第二单元长方体（一）·单元复习篇（单元复习讲义）【四大篇章】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）北师大版

第 1 页 共 14 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 14 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元长方体（一）·单元复习篇【四大篇章】 第 3 页 共 14 页 知识点一：长方体的认识及特征。 1. 长方体的定义。 由 6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有 6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有 12条棱，相对的 4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二：正方体的认识及特征。 1. 正方体的认识。 由 6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的 第 4 页 共 14 页 长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有 6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有 12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的 6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有 12条棱，且正方体的 12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高 相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长 和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有 6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的 面相等且平行。 （3）区别。 第 5 页 共 14 页 知识点三：长方体的表面展开图。 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有 54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行 4个面，上下各 1个面，共有 27种； （2）二三一式，即中间一行 3 个面，上一行 2 个面，下一行 1 个面，共有 18 种； （3）二二二式，即三行各有 2个面，呈阶梯状排列，共有 6种； （4）三三式，即两行各 3个面，上下错位连接，共 3种，以上共计 54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相 连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四：正方体的表面展开图。 1. 正方体的展开图共有 11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 第 6 页 共 14 页 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧 连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五：长方体的棱长及棱长总和。 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指 12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为 L=（a+b+h） ×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 第 7 页 共 14 页 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用， 此时注意简化计算步骤。 知识点六：正方体的棱长及棱长总和。 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为 L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七：长方体的表面积。 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体 6个面的总面积，包括上下、前后、左右 6个长方形（或 特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为 S=2ab＋2ah+2bh=2 （ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的 过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通 风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有 时候也可能省去上下面等。 知识点八：正方体的表面积。 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 第 8 页 共 14 页 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为 S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况， 例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九：长方体和正方体的切拼问题。 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题， 表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会 增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面 积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段， 需切（ n－1）刀，每刀增加 2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体 的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的 正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 第 9 页 共 14 页 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面 面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排 除被遮挡的面。 知识点十：立方体表面染色问题。 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计 不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里 面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有 8个顶点，因此，染三个面 的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母 a表示棱上小正方体的数量。 【高频考题 01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长 方体中和 b平行的棱有( )条。 第 10 页 共 14 页 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成 的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方 体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 【高频考题 02】长方体和正方体的棱长总和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处 用去 18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 2．快递公司要把一个棱长为 40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装 带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要 30厘米。捆扎这个物体一共需要多 少米包装袋？ 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是 5.2米，宽是 4米， 高是 3.4米。正方体的棱长是多少米？ 第 11 页 共 14 页 【高频考题 03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长 0.15米的正方形，每节排水管长 2.5米。做 30 节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为 3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米 的玻璃？（上面没有盖。） 3．淘气的房间的长和宽都是 5米，高是 3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁， 门窗的面积是 10平方米。粉刷艺术漆的单价是 28元/平方米，一共需要多少元？ 第 12 页 共 14 页 一、填空题。 1．（2024·四川成都·期末）长方体和正方体都有( )个面，( )个 顶点。 2．（2024·四川成都·期末）“礼、乐、射、御、书、数”是古代读书人必须学习的 “六艺”。在正方体的 6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如图，与 “礼”字相对的是( )字。与“数”字相对的是( )字。 3．（2024·广东湛江·期末）陈师傅制作一个长方体灯笼框架，长是 20cm，宽是 15cm，高是 12cm，他制作一个这样的框架至少需要长度是( )cm的木条。 4．（2024·四川成都·期末）学校跳蚤夜市上，淘气准备用一根长 36dm的铁丝做 成一个宽 2dm，高是 3dm的长方体彩灯箱框架，那么它的长是( )dm， 要给灯箱每个面都覆盖上彩色丝绸，所用丝绸的面积是( )dm2。 5．（2024·四川成都·期末）如图，把 4个完全一样的正方体拼成一个长方体， 表面积减少了 12cm2，拼成的长方体的表面积是( )cm2。 二、选择题。 6．（2021·广东深圳·期末）下面图形不是正方体展开图的是( )。 A． B． C． D． 7．（2024·广东湛江·期末）下图是一个物体长、宽、高的数据，这个物体可能 是( )。 第 13 页 共 14 页 A．新华字典 B．数学课本 C．一张 A4纸 D．课桌桌板 8．（2024·四川成都·期末）李叔叔喜欢养鱼。他要做一个无盖的长方体玻璃鱼 缸，求至少要用多少平方米的玻璃，这是求这个长方体鱼缸的( )。 A．体积 B．表面积 C．容积 D．侧面积 9．（2024·吉林长春·期末）在大长方体中锯掉一个小正方体（如图），这个图 形与原图形比较，( )。 A．表面积不变 B．表面积减少 C．表面积增加 D．无法比较表面积大小 10．（2024·陕西汉中·期末）把 4个长是 10厘米、宽是 8厘米、高是 1厘米的 长方体盒子放在一起用彩纸包装起来。下面最节省包装纸的方案是( )。 A． B． C． D． 三、计算题。 11．（2024·陕西西安·期末）如图是一个长方体的展开图，求出它的表面积。 第 14 页 共 14 页 四、解答题。 12．（2024·山西吕梁·期末）收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的 生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子， 打结时两端各留 10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？ 13．（2021·广东深圳·期末）某小区新建一个长 20米、宽 12米、深 2米的游泳 池。 （1）该游泳池占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池底面和内壁贴上瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ 14．（2023·广东清远·期末）有 A、B、C三种规格的纸板各四张（如下图）， 请你从中选出六张纸板做成一个长方体，说说你选择这六张纸板的理由，再求出： 这个长方体的表面积是多少？ 15．（2024·辽宁锦州·期末）学校准备粉刷五年级三个班教室的墙壁和屋顶，每 间教室长 10米、宽 6米、高 3米，每间教室门窗和黑板面积是 8平方米，三间 教室需要粉刷的面积一共是多少平方米？ 第 1 页 共 22 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 22 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元长方体（一）·单元复习篇【四大篇章】 第 3 页 共 22 页 知识点一：长方体的认识及特征。 1. 长方体的定义。 由 6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有 6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有 12条棱，相对的 4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二：正方体的认识及特征。 1. 正方体的认识。 由 6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的 第 4 页 共 22 页 长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有 6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有 12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的 6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有 12条棱，且正方体的 12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高 相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长 和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有 6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的 面相等且平行。 （3）区别。 第 5 页 共 22 页 知识点三：长方体的表面展开图。 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有 54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行 4个面，上下各 1个面，共有 27种； （2）二三一式，即中间一行 3 个面，上一行 2 个面，下一行 1 个面，共有 18 种； （3）二二二式，即三行各有 2个面，呈阶梯状排列，共有 6种； （4）三三式，即两行各 3个面，上下错位连接，共 3种，以上共计 54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相 连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四：正方体的表面展开图。 1. 正方体的展开图共有 11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 第 6 页 共 22 页 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧 连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五：长方体的棱长及棱长总和。 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指 12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为 L=（a+b+h） ×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 第 7 页 共 22 页 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用， 此时注意简化计算步骤。 知识点六：正方体的棱长及棱长总和。 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为 L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七：长方体的表面积。 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体 6个面的总面积，包括上下、前后、左右 6个长方形（或 特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为 S=2ab＋2ah+2bh=2 （ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的 过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通 风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有 时候也可能省去上下面等。 知识点八：正方体的表面积。 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 第 8 页 共 22 页 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为 S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况， 例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九：长方体和正方体的切拼问题。 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题， 表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会 增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面 积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段， 需切（ n－1）刀，每刀增加 2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体 的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的 正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 第 9 页 共 22 页 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面 面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排 除被遮挡的面。 知识点十：立方体表面染色问题。 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计 不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里 面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有 8个顶点，因此，染三个面 的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母 a表示棱上小正方体的数量。 【高频考题 01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长 方体中和 b平行的棱有( )条。 第 10 页 共 22 页 【答案】 6 8 12 3 【分析】根据长方体的特征，填空即可。 【详解】长方体共有 6个面、8个顶点、12条棱；b是长方体的宽，根据长方形 对边平行且相等可知，长方体中 4条宽互相平行，则与 b平行的棱有 3条。 【点睛】考查了长方体的特征及平行的特征，基础题。 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成 的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方 体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 【答案】 6 6 相等 【详解】长方体是由 6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立 体图形。正方体是由 6个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、 宽、高都相等的长方体。 【高频考题 02】长方体和正方体的棱长总和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处 用去 18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 【答案】100厘米 【分析】捆扎的彩带包括 2条长，2条宽，4条高和接头，用长×2＋宽×2＋高×4 ＋接头＝彩带长度，列式解答即可。 【详解】15×2＋10×2＋8×4＋18 ＝30＋20＋32＋18 第 11 页 共 22 页 ＝50＋32＋18 ＝82＋18 ＝100（厘米） 答：至少需要 100厘米的彩带。 【点睛】本题考查长方体的总棱长，明确彩带的组成是解题的关键。 2．快递公司要把一个棱长为 40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装 带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要 30厘米。捆扎这个物体一共需要多 少米包装袋？ 【答案】3.5米 【分析】观察题意可知，包装带的长度＝8条正方体的棱长＋接头处，已知正方 体的棱长为 40厘米，用 40×8＋30即可求出捆扎这个物体一共需要多少厘米包装 带，然后把单位换算成米，据此解答。 【详解】40×8＋30 ＝320＋30 ＝350（厘米） 350厘米＝3.5米 答：捆扎这个物体一共需要 3.5米包装带。 【点睛】本题考查了正方体棱长和公式的灵活应用，关键是明确包装袋的长度包 含了几条棱长。 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是 5.2米，宽是 4米， 高是 3.4米。正方体的棱长是多少米？ 【答案】4.2米 【分析】根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用（5.2＋4＋3.4）×4即可求 出长方体的棱长和，因为长方体和一个正方体的棱长之和相等，根据正方体的棱 长和＝棱长×12，用求得的棱长和除以 12，即可求出正方体的棱长。 第 12 页 共 22 页 【详解】（5.2＋4＋3.4）×4 ＝12.6×4 ＝50.4（米） 50.4÷12＝4.2（米） 答：正方体的棱长是 4.2米。 【点睛】本题主要考查了长方体棱长和公式和正方体棱长和公式的灵活应用，要 熟练掌握公式。 【高频考题 03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长 0.15米的正方形，每节排水管长 2.5米。做 30 节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 【答案】0.15×2.5×4×30 【分析】根据题意，结合长方形的面积公式：长×宽可知，用 0.15乘上 2.5再乘 上 4，即为一节排水管的面积，再用求出的结果乘上 30，即可求出答案。 【详解】0.15×2.5×4×30 ＝0.375×4×30 ＝1.5×30 ＝45（平方米） 答：做 30节这样的排水管至少需要 45平方米铁皮。 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为 3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米 的玻璃？（上面没有盖。） 【答案】45平方分米 【分析】求这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，实际是求正方体的表面积。 正常情况正方体有 6个面，但这个鱼缸上面没有盖，所以只要求 5个面的面积和， 第 13 页 共 22 页 根据求正方体表面积方法求解即可。 【详解】3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要 45平方分米的玻璃。 3．淘气的房间的长和宽都是 5米，高是 3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁， 门窗的面积是 10平方米。粉刷艺术漆的单价是 28元/平方米，一共需要多少元？ 【答案】2100元 【分析】把淘气房间的内空间看成一个长方体，地面不粉刷，实际上是求长方体 的 4个侧面和 1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式求出即可；然后再 减去门窗的面积就是要粉刷的面积，再用粉刷的面积乘每平方米需要的涂料费就 是粉刷这个教室需要花费的钱数。 【详解】（5×5＋5×3×2＋5×3×2－10）×28 ＝（25＋30＋30－10）×28 ＝75×28 ＝2100（元） 答：一共需要 2100元。 【点睛】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方 形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 第 14 页 共 22 页 一、填空题。 1．（2024·四川成都·期末）长方体和正方体都有( )个面，( )个 顶点。 【答案】 6 8 【分析】长方体有 6个面，有三组相对的面完全相同；长方体有 8个顶点，每个 顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 正方体的特征：6个面都是正方形，且面积相等；有 8个顶点。据此解答。 【详解】通过分析可得：长方体和正方体都有 6个面，8个顶点。 2．（2024·四川成都·期末）“礼、乐、射、御、书、数”是古代读书人必须学习的 “六艺”。在正方体的 6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如图，与 “礼”字相对的是( )字。与“数”字相对的是( )字。 【答案】 御 乐 【分析】正方体相对的面不相连；相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形） 是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面。据此解答。 【详解】通过分析可得：与“射”字相对的字是“书”字；与“礼”字相对的是“御”字； 与“数”字相对的是“乐”字。 3．（2024·广东湛江·期末）陈师傅制作一个长方体灯笼框架，长是 20cm，宽是 15cm，高是 12cm，他制作一个这样的框架至少需要长度是( )cm的木条。 【答案】188 【分析】求需要木条的长度，就是求长方体灯笼的棱长总和，根据长方体棱长总 和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。 【详解】（20＋15＋12）×4 ＝（35＋12）×4 ＝47×4 第 15 页 共 22 页 ＝188（cm） 陈师傅制作一个长方体灯笼框架，长是 20cm，宽是 15cm，高是 12cm，他制作 一个这样的框架至少需要长度是 188cm的木条。 4．（2024·四川成都·期末）学校跳蚤夜市上，淘气准备用一根长 36dm的铁丝做 成一个宽 2dm，高是 3dm的长方体彩灯箱框架，那么它的长是( )dm， 要给灯箱每个面都覆盖上彩色丝绸，所用丝绸的面积是( )dm2。 【答案】 4 52 【分析】长 36dm的铁丝就是这个长方体的棱长总和。根据长方体的长＝棱长总 和÷4－宽－高，代入数据计算，求出长方体的长。再根据长方体的表面积＝（长 ×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出所用丝绸的面积。 【详解】36÷4－2－3 ＝9－2－3 ＝4（dm） （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（dm2） 它的长是 4dm，要给灯箱每个面都覆盖上彩色丝绸，所用丝绸的面积是 52dm2。 5．（2024·四川成都·期末）如图，把 4个完全一样的正方体拼成一个长方体， 表面积减少了 12cm2，拼成的长方体的表面积是( )cm2。 【答案】24 【分析】观察图形，表面积减少了 8个正方形面积，就是减少 12cm2，用除法得 出每个正方形面的面积。 根据正方体的表面积＝一个正方形面的面积×6，再乘 4即可得出 4个完全一样的 正方体的表面积，最后减去 12即可得出长方体的表面积。 【详解】12÷8×6 ＝12×6÷8 第 16 页 共 22 页 ＝72÷8 ＝9（cm2） 9×4－12 ＝36－12 ＝24（cm2） 则拼成的长方体的表面积是 24cm2。 二、选择题。 6．（2021·广东深圳·期末）下面图形不是正方体展开图的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有 11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构， 即第一行放 1个，第二行放 4个，第三行放 1个；第二种：“2－2－2”结构，即 每一行放 2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一 行放 3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放 1个 正方形，第二行放 3个正方形，第三行放 2个正方形。据此逐项分析解答。 【详解】 A． ，符合正方体展开图的“1－4－1”结构，是正方体展开图； B． ，符合正方体展开图的“2－2－2”结构，是正方体展开图； C． ，不符合正方体展开图的特征，不是正方体展开图； D． ，符合正方体展开图的“1－3－2”结构，是正方体展开图。 不是正方体展开图的是 。 故答案为：C 第 17 页 共 22 页 7．（2024·广东湛江·期末）下图是一个物体长、宽、高的数据，这个物体可能 是( )。 A．新华字典 B．数学课本 C．一张 A4纸 D．课桌桌板 【答案】A 【分析】由图可知，这个物体的长为 10厘米，宽为 15厘米，高为 4厘米，因此 可知这个物体的尺寸较小，有一定的厚度，据此解答。 【详解】A．新华字典的长、宽、高比较符合题目给的尺寸，因此这个物体可能 是新华字典； B．数学书的长和宽会比题目所给的长、宽再大一些，且数学的高度一般在 1~2 厘米左右，因此这个物体不可能是数学书； C．一张 A4纸的厚度很薄很薄，与题目所给的高度不符合，因此这个物体不可 能是一张 A4纸； D．课桌桌板的长度接近五六十厘米，宽度接近三四十厘米，与题目所给的长度 和宽度不符合，因此这个物体不可能是课桌桌板。 故答案为：A 8．（2024·四川成都·期末）李叔叔喜欢养鱼。他要做一个无盖的长方体玻璃鱼 缸，求至少要用多少平方米的玻璃，这是求这个长方体鱼缸的( )。 A．体积 B．表面积 C．容积 D．侧面积 【答案】B 【分析】物体表面面积的总和，叫做物体的表面积，求玻璃的面积就是求无盖的 长方体玻璃鱼缸 5个面的面积和，即求这个长方体鱼缸的表面积。 【详解】根据分析，求至少要用多少平方米的玻璃，这是求这个长方体鱼缸的表 面积。 故答案为：B 9．（2024·吉林长春·期末）在大长方体中锯掉一个小正方体（如图），这个图 形与原图形比较，( )。 第 18 页 共 22 页 A．表面积不变 B．表面积减少 C．表面积增加 D．无法比较表面积大小 【答案】C 【分析】在大长方体的棱上锯掉一个小正方体，表面积应该减少了 2个正方形的 面，看图可知，里面反而出现了 4个同样的正方形的面，因此表面积增加了。 【详解】根据分析，锯掉一个小正方体后表面积比原来增加了 2个正方形的面， 因此表面积增加。 故答案为：C 10．（2024·陕西汉中·期末）把 4个长是 10厘米、宽是 8厘米、高是 1厘米的 长方体盒子放在一起用彩纸包装起来。下面最节省包装纸的方案是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要想最省包装纸，就是求这 4个长方体拼成大长方体后的表面积最小， 即求出哪种包装方式下，拼成的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之 和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸。 【详解】A．减少的表面积： 10×8×6 ＝80×6 ＝480（平方厘米） B．减少的表面积： 10×1×4＋8×1×4 ＝40＋32 ＝72（平方厘米） 第 19 页 共 22 页 C．减少的表面积： 10×8×4＋10×1×4 ＝80×4＋40 ＝320＋40 ＝360（平方厘米） D．减少的表面积： 8×1×6＝48（平方厘米） 480＞360＞72＞48 所以下面最节省包装纸的方案是 A。 故答案为：A 三、计算题。 11．（2024·陕西西安·期末）如图是一个长方体的展开图，求出它的表面积。 【答案】616cm2 【分析】通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的长是 14cm，宽是 10cm， 高是 7cm，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式 解答。 【详解】（14×10＋14×7＋10×7）×2 ＝（140＋98＋70）×2 ＝308×2 ＝616（cm2） 四、解答题。 12．（2024·山西吕梁·期末）收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的 生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子， 打结时两端各留 10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？ 第 20 页 共 22 页 【答案】1.62米 【分析】在计算捆一圈的长度时，需要考虑到杂志的长、宽、高，分别计算出两 个长、两个宽和四个高的长度，再相加得到总长度。然后，再加上打结时两端预 留的绳子长度，即可得到妈妈一共用掉的绳子长度。最后，将长度单位从厘米转 换为米。 【详解】2×26＋2×21＋4×12 ＝52＋42＋48 ＝142（厘米） 142＋10×2 ＝142＋20 ＝162（厘米） 162厘米＝1.62米 答：妈妈一共用掉了 1.62米绳子。 13．（2021·广东深圳·期末）某小区新建一个长 20米、宽 12米、深 2米的游泳 池。 （1）该游泳池占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池底面和内壁贴上瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ 【答案】（1）240平方米 （2）368平方米 【分析】（1）求游泳池的占地面积就是求长方体的底面积，利用“长方形的面积 ＝长×宽”求出教室的占地面积； （2）求需要瓷砖的面积，就是求这个游泳池 5个面的面积和，即游泳池的表面 积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据， 即可解答。 【详解】（1）20×12＝240（平方米） 答：游泳池占地面积是 240平方米。 第 21 页 共 22 页 （2）20×12＋（20×2＋12×2）×2 ＝240＋（40＋24）×2 ＝240＋64×2 ＝240＋128 ＝368（平方米） 答：至少需要瓷砖 368平方米。 14．（2023·广东清远·期末）有 A、B、C三种规格的纸板各四张（如下图）， 请你从中选出六张纸板做成一个长方体，说说你选择这六张纸板的理由，再求出： 这个长方体的表面积是多少？ 【答案】理由见详解；190平方分米 【分析】长方体的特征：长方体有 6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况 下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形， 并且这四个面完全相同。 从图中可知，三种规格的纸板分别是“7×5”、“7×6”、“5×5”，其中“7×6”的纸板无 法与其他规格的纸板做成长方体，所以只能选择“7×5”的纸板 4张、“5×5”的纸板 2张，做成一个两个面是正方形的长方体。 根据长方形的面积＝长×宽，求出 6个面的面积，相加即是这个长方体的表面积。 【详解】选 4张 A纸板、2张 C纸板可做成一个长方体。 5×7×4＋5×5×2 ＝140＋50 ＝190（平方分米） 答：选择这六张纸板的理由：根据长方体的特征，相对的面完全相同，结合三种 规格纸板的尺寸，需要选择 4张 A纸板、2张 C纸板才能做成一个长方体。这 个长方体的表面积是 190平方分米。 15．（2024·辽宁锦州·期末）学校准备粉刷五年级三个班教室的墙壁和屋顶，每 间教室长 10米、宽 6米、高 3米，每间教室门窗和黑板面积是 8平方米，三间 第 22 页 共 22 页 教室需要粉刷的面积一共是多少平方米？ 【答案】444平方米 【分析】根据题意，粉刷教室的墙壁和屋顶，即粉刷的是长方体的上面、前后面、 左右面共 5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这 5个面的面积之和， 然后减去门窗和黑板的面积，即是每间教室需粉刷的面积，再乘 3，求出三间教 室需粉刷的总面积。 【详解】10×6＋10×3×2＋6×3×2 ＝60＋60＋36 ＝156（平方米） 156－8＝148（平方米） 148×3＝444（平方米） 答：三间教室需要粉刷的面积一共是 444平方米。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元长方体（一）·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：长方体的认识及特征。 1. 长方体的定义。 由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二：正方体的认识及特征。 1. 正方体的认识。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别。 知识点三：长方体的表面展开图。 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四：正方体的表面展开图。 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五：长方体的棱长及棱长总和。 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六：正方体的棱长及棱长总和。 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七：长方体的表面积。 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八：正方体的表面积。 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九：长方体和正方体的切拼问题。 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十：立方体表面染色问题。 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 【高频考题01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长方体中和b平行的棱有( )条。 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 【高频考题02】长方体和正方体的棱长总和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处用去18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 2．快递公司要把一个棱长为40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要30厘米。捆扎这个物体一共需要多少米包装袋？ 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是5.2米，宽是4米，高是3.4米。正方体的棱长是多少米？ 【高频考题03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长0.15米的正方形，每节排水管长2.5米。做30节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖。） 3．淘气的房间的长和宽都是5米，高是3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁，门窗的面积是10平方米。粉刷艺术漆的单价是28元/平方米，一共需要多少元？ 一、填空题。 1．（2024·四川成都·期末）长方体和正方体都有( )个面，( )个顶点。 2．（2024·四川成都·期末）“礼、乐、射、御、书、数”是古代读书人必须学习的“六艺”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如图，与“礼”字相对的是( )字。与“数”字相对的是( )字。 3．（2024·广东湛江·期末）陈师傅制作一个长方体灯笼框架，长是20cm，宽是15cm，高是12cm，他制作一个这样的框架至少需要长度是( )cm的木条。 4．（2024·四川成都·期末）学校跳蚤夜市上，淘气准备用一根长36dm的铁丝做成一个宽2dm，高是3dm的长方体彩灯箱框架，那么它的长是( )dm，要给灯箱每个面都覆盖上彩色丝绸，所用丝绸的面积是( )dm2。 5．（2024·四川成都·期末）如图，把4个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了12cm2，拼成的长方体的表面积是( )cm2。 二、选择题。 6．（2021·广东深圳·期末）下面图形不是正方体展开图的是( )。 A． B． C． D． 7．（2024·广东湛江·期末）下图是一个物体长、宽、高的数据，这个物体可能是( )。 A．新华字典 B．数学课本 C．一张A4纸 D．课桌桌板 8．（2024·四川成都·期末）李叔叔喜欢养鱼。他要做一个无盖的长方体玻璃鱼缸，求至少要用多少平方米的玻璃，这是求这个长方体鱼缸的( )。 A．体积 B．表面积 C．容积 D．侧面积 9．（2024·吉林长春·期末）在大长方体中锯掉一个小正方体（如图），这个图形与原图形比较，( )。 A．表面积不变 B．表面积减少C．表面积增加D．无法比较表面积大小 10．（2024·陕西汉中·期末）把4个长是10厘米、宽是8厘米、高是1厘米的长方体盒子放在一起用彩纸包装起来。下面最节省包装纸的方案是( )。 A． B． C． D． 三、计算题。 11．（2024·陕西西安·期末）如图是一个长方体的展开图，求出它的表面积。 四、解答题。 12．（2024·山西吕梁·期末）收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？ 13．（2021·广东深圳·期末）某小区新建一个长20米、宽12米、深2米的游泳池。 （1）该游泳池占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池底面和内壁贴上瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ 14．（2023·广东清远·期末）有A、B、C三种规格的纸板各四张（如下图），请你从中选出六张纸板做成一个长方体，说说你选择这六张纸板的理由，再求出：这个长方体的表面积是多少？ 15．（2024·辽宁锦州·期末）学校准备粉刷五年级三个班教室的墙壁和屋顶，每间教室长10米、宽6米、高3米，每间教室门窗和黑板面积是8平方米，三间教室需要粉刷的面积一共是多少平方米？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 17 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 17 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元长方体（一）·单元复习篇【四大篇章】 第 3 页 共 17 页 知识点一：长方体的认识及特征。 1. 长方体的定义。 由 6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有 6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有 12条棱，相对的 4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二：正方体的认识及特征。 1. 正方体的认识。 由 6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的 第 4 页 共 17 页 长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有 6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有 12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有 8个顶点，每个顶点连接 3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的 6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有 12条棱，且正方体的 12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高 相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长 和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有 6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的 面相等且平行。 （3）区别。 第 5 页 共 17 页 知识点三：长方体的表面展开图。 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有 54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行 4个面，上下各 1个面，共有 27种； （2）二三一式，即中间一行 3 个面，上一行 2 个面，下一行 1 个面，共有 18 种； （3）二二二式，即三行各有 2个面，呈阶梯状排列，共有 6种； （4）三三式，即两行各 3个面，上下错位连接，共 3种，以上共计 54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相 连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四：正方体的表面展开图。 1. 正方体的展开图共有 11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 第 6 页 共 17 页 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧 连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五：长方体的棱长及棱长总和。 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指 12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为 L=（a+b+h） ×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 第 7 页 共 17 页 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用， 此时注意简化计算步骤。 知识点六：正方体的棱长及棱长总和。 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为 L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七：长方体的表面积。 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体 6个面的总面积，包括上下、前后、左右 6个长方形（或 特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为 S=2ab＋2ah+2bh=2 （ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有 6个面，因此，在计算长方体表面积的 过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通 风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有 时候也可能省去上下面等。 知识点八：正方体的表面积。 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 第 8 页 共 17 页 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为 S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体 6个面面积的情况， 例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九：长方体和正方体的切拼问题。 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题， 表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会 增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面 积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段， 需切（ n－1）刀，每刀增加 2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体 的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的 正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 第 9 页 共 17 页 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面 面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排 除被遮挡的面。 知识点十：立方体表面染色问题。 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计 不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里 面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有 8个顶点，因此，染三个面 的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母 a表示棱上小正方体的数量。 【高频考题 01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长 方体中和 b平行的棱有( )条。 第 10 页 共 17 页 【答案】 6 8 12 3 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成 的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方 体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 【答案】 6 6 相等 【高频考题 02】长方体和正方体的棱长总和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处 用去 18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 【答案】 15×2＋10×2＋8×4＋18 ＝30＋20＋32＋18 ＝50＋32＋18 ＝82＋18 ＝100（厘米） 答：至少需要 100厘米的彩带。 2．快递公司要把一个棱长为 40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装 带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要 30厘米。捆扎这个物体一共需要多 少米包装袋？ 第 11 页 共 17 页 【答案】 40×8＋30 ＝320＋30 ＝350（厘米） 350厘米＝3.5米 答：捆扎这个物体一共需要 3.5米包装带。 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是 5.2米，宽是 4米， 高是 3.4米。正方体的棱长是多少米？ 【答案】 （5.2＋4＋3.4）×4 ＝12.6×4 ＝50.4（米） 50.4÷12＝4.2（米） 答：正方体的棱长是 4.2米。 【高频考题 03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长 0.15米的正方形，每节排水管长 2.5米。做 30 节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 【答案】 0.15×2.5×4×30 ＝0.375×4×30 ＝1.5×30 ＝45（平方米） 第 12 页 共 17 页 答：做 30节这样的排水管至少需要 45平方米铁皮。 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为 3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米 的玻璃？（上面没有盖。） 【答案】 3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要 45平方分米的玻璃。 3．淘气的房间的长和宽都是 5米，高是 3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁， 门窗的面积是 10平方米。粉刷艺术漆的单价是 28元/平方米，一共需要多少元？ 【答案】 （5×5＋5×3×2＋5×3×2－10）×28 ＝（25＋30＋30－10）×28 ＝75×28 ＝2100（元） 答：一共需要 2100元。 第 13 页 共 17 页 一、填空题。 1．（2024·四川成都·期末）长方体和正方体都有( )个面，( )个 顶点。 【答案】 6 8 2．（2024·四川成都·期末）“礼、乐、射、御、书、数”是古代读书人必须学习的 “六艺”。在正方体的 6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如图，与 “礼”字相对的是( )字。与“数”字相对的是( )字。 【答案】 御 乐 3．（2024·广东湛江·期末）陈师傅制作一个长方体灯笼框架，长是 20cm，宽是 15cm，高是 12cm，他制作一个这样的框架至少需要长度是( )cm的木条。 【答案】188 4．（2024·四川成都·期末）学校跳蚤夜市上，淘气准备用一根长 36dm的铁丝做 成一个宽 2dm，高是 3dm的长方体彩灯箱框架，那么它的长是( )dm， 要给灯箱每个面都覆盖上彩色丝绸，所用丝绸的面积是( )dm2。 【答案】 4 52 5．（2024·四川成都·期末）如图，把 4个完全一样的正方体拼成一个长方体， 表面积减少了 12cm2，拼成的长方体的表面积是( )cm2。 【答案】24 二、选择题。 6．（2021·广东深圳·期末）下面图形不是正方体展开图的是( )。 第 14 页 共 17 页 A． B． C． D． 【答案】C 7．（2024·广东湛江·期末）下图是一个物体长、宽、高的数据，这个物体可能 是( )。 A．新华字典 B．数学课本 C．一张 A4纸 D．课桌桌板 【答案】A 8．（2024·四川成都·期末）李叔叔喜欢养鱼。他要做一个无盖的长方体玻璃鱼 缸，求至少要用多少平方米的玻璃，这是求这个长方体鱼缸的( )。 A．体积 B．表面积 C．容积 D．侧面积 【答案】B 9．（2024·吉林长春·期末）在大长方体中锯掉一个小正方体（如图），这个图 形与原图形比较，( )。 A．表面积不变 B．表面积减少 C．表面积增加 D．无法比较表面积大小 【答案】C 10．（2024·陕西汉中·期末）把 4个长是 10厘米、宽是 8厘米、高是 1厘米的 长方体盒子放在一起用彩纸包装起来。下面最节省包装纸的方案是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 第 15 页 共 17 页 三、计算题。 11．（2024·陕西西安·期末）如图是一个长方体的展开图，求出它的表面积。 【答案】 （14×10＋14×7＋10×7）×2 ＝（140＋98＋70）×2 ＝308×2 ＝616（cm2） 四、解答题。 12．（2024·山西吕梁·期末）收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的 生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子， 打结时两端各留 10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？ 【答案】 2×26＋2×21＋4×12 ＝52＋42＋48 ＝142（厘米） 142＋10×2 ＝142＋20 ＝162（厘米） 162厘米＝1.62米 答：妈妈一共用掉了 1.62米绳子。 13．（2021·广东深圳·期末）某小区新建一个长 20米、宽 12米、深 2米的游泳 池。 （1）该游泳池占地面积是多少平方米？ 第 16 页 共 17 页 （2）在游泳池底面和内壁贴上瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ 【答案】 （1）20×12＝240（平方米） 答：游泳池占地面积是 240平方米。 （2）20×12＋（20×2＋12×2）×2 ＝240＋（40＋24）×2 ＝240＋64×2 ＝240＋128 ＝368（平方米） 答：至少需要瓷砖 368平方米。 14．（2023·广东清远·期末）有 A、B、C三种规格的纸板各四张（如下图）， 请你从中选出六张纸板做成一个长方体，说说你选择这六张纸板的理由，再求出： 这个长方体的表面积是多少？ 【答案】 选 4张 A纸板、2张 C纸板可做成一个长方体。 5×7×4＋5×5×2 ＝140＋50 ＝190（平方分米） 答：选择这六张纸板的理由：根据长方体的特征，相对的面完全相同，结合三种 规格纸板的尺寸，需要选择 4张 A纸板、2张 C纸板才能做成一个长方体。这 个长方体的表面积是 190平方分米。 15．（2024·辽宁锦州·期末）学校准备粉刷五年级三个班教室的墙壁和屋顶，每 间教室长 10米、宽 6米、高 3米，每间教室门窗和黑板面积是 8平方米，三间 教室需要粉刷的面积一共是多少平方米？ 【答案】 10×6＋10×3×2＋6×3×2 第 17 页 共 17 页 ＝60＋60＋36 ＝156（平方米） 156－8＝148（平方米） 148×3＝444（平方米） 答：三间教室需要粉刷的面积一共是 444平方米。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元长方体（一）·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：长方体的认识及特征。 1. 长方体的定义。 由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二：正方体的认识及特征。 1. 正方体的认识。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别。 知识点三：长方体的表面展开图。 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四：正方体的表面展开图。 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五：长方体的棱长及棱长总和。 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六：正方体的棱长及棱长总和。 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七：长方体的表面积。 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八：正方体的表面积。 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九：长方体和正方体的切拼问题。 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十：立方体表面染色问题。 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 【高频考题01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长方体中和b平行的棱有( )条。 【答案】 6 8 12 3 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 【答案】 6 6 相等 【高频考题02】长方体和正方体的棱长总和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处用去18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 【答案】 15×2＋10×2＋8×4＋18 ＝30＋20＋32＋18 ＝50＋32＋18 ＝82＋18 ＝100（厘米） 答：至少需要100厘米的彩带。 2．快递公司要把一个棱长为40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要30厘米。捆扎这个物体一共需要多少米包装袋？ 【答案】 40×8＋30 ＝320＋30 ＝350（厘米） 350厘米＝3.5米 答：捆扎这个物体一共需要3.5米包装带。 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是5.2米，宽是4米，高是3.4米。正方体的棱长是多少米？ 【答案】 （5.2＋4＋3.4）×4 ＝12.6×4 ＝50.4（米） 50.4÷12＝4.2（米） 答：正方体的棱长是4.2米。 【高频考题03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长0.15米的正方形，每节排水管长2.5米。做30节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 【答案】 0.15×2.5×4×30 ＝0.375×4×30 ＝1.5×30 ＝45（平方米） 答：做30节这样的排水管至少需要45平方米铁皮。 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖。） 【答案】 3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要45平方分米的玻璃。 3．淘气的房间的长和宽都是5米，高是3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁，门窗的面积是10平方米。粉刷艺术漆的单价是28元/平方米，一共需要多少元？ 【答案】 （5×5＋5×3×2＋5×3×2－10）×28 ＝（25＋30＋30－10）×28 ＝75×28 ＝2100（元） 答：一共需要2100元。 一、填空题。 1．（2024·四川成都·期末）长方体和正方体都有( )个面，( )个顶点。 【答案】 6 8 2．（2024·四川成都·期末）“礼、乐、射、御、书、数”是古代读书人必须学习的“六艺”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如图，与“礼”字相对的是( )字。与“数”字相对的是( )字。 【答案】 御 乐 3．（2024·广东湛江·期末）陈师傅制作一个长方体灯笼框架，长是20cm，宽是15cm，高是12cm，他制作一个这样的框架至少需要长度是( )cm的木条。 【答案】188 4．（2024·四川成都·期末）学校跳蚤夜市上，淘气准备用一根长36dm的铁丝做成一个宽2dm，高是3dm的长方体彩灯箱框架，那么它的长是( )dm，要给灯箱每个面都覆盖上彩色丝绸，所用丝绸的面积是( )dm2。 【答案】 4 52 5．（2024·四川成都·期末）如图，把4个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了12cm2，拼成的长方体的表面积是( )cm2。 【答案】24 二、选择题。 6．（2021·广东深圳·期末）下面图形不是正方体展开图的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 7．（2024·广东湛江·期末）下图是一个物体长、宽、高的数据，这个物体可能是( )。 A．新华字典 B．数学课本 C．一张A4纸 D．课桌桌板 【答案】A 8．（2024·四川成都·期末）李叔叔喜欢养鱼。他要做一个无盖的长方体玻璃鱼缸，求至少要用多少平方米的玻璃，这是求这个长方体鱼缸的( )。 A．体积 B．表面积 C．容积 D．侧面积 【答案】B 9．（2024·吉林长春·期末）在大长方体中锯掉一个小正方体（如图），这个图形与原图形比较，( )。 A．表面积不变 B．表面积减少C．表面积增加D．无法比较表面积大小 【答案】C 10．（2024·陕西汉中·期末）把4个长是10厘米、宽是8厘米、高是1厘米的长方体盒子放在一起用彩纸包装起来。下面最节省包装纸的方案是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 三、计算题。 11．（2024·陕西西安·期末）如图是一个长方体的展开图，求出它的表面积。 【答案】 （14×10＋14×7＋10×7）×2 ＝（140＋98＋70）×2 ＝308×2 ＝616（cm2） 四、解答题。 12．（2024·山西吕梁·期末）收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？ 【答案】 2×26＋2×21＋4×12 ＝52＋42＋48 ＝142（厘米） 142＋10×2 ＝142＋20 ＝162（厘米） 162厘米＝1.62米 答：妈妈一共用掉了1.62米绳子。 13．（2021·广东深圳·期末）某小区新建一个长20米、宽12米、深2米的游泳池。 （1）该游泳池占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池底面和内壁贴上瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ 【答案】 （1）20×12＝240（平方米） 答：游泳池占地面积是240平方米。 （2）20×12＋（20×2＋12×2）×2 ＝240＋（40＋24）×2 ＝240＋64×2 ＝240＋128 ＝368（平方米） 答：至少需要瓷砖368平方米。 14．（2023·广东清远·期末）有A、B、C三种规格的纸板各四张（如下图），请你从中选出六张纸板做成一个长方体，说说你选择这六张纸板的理由，再求出：这个长方体的表面积是多少？ 【答案】 选4张A纸板、2张C纸板可做成一个长方体。 5×7×4＋5×5×2 ＝140＋50 ＝190（平方分米） 答：选择这六张纸板的理由：根据长方体的特征，相对的面完全相同，结合三种规格纸板的尺寸，需要选择4张A纸板、2张C纸板才能做成一个长方体。这个长方体的表面积是190平方分米。 15．（2024·辽宁锦州·期末）学校准备粉刷五年级三个班教室的墙壁和屋顶，每间教室长10米、宽6米、高3米，每间教室门窗和黑板面积是8平方米，三间教室需要粉刷的面积一共是多少平方米？ 【答案】 10×6＋10×3×2＋6×3×2 ＝60＋60＋36 ＝156（平方米） 156－8＝148（平方米） 148×3＝444（平方米） 答：三间教室需要粉刷的面积一共是444平方米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元长方体（一）·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：长方体的认识及特征。 1. 长方体的定义。 由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成。 （1）面。 长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱。 长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点。 长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征。 4. 长方体的长、宽、高。 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二：正方体的认识及特征。 1. 正方体的认识。 由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成。 （1）面。 正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱。 正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点 正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征。 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系。 （1）转化关系。 正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点。 都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别。 知识点三：长方体的表面展开图。 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型。 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀。 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四：正方体的表面展开图。 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀。 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五：长方体的棱长及棱长总和。 1. 棱长总和定义。 长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式。 长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高。 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六：正方体的棱长及棱长总和。 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七：长方体的表面积。 1. 长方体的表面积。 长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式。 长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题。 4. 表面积在我们生活中。 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八：正方体的表面积。 1. 正方体的表面积。 正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式。 正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中。 与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九：长方体和正方体的切拼问题。 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加。 （1）正方体的单次切割。 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割。 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少。 （1）正方体的拼接。 两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接。 长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题。 （1）将长方体切割成若干个正方体。 将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体。 将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十：立方体表面染色问题。 1. 立方体表面染色问题。 立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律。 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 【高频考题01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长方体中和b平行的棱有( )条。 【答案】 6 8 12 3 【分析】根据长方体的特征，填空即可。 【详解】长方体共有6个面、8个顶点、12条棱；b是长方体的宽，根据长方形对边平行且相等可知，长方体中4条宽互相平行，则与b平行的棱有3条。 【点睛】考查了长方体的特征及平行的特征，基础题。 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 【答案】 6 6 相等 【详解】长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、宽、高都相等的长方体。 【高频考题02】长方体和正方体的棱长总和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处用去18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 【答案】100厘米 【分析】捆扎的彩带包括2条长，2条宽，4条高和接头，用长×2＋宽×2＋高×4＋接头＝彩带长度，列式解答即可。 【详解】15×2＋10×2＋8×4＋18 ＝30＋20＋32＋18 ＝50＋32＋18 ＝82＋18 ＝100（厘米） 答：至少需要100厘米的彩带。 【点睛】本题考查长方体的总棱长，明确彩带的组成是解题的关键。 2．快递公司要把一个棱长为40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要30厘米。捆扎这个物体一共需要多少米包装袋？ 【答案】3.5米 【分析】观察题意可知，包装带的长度＝8条正方体的棱长＋接头处，已知正方体的棱长为40厘米，用40×8＋30即可求出捆扎这个物体一共需要多少厘米包装带，然后把单位换算成米，据此解答。 【详解】40×8＋30 ＝320＋30 ＝350（厘米） 350厘米＝3.5米 答：捆扎这个物体一共需要3.5米包装带。 【点睛】本题考查了正方体棱长和公式的灵活应用，关键是明确包装袋的长度包含了几条棱长。 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是5.2米，宽是4米，高是3.4米。正方体的棱长是多少米？ 【答案】4.2米 【分析】根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用（5.2＋4＋3.4）×4即可求出长方体的棱长和，因为长方体和一个正方体的棱长之和相等，根据正方体的棱长和＝棱长×12，用求得的棱长和除以12，即可求出正方体的棱长。 【详解】（5.2＋4＋3.4）×4 ＝12.6×4 ＝50.4（米） 50.4÷12＝4.2（米） 答：正方体的棱长是4.2米。 【点睛】本题主要考查了长方体棱长和公式和正方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 【高频考题03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长0.15米的正方形，每节排水管长2.5米。做30节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 【答案】0.15×2.5×4×30 【分析】根据题意，结合长方形的面积公式：长×宽可知，用0.15乘上2.5再乘上4，即为一节排水管的面积，再用求出的结果乘上30，即可求出答案。 【详解】0.15×2.5×4×30 ＝0.375×4×30 ＝1.5×30 ＝45（平方米） 答：做30节这样的排水管至少需要45平方米铁皮。 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖。） 【答案】45平方分米 【分析】求这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，实际是求正方体的表面积。正常情况正方体有6个面，但这个鱼缸上面没有盖，所以只要求5个面的面积和，根据求正方体表面积方法求解即可。 【详解】3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要45平方分米的玻璃。 3．淘气的房间的长和宽都是5米，高是3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁，门窗的面积是10平方米。粉刷艺术漆的单价是28元/平方米，一共需要多少元？ 【答案】2100元 【分析】把淘气房间的内空间看成一个长方体，地面不粉刷，实际上是求长方体的4个侧面和1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式求出即可；然后再减去门窗的面积就是要粉刷的面积，再用粉刷的面积乘每平方米需要的涂料费就是粉刷这个教室需要花费的钱数。 【详解】（5×5＋5×3×2＋5×3×2－10）×28 ＝（25＋30＋30－10）×28 ＝75×28 ＝2100（元） 答：一共需要2100元。 【点睛】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 一、填空题。 1．（2024·四川成都·期末）长方体和正方体都有( )个面，( )个顶点。 【答案】 6 8 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同；长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 正方体的特征：6个面都是正方形，且面积相等；有8个顶点。据此解答。 【详解】通过分析可得：长方体和正方体都有6个面，8个顶点。 2．（2024·四川成都·期末）“礼、乐、射、御、书、数”是古代读书人必须学习的“六艺”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如图，与“礼”字相对的是( )字。与“数”字相对的是( )字。 【答案】 御 乐 【分析】正方体相对的面不相连；相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面。据此解答。 【详解】通过分析可得：与“射”字相对的字是“书”字；与“礼”字相对的是“御”字；与“数”字相对的是“乐”字。 3．（2024·广东湛江·期末）陈师傅制作一个长方体灯笼框架，长是20cm，宽是15cm，高是12cm，他制作一个这样的框架至少需要长度是( )cm的木条。 【答案】188 【分析】求需要木条的长度，就是求长方体灯笼的棱长总和，根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。 【详解】（20＋15＋12）×4 ＝（35＋12）×4 ＝47×4 ＝188（cm） 陈师傅制作一个长方体灯笼框架，长是20cm，宽是15cm，高是12cm，他制作一个这样的框架至少需要长度是188cm的木条。 4．（2024·四川成都·期末）学校跳蚤夜市上，淘气准备用一根长36dm的铁丝做成一个宽2dm，高是3dm的长方体彩灯箱框架，那么它的长是( )dm，要给灯箱每个面都覆盖上彩色丝绸，所用丝绸的面积是( )dm2。 【答案】 4 52 【分析】长36dm的铁丝就是这个长方体的棱长总和。根据长方体的长＝棱长总和÷4－宽－高，代入数据计算，求出长方体的长。再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，即可求出所用丝绸的面积。 【详解】36÷4－2－3 ＝9－2－3 ＝4（dm） （4×3＋4×2＋3×2）×2 ＝（12＋8＋6）×2 ＝26×2 ＝52（dm2） 它的长是4dm，要给灯箱每个面都覆盖上彩色丝绸，所用丝绸的面积是52dm2。 5．（2024·四川成都·期末）如图，把4个完全一样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了12cm2，拼成的长方体的表面积是( )cm2。 【答案】24 【分析】观察图形，表面积减少了8个正方形面积，就是减少12cm2，用除法得出每个正方形面的面积。 根据正方体的表面积＝一个正方形面的面积×6，再乘4即可得出4个完全一样的正方体的表面积，最后减去12即可得出长方体的表面积。 【详解】12÷8×6 ＝12×6÷8 ＝72÷8 ＝9（cm2） 9×4－12 ＝36－12 ＝24（cm2） 则拼成的长方体的表面积是24cm2。 二、选择题。 6．（2021·广东深圳·期末）下面图形不是正方体展开图的是( )。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。据此逐项分析解答。 【详解】 A．，符合正方体展开图的“1－4－1”结构，是正方体展开图； B．，符合正方体展开图的“2－2－2”结构，是正方体展开图； C．，不符合正方体展开图的特征，不是正方体展开图； D．，符合正方体展开图的“1－3－2”结构，是正方体展开图。 不是正方体展开图的是。 故答案为：C 7．（2024·广东湛江·期末）下图是一个物体长、宽、高的数据，这个物体可能是( )。 A．新华字典 B．数学课本 C．一张A4纸 D．课桌桌板 【答案】A 【分析】由图可知，这个物体的长为10厘米，宽为15厘米，高为4厘米，因此可知这个物体的尺寸较小，有一定的厚度，据此解答。 【详解】A．新华字典的长、宽、高比较符合题目给的尺寸，因此这个物体可能是新华字典； B．数学书的长和宽会比题目所给的长、宽再大一些，且数学的高度一般在1~2厘米左右，因此这个物体不可能是数学书； C．一张A4纸的厚度很薄很薄，与题目所给的高度不符合，因此这个物体不可能是一张A4纸； D．课桌桌板的长度接近五六十厘米，宽度接近三四十厘米，与题目所给的长度和宽度不符合，因此这个物体不可能是课桌桌板。 故答案为：A 8．（2024·四川成都·期末）李叔叔喜欢养鱼。他要做一个无盖的长方体玻璃鱼缸，求至少要用多少平方米的玻璃，这是求这个长方体鱼缸的( )。 A．体积 B．表面积 C．容积 D．侧面积 【答案】B 【分析】物体表面面积的总和，叫做物体的表面积，求玻璃的面积就是求无盖的长方体玻璃鱼缸5个面的面积和，即求这个长方体鱼缸的表面积。 【详解】根据分析，求至少要用多少平方米的玻璃，这是求这个长方体鱼缸的表面积。 故答案为：B 9．（2024·吉林长春·期末）在大长方体中锯掉一个小正方体（如图），这个图形与原图形比较，( )。 A．表面积不变 B．表面积减少C．表面积增加D．无法比较表面积大小 【答案】C 【分析】在大长方体的棱上锯掉一个小正方体，表面积应该减少了2个正方形的面，看图可知，里面反而出现了4个同样的正方形的面，因此表面积增加了。 【详解】根据分析，锯掉一个小正方体后表面积比原来增加了2个正方形的面，因此表面积增加。 故答案为：C 10．（2024·陕西汉中·期末）把4个长是10厘米、宽是8厘米、高是1厘米的长方体盒子放在一起用彩纸包装起来。下面最节省包装纸的方案是( )。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要想最省包装纸，就是求这4个长方体拼成大长方体后的表面积最小，即求出哪种包装方式下，拼成的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸。 【详解】A．减少的表面积： 10×8×6 ＝80×6 ＝480（平方厘米） B．减少的表面积： 10×1×4＋8×1×4 ＝40＋32 ＝72（平方厘米） C．减少的表面积： 10×8×4＋10×1×4 ＝80×4＋40 ＝320＋40 ＝360（平方厘米） D．减少的表面积： 8×1×6＝48（平方厘米） 480＞360＞72＞48 所以下面最节省包装纸的方案是A。 故答案为：A 三、计算题。 11．（2024·陕西西安·期末）如图是一个长方体的展开图，求出它的表面积。 【答案】616cm2 【分析】通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的长是14cm，宽是10cm，高是7cm，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 【详解】（14×10＋14×7＋10×7）×2 ＝（140＋98＋70）×2 ＝308×2 ＝616（cm2） 四、解答题。 12．（2024·山西吕梁·期末）收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？ 【答案】1.62米 【分析】在计算捆一圈的长度时，需要考虑到杂志的长、宽、高，分别计算出两个长、两个宽和四个高的长度，再相加得到总长度。然后，再加上打结时两端预留的绳子长度，即可得到妈妈一共用掉的绳子长度。最后，将长度单位从厘米转换为米。 【详解】2×26＋2×21＋4×12 ＝52＋42＋48 ＝142（厘米） 142＋10×2 ＝142＋20 ＝162（厘米） 162厘米＝1.62米 答：妈妈一共用掉了1.62米绳子。 13．（2021·广东深圳·期末）某小区新建一个长20米、宽12米、深2米的游泳池。 （1）该游泳池占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池底面和内壁贴上瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ 【答案】（1）240平方米 （2）368平方米 【分析】（1）求游泳池的占地面积就是求长方体的底面积，利用“长方形的面积＝长×宽”求出教室的占地面积； （2）求需要瓷砖的面积，就是求这个游泳池5个面的面积和，即游泳池的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】（1）20×12＝240（平方米） 答：游泳池占地面积是240平方米。 （2）20×12＋（20×2＋12×2）×2 ＝240＋（40＋24）×2 ＝240＋64×2 ＝240＋128 ＝368（平方米） 答：至少需要瓷砖368平方米。 14．（2023·广东清远·期末）有A、B、C三种规格的纸板各四张（如下图），请你从中选出六张纸板做成一个长方体，说说你选择这六张纸板的理由，再求出：这个长方体的表面积是多少？ 【答案】理由见详解；190平方分米 【分析】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 从图中可知，三种规格的纸板分别是“7×5”、“7×6”、“5×5”，其中“7×6”的纸板无法与其他规格的纸板做成长方体，所以只能选择“7×5”的纸板4张、“5×5”的纸板2张，做成一个两个面是正方形的长方体。 根据长方形的面积＝长×宽，求出6个面的面积，相加即是这个长方体的表面积。 【详解】选4张A纸板、2张C纸板可做成一个长方体。 5×7×4＋5×5×2 ＝140＋50 ＝190（平方分米） 答：选择这六张纸板的理由：根据长方体的特征，相对的面完全相同，结合三种规格纸板的尺寸，需要选择4张A纸板、2张C纸板才能做成一个长方体。这个长方体的表面积是190平方分米。 15．（2024·辽宁锦州·期末）学校准备粉刷五年级三个班教室的墙壁和屋顶，每间教室长10米、宽6米、高3米，每间教室门窗和黑板面积是8平方米，三间教室需要粉刷的面积一共是多少平方米？ 【答案】444平方米 【分析】根据题意，粉刷教室的墙壁和屋顶，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，然后减去门窗和黑板的面积，即是每间教室需粉刷的面积，再乘3，求出三间教室需粉刷的总面积。 【详解】10×6＋10×3×2＋6×3×2 ＝60＋60＋36 ＝156（平方米） 156－8＝148（平方米） 148×3＝444（平方米） 答：三间教室需要粉刷的面积一共是444平方米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$