对应练习 1】 把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有 3的面与标有( )的面相对，标有 6的面与标有( )的面相对。 【答案】 5 1 【分析】根据长方体展开图的特征，此图属于长方体展开图“1－4－1”型，折成 第 11 页 共 37 页 长方体后，数字“3”和“5”相对，“6”和“1”相对。 【详解】根据长方体展开图的特征，这个长方体上标有 3的面与标有 5的面相对， 标有 6的面与标有 1的面相对。 【点睛】根据长方体展开图的特征，结合自身空间想象能力，找到展开图的每个 相对面。 【对应练习 2】 下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则( )字在下面，“城” 字在前面，( )字在后面，“创”字在( )面，“市”字在( )面。 【答案】 明 文 左 右 【分析】根据长方体的特征，长方体的 6个面是长方形（特殊情况有两个相对的 面是正方形），相对面的面积相等。通过观察长方体的展开图可知，“建”字与“明” 字相对，“城”字与“文”字相对，“创”字与“市”字相对。据此解答即可。 【详解】根据分析得，如果“建”字在上面，则“明”字在下面，“城”字在前面，“文” 字在后面，“创”字在“左”面，“市”字在右面。 【点睛】本题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 【对应练习 3】 在长方体展开图中，用数字表示前、后、左、右、上、下六个面，如果“1”是右 面，那么“5”是( )面。“6”的对面是( )。 第 12 页 共 37 页 【答案】 前 2 【分析】观察图形可知，展开图符合长方体展开图的“1－4－1”型结构，折叠后 ①对应的是④，②对应的是⑥；③对应⑤，由此可知，①是右面，④是左面；② 是下面，⑥是上面，③是后面，⑤是前面。 【详解】由分析可得：如果“1”是右面，那么“5”是前面。“6”的对面是 2。 【点睛】根据长方体展开图的特征解答本题。 【典型例题 2】问题二：判断表面展开图。 下列不是长方体侧面展开图的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个长方体的盒子沿棱剪开，可以归纳为以下几种常见情况： 1、“1－4－1”型 2、“2－3－1”型 3、“2－3－1”型 【详解】 A． ，1－4－1型长方体展开图； B． ，不是长方体展开图； C． ，1－4－1型长方体展开图； 第 13 页 共 37 页 D． ，2－3－1型长方体展开图。 不是长方体侧面展开图的是 。 故答案为：B 【对应练习 1】 下列图形中，折叠后不能围成一个长方体的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体的特征，长方体的 6个面都是长方形（同时情况有两个相对 的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。 【详解】 A．根据长方体展开图的特征可知： 沿虚线折叠后能围成长 方体； B． 不符合长方体展开图的特征，所以不能围成长方体； 第 14 页 共 37 页 C． 沿虚线折叠后能围成长方体； D． 沿虚线折叠后能围成长方体。 故答案为：B 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 【对应练习 2】 下面图形沿着虚线折叠，不能围成长方体的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的特征，长方体的 6个面都是长方形（同时情况有两个相对 的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。 【详解】 A．根据长方体展开图的特征可知： 沿虚线折叠后能围成长 第 15 页 共 37 页 方体； B． 沿虚线折叠后能围成长方体； C． 不能围成长方体，因为它相对的面不相等； D． 沿虚线折叠后能围成长方体。 故答案为：C 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 【对应练习 3】 下图中能折成长方体的有( )个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据长方体的特征，长方体的 6个面都是长方形（同时特殊情况有两个 相对的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。 【详解】根据长方体展开图的特征可知： 能围成长方体； 第 16 页 共 37 页 不能围成长方体。 则能折成长方体的有 3个。 故答案为：C 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 【考点四】正方体的表面展开图。 【方法点拨】 1. 正方体的展开图共有 11 种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧 连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 第 17 页 共 37 页 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 【典型例题 1】问题一：找相对面。 将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是( )。 【答案】5 【分析】根据正方体展开图的特征可知，“1”的对面是“5”；“2”的对面是“4”；“3” 的对面是“6”；据此解答即可。 【详解】由分析可知：将所示展开图围成正方体后，“1”对面的是 5。 【对应练习 1】 下面是一个正方体的展开图（如图），把这个正方体展开图折叠成正方体后，“你” 字对面的字是( )。 你 我 的 中 国 梦 【答案】梦 【分析】根据正方体展开图 11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型， 根据相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，解答 即可。 【详解】该展开图折成正方体后，“你”和“梦”相对，“我”和“中”相对，“的”和“国” 相对。 即，“你”字对面的字是“梦”。 【对应练习 2】 如图是一个正方体的展开图。在这个正方体中，与 a面相对的是( )面， 与 b面相对的是( )面。 第 18 页 共 37 页 【答案】 d f 【分析】根据正方体展开图相对的面中间只隔（而且必须隔）一个面，相邻不相 对解答。 【详解】在这个正方体中，与 a面相对的是 d面，与 b面相对的是 f面。 所以与 a面相对的是 d面，与 b面相对的是 f面。 【对应练习 3】 有三块相同的数字积木（每块积木的面上分别标有 1～6六个数字）。摆放如图， 相对两个面上的数字乘积最大是( )。 【答案】18 【分析】由①和②可知，与 1相邻的面是 2、3、4、6，所以与 1相对的面是 5； 由②和③可知，与 3相邻的面是 1、2、4、5，所以与 3相对的面是 6； 所以与 2相对的面是 4。 再分别计算出对面两个数的乘积，再比较大小。 【详解】1对面是 5，3对面是 6，2对面是 4 1×5＝5，3×6＝18，2×4＝8 18＞8＞5，乘积最大的是 18。 对两个面上的数字乘积最大是 18。 【典型例题 2】问题二：判断表面展开图。 下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 第 19 页 共 37 页 【答案】B 【分析】分析题目，正方体的展开图有 11种，分为四种类型：“1－4－1”型，即 第一行有 1个，第二行有 4个，第三行有 1个；“2－2－2”型，即第一行有 2个， 第二行有 2个，第三行有 2个；“3－3”型，即第一行有 3个，第二行有 3个；“1 －3－2”型，即第一行有 1个，第二行有 3个，第三行有 2个；据此结合选项给 出的展开图判断即可。 【详解】 A． 属于正方体展开图中的：“1－4－1”型，沿虚线折叠后能围成正方 体； B． 不属于正方体展开图，沿虚线折叠后不能围成正方体； C． 属于正方体展开图中的：“2－2－2”型，沿虚线折叠后能围成正 方体； D． 属于正方体展开图中的：“1－3－2”型，沿虚线折叠后能围成正 方体。 故答案为：B 【对应练习 1】 下列各图中，不能折成正方体的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图一共有 11种。 （1）“1－4－1”型： 中间 4个一连串，两边各一随便放。 （2）“2－3－1”型： 二三紧连错一个，三一相连一随便。 第 20 页 共 37 页 （3）“2－2－2”型：两两相连各错一。 （4）“3－3”型：三个两排一对齐。 据此解答。 【详解】A．符合正方体展开图“1－4－1”型的特点，能折成正方体； B．符合正方体展开图“2－3－1”型的特点，能折成正方体； C．不符合正方体展开图的特点，不能折成正方体； D．符合正方体展开图“1－4－1”型的特点，能折成正方体。 故答案为：C 【对应练习 2】 请从下图①一④中选一个面和原来 5个面形成正方体展开图。这个面是 ( )。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】正方体展开图有 11种特征，分四种类型：第一种：“1－4－1”结构，即 第一行放 1个，第二行放 4个，第三行放 1个；第二种：“2－2－2”结构，即每 一行放 2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行 放 3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放 1个正 方形，第二行放 3个正方形，第三行放 2个正方形；由此判断即可。 【详解】A．①号面与其它 5个面组成了“1－4－1”结构，能够围成一个正方体； B．②号面与其它 5个面组成的结构不属于正方体展开图类型，不能围成正方体； C．③号面与其它 5个面组成的结构不属于正方体展开图类型，不能围成正方体； D．④号面与其它 5个面组成的结构不属于正方体展开图类型，不能围成正方体； 故答案为：A 【对应练习 3】 下面哪个不是正方体的展开图( )。 第 21 页 共 37 页 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体展开图有 11种特征，分四种类型，即第一种：“1−4−1”结构，即 第一行放 1个，第二行放 4个，第三行放 1个，此种结构有 6种展开图；第二种： “2−2−2”结构，即每一行放 2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3−3” 结构，即每一行放 3个正方形，此种结构只有一种展开图；第四种：“1−3−2”结 构，即第一行放 1个正方形，第二行放 3个正方形，第三行放 2个正方形，此种 结构有 3种展开图。 【详解】 A． 属于正方体展开图的“1−3−2”型，能折叠成一个正方体； B． 不属于正方体展开图，不能折叠成一个正方体； C． 属于正方体展开图的“1−3−2”型，能折叠成一个正方体； D． 属于正方体展开图的“1−4−1”型，能折叠成一个正方体。 故答案为：B 【点睛】本题考查了正方体的展开图的特征，熟练掌握正方体展开图的特征并灵 活运用。 【考点五】长方体的棱长及棱长总和。 【方法点拨】 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指 12条棱的长度之和。 第 22 页 共 37 页 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为 L=（a+b+h） ×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用， 此时注意简化计算步骤。 【典型例题 1】棱长和。 用铁丝制作一个长 3分米、宽 2分米，高 1分米的长方体框架，接口处需要另费 0.4分米，至少需要( )分米的铁丝。 【答案】24.4 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，接口处需要另费 0.4分米，那 需要的铁丝长度就等于长方体的棱长总和加接口处所耗费的铁丝长度，据此解答。 【详解】  3 2 1 4 0.4    6 4 0.4   24 0.4  24.4 （分米） 即制作这个长方体框架至少需要 24.4分米的铁丝。 【对应练习 1】 用铁丝做一个长 7cm、宽 5cm、高 3cm的长方体框架，至少需要( )dm 长的铁丝。 【答案】6 【分析】根据题意，用铁丝做一个长方体框架，求铁丝的长度，就是求长方体的 棱长总和； 根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，以及进率：1dm＝10cm，代入数据 计算，即可求解。 【详解】（7＋5＋3）×4 第 23 页 共 37 页 ＝15×4 ＝60（cm） 60cm＝6dm 至少需要 6dm长的铁丝。 【点睛】本题考查长方体棱长总和公式的运用，明白求铁丝的长度就是求长方体 的棱长总和是解题的关键。 【对应练习 2】 用铁丝制作一个长3分米、宽 2分米，高 1分米的长方体框架，至少需要( ) 分米的铁丝。 【答案】24 【分析】长方体有 12条棱，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；用铁丝制 作一个长 3分米、宽 2分米，高 1分米的长方体框架，根据长方体棱长的特点， 可知要求得需要多少分米的铁丝，列式为：（3＋2＋1）×4。 【详解】（3＋2＋1）×4 ＝6×4 ＝24（分米） 用铁丝制作一个长 3分米、宽 2分米，高 1分米的长方体框架，至少需要（24） 分米的铁丝。 【点睛】考查了长方体棱长公式的灵活应用，需要把具体数值与长方体的长、宽、 高三个基本元素对应起来。 【对应练习 3】 一个底面周长为 24厘米的长方体，高是 5厘米，它的棱长总和是( )厘 米。 【答案】68 【分析】根据长方形的周长＝长×2＋宽×2，长方体的棱长和＝长×4＋宽×4＋高 ×4，可得长方体的棱长和＝底面周长×2＋高×4，据此用 24×2＋5×4即可求出长 方体的棱长总和。 【详解】24×2＋5×4 ＝48＋20 第 24 页 共 37 页 ＝68（厘米） 一个底面周长为 24厘米的长方体，高是 5厘米，它的棱长总和是 68厘米。 【点睛】本题主要考查了长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 【典型例题 2】反求长、宽、高。 用一根 84cm长的铁丝恰好可以焊成一个长方体框架。框架长 10cm，宽 6cm， 高( )cm。 【答案】5 【分析】由题意可知，长方体框架的棱长和是 84cm。由“长方体的棱长和＝（长 ＋宽＋高）×4”可推导出：高＝长方体的棱长和÷4－长－宽。据此求高可列式为 84÷4－10－6。 【详解】84÷4－10－6 ＝21－10－6 ＝11－6 ＝5（cm） 所以高是 5cm。 【点睛】解决此题的关键是明确长方体的 12条棱中有 4条长、4条宽、4条高。 【对应练习 1】 用 200厘米长的铁丝做成一个长方体框架，长是 25厘米，宽是 14厘米，则它的 高是( )厘米。 【答案】11 【分析】长方体有 12条棱，分成 3组，也就是说一个长方体分别有 4条高，4 条长和 4条宽；用总长度除以 4求出长、宽、高的和，再减去长和宽的长度即可。 【详解】200÷4＝50（厘米） 50－25－14 ＝25－14 ＝11（厘米） 所以，用 200厘米长的铁丝做成一个长方体框架，长是 25厘米，宽是 14厘米， 则它的高是 11厘米。 【点睛】此题考查的目的是理解并掌握长方体的特征及棱长总和公式：棱长总和 第 25 页 共 37 页 ＝（长＋宽＋高）×4。 【对应练习 2】 用一根长 144cm的铁丝围一个长 8cm，宽( )cm，高 4cm的长方体模型。 【答案】24 【分析】根据题意，144cm就是长方体的棱长之和。长方体的棱长之和＝（长＋ 宽＋高）×4，据此用长方体的棱长之和除以 4，再减去长和高，即可求出长方体 的宽。 【详解】144÷4－8－4 ＝36－8－4 ＝24（cm） 则用一根长 144cm的铁丝围一个长 8cm，宽 24cm，高 4cm的长方体模型。 【对应练习 3】 用 320cm的灯带做一个长 25cm、宽 15cm的长方体彩灯框架，那么长方体彩灯 框架的高是( )cm。 【答案】40 【分析】根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，然后用 320除以 4，再 减去长和宽即可求出长方体彩灯框架的高。 【详解】320÷4－25－15 ＝80－25－15 ＝55－15 ＝40（cm） 则长方体彩灯框架的高是 40cm。 【点睛】本题考查长方体的总棱长，熟记公式是解题的关键。 【考点六】正方体的棱长及棱长总和。 【方法点拨】 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为 L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 【典型例题 1】棱长和。 一个正方体的棱长是 3厘米，这个正方体所有棱长的和是( )厘米。 第 26 页 共 37 页 【答案】36 【分析】根据正方体的棱长总和公式可知，正方体的棱长总和＝棱长×12，直接 代入数据计算即可得解。 【详解】3×12＝36（厘米） 即这个正方体所有棱长的和是 36厘米。 【点睛】此题主要考查正方体的棱长总和的计算方法。 【对应练习 1】 有一个正方体棱长是 8厘米，它的棱长总和是( )厘米。 【答案】96 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，已知正方体棱长是 8厘米，代入到 公式中，即可求出正方体的棱长总和。 【详解】12×8＝96（厘米） 即正方体的棱长总和是 96厘米。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用正方体的棱长总和公式求解。 【对应练习 2】 一个正方体的棱长是 0.5dm，它所有的棱长总和是( )dm。 【答案】6 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，已知一个正方体的棱长是 0.5dm， 把数据代入到公式中，即可求出它所有的棱长总和。 【详解】0.5×12＝6（dm） 即它所有的棱长总和是 6dm。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用正方体的棱长总和的计算方法，从而解决问 题。 【对应练习 3】 一个正方体纸盒每个面的周长都是 20厘米，它的棱长是( )厘米，棱长 总和是( )厘米。 【答案】 5 60 【分析】正方体每个面都是完全一样的正方形，根据正方形边长＝周长÷4，即可 求出正方体棱长，根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出棱长总和即可。 第 27 页 共 37 页 【详解】20÷4＝5（厘米） 5×12＝60（厘米） 它的棱长是 5厘米，棱长总和是 60厘米。 【点睛】关键是熟悉正方体特征，掌握并灵活运用正方体棱长总和公式。 【典型例题 2】反求棱长。 用一根长 36厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是 ( )厘米。 【答案】3 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，列 式计算即可。 【详解】36÷12＝3（厘米） 这个正方体框架的棱长是 3厘米。 【对应练习 1】 一个正方体棱长的和是 24cm，它的一条棱长是( )cm。 【答案】2 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，已知一个正方体棱长的和是 24cm， 用 24除以 12即可求出它的一条棱长。 【详解】24÷12＝2（cm） 即它的一条棱长是 2cm。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用正方体的棱长总和公式求解。 【对应练习 2】 把一根长 48厘米的铁丝折成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )。 【答案】4厘米/4cm 【分析】根据正方体的棱长和＝棱长×12，用 48÷12即可求出这个正方体的棱长。 【详解】48÷12＝4（厘米） 这个正方体的棱长是 4厘米。 【点睛】本题考查了正方体的棱长和公式的灵活应用。 【对应练习 3】 用一根 60cm长的铁丝做一个正方体形状的笼子，这个笼子的棱长是 第 28 页 共 37 页 ( )cm。 【答案】5 【分析】这根铁丝的总长度相当于正方体的棱长之和，正方体的棱长＝棱长之和 ÷12，据此解答。 【详解】60÷12＝5（cm） 所以，这根笼子的棱长是 5cm。 【点睛】灵活运用正方体的棱长之和计算公式是解答题目的关键。 【考点七】长方体的棱长总和与生活实际应用问题。 【方法点拨】 解决长方体的棱长总和与生活实际应用问题，需要熟练掌握棱长总和公式。 【典型例题】 母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得更精美，按照右图的方法捆扎， 打结处需要 20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要多少厘米丝带？ 【答案】340厘米 【分析】观察图片可知，丝带的长度＝4条高＋2条长＋2条宽＋打结处，据此 解答即可。 【详解】60×2＋40×2＋30×4＋20 ＝120＋80＋120＋20 ＝340（厘米） 答：捆扎这个礼品盒一共需要 340厘米丝带。 【点睛】本题考查了长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 【对应练习 1】 用一根丝带捆扎一个礼盒（如下图），打结处的丝带长 30厘米，捆扎这个礼盒 至少需要多长的丝带？ 第 29 页 共 37 页 【答案】160厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个礼盒至少需要丝带的长度＝2条长＋2条宽＋4 条高＋打结用的长度，据此解答。 【详解】25×2＋20×2＋10×4＋30 ＝50＋40＋40＋30 ＝90＋40＋30 ＝130＋30 ＝160（厘米） 答：捆扎这个礼盒至少需要 160厘米的丝带。 【点睛】本题考查长方体棱长总和公式的实际应用，弄清是如何捆扎的，也就是 弄清需要求哪些棱的长度之和。 【对应练习 2】 小明同学为爷爷准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，长、宽、高分 别 24厘米、20厘米、8厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长 18厘米， 一共需要多少厘米彩带？ 【答案】138厘米 【分析】由题意可知，彩带长度的等于 2条长、2条宽、4条高与接头长度的和， 据此解答即可。 【详解】24×2＋20×2＋8×4＋18 ＝48＋40＋32＋18 ＝88＋32＋18 ＝120＋18 ＝138（厘米） 第 30 页 共 37 页 答：一共需要 138厘米彩带。 【点睛】本题考查长方体有关棱长的应用，明确彩带的构成是解题的关键。 【对应练习 3】 一条丝带长 10米，用这种丝带捆扎一种礼盒，捆扎方法如下图，结头处用去的 丝带长 30厘米，这条丝带最多可以捆扎多少个这样的礼盒？ 【答案】9个 【分析】观察图形可知，捆扎这种礼盒至少需要丝带的长度＝2条长＋2条宽＋4 条高＋打结用的长度，再用丝带的全长除以捆扎每个礼盒需要丝带的长度，即可 求出这条丝带最多可以捆扎礼盒的个数。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】15×2＋10×2＋6×4＋30 ＝30＋20＋24＋30 ＝104（厘米） 10米＝1000厘米 1000÷104≈9（个） 答：这条丝带最多可捆扎 9个这样的礼盒。 【点睛】本题考查长方体棱长总和公式的实际应用以及小数除法的应用，弄清是 如何捆扎的，也就是弄清需要求哪些棱的长度之和。注意计算结果要结合生活实 际，采用“去尾法”取近似数。 【考点八】正方体的棱长总和与生活实际应用问题。 【方法点拨】 解决正方体的棱长总和与生活实际应用问题，需要熟练掌握棱长总和公式。 【典型例题】 五一期间，外地游客小明到“广州市场步行街”买到一个礼物，这个礼物的礼盒是 一个正方体，这个礼盒用打包带按如图所示方法捆起来（打结处打包带长 20厘 米），一共要用多少厘米的打包带？ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元长方体（一）·概念认识篇【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元长方体（一）·概念认识篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的基础概念和认识为主，其中包括长方体和正方体的基本概念、棱长及棱长和的计算与实际应用等内容，棱长和问题是本专题的重点问题。 总体评价 讲解建议 本专题考察较为基础，多以填空和简单应用为主，建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 十个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的认识及特征 3 【考点二】正方体的认识及特征 5 【考点三】长方体的表面展开图 9 【考点四】正方体的表面展开图 16 【考点五】长方体的棱长及棱长总和 21 【考点六】正方体的棱长及棱长总和 25 【考点七】长方体的棱长总和与生活实际应用问题 28 【考点八】正方体的棱长总和与生活实际应用问题 30 【考点九】长方体和正方体的等长转化问题 33 【考点十】长方体和正方体棱长的增减变化问题 35 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的认识及特征。 【方法点拨】 1. 长方体的定义。 由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 【典型例题】 长方体。 (1)长方体有( )个面，每个面的形状是( )，( )的面是完全相同的。 (2)长方体有( )条棱，( )的棱长度相等。 (3)长方体有( )个顶点。 (4)长方体的12条棱可以分成( )组，相交于同一顶点的三条棱的长度( )。 【答案】(1) 6 长方形 相对 (2) 12 相对 (3)8 (4) 4 不相等 【分析】根据长方体的特征，长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊的长方体有两个相对的面是正方形），长方体中相对的面完全相同；它有12条棱，相对的棱的长度相等；长方体有4条长、4条宽、4条高，相交于同一顶点的三条棱就是长方体的长、宽和高；三条棱相交的点就是顶点，据此解答即可。 【详解】（1）长方体有6个面，每个面的形状是长方形，相对的面是完全相同的。 （2）长方体有12条棱，相对的棱长度相等。 （3）长方体有8个顶点。 （4）长方体的12条棱可以分成4组，相交于同一顶点的三条棱的长度不相等。 【点睛】本题考查长方体，明确长方体的特征是解题的关键。 【对应练习1】 实践课上，琳琳用小棒做了一个长方体框架，这个框架上任意一条棱都有另外( )条棱与它平行，这几条棱的长度关系是( )。 【答案】 三/3 相等 【分析】长方体有12条棱，其中4条长、4条宽、4条高，长、宽、高分别平行且相等。据此填空。 【详解】这个框架上任意一条棱都有另外3条棱与它平行，这几条棱的长度关系是相等。 【点睛】本题考查了长方体，掌握长方体的特征是解题的关键。 【对应练习2】 一个长方体（非正方体）最多可以有( )个面是正方形。 【答案】2/二/两 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等；由此解答。 【详解】在一个长方体（非正方体）中最多可以有2个面是正方形。 【点睛】此题主要考查长方体的特征。 【对应练习3】 老师为同学们准备了一些小棒（有多余），用这些小棒和橡皮泥做一个长方体框架。这个长方体框架的长是( )cm、宽和高都是( )cm。 小棒长度 根数 6cm 1 5cm 5 3cm 9 【答案】 5 3 【分析】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱，据此分析。 【详解】同样长度的小棒最少需要4根，6cm的小棒只有1根，无法用，可选5厘米的小棒4根做长方体的长，3厘米的小棒8根做长方体的宽和高。 【点睛】关键是熟悉长方体的特征。 【考点二】正方体的认识及特征。 【方法点拨】 1. 正方体的认识。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别。 【典型例题】 正方体有( )个面且所有的面完全相同，它有( )条棱，所有棱的长度都相等。 【答案】 6 12 【分析】根据正方体的特征，正方体有6个面，每个面都是正方形，且面积相等，正方体有8个顶点，12条棱，每条棱长度相等，据此解答即可。 【详解】正方体有6个面且所有的面完全相同，它有12条棱，所有棱的长度都相等。 【对应练习1】 长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 【答案】 8 6 12 【分析】长方体特征： （1）长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 （2）长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。 （3）长方体长方体有8个顶点，每个顶点连接三条三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 正方体特征： （1）6个面都是正方形，且面积相等； （2）8个顶点； （3）12条棱长度都相等； 【详解】根据长方体和正方体的共同特征可知：长方体和正方体都有8个顶点，6个面，12条棱。 【对应练习2】 有一个正方体，六个面分别写有字母a、b、c、d、e、f，从三个不同的角度观察，结果如下图所示，则字母f对面的字母是( )。 【答案】c 【分析】根据题意，正方体6个面，分别由6个字母表示，根据相邻则不可能相对的原则，我们先来看相邻f的有，已知与f相邻的有a、d，在第二个正方体中，a与c、b相邻，a的对面是e，所以f与e也相邻；有第一图和第三图可知，d和a、f、e、c相邻，所以d对面是b；综合前面，f与a、d、e、b相邻，则相对的是c。 【详解】根据相邻则不可能相对的原则，相邻的有f：a、d、e、b，，则相对的是c。 字母f对面的字母是c。 【对应练习3】 想一想、选一选。 下图分别是长方体或正方体一个顶点处的3条棱。（单位： cm） 图1                  图2                  图3 请从以下图形中选择6个面（可重复选择），围出相应的长方体或正方体。 (1)围成图1应选择( )个( )号、( )个( )号和( )个( )号图形。 (2)围成图2应选择( )。 (3)围成图3应选择( )。 【答案】(1) 2 ③ 2 ⑤ 2 ② (2)4个⑤号图形， 2个⑥号图形 (3)6个⑥号图形 【分析】长方体有六个面都是长方形，前后面、左右面、上下面两两相对，十二条棱中有三条长三条宽三条高。正方体的六个面都是正方形，十二条棱都相等。据此解答。 【详解】（1）根据图1可知长方体的长宽高分别是9、7、4，围成长方体需要③号2个、⑤号2个、②号2个分别对应前后面、左右面、上下面。 （2）根据图2可知长方体的长宽高分别是7、7、4，围成长方体需要4个⑤号图形、 2个⑥号图形分别对应前后左右面、上下面。 （3）根据图3可知正方体的棱长是7，围成正方体需要6个⑥号图形。 【考点三】长方体的表面展开图。 【方法点拨】 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 【典型例题1】问题一：找相对面。 在下面的展开图中找出相对的面，并用“上”“下”“前”“后”“左”“右”标明6个面。 【答案】见详解 【分析】根据长方体展开图的特征，右图属于长方体展开图的“1－4－1”型，再根据长方体对面是相同的长方形（特殊情况有一组对面是正方形），即可确定右图各面分别是原长方体的哪个面。最大的两个面是上下的两个面，根据掀开的顺序可以看出，最上面的那个面是上面，中间的那个大的面是下面；最左边的面是左面，最右边的面是右面；最下面的一个面是前面，剩下的就是后面。 【详解】如图： 【对应练习1】 把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有3的面与标有( )的面相对，标有6的面与标有( )的面相对。 【答案】 5 1 【分析】根据长方体展开图的特征，此图属于长方体展开图“1－4－1”型，折成长方体后，数字“3”和“5”相对，“6”和“1”相对。 【详解】根据长方体展开图的特征，这个长方体上标有3的面与标有5的面相对，标有6的面与标有1的面相对。 【点睛】根据长方体展开图的特征，结合自身空间想象能力，找到展开图的每个相对面。 【对应练习2】 下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则( )字在下面，“城”字在前面，( )字在后面，“创”字在( )面，“市”字在( )面。 【答案】 明 文 左 右 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。通过观察长方体的展开图可知，“建”字与“明”字相对，“城”字与“文”字相对，“创”字与“市”字相对。据此解答即可。 【详解】根据分析得，如果“建”字在上面，则“明”字在下面，“城”字在前面，“文”字在后面，“创”字在“左”面，“市”字在右面。 【点睛】本题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 【对应练习3】 在长方体展开图中，用数字表示前、后、左、右、上、下六个面，如果“1”是右面，那么“5”是( )面。“6”的对面是( )。 【答案】 前 2 【分析】观察图形可知，展开图符合长方体展开图的“1－4－1”型结构，折叠后①对应的是④，②对应的是⑥；③对应⑤，由此可知，①是右面，④是左面；②是下面，⑥是上面，③是后面，⑤是前面。 【详解】由分析可得：如果“1”是右面，那么“5”是前面。“6”的对面是2。 【点睛】根据长方体展开图的特征解答本题。 【典型例题2】问题二：判断表面展开图。 下列不是长方体侧面展开图的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个长方体的盒子沿棱剪开，可以归纳为以下几种常见情况： 1、“1－4－1”型 2、“2－3－1”型 3、“2－3－1”型 【详解】 A．，1－4－1型长方体展开图； B．，不是长方体展开图； C． ，1－4－1型长方体展开图； D．，2－3－1型长方体展开图。 不是长方体侧面展开图的是。 故答案为：B 【对应练习1】 下列图形中，折叠后不能围成一个长方体的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（同时情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。 【详解】 A．根据长方体展开图的特征可知：沿虚线折叠后能围成长方体； B．不符合长方体展开图的特征，所以不能围成长方体； C．沿虚线折叠后能围成长方体； D．沿虚线折叠后能围成长方体。 故答案为：B 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 【对应练习2】 下面图形沿着虚线折叠，不能围成长方体的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（同时情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。 【详解】 A．根据长方体展开图的特征可知：沿虚线折叠后能围成长方体； B．沿虚线折叠后能围成长方体； C．不能围成长方体，因为它相对的面不相等； D．沿虚线折叠后能围成长方体。 故答案为：C 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 【对应练习3】 下图中能折成长方体的有( )个。    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（同时特殊情况有两个相对的面是正方形），相对面的面积相等。据此解答即可。 【详解】根据长方体展开图的特征可知：能围成长方体；不能围成长方体。 则能折成长方体的有3个。 故答案为：C 【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 【考点四】正方体的表面展开图。 【方法点拨】 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 【典型例题1】问题一：找相对面。 将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是( )。 【答案】5 【分析】根据正方体展开图的特征可知，“1”的对面是“5”；“2”的对面是“4”；“3”的对面是“6”；据此解答即可。 【详解】由分析可知：将所示展开图围成正方体后，“1”对面的是5。 【对应练习1】 下面是一个正方体的展开图（如图），把这个正方体展开图折叠成正方体后，“你”字对面的字是( )。 你 我 的 中 国 梦 【答案】梦 【分析】根据正方体展开图11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，根据相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，解答即可。 【详解】该展开图折成正方体后，“你”和“梦”相对，“我”和“中”相对，“的”和“国”相对。 即，“你”字对面的字是“梦”。 【对应练习2】 如图是一个正方体的展开图。在这个正方体中，与a面相对的是( )面，与b面相对的是( )面。 【答案】 d f 【分析】根据正方体展开图相对的面中间只隔（而且必须隔）一个面，相邻不相对解答。 【详解】在这个正方体中，与a面相对的是d面，与b面相对的是f面。 所以与a面相对的是d面，与b面相对的是f面。 【对应练习3】 有三块相同的数字积木（每块积木的面上分别标有1～6六个数字）。摆放如图，相对两个面上的数字乘积最大是( )。 【答案】18 【分析】由①和②可知，与1相邻的面是2、3、4、6，所以与1相对的面是5； 由②和③可知，与3相邻的面是1、2、4、5，所以与3相对的面是6； 所以与2相对的面是4。 再分别计算出对面两个数的乘积，再比较大小。 【详解】1对面是5，3对面是6，2对面是4 1×5＝5，3×6＝18，2×4＝8 18＞8＞5，乘积最大的是18。 对两个面上的数字乘积最大是18。 【典型例题2】问题二：判断表面展开图。 下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题目，正方体的展开图有11种，分为四种类型：“1－4－1”型，即第一行有1个，第二行有4个，第三行有1个；“2－2－2”型，即第一行有2个，第二行有2个，第三行有2个；“3－3”型，即第一行有3个，第二行有3个；“1－3－2”型，即第一行有1个，第二行有3个，第三行有2个；据此结合选项给出的展开图判断即可。 【详解】 A．属于正方体展开图中的：“1－4－1”型，沿虚线折叠后能围成正方体； B．不属于正方体展开图，沿虚线折叠后不能围成正方体； C．属于正方体展开图中的：“2－2－2”型，沿虚线折叠后能围成正方体；     D．属于正方体展开图中的：“1－3－2”型，沿虚线折叠后能围成正方体。 故答案为：B 【对应练习1】 下列各图中，不能折成正方体的是( )。 A．B．C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图一共有11种。 （1）“1－4－1”型： 中间4个一连串，两边各一随便放。 （2）“2－3－1”型： 二三紧连错一个，三一相连一随便。 （3）“2－2－2”型：两两相连各错一。 （4）“3－3”型：三个两排一对齐。 据此解答。 【详解】A．符合正方体展开图“1－4－1”型的特点，能折成正方体； B．符合正方体展开图“2－3－1”型的特点，能折成正方体； C．不符合正方体展开图的特点，不能折成正方体； D．符合正方体展开图“1－4－1”型的特点，能折成正方体。 故答案为：C 【对应练习2】 请从下图①一④中选一个面和原来5个面形成正方体展开图。这个面是( )。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形；由此判断即可。 【详解】A．①号面与其它5个面组成了“1－4－1”结构，能够围成一个正方体； B．②号面与其它5个面组成的结构不属于正方体展开图类型，不能围成正方体； C．③号面与其它5个面组成的结构不属于正方体展开图类型，不能围成正方体； D．④号面与其它5个面组成的结构不属于正方体展开图类型，不能围成正方体； 故答案为：A 【对应练习3】 下面哪个不是正方体的展开图( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即第一种：“1−4−1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个，此种结构有6种展开图；第二种：“2−2−2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3−3”结构，即每一行放3个正方形，此种结构只有一种展开图；第四种：“1−3−2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形，此种结构有3种展开图。 【详解】 A．属于正方体展开图的“1−3−2”型，能折叠成一个正方体； B．不属于正方体展开图，不能折叠成一个正方体； C．属于正方体展开图的“1−3−2”型，能折叠成一个正方体； D．属于正方体展开图的“1−4−1”型，能折叠成一个正方体。 故答案为：B 【点睛】本题考查了正方体的展开图的特征，熟练掌握正方体展开图的特征并灵活运用。 【考点五】长方体的棱长及棱长总和。 【方法点拨】 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 【典型例题1】棱长和。 用铁丝制作一个长3分米、宽2分米，高1分米的长方体框架，接口处需要另费0.4分米，至少需要( )分米的铁丝。 【答案】24.4 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，接口处需要另费0.4分米，那需要的铁丝长度就等于长方体的棱长总和加接口处所耗费的铁丝长度，据此解答。 【详解】 （分米） 即制作这个长方体框架至少需要24.4分米的铁丝。 【对应练习1】 用铁丝做一个长7cm、宽5cm、高3cm的长方体框架，至少需要( )dm长的铁丝。 【答案】6 【分析】根据题意，用铁丝做一个长方体框架，求铁丝的长度，就是求长方体的棱长总和； 根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，以及进率：1dm＝10cm，代入数据计算，即可求解。 【详解】（7＋5＋3）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 60cm＝6dm 至少需要6dm长的铁丝。 【点睛】本题考查长方体棱长总和公式的运用，明白求铁丝的长度就是求长方体的棱长总和是解题的关键。 【对应练习2】 用铁丝制作一个长3分米、宽2分米，高1分米的长方体框架，至少需要( )分米的铁丝。 【答案】24 【分析】长方体有12条棱，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；用铁丝制作一个长3分米、宽2分米，高1分米的长方体框架，根据长方体棱长的特点，可知要求得需要多少分米的铁丝，列式为：（3＋2＋1）×4。 【详解】（3＋2＋1）×4 ＝6×4 ＝24（分米） 用铁丝制作一个长3分米、宽2分米，高1分米的长方体框架，至少需要（24）分米的铁丝。 【点睛】考查了长方体棱长公式的灵活应用，需要把具体数值与长方体的长、宽、高三个基本元素对应起来。 【对应练习3】 一个底面周长为24厘米的长方体，高是5厘米，它的棱长总和是( )厘米。 【答案】68 【分析】根据长方形的周长＝长×2＋宽×2，长方体的棱长和＝长×4＋宽×4＋高×4，可得长方体的棱长和＝底面周长×2＋高×4，据此用24×2＋5×4即可求出长方体的棱长总和。 【详解】24×2＋5×4 ＝48＋20 ＝68（厘米） 一个底面周长为24厘米的长方体，高是5厘米，它的棱长总和是68厘米。 【点睛】本题主要考查了长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 【典型例题2】反求长、宽、高。 用一根84cm长的铁丝恰好可以焊成一个长方体框架。框架长10cm，宽6cm，高( )cm。 【答案】5 【分析】由题意可知，长方体框架的棱长和是84cm。由“长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4”可推导出：高＝长方体的棱长和÷4－长－宽。据此求高可列式为84÷4－10－6。 【详解】84÷4－10－6 ＝21－10－6 ＝11－6 ＝5（cm） 所以高是5cm。 【点睛】解决此题的关键是明确长方体的12条棱中有4条长、4条宽、4条高。 【对应练习1】 用200厘米长的铁丝做成一个长方体框架，长是25厘米，宽是14厘米，则它的高是( )厘米。 【答案】11 【分析】长方体有12条棱，分成3组，也就是说一个长方体分别有4条高，4条长和4条宽；用总长度除以4求出长、宽、高的和，再减去长和宽的长度即可。 【详解】200÷4＝50（厘米） 50－25－14 ＝25－14 ＝11（厘米） 所以，用200厘米长的铁丝做成一个长方体框架，长是25厘米，宽是14厘米，则它的高是11厘米。 【点睛】此题考查的目的是理解并掌握长方体的特征及棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。 【对应练习2】 用一根长144cm的铁丝围一个长8cm，宽( )cm，高4cm的长方体模型。 【答案】24 【分析】根据题意，144cm就是长方体的棱长之和。长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，据此用长方体的棱长之和除以4，再减去长和高，即可求出长方体的宽。 【详解】144÷4－8－4 ＝36－8－4 ＝24（cm） 则用一根长144cm的铁丝围一个长8cm，宽24cm，高4cm的长方体模型。 【对应练习3】 用320cm的灯带做一个长25cm、宽15cm的长方体彩灯框架，那么长方体彩灯框架的高是( )cm。 【答案】40 【分析】根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，然后用320除以4，再减去长和宽即可求出长方体彩灯框架的高。 【详解】320÷4－25－15 ＝80－25－15 ＝55－15 ＝40（cm） 则长方体彩灯框架的高是40cm。 【点睛】本题考查长方体的总棱长，熟记公式是解题的关键。 【考点六】正方体的棱长及棱长总和。 【方法点拨】 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 【典型例题1】棱长和。 一个正方体的棱长是3厘米，这个正方体所有棱长的和是( )厘米。 【答案】36 【分析】根据正方体的棱长总和公式可知，正方体的棱长总和＝棱长×12，直接代入数据计算即可得解。 【详解】3×12＝36（厘米） 即这个正方体所有棱长的和是36厘米。 【点睛】此题主要考查正方体的棱长总和的计算方法。 【对应练习1】 有一个正方体棱长是8厘米，它的棱长总和是( )厘米。 【答案】96 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，已知正方体棱长是8厘米，代入到公式中，即可求出正方体的棱长总和。 【详解】12×8＝96（厘米） 即正方体的棱长总和是96厘米。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用正方体的棱长总和公式求解。 【对应练习2】 一个正方体的棱长是0.5dm，它所有的棱长总和是( )dm。 【答案】6 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，已知一个正方体的棱长是0.5dm，把数据代入到公式中，即可求出它所有的棱长总和。 【详解】0.5×12＝6（dm） 即它所有的棱长总和是6dm。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用正方体的棱长总和的计算方法，从而解决问题。 【对应练习3】 一个正方体纸盒每个面的周长都是20厘米，它的棱长是( )厘米，棱长总和是( )厘米。 【答案】 5 60 【分析】正方体每个面都是完全一样的正方形，根据正方形边长＝周长÷4，即可求出正方体棱长，根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出棱长总和即可。 【详解】20÷4＝5（厘米） 5×12＝60（厘米） 它的棱长是5厘米，棱长总和是60厘米。 【点睛】关键是熟悉正方体特征，掌握并灵活运用正方体棱长总和公式。 【典型例题2】反求棱长。 用一根长36厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是( )厘米。 【答案】3 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，列式计算即可。 【详解】36÷12＝3（厘米） 这个正方体框架的棱长是3厘米。 【对应练习1】 一个正方体棱长的和是24cm，它的一条棱长是( )cm。 【答案】2 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，已知一个正方体棱长的和是24cm，用24除以12即可求出它的一条棱长。 【详解】24÷12＝2（cm） 即它的一条棱长是2cm。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用正方体的棱长总和公式求解。 【对应练习2】 把一根长48厘米的铁丝折成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )。 【答案】4厘米/4cm 【分析】根据正方体的棱长和＝棱长×12，用48÷12即可求出这个正方体的棱长。 【详解】48÷12＝4（厘米） 这个正方体的棱长是4厘米。 【点睛】本题考查了正方体的棱长和公式的灵活应用。 【对应练习3】 用一根60cm长的铁丝做一个正方体形状的笼子，这个笼子的棱长是( )cm。 【答案】5 【分析】这根铁丝的总长度相当于正方体的棱长之和，正方体的棱长＝棱长之和÷12，据此解答。 【详解】60÷12＝5（cm） 所以，这根笼子的棱长是5cm。 【点睛】灵活运用正方体的棱长之和计算公式是解答题目的关键。 【考点七】长方体的棱长总和与生活实际应用问题。 【方法点拨】 解决长方体的棱长总和与生活实际应用问题，需要熟练掌握棱长总和公式。 【典型例题】 母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得更精美，按照右图的方法捆扎，打结处需要20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要多少厘米丝带？    【答案】340厘米 【分析】观察图片可知，丝带的长度＝4条高＋2条长＋2条宽＋打结处，据此解答即可。 【详解】60×2＋40×2＋30×4＋20 ＝120＋80＋120＋20 ＝340（厘米） 答：捆扎这个礼品盒一共需要340厘米丝带。 【点睛】本题考查了长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 【对应练习1】 用一根丝带捆扎一个礼盒（如下图），打结处的丝带长30厘米，捆扎这个礼盒至少需要多长的丝带？ 【答案】160厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个礼盒至少需要丝带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。 【详解】25×2＋20×2＋10×4＋30 ＝50＋40＋40＋30 ＝90＋40＋30 ＝130＋30 ＝160（厘米） 答：捆扎这个礼盒至少需要160厘米的丝带。 【点睛】本题考查长方体棱长总和公式的实际应用，弄清是如何捆扎的，也就是弄清需要求哪些棱的长度之和。 【对应练习2】 小明同学为爷爷准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，长、宽、高分别24厘米、20厘米、8厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米彩带？    【答案】138厘米 【分析】由题意可知，彩带长度的等于2条长、2条宽、4条高与接头长度的和，据此解答即可。 【详解】24×2＋20×2＋8×4＋18 ＝48＋40＋32＋18 ＝88＋32＋18 ＝120＋18 ＝138（厘米） 答：一共需要138厘米彩带。 【点睛】本题考查长方体有关棱长的应用，明确彩带的构成是解题的关键。 【对应练习3】 一条丝带长10米，用这种丝带捆扎一种礼盒，捆扎方法如下图，结头处用去的丝带长30厘米，这条丝带最多可以捆扎多少个这样的礼盒？ 【答案】9个 【分析】观察图形可知，捆扎这种礼盒至少需要丝带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，再用丝带的全长除以捆扎每个礼盒需要丝带的长度，即可求出这条丝带最多可以捆扎礼盒的个数。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】15×2＋10×2＋6×4＋30 ＝30＋20＋24＋30 ＝104（厘米） 10米＝1000厘米 1000÷104≈9（个） 答：这条丝带最多可捆扎9个这样的礼盒。 【点睛】本题考查长方体棱长总和公式的实际应用以及小数除法的应用，弄清是如何捆扎的，也就是弄清需要求哪些棱的长度之和。注意计算结果要结合生活实际，采用“去尾法”取近似数。 【考点八】正方体的棱长总和与生活实际应用问题。 【方法点拨】 解决正方体的棱长总和与生活实际应用问题，需要熟练掌握棱长总和公式。 【典型例题】 五一期间，外地游客小明到“广州市场步行街”买到一个礼物，这个礼物的礼盒是一个正方体，这个礼盒用打包带按如图所示方法捆起来（打结处打包带长20厘米），一共要用多少厘米的打包带？ 【答案】660厘米 【分析】由图可知，正方体上下两个面分别需要计算4条棱的长度，四个侧面分别需要计算2条棱的长度，－共需要计算（4×2＋2×4）条正方体的棱长，再乘正方体每条棱的长度，最后加上打结处打包带的长度，据此解答。 【详解】（4×2＋2×4）×40＋20 ＝（8＋8）×40＋20 ＝16×40＋20 ＝640＋20 ＝660（厘米） 答：一共要用660厘米的打包带。 【点睛】本题主要考查正方体棱长之和的应用，分析图形求出需要计算棱长的数量是解答题目的关键。 【对应练习1】 快递公司要把一个棱长为40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要30厘米。捆扎这个物体一共需要多少米包装袋？ 【答案】3.5米 【分析】观察题意可知，包装带的长度＝8条正方体的棱长＋接头处，已知正方体的棱长为40厘米，用40×8＋30即可求出捆扎这个物体一共需要多少厘米包装带，然后把单位换算成米，据此解答。 【详解】40×8＋30 ＝320＋30 ＝350（厘米） 350厘米＝3.5米 答：捆扎这个物体一共需要3.5米包装带。 【点睛】本题考查了正方体棱长和公式的灵活应用，关键是明确包装袋的长度包含了几条棱长。 【对应练习2】 妈妈给奶奶买了一件母亲节礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎，打结处需要45厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 【答案】245厘米 【分析】根据题意和图形可知，所需丝带的长度等于8条棱长的长度＋打结处用的45厘米，由此列式解答。 【详解】8×25＋45 ＝200＋45 ＝245（厘米） 答：捆扎这个礼物一共需要245厘米丝带。 【点睛】此题属于正方体的棱长总和的实际应用，首先分清是如何捆扎的，然后根据棱长总和的计算方法解答。 【对应练习3】 给一个正方体礼品盒包装，用了50厘米长的丝带，其中，打结用了14厘米。礼品盒一个面的边长是多少厘米？ 【答案】9厘米 【分析】根据正方体的特征：12条棱分别相等，由图形可知，丝带一共绕了正方体的四个棱长的长度，总长度减去打结用了14厘米，再除以4，即可求出正方体的棱长，解答即可。 【详解】（50－14）÷4 ＝36÷4 ＝9（厘米） 答：礼品盒一个面的边长是9厘米。 【点睛】解决此题的关键是理解正方体棱长的特征，弄清围绕的长度是围了几条棱。 【考点九】长方体和正方体的等长转化问题。 【方法点拨】 长方体和正方体的等长转化问题，即在棱长总和相等的情况下，可以根据相关条件求出所需要的数据。 【典型例题】 1．一根钢丝可以做成棱长4分米的正方体框架。如果用这根钢丝做成一个长5分米、宽4分米的长方体框架，它的高是多少分米？ 【答案】3分米 【分析】同一根钢丝做成长方体和正方体，则两个图形的棱长和不变。根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长乘12即可求出正方体的棱长之和；再根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用棱长和除以4，再减去长方体的长和宽，即可求出长方体的高，列式解答即可。 【详解】4×12＝48（分米） 48÷4＝12（分米） 12－5－4 ＝7－4 ＝3（分米） 答：它的高是3分米。 2．乐乐参加学校手工制作社团，他用一根铁丝正好制作一个长是厘米，宽是厘米，高是厘米的长方体。他如果想用这根铁丝制作一个正方体，请同学们帮他设计一下，正方体的棱长应该是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，据此求出这根铁丝的长度；再根据正方体棱长和＝棱长×12，求出正方体的棱长应该是多少厘米即可。 【详解】 （厘米） 答：正方体的棱长应该是8厘米。 【点睛】本题考查长方体、正方体的棱长，解答本题的关键是掌握长方体、正方体的棱长和计算公式。 【对应练习1】 用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一个长12厘米、宽7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不计） 【答案】5厘米 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出正方体的棱长总和；由于正方体棱长总和等于长方体棱长总和；根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据，即可解答。 【详解】8×12÷4－12－7 ＝96÷4－12－7 ＝24－12－7 ＝12－7 ＝5（厘米） 答：这个长方体的高是5厘米。 【对应练习2】 用一根铁丝制成了一个长7厘米，宽6厘米，高2厘米的长方体框架，如果用这根铁丝制成一个正方体框架，正方体的棱长是多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）× 4。这个长方体的长为7厘米，宽为6 厘米，高为2厘米，所以长方体的棱长总和为：（7＋6＋2）×4＝60（厘米）。因为这根铁丝被用来制成正方体框架，所以铁丝的长度不变，即正方体的棱长总和也是 60厘米。正方体的棱长总和＝棱长×12，所以正方体的棱长＝棱长总和÷12。 【详解】长方体的棱长总和为： （7＋6＋2）×4 ＝15× 4 ＝60（厘米） 正方体的棱长为：60÷12＝5（厘米） 答：正方体的棱长是5厘米。 【对应练习3】 一根铁丝恰好可以焊接成一个长14厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架，若这根铁丝也恰好能焊接成一个正方体框架，那么这个正方体框架的棱长是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】先根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求出长方体框架的棱长和，再根据题意可知：长方体框架的棱长和也就是正方体的棱长和，用正方体的棱长和除以12就可以计算出正方体框架的棱长。 【详解】（14＋6＋4）×4÷12 ＝24×4÷12 ＝8（厘米） 答：这个正方体框架的棱长是8厘米。 【点睛】此题的解题关键是熟练掌握长方体和正方体的棱长和公式。 【考点十】长方体和正方体棱长的增减变化问题。 【方法点拨】 棱长的增减变化相对于后续表面积的增减变化，较为简单，注意推断。 【典型例题】 一个长方体长6厘米，宽5厘米，高5厘米，把它的长、宽、高各增加1厘米，得到一个新的长方体，问新的长方体的棱长总和是多少？ 【答案】76厘米 【分析】根据题意，先求出新长方体的长、宽、高，然后用棱长总和公式：长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4，据此列式解答. 【详解】[(6+1)+(5+1)+(5+1)]×4 =[7+6+6]×4 =19×4 =76（厘米） 答：新的长方体的棱长总和是76厘米. 【对应练习1】 把一个棱长是8厘米的正方体切成两个完全一样的长方体，这两个长方体的棱长总和与原来正方体的棱长总和相比，增加了多少厘米？ 【答案】64厘米 【分析】根据题意，把一个正方体切成两个完全一样的长方体，会增加两个截面，每个截面有4条棱长，两个截面有8条棱长，所以增加的棱长总和是8条棱长之和。 【详解】8×8＝64（厘米） 答：增加了64厘米。 【对应练习2】 一个长方体被截成两个完全相同的正方体。两个正方体的棱长之和比原来的长方体的棱长之和增加了16厘米。原来的长方体最长的棱是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】一个长方体被截成两个完全相同的正方体，说明这个长方体有2个面是正方形，将原来的长方体最长的棱看作长方体的高，这个长方体，长＝宽，且高是长的2倍，两个正方体的棱长之和比原来的长方体的棱长之和增加了8条正方体的棱长，增加的棱长÷8＝正方体棱长，即长方体的长和宽，正方体棱长×2＝长方体的高，即原来的长方体最长的棱。 【详解】16÷8×2＝4（厘米） 答：原来的长方体最长的棱是4厘米。 【对应练习3】 一个长方体的铁块，被截成两个完全相等的正方体。两个正方体棱长之和比原来长方体棱长之和增加了16厘米。求原来长方体的长是多少厘米？ 【答案】4厘米 【分析】长方体能截成两个正方体，那说明长方体有两个面是正方形，如果宽和高相等，长应是高和宽的2倍，增加了8条和宽与高相等的棱。可先求高和宽，再求长方体的长。 【详解】16÷8＝2（厘米） 2×2＝4（厘米） 答：原来长方体的长是4厘米。 【点睛】本题考查正方体的特征，明确正方体的特征是解题的关键。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 23 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 23 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元长方体（一）·概念认识篇【十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元长方体（一）·概念认识篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的基础概念和认识为主，其中包括 长方体和正方体的基本概念、棱长及棱长和的计算与实际应 用等内容，棱长和问题是本专题的重点问题。 总体评价 讲解建议 本专题考察较为基础，多以填空和简单应用为主，建议作为 本章基础内容进行讲解。 考点数量 十个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的认识及特征 ....................................................................................... 3 【考点二】正方体的认识及特征 ....................................................................................... 4 【考点三】长方体的表面展开图 ....................................................................................... 7 【考点四】正方体的表面展开图 ..................................................................................... 11 【考点五】长方体的棱长及棱长总和 ..............................................................................14 【考点六】正方体的棱长及棱长总和 ..............................................................................15 【考点七】长方体的棱长总和与生活实际应用问题 .......................................................16 【考点八】正方体的棱长总和与生活实际应用问题 .......................................................18 【考点九】长方体和正方体的等长转化问题 .................................................................. 20 第 3 页 共 23 页 【考点十】长方体和正方体棱长的增减变化问题 ...........................................................22 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的认识及特征。 【方法点拨】 1. 长方体的定义。 由 6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有 6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有 12条棱，相对的 4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 【典型例题】 长方体。 第 4 页 共 23 页 (1)长方体有( )个面，每个面的形状是( )，( )的面是完 全相同的。 (2)长方体有( )条棱，( )的棱长度相等。 (3)长方体有( )个顶点。 (4)长方体的 12条棱可以分成( )组，相交于同一顶点的三条棱的长度 ( )。 【答案】(1) 6 长方形 相对 (2) 12 相对 (3)8 (4) 4 不相等 【对应练习 1】 实践课上，琳琳用小棒做了一个长方体框架，这个框架上任意一条棱都有另外 ( )条棱与它平行，这几条棱的长度关系是( )。 【答案】 三/3 相等 【对应练习 2】 一个长方体（非正方体）最多可以有( )个面是正方形。 【答案】2/二/两 【对应练习 3】 老师为同学们准备了一些小棒（有多余），用这些小棒和橡皮泥做一个长方体框 架。这个长方体框架的长是( )cm、宽和高都是( )cm。 小棒长度 根数 6cm 1 5cm 5 3cm 9 【答案】 5 3 【考点二】正方体的认识及特征。 【方法点拨】 第 5 页 共 23 页 1. 正方体的认识。 由 6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的 长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有 6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有 12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的 6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有 12条棱，且正方体的 12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高 相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长 和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有 6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的 面相等且平行。 （3）区别。 第 6 页 共 23 页 【典型例题】 正方体有( )个面且所有的面完全相同，它有( )条棱，所有棱的 长度都相等。 【答案】 6 12 【对应练习 1】 长方体和正方体都有( )个顶点、( )个面、( )条棱。 【答案】 8 6 12 【对应练习 2】 有一个正方体，六个面分别写有字母 a、b、c、d、e、f，从三个不同的角度观察， 结果如下图所示，则字母 f对面的字母是( )。 【答案】c 【对应练习 3】 想一想、选一选。 下图分别是长方体或正方体一个顶点处的 3条棱。（单位： cm） 图 1 图 2 图 3 请从以下图形中选择 6个面（可重复选择），围出相应的长方体或正方体。 (1)围成图 1应选择( )个( )号、( )个( )号和 第 7 页 共 23 页 ( )个( )号图形。 (2)围成图 2应选择( )。 (3)围成图 3应选择( )。 【答案】(1) 2 ③ 2 ⑤ 2 ② (2)4个⑤号图形， 2个⑥号图形 (3)6个⑥号图形 【考点三】长方体的表面展开图。 【方法点拨】 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有 54 种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行 4个面，上下各 1个面，共有 27种； （2）二三一式，即中间一行 3 个面，上一行 2 个面，下一行 1 个面，共有 18 种； （3）二二二式，即三行各有 2个面，呈阶梯状排列，共有 6种； （4）三三式，即两行各 3个面，上下错位连接，共 3种，以上共计 54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相 连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 第 8 页 共 23 页 【典型例题 1】问题一：找相对面。 在下面的展开图中找出相对的面，并用“上”“下”“前”“后”“左”“右”标明 6个面。 【答案】如图： 【对应练习 1】 第 9 页 共 23 页 把一张硬纸板按下图所示的虚线折叠，可以围成一个长方体，这个长方体上标有 3的面与标有( )的面相对，标有 6的面与标有( )的面相对。 【答案】 5 1 【对应练习 2】 下图是一个长方体展开的平面图。如果“建”字在上面，则( )字在下面，“城” 字在前面，( )字在后面，“创”字在( )面，“市”字在( )面。 【答案】 明 文 左 右 【对应练习 3】 在长方体展开图中，用数字表示前、后、左、右、上、下六个面，如果“1”是右 面，那么“5”是( )面。“6”的对面是( )。 【答案】 前 2 【典型例题 2】问题二：判断表面展开图。 下列不是长方体侧面展开图的是( )。 A． B． C． D． 第 10 页 共 23 页 【答案】B 【对应练习 1】 下列图形中，折叠后不能围成一个长方体的是( )。 A． B． C． D． 【答案】B 【对应练习 2】 下面图形沿着虚线折叠，不能围成长方体的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【对应练习 3】 下图中能折成长方体的有( )个。 第 11 页 共 23 页 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【考点四】正方体的表面展开图。 【方法点拨】 1. 正方体的展开图共有 11 种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧 连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 【典型例题 1】问题一：找相对面。 将下面的展开图围成正方体后，“1”对面的是( )。 第 12 页 共 23 页 【答案】5 【对应练习 1】 下面是一个正方体的展开图（如图），把这个正方体展开图折叠成正方体后，“你” 字对面的字是( )。 你 我 的 中 国 梦 【答案】梦 【对应练习 2】 如图是一个正方体的展开图。在这个正方体中，与 a面相对的是( )面， 与 b面相对的是( )面。 【答案】 d f 【对应练习 3】 有三块相同的数字积木（每块积木的面上分别标有 1～6六个数字）。摆放如图， 相对两个面上的数字乘积最大是( )。 【答案】18 第 13 页 共 23 页 【典型例题 2】问题二：判断表面展开图。 下面展开图中，( )沿虚线折叠后不能围成正方体。 A． B． C． D． 【答案】B 【对应练习 1】 下列各图中，不能折成正方体的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【对应练习 2】 请从下图①一④中选一个面和原来 5个面形成正方体展开图。这个面是 ( )。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【对应练习 3】 下面哪个不是正方体的展开图( )。 A． B． C． D． 【答案】B 第 14 页 共 23 页 【考点五】长方体的棱长及棱长总和。 【方法点拨】 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指 12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为 L=（a+b+h） ×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用， 此时注意简化计算步骤。 【典型例题 1】棱长和。 用铁丝制作一个长 3分米、宽 2分米，高 1分米的长方体框架，接口处需要另费 0.4分米，至少需要( )分米的铁丝。 【答案】24.4 【对应练习 1】 用铁丝做一个长 7cm、宽 5cm、高 3cm的长方体框架，至少需要( )dm 长的铁丝。 【答案】6 【对应练习 2】 用铁丝制作一个长3分米、宽 2分米，高 1分米的长方体框架，至少需要( ) 分米的铁丝。 【答案】24 【对应练习 3】 一个底面周长为 24厘米的长方体，高是 5厘米，它的棱长总和是( )厘 第 15 页 共 23 页 米。 【答案】68 【典型例题 2】反求长、宽、高。 用一根 84cm长的铁丝恰好可以焊成一个长方体框架。框架长 10cm，宽 6cm， 高( )cm。 【答案】5 【对应练习 1】 用 200厘米长的铁丝做成一个长方体框架，长是 25厘米，宽是 14厘米，则它的 高是( )厘米。 【答案】11 【对应练习 2】 用一根长 144cm的铁丝围一个长 8cm，宽( )cm，高 4cm的长方体模型。 【答案】24 【对应练习 3】 用 320cm的灯带做一个长 25cm、宽 15cm的长方体彩灯框架，那么长方体彩灯 框架的高是( )cm。 【答案】40 【考点六】正方体的棱长及棱长总和。 【方法点拨】 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为 L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 【典型例题 1】棱长和。 一个正方体的棱长是 3厘米，这个正方体所有棱长的和是( )厘米。 【答案】36 【对应练习 1】 有一个正方体棱长是 8厘米，它的棱长总和是( )厘米。 【答案】96 【对应练习 2】 一个正方体的棱长是 0.5dm，它所有的棱长总和是( )dm。 第 16 页 共 23 页 【答案】6 【对应练习 3】 一个正方体纸盒每个面的周长都是 20厘米，它的棱长是( )厘米，棱长 总和是( )厘米。 【答案】 5 60 【典型例题 2】反求棱长。 用一根长 36厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是 ( )厘米。 【答案】3 【对应练习 1】 一个正方体棱长的和是 24cm，它的一条棱长是( )cm。 【答案】2 【对应练习 2】 把一根长 48厘米的铁丝折成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是( )。 【答案】4厘米/4cm 【对应练习 3】 用一根 60cm长的铁丝做一个正方体形状的笼子，这个笼子的棱长是 ( )cm。 【答案】5 【考点七】长方体的棱长总和与生活实际应用问题。 【方法点拨】 解决长方体的棱长总和与生活实际应用问题，需要熟练掌握棱长总和公式。 【典型例题】 母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得更精美，按照右图的方法捆扎， 打结处需要 20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要多少厘米丝带？ 第 17 页 共 23 页 【答案】 60×2＋40×2＋30×4＋20 ＝120＋80＋120＋20 ＝340（厘米） 答：捆扎这个礼品盒一共需要 340厘米丝带。 【对应练习 1】 用一根丝带捆扎一个礼盒（如下图），打结处的丝带长 30厘米，捆扎这个礼盒 至少需要多长的丝带？ 【答案】 25×2＋20×2＋10×4＋30 ＝50＋40＋40＋30 ＝90＋40＋30 ＝130＋30 ＝160（厘米） 答：捆扎这个礼盒至少需要 160厘米的丝带。 【对应练习 2】 小明同学为爷爷准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，长、宽、高分 别 24厘米、20厘米、8厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长 18厘米， 一共需要多少厘米彩带？ 【答案】 24×2＋20×2＋8×4＋18 ＝48＋40＋32＋18 ＝88＋32＋18 第 18 页 共 23 页 ＝120＋18 ＝138（厘米） 答：一共需要 138厘米彩带。 【对应练习 3】 一条丝带长 10米，用这种丝带捆扎一种礼盒，捆扎方法如下图，结头处用去的 丝带长 30厘米，这条丝带最多可以捆扎多少个这样的礼盒？ 【答案】 15×2＋10×2＋6×4＋30 ＝30＋20＋24＋30 ＝104（厘米） 10米＝1000厘米 1000÷104≈9（个） 答：这条丝带最多可捆扎 9个这样的礼盒。 【考点八】正方体的棱长总和与生活实际应用问题。 【方法点拨】 解决正方体的棱长总和与生活实际应用问题，需要熟练掌握棱长总和公式。 【典型例题】 五一期间，外地游客小明到“广州市场步行街”买到一个礼物，这个礼物的礼盒是 一个正方体，这个礼盒用打包带按如图所示方法捆起来（打结处打包带长 20厘 米），一共要用多少厘米的打包带？ 【答案】 第 19 页 共 23 页 （4×2＋2×4）×40＋20 ＝（8＋8）×40＋20 ＝16×40＋20 ＝640＋20 ＝660（厘米） 答：一共要用 660厘米的打包带。 【对应练习 1】 快递公司要把一个棱长为 40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带 按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要 30厘米。捆扎这个物体一共需要多少 米包装袋？ 【答案】 40×8＋30 ＝320＋30 ＝350（厘米） 350厘米＝3.5米 答：捆扎这个物体一共需要 3.5米包装带。 【对应练习 2】 妈妈给奶奶买了一件母亲节礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎，打结处 需要 45厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 【答案】 8×25＋45 第 20 页 共 23 页 ＝200＋45 ＝245（厘米） 答：捆扎这个礼物一共需要 245厘米丝带。 【对应练习 3】 给一个正方体礼品盒包装，用了 50厘米长的丝带，其中，打结用了 14厘米。礼 品盒一个面的边长是多少厘米？ 【答案】 （50－14）÷4 ＝36÷4 ＝9（厘米） 答：礼品盒一个面的边长是 9厘米。 【考点九】长方体和正方体的等长转化问题。 【方法点拨】 长方体和正方体的等长转化问题，即在棱长总和相等的情况下，可以根据相关条 件求出所需要的数据。 【典型例题】 1．一根钢丝可以做成棱长 4分米的正方体框架。如果用这根钢丝做成一个长 5 分米、宽 4分米的长方体框架，它的高是多少分米？ 【答案】 4×12＝48（分米） 48÷4＝12（分米） 12－5－4 ＝7－4 ＝3（分米） 答：它的高是 3分米。 第 21 页 共 23 页 2．乐乐参加学校手工制作社团，他用一根铁丝正好制作一个长是10厘米，宽是8 厘米，高是6厘米的长方体。他如果想用这根铁丝制作一个正方体，请同学们帮 他设计一下，正方体的棱长应该是多少厘米？ 【答案】  10 8 6 4 12    24 4 12   96 12  8 （厘米） 答：正方体的棱长应该是 8厘米。 【对应练习 1】 用一根铁丝正好能焊接成一个棱长为 8厘米的正方体，王叔叔打算用它焊接成一 个长 12厘米、宽 7厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？（焊接损耗不 计） 【答案】 8×12÷4－12－7 ＝96÷4－12－7 ＝24－12－7 ＝12－7 ＝5（厘米） 答：这个长方体的高是 5厘米。 【对应练习 2】 用一根铁丝制成了一个长 7厘米，宽 6厘米，高 2厘米的长方体框架，如果用这 根铁丝制成一个正方体框架，正方体的棱长是多少厘米？ 【答案】 长方体的棱长总和为： （7＋6＋2）×4 ＝15× 4 ＝60（厘米） 正方体的棱长为：60÷12＝5（厘米） 第 22 页 共 23 页 答：正方体的棱长是 5厘米。 【对应练习 3】 一根铁丝恰好可以焊接成一个长 14厘米、宽 6厘米、高 4厘米的长方体框架， 若这根铁丝也恰好能焊接成一个正方体框架，那么这个正方体框架的棱长是多少 厘米？ 【答案】 （14＋6＋4）×4÷12 ＝24×4÷12 ＝8（厘米） 答：这个正方体框架的棱长是 8厘米。 【考点十】长方体和正方体棱长的增减变化问题。 【方法点拨】 棱长的增减变化相对于后续表面积的增减变化，较为简单，注意推断。 【典型例题】 一个长方体长 6厘米，宽 5厘米，高 5厘米，把它的长、宽、高各增加 1厘米， 得到一个新的长方体，问新的长方体的棱长总和是多少？ 【答案】 [(6+1)+(5+1)+(5+1)]×4 =[7+6+6]×4 =19×4 =76（厘米） 答：新的长方体的棱长总和是 76厘米. 【对应练习 1】 把一个棱长是 8厘米的正方体切成两个完全一样的长方体，这两个长方体的棱长 总和与原来正方体的棱长总和相比，增加了多少厘米？ 【答案】8×8＝64（厘米） 答：增加了 64厘米。 【对应练习 2】 一个长方体被截成两个完全相同的正方体。两个正方体的棱长之和比原来的长方 第 23 页 共 23 页 体的棱长之和增加了 16厘米。原来的长方体最长的棱是多少厘米？ 【答案】16÷8×2＝4（厘米） 答：原来的长方体最长的棱是 4厘米。 【对应练习 3】 一个长方体的铁块，被截成两个完全相等的正方体。两个正方体棱长之和比原来 长方体棱长之和增加了 16厘米。求原来长方体的长是多少厘米？ 【答案】16÷8＝2（厘米） 2×2＝4（厘米） 答：原来长方体的长是 4厘米。