（体积篇）第四单元长方体（二）·体积篇【十九大考点】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）北师大版

第 1 页 共 49 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 49 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第四单元长方体（二）·体积篇【十九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元长方体（二）·体积篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的体积为主，其中包括体积容积单 位的认识、长方体和正方体的体积及生活实际问题、等积变 形问题、切拼问题（表面积的变化问题）、排水法求不规则 物体的体积、组合立体图形的体积等内容，其中排水法求体 积是本专题的重点和难点。 总体评价 讲解建议 本专题考点划分较多，考题综合性较强，部分内容难度较大， 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考 点考题。 考点数量 十九个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】体积和容积的概念认识 ................................................................................... 4 【考点二】体积和容积的单位 ........................................................................................... 6 【考点三】体积和容积单位换算 ..................................................................................... 10 【考点四】长方体的体积 .................................................................................................11 【考点五】长方体的体积（容积）与生活实际应用 .......................................................14 【考点六】正方体的体积 .................................................................................................17 第 3 页 共 49 页 【考点七】正方体的体积（容积）与生活实际应用 .......................................................19 【考点八】长方体和正方体的体积与棱长扩倍关系 .......................................................21 【考点九】无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题） ........................................... 24 【考点十】等积变形问题其一：熔铸问题 ...................................................................... 27 【考点十一】等积变形问题其二：倒水问题（液体分装问题） ....................................30 【考点十二】等积变形问题其三：液体倾斜问题 ...........................................................31 【考点十三】切拼问题与体积的结合其一：切割问题 ................................................... 34 【考点十四】切拼问题与体积的结合其二：拼接问题 ................................................... 36 【考点十五】切拼问题与体积的结合其三：高的变化问题 ........................................... 38 【考点十六】排水法求不规则物体体积其一：求体积 ................................................... 40 【考点十七】排水法求不规则物体体积其二：求水深 ................................................... 43 【考点十八】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题 ............................................... 45 【考点十九】不规则及组合立体图形的体积 .................................................................. 47 第 4 页 共 49 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】体积和容积的概念认识。 【方法点拨】 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、 立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、 毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 【典型例题 1】体积。 物体所占空间的大小叫作物体的( )。 A．体积 B．表面积 C．容积 【答案】A 【分析】物体所占空间的大小叫作物体的体积；物体的表面或围成平面图形的大 小叫面积；物体所有面的面积和叫表面积；容器所能容纳物体的体积，叫作容器 的容积。据此判断。 【详解】物体所占空间的大小叫作物体的体积。 故答案为：A 【对应练习 1】 下面现实情境中最适合提出与“体积”有关的问题是( )。 A．给相框装上花边 B．给一块长方形菜地的四周围上篱笆 第 5 页 共 49 页 C．给学校的窗户安玻璃 D．给一个游泳池注水 【答案】D 【分析】封闭图形一周的长度就是它的周长。物体表面或封闭图形的大小就是它 的面积。物体所占空间的大小就是它的体积。 【详解】A．给相框装上花边，花边的长度就是相框的周长； B．给一块长方形菜地的四周围上篱笆，篱笆的长度指的是菜地的周长； C．给学校的窗户安玻璃，指的是窗户的面积； D．给一个游泳池注水，指的是水的体积。 故答案为：D 【对应练习 2】 比较甲和乙所占空间的大小，发现甲所占的空间( )乙所占的空间。 A．大于 B．小于 C．等于 【答案】C 【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积，组成甲立体图形和乙立体图形的 小正方体的数量相等，所以甲和乙的体积相等，据此解答。 【详解】分析可知，甲和乙都由 7个相同的小正方体拼搭而成，所以甲所占的空 间等于乙所占的空间。 故答案为：C 【点睛】根据小正方体的数量判断它们体积的大小关系是解答题目的关键。 【典型例题 2】容积。 计算一个水箱能装多少升水，是求这个水箱的( )。 A．体积 B．容积 C．表面积 【答案】B 【分析】物体所占空间的大小叫作物体的体积，容器所能容纳物体的体积叫作它 们的容积，水箱表面的面积之和就是水箱的表面积，据此解答。 第 6 页 共 49 页 【详解】分析可知，计算水箱能装多少升水，需要知道水箱内部可以容纳水的体 积的大小，是求这个水箱的容积，与水箱的体积和表面积无关。 故答案为：B 【对应练习 1】 一瓶饮料的净含量是 250mL，这里的“250mL”指的是( )。 A．饮料瓶的容积 B．饮料瓶的体积 C．饮料的体积 【答案】C 【分析】这里的“净含量”指的是饮料本身的实际量，而不是饮料瓶的体积和容积。 据此解答 【详解】根据分析可得：一瓶饮料的净含量是 250mL，这里的“250mL”指的是饮 料的体积。 故答案为：C 【对应练习 2】 一个水池能装水 120m3，我们就说这个水池的( )120m3。 A．表面积 B．容积 C．体积 D．重量 【答案】B 【分析】根据容积的意义，容积是一个容器所能容纳物体体积的大小，就是这个 容器的容积。 【详解】据分析可知，这个水池的容积是 120m3。 故答案为：B 【考点二】体积和容积的单位。 【方法点拨】 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如 10m³的 卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约 3dm³）、微 波炉的容积、小纸箱的容量等。 第 7 页 共 49 页 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约 1cm³）、药片体积、橡 皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如 5L装食用油）、汽车 油箱容量（如 50L）、大瓶饮料（如 2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约 10mL）、小瓶装 酸奶（100mL）、口服液剂量（如 5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立 方米、立方分米等。 【典型例题】 1．（体积单位）在括号里填上适当的单位。 一个游泳池能蓄水约 2500( )； 一个土豆的体积约 50( )。 【答案】 立方米/m3 立方厘米/cm3 【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。立方厘米用字母表示 是 cm3，立方分米用字母表示是 dm3，立方米用字母表示是 m3。棱长 1厘米的正 方体，体积是 1立方厘米；棱长 1分米的正方体，体积是 1立方分米；棱长 1 米的正方体，体积是 1立方米。一颗玻璃珠的体积接近 1立方厘米；一个魔方的 体积接近 1立方分米；一个电脑桌的体积接近 1立方米。根据生活经验，一个游 泳池蓄水量用立方米作单位比较合适，一个土豆的体积用立方厘米作单位比较合 适。 【详解】一个游泳池能蓄水约 2500立方米；一个土豆的体积约 50立方厘米。 【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单 位和数据的大小，灵活地选择。 2．（容积单位）饺子有“更岁交子”的意思，因此人们过春节有吃饺子的习俗。 一般煮一锅饺子需要水约 4( )，吃 1个饺子需要醋调料约 3( )。 第 8 页 共 49 页 （填合适的容积单位） 【答案】 升/L 毫升/mL 【分析】容积单位有升和毫升，其中升是较大的容积单位，一瓶洗发水的容积大 约是 1升，1桶油大概有 5升。毫升是较小的容积单位，1毫升水只有十几滴，1 盒牛奶大概有 250毫升。根据生活经验以及对容积单位和数据大小的认识选择合 适的容积单位。 【详解】一般煮一锅饺子需要水约 4升，吃 1个饺子需要醋调料约 3毫升。 【对应练习 1】 在括号里填上适当的计量单位。 一包 A4复印纸的体积约是 3.1( )； 一个集装箱的体积约是 26( )； 一个茶杯的容积是 100( )。 【答案】 立方分米/dm3 立方米/m3 毫升/mL 【分析】根据生活经验、对体积单位、容积单位和数据大小的认识可知， 粉笔盒的体积大约是 1立方分米，所以计量一包 A4复印纸的体积用立方分米作 单位； 一个大衣柜的体积大约是 1立方米，所以计量一个集装箱的体积用立方米作单位； 一瓶矿泉水大约是 500毫升，所以计量一个茶杯的容积用毫升作单位。 【详解】一包 A4复印纸的体积约是 3.1立方分米； 一个集装箱的体积约是 26立方米； 一个茶杯的容积是 100毫升。 【对应练习 2】 在下面的括号里填上合适的单位。 (1)一本数学书的体积约为 300( )。 (2)一间教室所占空间的大小约为 140( )。 (3)一个水杯的容积约为 0.35( )。 【答案】(1)立方厘米/cm3 (2)立方米/m3 (3)升/L 第 9 页 共 49 页 【分析】（1）指尖的体积大约是 1立方厘米。数学书较大，并且括号前的数据 是 300，填立方厘米作单位比较合适； （2）一个滚筒洗衣机的体积大约是 1立方米。教室远比滚筒洗衣机大，括号前 的数据是 140，那么单位填立方米是合适的； （3）一盒牛奶的容积大概是 250毫升，即 0.25升。正常的水杯能装下一盒牛奶， 那么水杯的容积大约是 0.35升。 【详解】（1）一本数学书的体积约为 300立方厘米。 （2）一间教室所占空间的大小约为 140立方米。 （3）一个水杯的容积约为 0.35升。 【对应练习 3】 填上合适的单位名称。 (1)一桶纯净饮用水大约 18( )。 (2)一袋草莓酸牛奶约 220( )。 (3)一个游泳池的容积是 1200( )。 (4)一块橡皮的体积大约是 8( )。 【答案】(1)升/L (2)毫升/mL (3)升/L (4)立方厘米/cm3 【分析】常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，手指一节的体积大约 是 1立方厘米，一个粉笔盒的体积大约是 1立方分米，棱长是 1米的正方体的体 积是 1立方米。常用的容积单位有升和毫升，容积是 1立方分米的容器正好盛水 1升，容积是 1立方厘米的容器正好盛水 1毫升。根据一个单位的大小和单位前 面的数字选择合适的单位。 【详解】（1）一桶纯净饮用水大约 18升。 （2）一袋草莓酸牛奶约 220毫升。 （3）一个游泳池的容积是 1200升。 （4）一块橡皮的体积大约是 8立方厘米。 第 10 页 共 49 页 【考点三】体积和容积单位换算。 【方法点拨】 1. 体积单位间的进率。 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 2. 容积单位间的进率。 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 3. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 4. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【典型例题】 在括号里填上合适的数。 40dm3＝( )cm3 850L＝( )m3 6400mL＝( )L 0.26dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 40000 0.85 6.4 0.26 260 【分析】根据 1dm3＝1000cm3，1m3＝1000L，1L＝1000mL，1dm3＝1L，单位大 变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【详解】40×1000＝40000（cm3）；850÷1000＝0.85（m3） 6400÷1000＝6.4（L）；0.26×1000＝260（mL） 40dm3＝40000cm3；850L＝0.85m3 6400mL＝6.4L；0.26dm3＝0.26L＝260mL 【对应练习 1】 在括号里填上合适的数。 950毫升＝( )立方分米 24.07立方米＝( )立方米( )立 方分米 【答案】 0.95 24 70 【分析】1立方分米＝1000立方厘米＝1000毫升，1立方米＝1000立方分米， 据此解题。 【详解】在括号里填上合适的数。 第 11 页 共 49 页 950毫升＝0.95立方分米 24.07立方米＝24立方米 70立方分米 【对应练习 2】 在括号里填上适当的数。 33.08m ＝( )L 32.5dm ＝( ) 3cm 1250mL＝( ) 3dm 680mL＝( )L 【答案】 3080 2500 1.25 0.68 【分析】根据 1m3＝1000L，1 3dm ＝1000 3cm ，1 3dm ＝1000mL，1L＝1000mL， 单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【详解】3.08×1000＝3080（L）；2.5×1000＝2500（ 3cm ） 1250÷1000＝1.25（ 3dm ）；680÷1000＝0.68（L） 33.08m ＝3080L； 32.5dm ＝2500 3cm 1250mL＝1.25 3dm ；680mL＝0.68L 【对应练习 3】 在括号里填上适当的数。 4600cm3＝( )dm3 30L＝( )mL 5.7m3＝( )m3( )dm3 42.07dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 4.6 30000 5 700 42.07 42070 【分析】根据 1dm3＝1000cm3，1L＝1000mL，1m3＝1000dm3，1dm3＝1L＝1000mL， 高级单位换低级单位乘进率，低级单位换高级单位除以进率，依此进行计算即可。 【详解】4600÷1000＝4.6，即 4600cm3＝4.6dm3 30×1000＝30000，即 30L＝30000mL 5.7＝5＋0.7，0.7×1000＝700，即 5.7m3＝5m3700dm3 42.07×1000＝42070，即 42.07dm3＝42.07L＝42070mL 【考点四】长方体的体积。 【方法点拨】 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为 V=abh=S 底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 第 12 页 共 49 页 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 【典型例题】 一个长方体的长是 8cm，宽是 5cm，高是 4cm，这个长方体的棱长总和是 ( )cm，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 68 184 160 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体表面积＝（长×宽＋ 长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【详解】（8＋5＋4）×4 ＝17×4 ＝68（cm） （8×5＋8×4＋5×4）×2 ＝（40＋32＋20）×2 ＝92×2 ＝184（cm2） 8×5×4＝160（cm3） 这个长方体的棱长总和是 68cm，表面积是 184cm2，体积是 160cm3。 【对应练习 1】 一个长方体的长是 8cm，宽是 5cm，高是 2cm，这个长方体的表面积是 ( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 132 80 【分析】已知长方体的长、宽、高，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋ 宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求出它的表面积和体积。 【详解】（8×5＋8×2＋5×2）×2 ＝（40＋16＋10）×2 ＝66×2 ＝132（cm2） 8×5×2＝80（cm3） 这个长方体的表面积是 132cm2，体积是 80cm3。 第 13 页 共 49 页 【对应练习 2】 一个长方体的长是 6.8厘米，宽是 5厘米，高是 4厘米，它的表面积是( ) 平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 162.4 136 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体的体积＝ 长×宽×高，代入数据即可解答。 【详解】（6.8×5＋6.8×4＋5×4）×2 ＝（34＋27.2＋20）×2 ＝81.2×2 ＝162.4（平方厘米） 6.8×5×4＝136（立方厘米） 长方体的表面积是 162.4平方厘米，体积是 136立方厘米。 【对应练习 3】 一个长方体的底面是周长 20cm的正方形，高 3cm，这个长方体的的表面积是 ( )，体积是( )。 【答案】 110cm2/110平方厘米 75cm3/75立方厘米 【分析】已知长方体的底面是周长 20cm的正方形，说明长方体的长、宽相等； 根据正方形的边长＝周长÷4，求出长方体的长、宽； 根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高， 代入数据计算，求出它的表面积和体积。 【详解】长方体的长、宽：20÷4＝5（cm） 表面积： （5×5＋5×3＋5×3）×2 ＝（25＋15＋15）×2 ＝55×2 ＝110（cm2） 体积：5×5×3＝75（cm3） 这个长方体的的表面积是 110cm2，体积是 75cm3。 第 14 页 共 49 页 【考点五】长方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为 V=abh=S 底×h。 【典型例题】 1．如图所示，用混凝土浇筑一个无盖的长方体水槽，从外面量，长 10分米、宽 8分米、高 4分米，混凝土厚 1分米，根据以上信息计算出这个水槽的容积。 【答案】144升 【分析】观察图形可知，这个水槽从里面测量的长为 10－1×2＝8分米，宽为 8 －1×2＝6分米，高为 4－1＝3分米，再根据长方体的容积公式：V＝abh，据此 求出这个水槽的容积，结果再根据 1立方分米＝1升，把结果化为升作单位。 【详解】（10－1×2）×（8－1×2）×（4－1） ＝（10－2）×（8－2）×（4－1） ＝8×6×3 ＝48×3 ＝144（立方分米） ＝144（升） 答：这个水槽的容积是 144升。 2．杭州亚运会跳水比赛在杭州奥体中心游泳馆举行。杭州奥体中心游泳馆位于 杭州市萧山区，与杭州奥体中心体育馆称“化蝶”双馆。在杭州亚运会上，中国跳 水“梦之队”在这里包揽了全部十枚金牌。工作人员现在给一个长 50米，宽 30米 的长方体游泳池注水，注水速度是每小时 200立方米。要使水深达到 1.8米。需 要多长时间？ 【答案】13.5小时 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用 50×30×1.8即可求出水深达到 1.8米 时水的体积，再除以 200即可求出到达 1.8米时需要的时间。 【详解】50×30×1.8＝2700（立方米） 第 15 页 共 49 页 2700÷200＝13.5（小时） 答：需要 13.5小时。 【对应练习 1】 学校运动场有一个长 6米、宽 4米、深 0.5米的长方体沙坑。 （1）工人把 7.2立方米的黄沙铺在沙坑里，可以铺多厚？ （2）如果每立方米沙子 180元，这个沙坑填满沙子，需要多少元？ （3）请提出一个数学问题，并解答。 【答案】（1）0.3米；（2）2160元；（3）见详解；34平方米 【分析】（1）长方体沙坑的底面积可利用长方形的面积公式求出，等于长乘宽， 再利用长方体的体积公式：V＝Sh，用黄沙的体积除以长方体沙坑的底面积，即 可求出铺沙子的厚度。 （2）已知长为 6米、宽为 4米、高为 0.5米，这个沙坑填满沙子，则沙子的体 积根据长方体的体积公式即可求出，再乘每立方米沙子的价格，求出需要的总价 钱。 （3）可提出一个关于计算长方体表面积的题目，比如要把这个长方体沙坑改造 成一个水池，四周及底部铺上瓷砖，那么求需要铺瓷砖的面积是多少平方米？由 于缺少上底面，实际上是求长方体 4个侧面和 1个底面的面积之和，利用长方体 的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入数据即可求出需要铺瓷砖的面积。 【详解】（1）7.2÷（6×4） ＝7.2÷24 ＝0.3（米） 答：可以铺厚度为 0.3米高的沙子。 （2）6×4×0.5×180 ＝24×0.5×180 ＝2160（元） 答：需要 2160元。 （3）提出问题：如果改造成一个水池，要在四周及底部铺上瓷砖，求需要铺瓷 砖的面积是多少平方米？ 6×4＋6×0.5×2＋4×0.5×2 第 16 页 共 49 页 ＝24＋6＋4 ＝34（平方米） 答：需要铺瓷砖的面积是 34平方米。 （答案不唯一） 【点睛】此题主要考查长方体的表面积和体积的计算方法，灵活运用公式解决问 题。 【对应练习 2】 给一个新修的长 55米、宽 24米的长方体水池注水，注水速度为每小时 200立方 米，要注入深 1.5米的水大约需要多长时间？ 【答案】9.9小时 【分析】先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出注入水的体积，再除以每小时的 注水量求出需要的注水时间，据此解答。 【详解】55×24×1.5÷200 ＝1320×1.5÷200 ＝1980÷200 ＝9.9（小时） 答：要注入深 1.5米的水大约需要 9.9小时。 【点睛】熟练掌握并灵活运用长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 【对应练习 3】 一个长方体油箱，从里面量长 0.8m，宽 0.24m，深 0.5m，这个油箱能装油多少 升？如果把这些油分装在 500mL的瓶子里，能装满多少瓶？ 【答案】96L；192瓶 【分析】首先根据长方体的体积（容积）计算公式：长×宽×高，求出这个长方 油箱的容积，再用长方油箱的容积除以瓶子的容积，即可求出能装满的瓶子数。 【详解】0.8m＝8dm，0.24m＝2.4dm，0.5m＝5dm 8×2.4×5 ＝19.2×5 ＝96（dm3） 96dm3＝96L 第 17 页 共 49 页 500mL＝0.5L 96÷0.5＝192（瓶） 答：这个油箱能装油 96L，如果把这些油分装在 500mL的瓶子里，能装满 192 瓶。 【点睛】本题主要考查长方体的体积（容积）计算，关键是要熟练掌握计算公式 和注意单位的统一。 【考点六】正方体的体积。 【方法点拨】 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示 V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示 3个 a相乘。 2. 区分 2a、a2和 a³。 2a=2×a，表示两个 a相加；a2=a×a，表示两个 a相乘；a³=a×a×a，表示 3个 a 相 乘。 【典型例题】 一个正方体的棱长是 6厘米，它的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 216平方厘米/216cm2 216立方厘米/216cm3 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把 题中数据代入公式计算，据此解答。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 所以，这个正方体的表面积是 216平方厘米，体积是 216立方厘米。 【对应练习 1】 一个正方体铁块，它的棱长是 2dm，它的棱长总和是( )dm，它的表面积 是( )dm2，它的体积是( )dm3，它的占地面积是( )dm2。 第 18 页 共 49 页 【答案】 24 24 8 4 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出棱长 总和；根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出正方体 表面积；根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方 体体积；求占地面积，就是求正方体一个面的面积，根据正方形面积公式：面积 ＝边长×边长，代入数据，即可解答。 【详解】2×12＝24（dm） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（dm2） 2×2×2 ＝4×2 ＝8（dm3） 2×2＝4（dm2） 一个正方体铁块，它的棱长是 2dm，它的棱长总和是 24dm，它的表面积是 24dm2， 它的体积是 8dm3，它的占地面积是 4dm2。 【对应练习 2】 一个正方体表面积是 384平方米，它的棱长是( )米，体积是( ) 立方米。 【答案】 8 512 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，先根据正方体的表面积求出正方体的 棱长，再利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出这个正方体的体积，据此解 答。 【详解】384÷6＝64＝82（平方米） 所以，正方体的棱长是 8米。 8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方米） 所以，这个正方体的体积是 512立方米。 第 19 页 共 49 页 【对应练习 3】 一个正方体的棱长总和是 4.8m，它的表面积是( )m2，体积是 ( )dm3。 【答案】 0.96 64 【分析】正方体的棱长总和除以 12求出它的棱长，再根据正方体的表面积＝棱 长×棱长×6，求出它的表面积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出它的 体积。注意最后要换算单位，高级单位转化为低级单位乘两个单位之间的进率， 1m3＝1000dm3。 【详解】4.8÷12＝0.4（m） 0.4×0.4×6＝0.96（m2） 0.4×0.4×0.4＝0.064（m3） 0.064m3＝64dm3 则它的表面积是 0.96m2，体积是 64dm3。 【考点七】正方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示 V=a×a×a = a³。 【典型例题】 一块正方体石料的棱长为 6分米，如果 1立方分米石料的质量是 2.7千克，这块 石料的质量是多少千克？ 【答案】583.2千克 【分析】先根据正方体的体积公式，棱长×棱长×棱长，求出石料的体积，再乘 2.7即可求出石料的质量即可。 【详解】6×6×6×2.7 ＝36×6×2.7 ＝216×2.7 ＝583.2（千克） 答：这块石料的质量是 583.2千克。 【点睛】解答本题的关键是掌握正方体的体积计算公式。 【对应练习 1】 第 20 页 共 49 页 一个正方体水槽，从里面量得棱长 60厘米，往里面倒入 198升水，水面离水槽 口还有多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】水面高度＝水的体积÷水槽底面积，正方体棱长－水面高度＝水面离水 槽口距离，据此列式解答。 【详解】60厘米 6 分米  6 198 6 6   =6 198 36  =6 5.5 0.5 （分米） 5 （厘米） 答：水面离水槽口还有 5厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式。 【对应练习 2】 纸盒厂生产一种正方体纸板箱，它的棱长和为 72厘米，做这样一个纸板箱体积 是多少立方厘米？ 【答案】216立方厘米 【分析】根据正方体的总棱长公式：L＝12a，据此求出正方体的棱长，再根据正 方体的体积公式：V＝a3，据此计算即可。 【详解】72÷12＝6（厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 答：做这样一个纸板箱体积是 216立方厘米。 【点睛】本题考查正方体的总棱长和体积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习 3】 有一个棱长为 6分米的正方体铁块，每立方分米铁块的质量为 7.5千克，这个铁 块重多少千克？ 【答案】1620千克 第 21 页 共 49 页 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用 6×6×6即可求出正方体铁块 的体积，然后乘 7.5即可求出这个铁块的重量。据此解答。 【详解】6×6×6×7.5 ＝216×7.5 ＝1620（千克） 答：这个铁块重 1620千克。 【点睛】本题考查了正方体体积公式的灵活应用，关键是熟记公式。 【考点八】长方体和正方体的体积与棱长扩倍关系。 【方法点拨】 1. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 2. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体 积扩大 a×a×a=a3 倍 【典型例题】 1．（正方体扩倍关系）一个正方体棱长扩大到原来的 2倍，表面积扩大原来的 ( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 4 8 【分析】采用设数法解决此题。假设原来正方体的棱长为 1，棱长扩大到原来的 2倍后是 2。 正方体的表面积＝棱长×棱长×6，根据正方体的表面积公式分别计算出正方体原 来的表面积、扩大后的表面积；再用扩大后的表面积÷原来的表面积，求出表面 积扩大到原的几倍。 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，根据正方体的体积公式分别计算出正方体原 来的体积、扩大后的体积；再用扩大后的体积÷原来的体积，求出体积扩大到原 的几倍。 【详解】假设原来正方体的棱长为 1。 2×1＝2 2×2×6÷（1×1×6） 第 22 页 共 49 页 ＝24÷6 ＝4 2×2×2÷（1×1×1） ＝8÷1 ＝8 所以，表面积扩大原来的 4倍，体积扩大到原来的 8倍。 【点睛】当正方体的棱长扩大到原来的 n倍时，它的表面积就扩大到原来的 n2 倍；它的体积就扩大到原来的 n3倍。 2．（长方体扩倍关系）一个长方体的长、宽、高都扩大 2倍，它的体积扩大 ( )倍。 【答案】8 【分析】可以设长方体的长、宽、高分别为 a、b、h，扩大后变为 2a、2b、2h， 然后根据长方体的体积公式计算后判断正误。 【详解】V 原＝abh V 扩＝（2a）×（2b）×（2h） ＝4ab×2h ＝8abh 所以体积扩大了 8倍。 【点睛】此题考查了长方体的体积公式。 【对应练习 1】 一个正方体的体积是 64立方厘米，如果棱长扩大到原来的 2倍，则扩大后的正 方体的体积是( )立方厘米。 【答案】512 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，已知正方体的体积是 64立方厘米，代 入可求出正方体的棱长，棱长扩大到原来的 2倍，求出扩大后的棱长，再利用正 方体的体积公式，即可求出扩大后的长方体的体积。 【详解】因为 4×4×4＝64（立方厘米） 所以正方体的棱长为 4厘米。 棱长扩大到原来的 2倍， 第 23 页 共 49 页 4×2＝8（厘米） 8×8×8＝512（立方厘米） 即扩大后的正方体的体积是 512立方厘米。 【点睛】此题的解题关键是熟练运用正方体的体积公式求解。 【对应练习 2】 正方体棱长扩大 5倍，它的棱长总和扩大( )倍，表面积扩大( ) 倍，体积扩大( )倍。 【答案】 5 25 125 【分析】依据正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6， 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，再根据因数与积的变化规律：积扩大的倍数 等于因数扩大倍数的乘积。据此解答。 【详解】正方体棱长扩大 5倍，它的棱长总和扩大 5倍，表面积扩大 5×5＝25 倍，体积扩大 5×5×5＝125倍。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体的棱长总和、表面积公式以及体积公 式和因数与积的变化规律。 【对应练习 3】 一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的 3倍，它的棱长总和扩大到原来的 ( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( ) 倍。 【答案】 3 9 27 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，体积公式：V＝abh，表 面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，以及积的变化规律，积扩大的倍数等于因数 扩大倍数的乘积。由此解答。 【详解】由分析可知：长方体的长、宽、高分别扩大到原来的 3倍，棱长总和扩 大到原来的 3倍；表面积扩大到原来的 3×3＝9倍；体积扩大到原来的 3×3×3＝ 27倍。 【点睛】此题主要考查长方体的棱长总和、表面积和体积的计算方法以及积的变 化规律，明确积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。 第 24 页 共 49 页 【考点九】无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题）。 【方法点拨】 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据 体积公式计算。 设剪去的正方形边长为 a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长 a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 【典型例题】 如图，把一张长方形铁皮的四个角各剪下一个边长是 2分米的正方形，按图中的 虚线折起来焊接成一个长方体无盖水箱。这个水箱用了多大的铁皮？这个水箱最 多可盛水多少升？ 【答案】92平方分米；80升 【分析】1.2米＝12分米；0.9米＝9分米；根据题意可知，长方形铁皮的四个角， 焊成一个长方体，长方体的长等于（12－2×2）分米，宽等于（9－2×2）分米， 高等于 2分米，求这个水箱用铁皮的面积，就是求这个无盖长方体的表面积，根 据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出 需要铁皮的面积；求这个水箱最多盛水的容积，就是求这个长方体水箱的容积， 根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据即可解答，注意单位名数的 换算。 【详解】1.2米＝12分米 0.9米＝9分米 长：12－2×2 ＝12－4 第 25 页 共 49 页 ＝8（分米） 宽：9－2×2 ＝9－4 ＝5（分米） 高 2分米 铁皮面积：8×5＋（8×2＋5×2）×2 ＝40＋（16＋10）×2 ＝40＋26×2 ＝40＋52 ＝92（平方分米） 容积：8×5×2 ＝40×2 ＝80（立方分米） 80立方分米＝80升 答：这个水箱用了 92平方分米的铁皮，这个水箱最多可盛水 80升。 【对应练习 1】 如图所示，在长为 13厘米、宽为 9厘米的长方形硬纸板的四个角各去掉边长为 2厘米的小正方形硬纸板，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的容积是多 少立方厘米？ 【答案】90立方厘米 【分析】长方体容器的长＝长方形硬纸板的长－小正方形的边长×2，长方体容器 的宽＝长方形硬纸板的宽－小正方形的边长×2，长方体容器的高＝小正方形的边 长，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出容积。 【详解】（13－2×2）×（9－2×2）×2 第 26 页 共 49 页 ＝（13－4）×（9－4）×2 ＝9×5×2 ＝90（立方厘米） 答：这个容器的容积是 90立方厘米。 【对应练习 2】 一块长 24厘米，宽 18厘米的长方形铁皮，在四个角上剪去边为 4厘米的正方形， 将它焊成一个无盖的盒子。这个盒子的表面积和容积是多少？ 【答案】368平方厘米；640立方厘米 【分析】在长方形铁皮的四个角上剪去了边长为 4 厘米的正方形，所以盒子底 面的长为原来长方形的长减去两个正方形的边长，底面的宽为原来长方形的宽减 去两个正方形的边长，盒子的高等于正方形的边长，先分别计算盒子四周的面积、 底面积再相加得到表面积，然后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出盒子的容 积，据此解答。 【详解】盒子的长是： 24－4×2 ＝24－8 ＝16（厘米） 盒子的宽是： 18－4×2 ＝18－8 ＝10（厘米） 高是 4厘米，盒子的表面积是： 24×18－4×4×4 ＝432－64 ＝368（平方厘米） 第 27 页 共 49 页 盒子的体积是： 16×10×4＝640（立方厘米） 答：这个盒子的表面积是 368平方厘米，容积是 640立方厘米。 【对应练习 3】 有一块边长是 3分米的正方形铁皮，在它的四个角上分别剪去一个边长 5厘米的 正方形（如下图所示），再将它焊接成一个无盖的长方体盒子。这个长方体盒子 的容积是多少？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】2000立方厘米 【分析】单位不统一，先换算单位，3分米＝30厘米。分析题意可知，这个无盖 的长方体的长为（30－5×2）厘米；宽是（30－5×2）厘米，高是 5厘米，根据 长方体的容积（体积）＝长×宽×高，将数据代入公式计算即可。 【详解】3分米＝30厘米 （30－5×2）×（30－5×2）×5 ＝（30－10）×（30－10）×5 ＝20×20×5 ＝400×5 ＝2000（立方厘米） 答：这个长方体盒子的容积是 2000立方厘米。 【考点十】等积变形问题其一：熔铸问题。 【方法点拨】 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、 浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 第 28 页 共 49 页 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状 立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 有一块棱长是 80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个长 15厘米，宽 20 厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？ 【答案】 21706 3厘米 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此先算出铁块的体积，把它熔铸 成一个长方体，铁块的体积不变，根据长方体的体积公式可知，长方体的高＝体 积÷（长×宽），据此解答。 【详解】80 80 80 512000   （立方厘米）  512000 15 20  512000 300  5120 3  21706 3  （厘米） 答：这个长方体的高是 21706 3厘米。 【对应练习 1】 一个棱长是6cm的正方体铁块，熔铸成一个长4cm、宽3cm的长方体铁块，这个 长方体铁块高多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】18厘米 【分析】根据题目可知，正方体铁块熔铸成一个长方体铁块，即体积不变，根据 正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，把数代入公式求出正方体的铁块的体积， 再根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入即可求出长方体铁块的高。 【详解】6×6×6÷（4×3） ＝216÷12 ＝18（cm） 答：这个长方体铁块高 18厘米。 第 29 页 共 49 页 【点睛】本题主要考查正方体长方体的体积公式，同时要注意，一个物体熔铸成 另一个物体它的体积不变。 【对应练习 2】 某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为 10厘米的正方体铁块锻造 成了一个长方体铁块，这个长方体的长是 8厘米，宽是 5厘米，请问它的高是多 少厘米？ 【答案】25厘米 【分析】把一个棱长为 10厘米的正方体铁块锻造成一个长为 8厘米，宽为 5厘 米的长方体零件，体积不变，首先根据  正方体的体积＝棱长 棱长 棱长求出正方体 铁块的体积，然后用正方体铁块的体积除以长方体的底面积即可求出长方体的高， 据此解答。 【详解】10×10×10÷（8×5） ＝1000÷40 ＝25（厘米） 答：这个零件的高是 25厘米。 【对应练习 3】 一块棱长为 6厘米的正方形钢板，锻造成长 12厘米，宽 5厘米的长方体钢板， 这钢板有多厚？（损耗不计） 【答案】3.6厘米 【分析】先利用正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出这个正方体的钢板的体 积，再依据这块钢板的体积不变，利用长方体的体积＝长×宽×高，即可求出这 个钢板的厚度。 【详解】（6×6×6）÷（12×5） ＝216÷60 ＝3.6（厘米） 答：这钢板厚 3.6厘米。 【点睛】此题主要考查正方体和长方体的体积的计算方法，关键在于这块钢板的 体积不变。 第 30 页 共 49 页 【考点十一】等积变形问题其二：倒水问题（液体分装问题）。 【方法点拨】 液体在不同容器间倒装后，体积不变。 【典型例题】 一个正方体玻璃缸，棱长 6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为 30平方分米，高为 10分米的长方体水槽中，水深多少？ 解析： 6×6×6÷30 ＝216÷30 ＝7.2（分米） 答：水深 7.2分米。 【对应练习 1】 一个棱长是 12分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长为 18分米，宽 为 10分米，高为 12分米的长方体鱼缸里，水有多深？（鱼缸厚度忽略不计） 解析： 12×12×12÷（18×10） ＝1728÷180 ＝9.6（分米） 答：水深 9.6分米。 【对应练习 2】 一个棱长是 10厘米的正方体容器装满了水，把这些水倒入长 25厘米，宽 4厘米， 高 20厘米的长方体容器中，这时的水位是多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用 10×10×10即可求出水的体积， 再根据长方体的体积＝长×宽×高，用水的体积÷25÷4即可求出水位。 【详解】10×10×10＝1000（立方厘米） 1000÷25÷4＝10（厘米） 答：这时的水位是 10厘米。 【点睛】本题主要考查了正方体体积公式、长方体体积公式的灵活应用，要熟练 第 1 页 共 36 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 36 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第四单元长方体（二）·体积篇【十九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元长方体（二）·体积篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的体积为主，其中包括体积容积单 位的认识、长方体和正方体的体积及生活实际问题、等积变 形问题、切拼问题（表面积的变化问题）、排水法求不规则 物体的体积、组合立体图形的体积等内容，其中排水法求体 积是本专题的重点和难点。 总体评价 讲解建议 本专题考点划分较多，考题综合性较强，部分内容难度较大， 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考 点考题。 考点数量 十九个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】体积和容积的概念认识 ................................................................................... 4 【考点二】体积和容积的单位 ........................................................................................... 5 【考点三】体积和容积单位换算 ....................................................................................... 7 【考点四】长方体的体积 ...................................................................................................8 【考点五】长方体的体积（容积）与生活实际应用 .........................................................9 【考点六】正方体的体积 .................................................................................................11 第 3 页 共 36 页 【考点七】正方体的体积（容积）与生活实际应用 .......................................................12 【考点八】长方体和正方体的体积与棱长扩倍关系 .......................................................13 【考点九】无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题） ........................................... 14 【考点十】等积变形问题其一：熔铸问题 ...................................................................... 17 【考点十一】等积变形问题其二：倒水问题（液体分装问题） ....................................19 【考点十二】等积变形问题其三：液体倾斜问题 ...........................................................20 【考点十三】切拼问题与体积的结合其一：切割问题 ................................................... 23 【考点十四】切拼问题与体积的结合其二：拼接问题 ................................................... 24 【考点十五】切拼问题与体积的结合其三：高的变化问题 ........................................... 26 【考点十六】排水法求不规则物体体积其一：求体积 ................................................... 28 【考点十七】排水法求不规则物体体积其二：求水深 ................................................... 30 【考点十八】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题 ............................................... 31 【考点十九】不规则及组合立体图形的体积 .................................................................. 34 第 4 页 共 36 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】体积和容积的概念认识。 【方法点拨】 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、 立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、 毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 【典型例题 1】体积。 物体所占空间的大小叫作物体的( )。 A．体积 B．表面积 C．容积 【答案】A 【对应练习 1】 下面现实情境中最适合提出与“体积”有关的问题是( )。 A．给相框装上花边 B．给一块长方形菜地的四周围上篱笆 C．给学校的窗户安玻璃 D．给一个游泳池注水 【答案】D 【对应练习 2】 比较甲和乙所占空间的大小，发现甲所占的空间( )乙所占的空间。 第 5 页 共 36 页 A．大于 B．小于 C．等于 【答案】C 【典型例题 2】容积。 计算一个水箱能装多少升水，是求这个水箱的( )。 A．体积 B．容积 C．表面积 【答案】B 【对应练习 1】 一瓶饮料的净含量是 250mL，这里的“250mL”指的是( )。 A．饮料瓶的容积 B．饮料瓶的体积 C．饮料的体积 【答案】C 【对应练习 2】 一个水池能装水 120m3，我们就说这个水池的( )120m3。 A．表面积 B．容积 C．体积 D．重量 【答案】B 【考点二】体积和容积的单位。 【方法点拨】 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如 10m³的 卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约 3dm³）、微 波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约 1cm³）、药片体积、橡 第 6 页 共 36 页 皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如 5L装食用油）、汽车 油箱容量（如 50L）、大瓶饮料（如 2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约 10mL）、小瓶装 酸奶（100mL）、口服液剂量（如 5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立 方米、立方分米等。 【典型例题】 1．（体积单位）在括号里填上适当的单位。 一个游泳池能蓄水约 2500( )； 一个土豆的体积约 50( )。 【答案】 立方米/m3 立方厘米/cm3 2．（容积单位）饺子有“更岁交子”的意思，因此人们过春节有吃饺子的习俗。 一般煮一锅饺子需要水约 4( )，吃 1个饺子需要醋调料约 3( )。 （填合适的容积单位） 【答案】 升/L 毫升/mL 【对应练习 1】 在括号里填上适当的计量单位。 一包 A4复印纸的体积约是 3.1( )； 一个集装箱的体积约是 26( )； 一个茶杯的容积是 100( )。 【答案】 立方分米/dm3 立方米/m3 毫升/mL 【对应练习 2】 在下面的括号里填上合适的单位。 (1)一本数学书的体积约为 300( )。 (2)一间教室所占空间的大小约为 140( )。 第 7 页 共 36 页 (3)一个水杯的容积约为 0.35( )。 【答案】(1)立方厘米/cm3；(2)立方米/m3；(3)升/L 【对应练习 3】 填上合适的单位名称。 (1)一桶纯净饮用水大约 18( )。 (2)一袋草莓酸牛奶约 220( )。 (3)一个游泳池的容积是 1200( )。 (4)一块橡皮的体积大约是 8( )。 【答案】(1)升/L；(2)毫升/mL；(3)升/L；(4)立方厘米/cm3 【考点三】体积和容积单位换算。 【方法点拨】 1. 体积单位间的进率。 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 2. 容积单位间的进率。 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 3. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 4. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【典型例题】 在括号里填上合适的数。 40dm3＝( )cm3 850L＝( )m3 6400mL＝( )L 0.26dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 40000 0.85 6.4 0.26 260 【对应练习 1】 在括号里填上合适的数。 950毫升＝( )立方分米 24.07立方米＝( )立方米( )立 方分米 【答案】 0.95 24 70 第 8 页 共 36 页 【对应练习 2】 在括号里填上适当的数。 33.08m ＝( )L 32.5dm ＝( ) 3cm 1250mL＝( ) 3dm 680mL＝( )L 【答案】 3080 2500 1.25 0.68 【对应练习 3】 在括号里填上适当的数。 4600cm3＝( )dm3 30L＝( )mL 5.7m3＝( )m3( )dm3 42.07dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 4.6 30000 5 700 42.07 42070 【考点四】长方体的体积。 【方法点拨】 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为 V=abh=S 底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 【典型例题】 一个长方体的长是 8cm，宽是 5cm，高是 4cm，这个长方体的棱长总和是 ( )cm，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 68 184 160 【对应练习 1】 一个长方体的长是 8cm，宽是 5cm，高是 2cm，这个长方体的表面积是 ( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 132 80 【对应练习 2】 一个长方体的长是 6.8厘米，宽是 5厘米，高是 4厘米，它的表面积是( ) 平方厘米，体积是( )立方厘米。 第 9 页 共 36 页 【答案】 162.4 136 【对应练习 3】 一个长方体的底面是周长 20cm的正方形，高 3cm，这个长方体的的表面积是 ( )，体积是( )。 【答案】 110cm2/110平方厘米 75cm3/75立方厘米 【考点五】长方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为 V=abh=S 底×h。 【典型例题】 1．如图所示，用混凝土浇筑一个无盖的长方体水槽，从外面量，长 10分米、宽 8分米、高 4分米，混凝土厚 1分米，根据以上信息计算出这个水槽的容积。 【答案】 （10－1×2）×（8－1×2）×（4－1） ＝（10－2）×（8－2）×（4－1） ＝8×6×3 ＝48×3 ＝144（立方分米） ＝144（升） 答：这个水槽的容积是 144升。 2．杭州亚运会跳水比赛在杭州奥体中心游泳馆举行。杭州奥体中心游泳馆位于 杭州市萧山区，与杭州奥体中心体育馆称“化蝶”双馆。在杭州亚运会上，中国跳 水“梦之队”在这里包揽了全部十枚金牌。工作人员现在给一个长 50米，宽 30米 的长方体游泳池注水，注水速度是每小时 200立方米。要使水深达到 1.8米。需 要多长时间？ 【答案】 50×30×1.8＝2700（立方米） 第 10 页 共 36 页 2700÷200＝13.5（小时） 答：需要 13.5小时。 【对应练习 1】 学校运动场有一个长 6米、宽 4米、深 0.5米的长方体沙坑。 （1）工人把 7.2立方米的黄沙铺在沙坑里，可以铺多厚？ （2）如果每立方米沙子 180元，这个沙坑填满沙子，需要多少元？ （3）请提出一个数学问题，并解答。 【答案】 （1）7.2÷（6×4） ＝7.2÷24 ＝0.3（米） 答：可以铺厚度为 0.3米高的沙子。 （2）6×4×0.5×180 ＝24×0.5×180 ＝2160（元） 答：需要 2160元。 （3）提出问题：如果改造成一个水池，要在四周及底部铺上瓷砖，求需要铺瓷 砖的面积是多少平方米？ 6×4＋6×0.5×2＋4×0.5×2 ＝24＋6＋4 ＝34（平方米） 答：需要铺瓷砖的面积是 34平方米。 （答案不唯一） 【对应练习 2】 给一个新修的长 55米、宽 24米的长方体水池注水，注水速度为每小时 200立方 米，要注入深 1.5米的水大约需要多长时间？ 【答案】 55×24×1.5÷200 ＝1320×1.5÷200 第 11 页 共 36 页 ＝1980÷200 ＝9.9（小时） 答：要注入深 1.5米的水大约需要 9.9小时。 【对应练习 3】 一个长方体油箱，从里面量长 0.8m，宽 0.24m，深 0.5m，这个油箱能装油多少 升？如果把这些油分装在 500mL的瓶子里，能装满多少瓶？ 【答案】 0.8m＝8dm，0.24m＝2.4dm，0.5m＝5dm 8×2.4×5 ＝19.2×5 ＝96（dm3） 96dm3＝96L 500mL＝0.5L 96÷0.5＝192（瓶） 答：这个油箱能装油 96L，如果把这些油分装在 500mL的瓶子里，能装满 192 瓶。 【考点六】正方体的体积。 【方法点拨】 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示 V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示 3个 a相乘。 2. 区分 2a、a2和 a³。 2a=2×a，表示两个 a相加；a2=a×a，表示两个 a相乘；a³=a×a×a，表示 3个 a 相 乘。 【典型例题】 一个正方体的棱长是 6厘米，它的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 216平方厘米/216cm2 216立方厘米/216cm3 【对应练习 1】 一个正方体铁块，它的棱长是 2dm，它的棱长总和是( )dm，它的表面积 第 12 页 共 36 页 是( )dm2，它的体积是( )dm3，它的占地面积是( )dm2。 【答案】 24 24 8 4 【对应练习 2】 一个正方体表面积是 384平方米，它的棱长是( )米，体积是( ) 立方米。 【答案】 8 512 【对应练习 3】 一个正方体的棱长总和是 4.8m，它的表面积是( )m2，体积是 ( )dm3。 【答案】 0.96 64 【考点七】正方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示 V=a×a×a = a³。 【典型例题】 一块正方体石料的棱长为 6分米，如果 1立方分米石料的质量是 2.7千克，这块 石料的质量是多少千克？ 【答案】 6×6×6×2.7 ＝36×6×2.7 ＝216×2.7 ＝583.2（千克） 答：这块石料的质量是 583.2千克。 【对应练习 1】 一个正方体水槽，从里面量得棱长 60厘米，往里面倒入 198升水，水面离水槽 口还有多少厘米？ 【答案】 60厘米 6 分米  6 198 6 6   =6 198 36  第 13 页 共 36 页 =6 5.5 0.5 （分米） 5 （厘米） 答：水面离水槽口还有 5厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式。 【对应练习 2】 纸盒厂生产一种正方体纸板箱，它的棱长和为 72厘米，做这样一个纸板箱体积 是多少立方厘米？ 【答案】 72÷12＝6（厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 答：做这样一个纸板箱体积是 216立方厘米。 【对应练习 3】 有一个棱长为 6分米的正方体铁块，每立方分米铁块的质量为 7.5千克，这个铁 块重多少千克？ 【答案】 6×6×6×7.5 ＝216×7.5 ＝1620（千克） 答：这个铁块重 1620千克。 【考点八】长方体和正方体的体积与棱长扩倍关系。 【方法点拨】 1. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 2. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体 积扩大 a×a×a=a3 倍 第 14 页 共 36 页 【典型例题】 1．（正方体扩倍关系）一个正方体棱长扩大到原来的 2倍，表面积扩大原来的 ( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 4 8 2．（长方体扩倍关系）一个长方体的长、宽、高都扩大 2倍，它的体积扩大 ( )倍。 【答案】8 【对应练习 1】 一个正方体的体积是 64立方厘米，如果棱长扩大到原来的 2倍，则扩大后的正 方体的体积是( )立方厘米。 【答案】512 【对应练习 2】 正方体棱长扩大 5倍，它的棱长总和扩大( )倍，表面积扩大( ) 倍，体积扩大( )倍。 【答案】 5 25 125 【对应练习 3】 一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的 3倍，它的棱长总和扩大到原来的 ( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( ) 倍。 【答案】 3 9 27 【考点九】无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题）。 【方法点拨】 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据 体积公式计算。 设剪去的正方形边长为 a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长 a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 第 15 页 共 36 页 【典型例题】 如图，把一张长方形铁皮的四个角各剪下一个边长是 2分米的正方形，按图中的 虚线折起来焊接成一个长方体无盖水箱。这个水箱用了多大的铁皮？这个水箱最 多可盛水多少升？ 【答案】 1.2米＝12分米 0.9米＝9分米 长：12－2×2 ＝12－4 ＝8（分米） 宽：9－2×2 ＝9－4 ＝5（分米） 高 2分米 铁皮面积：8×5＋（8×2＋5×2）×2 ＝40＋（16＋10）×2 ＝40＋26×2 ＝40＋52 ＝92（平方分米） 容积：8×5×2 ＝40×2 ＝80（立方分米） 80立方分米＝80升 答：这个水箱用了 92平方分米的铁皮，这个水箱最多可盛水 80升。 【对应练习 1】 第 16 页 共 36 页 如图所示，在长为 13厘米、宽为 9厘米的长方形硬纸板的四个角各去掉边长为 2厘米的小正方形硬纸板，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的容积是多 少立方厘米？ 【答案】 （13－2×2）×（9－2×2）×2 ＝（13－4）×（9－4）×2 ＝9×5×2 ＝90（立方厘米） 答：这个容器的容积是 90立方厘米。 【对应练习 2】 一块长 24厘米，宽 18厘米的长方形铁皮，在四个角上剪去边为 4厘米的正方形， 将它焊成一个无盖的盒子。这个盒子的表面积和容积是多少？ 【答案】 盒子的长是： 24－4×2 ＝24－8 ＝16（厘米） 盒子的宽是： 18－4×2 第 17 页 共 36 页 ＝18－8 ＝10（厘米） 高是 4厘米，盒子的表面积是： 24×18－4×4×4 ＝432－64 ＝368（平方厘米） 盒子的体积是： 16×10×4＝640（立方厘米） 答：这个盒子的表面积是 368平方厘米，容积是 640立方厘米。 【对应练习 3】 有一块边长是 3分米的正方形铁皮，在它的四个角上分别剪去一个边长 5厘米的 正方形（如下图所示），再将它焊接成一个无盖的长方体盒子。这个长方体盒子 的容积是多少？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】 3分米＝30厘米 （30－5×2）×（30－5×2）×5 ＝（30－10）×（30－10）×5 ＝20×20×5 ＝400×5 ＝2000（立方厘米） 答：这个长方体盒子的容积是 2000立方厘米。 【考点十】等积变形问题其一：熔铸问题。 【方法点拨】 1. 等积变形问题。 第 18 页 共 36 页 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、 浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状 立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 有一块棱长是 80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个长 15厘米，宽 20 厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？ 【答案】 80 80 80 512000   （立方厘米）  512000 15 20  512000 300  5120 3  21706 3  （厘米） 答：这个长方体的高是 21706 3厘米。 【对应练习 1】 一个棱长是6cm的正方体铁块，熔铸成一个长4cm、宽3cm的长方体铁块，这个 长方体铁块高多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】 6×6×6÷（4×3） ＝216÷12 ＝18（cm） 答：这个长方体铁块高 18厘米。 【对应练习 2】 某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为 10厘米的正方体铁块锻造 成了一个长方体铁块，这个长方体的长是 8厘米，宽是 5厘米，请问它的高是多 第 19 页 共 36 页 少厘米？ 【答案】 10×10×10÷（8×5） ＝1000÷40 ＝25（厘米） 答：这个零件的高是 25厘米。 【对应练习 3】 一块棱长为 6厘米的正方形钢板，锻造成长 12厘米，宽 5厘米的长方体钢板， 这钢板有多厚？（损耗不计） 【答案】 （6×6×6）÷（12×5） ＝216÷60 ＝3.6（厘米） 答：这钢板厚 3.6厘米。 【考点十一】等积变形问题其二：倒水问题（液体分装问题）。 【方法点拨】 液体在不同容器间倒装后，体积不变。 【典型例题】 一个正方体玻璃缸，棱长 6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为 30平方分米，高为 10分米的长方体水槽中，水深多少？ 解析： 6×6×6÷30 ＝216÷30 ＝7.2（分米） 答：水深 7.2分米。 【对应练习 1】 一个棱长是 12分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长为 18分米，宽 为 10分米，高为 12分米的长方体鱼缸里，水有多深？（鱼缸厚度忽略不计） 解析： 第 20 页 共 36 页 12×12×12÷（18×10） ＝1728÷180 ＝9.6（分米） 答：水深 9.6分米。 【对应练习 2】 一个棱长是 10厘米的正方体容器装满了水，把这些水倒入长 25厘米，宽 4厘米， 高 20厘米的长方体容器中，这时的水位是多少厘米？ 【答案】 10×10×10＝1000（立方厘米） 1000÷25÷4＝10（厘米） 答：这时的水位是 10厘米。 【对应练习 3】 在甲箱中装入水，水深为 15厘米，若将这些水倒入乙箱中，水深为多少厘米？ 【答案】 30 5 15  ＝150×15 ＝2250（平方厘米） 2250 (20 15)  ＝2250÷300 ＝7.5（厘米） 答：水深为 7.5厘米。 【考点十二】等积变形问题其三：液体倾斜问题。 【方法点拨】 第 21 页 共 36 页 液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 如下图所示，密闭的容器中装有 5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面 把容器竖起来，这时水深多少厘米？ 解析： 30×10×5÷（10×15） ＝300×5÷150 ＝1500÷150 ＝10（厘米） 答：这时水深 10厘米。 【对应练习 1】 有一个长方体容器，长 40厘米，宽 20厘米，高 15厘米，里面的水深 6厘米。 如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来放置，这时水深是多少厘米？ 解析： 40×20×6 ＝800×6 ＝4800（立方厘米） 4800÷20÷15 ＝240÷15 ＝16（厘米） 答：竖起来后水深是 16厘米。 【对应练习 2】 第 22 页 共 36 页 一个长方体的容器（如图），里面的水深 8厘米。把这个容器盖紧后竖放，现在 的底面长 10厘米、宽 8厘米，这时里面的水深是多少厘米？ 解析： 20×10×8÷（10×8） ＝200×8÷80 ＝1600÷80 ＝20（厘米） 答：这时里面的水深是 20厘米。 【对应练习 3】 一个长方体的容器（如图），长是 20厘米，宽是 10厘米，高是 8厘米。 （1）求出它的表面积是多少？ （2）当容器如左图放置时，里面的水深 5厘米，再把这个容器盖紧后竖放（如 右图），使长 10厘米、宽 8厘米的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？ 【答案】 （1）（20×10＋20×8＋10×8）×2 ＝（200＋160＋80）×2 ＝440×2 ＝880（平方厘米） 答：它的表面积是 880平方厘米。 （2）20×10×5 第 23 页 共 36 页 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 1000÷（8×10） ＝1000÷80 ＝12.5（厘米） 答：这时里面的水深是 12.5厘米。 【考点十三】切拼问题与体积的结合其一：切割问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积 会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 【典型例题】 有一个长方体木块长 12.5分米，把它切成两个长方体（如图），这时表面积比 原来增加了 16平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】 16 2 12.5  8 12.5＝ 100 （立方分米） 答：原来长方体的体积是 100立方分米。 【对应练习 1】 把下面这个长 15分米的长方体，如图切成三个长方体后，表面积比原来的长方 体多了 24平方分米，原来这个长方体的体积是多少？ 【答案】 24÷4＝6（平方分米） 15×6＝90（立方分米） 第 24 页 共 36 页 答：原来这个长方体的体积是 90立方分米。 【对应练习 2】 一个长方体高 13厘米，如下图，把它切成两个小长方体，表面积增加了 20平方 厘米，求原来长方体的体积。 【答案】 20÷2＝10（平方厘米） 10×13＝130（立方厘米） 答：原来长方体的体积是 130立方厘米。 【对应练习 3】 一个长方体，左右两个面是边长为 3分米的正方形，按下图所示切成 4块后，表 面积增加了 138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 【答案】 增加的左右两个面的面积： 3×3×2＝18（平方分米） 长方体的底面积： （138－18）÷2 ＝120÷2 ＝60（平方分米） 原长方体的体积： 60×3＝180（立方分米） 答：原长方体的体积是 180立方分米。 【考点十四】切拼问题与体积的结合其二：拼接问题。 【方法点拨】 第 25 页 共 36 页 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积 会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 用 4个完全一样的小正方体积木拼成一个长方体（如下图所示），表面积减少了 32平方厘米，每个小正方体的体积是多少？拼成的这个长方体的底面积是多 少？ 【答案】 32÷8＝4（平方厘米） 因为 2×2＝4（平方厘米） 所以小正方体的棱长是 2厘米。 2×2×2＝8（立方厘米） （2＋2）×（2＋2） ＝4×4 ＝16（平方厘米） 答：每个小正方体的体积是 8立方厘米，拼成的这个长方体的底面积是 16平方 厘米。 【对应练习 1】 把两个棱长为 1.5分米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的体积、表面 积分别是多少？ 【答案】 1.5×2＝3（分米） 3×1.5×1.5 ＝4.5×1.5 ＝6.75（立方分米） （3×1.5＋3×1.5＋1.5×1.5）×2 ＝（4.5＋4.5＋2.25）×2 ＝11.25×2 ＝22.5（平方分米） 第 26 页 共 36 页 答：这个长方体的体积是 6.75立方分米，表面积是 22.5平方分米。 【对应练习 2】 把 2个长、宽、高分别是 10厘米、8厘米、6厘米的长方体，拼成一个表面积最 小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 【答案】 （10×8＋10×6＋8×6）×2×2－10×8×2 ＝（80＋60＋48）×4－160 ＝188×4－160 ＝752－160 ＝592（平方厘米） 10×8×6×2＝960（立方厘米） 答：这个长方体的表面积是 592平方厘米，体积是 960立方厘米。 【考点十五】切拼问题与体积的结合其三：高的变化问题。 【方法点拨】 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为 V=abh=S 底×h。 【典型例题】 1. 一个长方体（如图），如果高增加 4厘米，就变成了棱长是 10厘米的正方体。 体积增加了多少立方厘米？ 解析： 10×10×10－10×10×（10－4） ＝1000－100×6 ＝1000－600 ＝400（立方厘米） 答：体积增加了 400立方厘米。 2. 一个长方体，如果高减少 3厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少 84平 第 27 页 共 36 页 方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 解析： 84÷4÷3 ＝21÷3 ＝7（厘米） 7＋3＝10（厘米） 7×7×10 ＝49×10 ＝490（立方厘米） 答：原长方体的体积是 490立方厘米。 【对应练习 1】 一个正方体的高增加了 3厘米，得到一个新的长方体，这个长方体的表面积比原 正方体的表面积增加了 72平方厘米。新长方体的体积是多少？ 解析： 72÷3＝24（厘米） 24÷4＝6（厘米） 6＋3＝9（厘米） 6×6×9＝324（立方厘米） 答：新长方体的体积是 324立方厘米。 【对应练习 2】 一个长方体，如果高增加 3厘米，那么就变成一个正方体。这时表面积比原来增 加 84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 解析： 根据分析得，84÷4＝21（平方厘米） 21÷3＝7（厘米） 7－3＝4（厘米） 第 28 页 共 36 页 7×7×4＝196（立方厘米） 答：原来长方体的体积是 196立方厘米。 【考点十六】排水法求不规则物体体积其一：求体积。 【方法点拨】 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体 体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V 物体=V 现在－V 原来； ②V 物体=S×(h 现在－h 原来)； ③V 物体=S×h 升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【典型例题】 贵州贵定盘江酥李味甜汁多、酥脆爽口，深受大家欢迎。为测量一个酥李的体积， 小丽和爸爸拿了 5个差不多大的酥李做了如下实验： ①测量出一个长方体容器内的长是 25厘米，宽是 20厘米。 ②测量出长方体容器内的高是 20厘米。 ③在容器内注入一定量的水，量出水面高度是 8厘米。 ④将 5个酥李完全浸没在水中（水未溢出），量出水面高度是 8.5厘米。 （1）要求平均每个酥李的体积，上面的信息必须用到（ ）。（填序号） （2）根据选出的信息，求出平均每个酥李的体积是多少立方厘米。 【答案】 第 29 页 共 36 页 （1）要求平均每个酥李的体积，上面的信息必须用到①③④。 （2）25×20×（8.5－8） ＝500×0.5 ＝250（立方厘米） 250÷5＝50（立方厘米） 答：平均每个酥李的体积是 50立方厘米。 【对应练习 1】 想办法算一算这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】  12 12 9 7   12 12 2   288 （立方厘米） 答：这块石头的体积是 288立方厘米。 【对应练习 2】 下面是一些能沉到水底的小正方体，怎样用这些小正方体测量一块不规则石块的 体积？ 【答案】 把这块石块放入水中，记录放入石块后水的高度；从容器中拿出石块，再向容器 中依次放入小正方体，当水的高度和放入石块的高度相等时停止，这时放的小正 方体的体积等于石块的体积。每个小正方体的体积是 1立方厘米，则水中有几个 小正方体，这块不规则石块的体积就是几立方厘米。 【对应练习 3】 第 30 页 共 36 页 数学课上，小华要测量一块不规则石块的体积，他将石块放入盛有水的长方体容 器里，根据如图中的信息，石块的体积是多少立方厘米？ 【答案】 10×8×7.5－10×8×5.3 ＝10×8×（7.5－5.3） ＝80×2.2 ＝176（立方厘米） 答：石块的体积是 176立方厘米。 【考点十七】排水法求不规则物体体积其二：求水深。 【方法点拨】 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V 物体=V 现在－V 原来； ②V 物体=S×(h 现在- h 原来)； ③V 物体=S×h 升高。 【典型例题】 一个正方体容器，从里面量棱长 4分米，里面注有水，水深 3分米。如果把一块 棱长 2分米的正方体铁块放入水中，水面会上升多少分米？ 【答案】 高度：  2 2 2 4 4    8 16  0.5 （分米） 答：水面会上升 0.5分米。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第四单元长方体（二）·体积篇【十九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元长方体（二）·体积篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的体积为主，其中包括体积容积单位的认识、长方体和正方体的体积及生活实际问题、等积变形问题、切拼问题（表面积的变化问题）、排水法求不规则物体的体积、组合立体图形的体积等内容，其中排水法求体积是本专题的重点和难点。 总体评价 讲解建议 本专题考点划分较多，考题综合性较强，部分内容难度较大，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十九个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】体积和容积的概念认识 4 【考点二】体积和容积的单位 6 【考点三】体积和容积单位换算 10 【考点四】长方体的体积 11 【考点五】长方体的体积（容积）与生活实际应用 14 【考点六】正方体的体积 17 【考点七】正方体的体积（容积）与生活实际应用 19 【考点八】长方体和正方体的体积与棱长扩倍关系 21 【考点九】无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题） 24 【考点十】等积变形问题其一：熔铸问题 27 【考点十一】等积变形问题其二：倒水问题（液体分装问题） 30 【考点十二】等积变形问题其三：液体倾斜问题 31 【考点十三】切拼问题与体积的结合其一：切割问题 34 【考点十四】切拼问题与体积的结合其二：拼接问题 36 【考点十五】切拼问题与体积的结合其三：高的变化问题 38 【考点十六】排水法求不规则物体体积其一：求体积 40 【考点十七】排水法求不规则物体体积其二：求水深 43 【考点十八】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题 45 【考点十九】不规则及组合立体图形的体积 47 【第三篇】典型例题篇 【考点一】体积和容积的概念认识。 【方法点拨】 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 【典型例题1】体积。 物体所占空间的大小叫作物体的( )。 A．体积 B．表面积 C．容积 【答案】A 【分析】物体所占空间的大小叫作物体的体积；物体的表面或围成平面图形的大小叫面积；物体所有面的面积和叫表面积；容器所能容纳物体的体积，叫作容器的容积。据此判断。 【详解】物体所占空间的大小叫作物体的体积。 故答案为：A 【对应练习1】 下面现实情境中最适合提出与“体积”有关的问题是( )。 A．给相框装上花边 B．给一块长方形菜地的四周围上篱笆 C．给学校的窗户安玻璃 D．给一个游泳池注水 【答案】D 【分析】封闭图形一周的长度就是它的周长。物体表面或封闭图形的大小就是它的面积。物体所占空间的大小就是它的体积。 【详解】A．给相框装上花边，花边的长度就是相框的周长； B．给一块长方形菜地的四周围上篱笆，篱笆的长度指的是菜地的周长； C．给学校的窗户安玻璃，指的是窗户的面积； D．给一个游泳池注水，指的是水的体积。 故答案为：D 【对应练习2】 比较甲和乙所占空间的大小，发现甲所占的空间( )乙所占的空间。 A．大于 B．小于 C．等于 【答案】C 【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积，组成甲立体图形和乙立体图形的小正方体的数量相等，所以甲和乙的体积相等，据此解答。 【详解】分析可知，甲和乙都由7个相同的小正方体拼搭而成，所以甲所占的空间等于乙所占的空间。 故答案为：C 【点睛】根据小正方体的数量判断它们体积的大小关系是解答题目的关键。 【典型例题2】容积。 计算一个水箱能装多少升水，是求这个水箱的( )。 A．体积 B．容积 C．表面积 【答案】B 【分析】物体所占空间的大小叫作物体的体积，容器所能容纳物体的体积叫作它们的容积，水箱表面的面积之和就是水箱的表面积，据此解答。 【详解】分析可知，计算水箱能装多少升水，需要知道水箱内部可以容纳水的体积的大小，是求这个水箱的容积，与水箱的体积和表面积无关。 故答案为：B 【对应练习1】 一瓶饮料的净含量是250mL，这里的“250mL”指的是( )。 A．饮料瓶的容积 B．饮料瓶的体积 C．饮料的体积 【答案】C 【分析】这里的“净含量”指的是饮料本身的实际量，而不是饮料瓶的体积和容积。据此解答 【详解】根据分析可得：一瓶饮料的净含量是250mL，这里的“250mL”指的是饮料的体积。 故答案为：C 【对应练习2】 一个水池能装水120m3，我们就说这个水池的( )120m3。 A．表面积 B．容积 C．体积 D．重量 【答案】B 【分析】根据容积的意义，容积是一个容器所能容纳物体体积的大小，就是这个容器的容积。 【详解】据分析可知，这个水池的容积是120m3。 故答案为：B 【考点二】体积和容积的单位。 【方法点拨】 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 【典型例题】 1．（体积单位）在括号里填上适当的单位。 一个游泳池能蓄水约2500( )； 一个土豆的体积约50( )。 【答案】 立方米/m3 立方厘米/cm3 【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。立方厘米用字母表示是cm3，立方分米用字母表示是dm3，立方米用字母表示是m3。棱长1厘米的正方体，体积是1立方厘米；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米；棱长1米的正方体，体积是1立方米。一颗玻璃珠的体积接近1立方厘米；一个魔方的体积接近1立方分米；一个电脑桌的体积接近1立方米。根据生活经验，一个游泳池蓄水量用立方米作单位比较合适，一个土豆的体积用立方厘米作单位比较合适。 【详解】一个游泳池能蓄水约2500立方米；一个土豆的体积约50立方厘米。 【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 2．（容积单位）饺子有“更岁交子”的意思，因此人们过春节有吃饺子的习俗。一般煮一锅饺子需要水约4( )，吃1个饺子需要醋调料约3( )。（填合适的容积单位） 【答案】 升/L 毫升/mL 【分析】容积单位有升和毫升，其中升是较大的容积单位，一瓶洗发水的容积大约是1升，1桶油大概有5升。毫升是较小的容积单位，1毫升水只有十几滴，1盒牛奶大概有250毫升。根据生活经验以及对容积单位和数据大小的认识选择合适的容积单位。 【详解】一般煮一锅饺子需要水约4升，吃1个饺子需要醋调料约3毫升。 【对应练习1】 在括号里填上适当的计量单位。 一包A4复印纸的体积约是3.1( )； 一个集装箱的体积约是26( )； 一个茶杯的容积是100( )。 【答案】 立方分米/dm3 立方米/m3 毫升/mL 【分析】根据生活经验、对体积单位、容积单位和数据大小的认识可知， 粉笔盒的体积大约是1立方分米，所以计量一包A4复印纸的体积用立方分米作单位； 一个大衣柜的体积大约是1立方米，所以计量一个集装箱的体积用立方米作单位； 一瓶矿泉水大约是500毫升，所以计量一个茶杯的容积用毫升作单位。 【详解】一包A4复印纸的体积约是3.1立方分米； 一个集装箱的体积约是26立方米； 一个茶杯的容积是100毫升。 【对应练习2】 在下面的括号里填上合适的单位。 (1)一本数学书的体积约为300( )。 (2)一间教室所占空间的大小约为140( )。 (3)一个水杯的容积约为0.35( )。 【答案】(1)立方厘米/cm3 (2)立方米/m3 (3)升/L 【分析】（1）指尖的体积大约是1立方厘米。数学书较大，并且括号前的数据是300，填立方厘米作单位比较合适； （2）一个滚筒洗衣机的体积大约是1立方米。教室远比滚筒洗衣机大，括号前的数据是140，那么单位填立方米是合适的； （3）一盒牛奶的容积大概是250毫升，即0.25升。正常的水杯能装下一盒牛奶，那么水杯的容积大约是0.35升。 【详解】（1）一本数学书的体积约为300立方厘米。 （2）一间教室所占空间的大小约为140立方米。 （3）一个水杯的容积约为0.35升。 【对应练习3】 填上合适的单位名称。 (1)一桶纯净饮用水大约18( )。 (2)一袋草莓酸牛奶约220( )。 (3)一个游泳池的容积是1200( )。 (4)一块橡皮的体积大约是8( )。 【答案】(1)升/L (2)毫升/mL (3)升/L (4)立方厘米/cm3 【分析】常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，手指一节的体积大约是1立方厘米，一个粉笔盒的体积大约是1立方分米，棱长是1米的正方体的体积是1立方米。常用的容积单位有升和毫升，容积是1立方分米的容器正好盛水1升，容积是1立方厘米的容器正好盛水1毫升。根据一个单位的大小和单位前面的数字选择合适的单位。 【详解】（1）一桶纯净饮用水大约18升。 （2）一袋草莓酸牛奶约220毫升。 （3）一个游泳池的容积是1200升。 （4）一块橡皮的体积大约是8立方厘米。 【考点三】体积和容积单位换算。 【方法点拨】 1. 体积单位间的进率。 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 2. 容积单位间的进率。 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 3. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 4. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【典型例题】 在括号里填上合适的数。 40dm3＝( )cm3        850L＝( )m3 6400mL＝( )L        0.26dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 40000 0.85 6.4 0.26 260 【分析】根据1dm3＝1000cm3，1m3＝1000L，1L＝1000mL，1dm3＝1L，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【详解】40×1000＝40000（cm3）；850÷1000＝0.85（m3） 6400÷1000＝6.4（L）；0.26×1000＝260（mL） 40dm3＝40000cm3；850L＝0.85m3 6400mL＝6.4L；0.26dm3＝0.26L＝260mL 【对应练习1】 在括号里填上合适的数。 950毫升＝( )立方分米    24.07立方米＝( )立方米( )立方分米 【答案】 0.95 24 70 【分析】1立方分米＝1000立方厘米＝1000毫升，1立方米＝1000立方分米，据此解题。 【详解】在括号里填上合适的数。 950毫升＝0.95立方分米    24.07立方米＝24立方米70立方分米 【对应练习2】 在括号里填上适当的数。 ＝( )L             ＝( ) 1250mL＝( )          680mL＝( )L 【答案】 3080 2500 1.25 0.68 【分析】根据1m3＝1000L，1＝1000，1＝1000mL，1L＝1000mL，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【详解】3.08×1000＝3080（L）；2.5×1000＝2500（） 1250÷1000＝1.25（）；680÷1000＝0.68（L） ＝3080L；＝2500 1250mL＝1.25；680mL＝0.68L 【对应练习3】 在括号里填上适当的数。 4600cm3＝( )dm3             30L＝( )mL 5.7m3＝( )m3( )dm3        42.07dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 4.6 30000 5 700 42.07 42070 【分析】根据1dm3＝1000cm3，1L＝1000mL，1m3＝1000dm3，1dm3＝1L＝1000mL，高级单位换低级单位乘进率，低级单位换高级单位除以进率，依此进行计算即可。 【详解】4600÷1000＝4.6，即4600cm3＝4.6dm3 30×1000＝30000，即30L＝30000mL 5.7＝5＋0.7，0.7×1000＝700，即5.7m3＝5m3700dm3 42.07×1000＝42070，即42.07dm3＝42.07L＝42070mL 【考点四】长方体的体积。 【方法点拨】 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 【典型例题】 一个长方体的长是8cm，宽是5cm，高是4cm，这个长方体的棱长总和是( )cm，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 68 184 160 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【详解】（8＋5＋4）×4 ＝17×4 ＝68（cm） （8×5＋8×4＋5×4）×2 ＝（40＋32＋20）×2 ＝92×2 ＝184（cm2） 8×5×4＝160（cm3） 这个长方体的棱长总和是68cm，表面积是184cm2，体积是160cm3。 【对应练习1】 一个长方体的长是8cm，宽是5cm，高是2cm，这个长方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 132 80 【分析】已知长方体的长、宽、高，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求出它的表面积和体积。 【详解】（8×5＋8×2＋5×2）×2 ＝（40＋16＋10）×2 ＝66×2 ＝132（cm2） 8×5×2＝80（cm3） 这个长方体的表面积是132cm2，体积是80cm3。 【对应练习2】 一个长方体的长是6.8厘米，宽是5厘米，高是4厘米，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 162.4 136 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可解答。 【详解】（6.8×5＋6.8×4＋5×4）×2 ＝（34＋27.2＋20）×2 ＝81.2×2 ＝162.4（平方厘米） 6.8×5×4＝136（立方厘米） 长方体的表面积是162.4平方厘米，体积是136立方厘米。 【对应练习3】 一个长方体的底面是周长20cm的正方形，高3cm，这个长方体的的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 110cm2/110平方厘米 75cm3/75立方厘米 【分析】已知长方体的底面是周长20cm的正方形，说明长方体的长、宽相等；根据正方形的边长＝周长÷4，求出长方体的长、宽； 根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出它的表面积和体积。 【详解】长方体的长、宽：20÷4＝5（cm） 表面积： （5×5＋5×3＋5×3）×2 ＝（25＋15＋15）×2 ＝55×2 ＝110（cm2） 体积：5×5×3＝75（cm3） 这个长方体的的表面积是110cm2，体积是75cm3。 【考点五】长方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 【典型例题】 1．如图所示，用混凝土浇筑一个无盖的长方体水槽，从外面量，长10分米、宽8分米、高4分米，混凝土厚1分米，根据以上信息计算出这个水槽的容积。 【答案】144升 【分析】观察图形可知，这个水槽从里面测量的长为10－1×2＝8分米，宽为8－1×2＝6分米，高为4－1＝3分米，再根据长方体的容积公式：V＝abh，据此求出这个水槽的容积，结果再根据1立方分米＝1升，把结果化为升作单位。 【详解】（10－1×2）×（8－1×2）×（4－1） ＝（10－2）×（8－2）×（4－1） ＝8×6×3 ＝48×3 ＝144（立方分米） ＝144（升） 答：这个水槽的容积是144升。 2．杭州亚运会跳水比赛在杭州奥体中心游泳馆举行。杭州奥体中心游泳馆位于杭州市萧山区，与杭州奥体中心体育馆称“化蝶”双馆。在杭州亚运会上，中国跳水“梦之队”在这里包揽了全部十枚金牌。工作人员现在给一个长50米，宽30米的长方体游泳池注水，注水速度是每小时200立方米。要使水深达到1.8米。需要多长时间？ 【答案】13.5小时 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用50×30×1.8即可求出水深达到1.8米时水的体积，再除以200即可求出到达1.8米时需要的时间。 【详解】50×30×1.8＝2700（立方米）   2700÷200＝13.5（小时） 答：需要13.5小时。 【对应练习1】 学校运动场有一个长6米、宽4米、深0.5米的长方体沙坑。 （1）工人把7.2立方米的黄沙铺在沙坑里，可以铺多厚？ （2）如果每立方米沙子180元，这个沙坑填满沙子，需要多少元？ （3）请提出一个数学问题，并解答。 【答案】（1）0.3米；（2）2160元；（3）见详解；34平方米 【分析】（1）长方体沙坑的底面积可利用长方形的面积公式求出，等于长乘宽，再利用长方体的体积公式：V＝Sh，用黄沙的体积除以长方体沙坑的底面积，即可求出铺沙子的厚度。 （2）已知长为6米、宽为4米、高为0.5米，这个沙坑填满沙子，则沙子的体积根据长方体的体积公式即可求出，再乘每立方米沙子的价格，求出需要的总价钱。 （3）可提出一个关于计算长方体表面积的题目，比如要把这个长方体沙坑改造成一个水池，四周及底部铺上瓷砖，那么求需要铺瓷砖的面积是多少平方米？由于缺少上底面，实际上是求长方体4个侧面和1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入数据即可求出需要铺瓷砖的面积。 【详解】（1）7.2÷（6×4） ＝7.2÷24 ＝0.3（米） 答：可以铺厚度为0.3米高的沙子。 （2）6×4×0.5×180 ＝24×0.5×180 ＝2160（元） 答：需要2160元。 （3）提出问题：如果改造成一个水池，要在四周及底部铺上瓷砖，求需要铺瓷砖的面积是多少平方米？ 6×4＋6×0.5×2＋4×0.5×2 ＝24＋6＋4 ＝34（平方米） 答：需要铺瓷砖的面积是34平方米。 （答案不唯一） 【点睛】此题主要考查长方体的表面积和体积的计算方法，灵活运用公式解决问题。 【对应练习2】 给一个新修的长55米、宽24米的长方体水池注水，注水速度为每小时200立方米，要注入深1.5米的水大约需要多长时间？ 【答案】9.9小时 【分析】先根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出注入水的体积，再除以每小时的注水量求出需要的注水时间，据此解答。 【详解】55×24×1.5÷200 ＝1320×1.5÷200 ＝1980÷200 ＝9.9（小时） 答：要注入深1.5米的水大约需要9.9小时。 【点睛】熟练掌握并灵活运用长方体的体积计算公式是解答题目的关键。 【对应练习3】 一个长方体油箱，从里面量长0.8m，宽0.24m，深0.5m，这个油箱能装油多少升？如果把这些油分装在500mL的瓶子里，能装满多少瓶？ 【答案】96L；192瓶 【分析】首先根据长方体的体积（容积）计算公式：长×宽×高，求出这个长方油箱的容积，再用长方油箱的容积除以瓶子的容积，即可求出能装满的瓶子数。 【详解】0.8m＝8dm，0.24m＝2.4dm，0.5m＝5dm 8×2.4×5 ＝19.2×5 ＝96（dm3） 96dm3＝96L 500mL＝0.5L 96÷0.5＝192（瓶） 答：这个油箱能装油96L，如果把这些油分装在500mL的瓶子里，能装满192瓶。 【点睛】本题主要考查长方体的体积（容积）计算，关键是要熟练掌握计算公式和注意单位的统一。 【考点六】正方体的体积。 【方法点拨】 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³。 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 【典型例题】 一个正方体的棱长是6厘米，它的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 216平方厘米/216cm2 216立方厘米/216cm3 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把题中数据代入公式计算，据此解答。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 所以，这个正方体的表面积是216平方厘米，体积是216立方厘米。 【对应练习1】 一个正方体铁块，它的棱长是2dm，它的棱长总和是( )dm，它的表面积是( )dm2，它的体积是( )dm3，它的占地面积是( )dm2。 【答案】 24 24 8 4 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出棱长总和；根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出正方体表面积；根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体体积；求占地面积，就是求正方体一个面的面积，根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，即可解答。 【详解】2×12＝24（dm） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（dm2） 2×2×2 ＝4×2 ＝8（dm3） 2×2＝4（dm2） 一个正方体铁块，它的棱长是2dm，它的棱长总和是24dm，它的表面积是24dm2，它的体积是8dm3，它的占地面积是4dm2。 【对应练习2】 一个正方体表面积是384平方米，它的棱长是( )米，体积是( )立方米。 【答案】 8 512 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，先根据正方体的表面积求出正方体的棱长，再利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出这个正方体的体积，据此解答。 【详解】384÷6＝64＝82（平方米） 所以，正方体的棱长是8米。 8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方米） 所以，这个正方体的体积是512立方米。 【对应练习3】 一个正方体的棱长总和是4.8m，它的表面积是( )m2，体积是( )dm3。 【答案】 0.96 64 【分析】正方体的棱长总和除以12求出它的棱长，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出它的表面积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出它的体积。注意最后要换算单位，高级单位转化为低级单位乘两个单位之间的进率，1m3＝1000dm3。 【详解】4.8÷12＝0.4（m） 0.4×0.4×6＝0.96（m2） 0.4×0.4×0.4＝0.064（m3） 0.064m3＝64dm3 则它的表面积是0.96m2，体积是64dm3。 【考点七】正方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³。 【典型例题】 一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？ 【答案】583.2千克 【分析】先根据正方体的体积公式，棱长×棱长×棱长，求出石料的体积，再乘2.7即可求出石料的质量即可。 【详解】6×6×6×2.7 ＝36×6×2.7 ＝216×2.7 ＝583.2（千克） 答：这块石料的质量是583.2千克。 【点睛】解答本题的关键是掌握正方体的体积计算公式。 【对应练习1】 一个正方体水槽，从里面量得棱长60厘米，往里面倒入198升水，水面离水槽口还有多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】水面高度＝水的体积÷水槽底面积，正方体棱长－水面高度＝水面离水槽口距离，据此列式解答。 【详解】60厘米分米 （分米） （厘米） 答：水面离水槽口还有5厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式。 【对应练习2】 纸盒厂生产一种正方体纸板箱，它的棱长和为72厘米，做这样一个纸板箱体积是多少立方厘米？ 【答案】216立方厘米 【分析】根据正方体的总棱长公式：L＝12a，据此求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式：V＝a3，据此计算即可。 【详解】72÷12＝6（厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 答：做这样一个纸板箱体积是216立方厘米。 【点睛】本题考查正方体的总棱长和体积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习3】 有一个棱长为6分米的正方体铁块，每立方分米铁块的质量为7.5千克，这个铁块重多少千克？ 【答案】1620千克 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用6×6×6即可求出正方体铁块的体积，然后乘7.5即可求出这个铁块的重量。据此解答。 【详解】6×6×6×7.5 ＝216×7.5 ＝1620（千克） 答：这个铁块重1620千克。 【点睛】本题考查了正方体体积公式的灵活应用，关键是熟记公式。 【考点八】长方体和正方体的体积与棱长扩倍关系。 【方法点拨】 1. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 2. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 【典型例题】 1．（正方体扩倍关系）一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 4 8 【分析】采用设数法解决此题。假设原来正方体的棱长为1，棱长扩大到原来的2倍后是2。 正方体的表面积＝棱长×棱长×6，根据正方体的表面积公式分别计算出正方体原来的表面积、扩大后的表面积；再用扩大后的表面积÷原来的表面积，求出表面积扩大到原的几倍。 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，根据正方体的体积公式分别计算出正方体原来的体积、扩大后的体积；再用扩大后的体积÷原来的体积，求出体积扩大到原的几倍。 【详解】假设原来正方体的棱长为1。 2×1＝2 2×2×6÷（1×1×6） ＝24÷6 ＝4 2×2×2÷（1×1×1） ＝8÷1 ＝8 所以，表面积扩大原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 【点睛】当正方体的棱长扩大到原来的n倍时，它的表面积就扩大到原来的n2倍；它的体积就扩大到原来的n3倍。 2．（长方体扩倍关系）一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的体积扩大( )倍。 【答案】8 【分析】可以设长方体的长、宽、高分别为a、b、h，扩大后变为2a、2b、2h，然后根据长方体的体积公式计算后判断正误。 【详解】V原＝abh V扩＝（2a）×（2b）×（2h） ＝4ab×2h ＝8abh 所以体积扩大了8倍。 【点睛】此题考查了长方体的体积公式。 【对应练习1】 一个正方体的体积是64立方厘米，如果棱长扩大到原来的2倍，则扩大后的正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】512 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，已知正方体的体积是64立方厘米，代入可求出正方体的棱长，棱长扩大到原来的2倍，求出扩大后的棱长，再利用正方体的体积公式，即可求出扩大后的长方体的体积。 【详解】因为4×4×4＝64（立方厘米） 所以正方体的棱长为4厘米。 棱长扩大到原来的2倍， 4×2＝8（厘米） 8×8×8＝512（立方厘米） 即扩大后的正方体的体积是512立方厘米。 【点睛】此题的解题关键是熟练运用正方体的体积公式求解。 【对应练习2】 正方体棱长扩大5倍，它的棱长总和扩大( )倍，表面积扩大( )倍，体积扩大( )倍。 【答案】 5 25 125 【分析】依据正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，再根据因数与积的变化规律：积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。据此解答。 【详解】正方体棱长扩大5倍，它的棱长总和扩大5倍，表面积扩大5×5＝25倍，体积扩大5×5×5＝125倍。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体的棱长总和、表面积公式以及体积公式和因数与积的变化规律。 【对应练习3】 一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，它的棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 3 9 27 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，体积公式：V＝abh，表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，以及积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。由此解答。 【详解】由分析可知：长方体的长、宽、高分别扩大到原来的3倍，棱长总和扩大到原来的3倍；表面积扩大到原来的3×3＝9倍；体积扩大到原来的3×3×3＝27倍。 【点睛】此题主要考查长方体的棱长总和、表面积和体积的计算方法以及积的变化规律，明确积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积。 【考点九】无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题）。 【方法点拨】 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 【典型例题】 如图，把一张长方形铁皮的四个角各剪下一个边长是2分米的正方形，按图中的虚线折起来焊接成一个长方体无盖水箱。这个水箱用了多大的铁皮？这个水箱最多可盛水多少升？ 【答案】92平方分米；80升 【分析】1.2米＝12分米；0.9米＝9分米；根据题意可知，长方形铁皮的四个角，焊成一个长方体，长方体的长等于（12－2×2）分米，宽等于（9－2×2）分米，高等于2分米，求这个水箱用铁皮的面积，就是求这个无盖长方体的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出需要铁皮的面积；求这个水箱最多盛水的容积，就是求这个长方体水箱的容积，根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】1.2米＝12分米 0.9米＝9分米 长：12－2×2 ＝12－4 ＝8（分米） 宽：9－2×2 ＝9－4 ＝5（分米） 高2分米 铁皮面积：8×5＋（8×2＋5×2）×2 ＝40＋（16＋10）×2 ＝40＋26×2 ＝40＋52 ＝92（平方分米） 容积：8×5×2 ＝40×2 ＝80（立方分米） 80立方分米＝80升 答：这个水箱用了92平方分米的铁皮，这个水箱最多可盛水80升。 【对应练习1】 如图所示，在长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角各去掉边长为2厘米的小正方形硬纸板，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的容积是多少立方厘米？ 【答案】90立方厘米 【分析】长方体容器的长＝长方形硬纸板的长－小正方形的边长×2，长方体容器的宽＝长方形硬纸板的宽－小正方形的边长×2，长方体容器的高＝小正方形的边长，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出容积。 【详解】（13－2×2）×（9－2×2）×2 ＝（13－4）×（9－4）×2 ＝9×5×2 ＝90（立方厘米） 答：这个容器的容积是90立方厘米。 【对应练习2】 一块长24厘米，宽18厘米的长方形铁皮，在四个角上剪去边为4厘米的正方形，将它焊成一个无盖的盒子。这个盒子的表面积和容积是多少？ 【答案】368平方厘米；640立方厘米 【分析】在长方形铁皮的四个角上剪去了边长为 4 厘米的正方形，所以盒子底面的长为原来长方形的长减去两个正方形的边长，底面的宽为原来长方形的宽减去两个正方形的边长，盒子的高等于正方形的边长，先分别计算盒子四周的面积、底面积再相加得到表面积，然后根据长方体的体积＝长×宽×高，求出盒子的容积，据此解答。 【详解】盒子的长是： 24－4×2 ＝24－8 ＝16（厘米） 盒子的宽是： 18－4×2 ＝18－8 ＝10（厘米） 高是4厘米，盒子的表面积是： 24×18－4×4×4 ＝432－64 ＝368（平方厘米） 盒子的体积是： 16×10×4＝640（立方厘米） 答：这个盒子的表面积是368平方厘米，容积是640立方厘米。 【对应练习3】 有一块边长是3分米的正方形铁皮，在它的四个角上分别剪去一个边长5厘米的正方形（如下图所示），再将它焊接成一个无盖的长方体盒子。这个长方体盒子的容积是多少？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】2000立方厘米 【分析】单位不统一，先换算单位，3分米＝30厘米。分析题意可知，这个无盖的长方体的长为（30－5×2）厘米；宽是（30－5×2）厘米，高是5厘米，根据长方体的容积（体积）＝长×宽×高，将数据代入公式计算即可。 【详解】3分米＝30厘米 （30－5×2）×（30－5×2）×5 ＝（30－10）×（30－10）×5 ＝20×20×5 ＝400×5 ＝2000（立方厘米） 答：这个长方体盒子的容积是2000立方厘米。 【考点十】等积变形问题其一：熔铸问题。 【方法点拨】 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 有一块棱长是80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个长15厘米，宽20厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？ 【答案】厘米 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此先算出铁块的体积，把它熔铸成一个长方体，铁块的体积不变，根据长方体的体积公式可知，长方体的高＝体积÷（长×宽），据此解答。 【详解】（立方厘米） （厘米） 答：这个长方体的高是厘米。 【对应练习1】 一个棱长是的正方体铁块，熔铸成一个长、宽的长方体铁块，这个长方体铁块高多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】18厘米 【分析】根据题目可知，正方体铁块熔铸成一个长方体铁块，即体积不变，根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，把数代入公式求出正方体的铁块的体积，再根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入即可求出长方体铁块的高。 【详解】6×6×6÷（4×3） ＝216÷12 ＝18（cm） 答：这个长方体铁块高18厘米。 【点睛】本题主要考查正方体长方体的体积公式，同时要注意，一个物体熔铸成另一个物体它的体积不变。 【对应练习2】 某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，请问它的高是多少厘米？ 【答案】25厘米 【分析】把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成一个长为8厘米，宽为5厘米的长方体零件，体积不变，首先根据求出正方体铁块的体积，然后用正方体铁块的体积除以长方体的底面积即可求出长方体的高，据此解答。 【详解】10×10×10÷（8×5） ＝1000÷40 ＝25（厘米） 答：这个零件的高是25厘米。 【对应练习3】 一块棱长为6厘米的正方形钢板，锻造成长12厘米，宽5厘米的长方体钢板，这钢板有多厚？（损耗不计） 【答案】3.6厘米 【分析】先利用正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出这个正方体的钢板的体积，再依据这块钢板的体积不变，利用长方体的体积＝长×宽×高，即可求出这个钢板的厚度。 【详解】（6×6×6）÷（12×5） ＝216÷60 ＝3.6（厘米） 答：这钢板厚3.6厘米。 【点睛】此题主要考查正方体和长方体的体积的计算方法，关键在于这块钢板的体积不变。 【考点十一】等积变形问题其二：倒水问题（液体分装问题）。 【方法点拨】 液体在不同容器间倒装后，体积不变。 【典型例题】 一个正方体玻璃缸，棱长6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为30平方分米，高为10分米的长方体水槽中，水深多少？ 解析： 6×6×6÷30 ＝216÷30 ＝7.2（分米） 答：水深7.2分米。 【对应练习1】 一个棱长是12分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长为18分米，宽为10分米，高为12分米的长方体鱼缸里，水有多深？（鱼缸厚度忽略不计） 解析： 12×12×12÷（18×10） ＝1728÷180 ＝9.6（分米） 答：水深9.6分米。 【对应练习2】 一个棱长是10厘米的正方体容器装满了水，把这些水倒入长25厘米，宽4厘米，高20厘米的长方体容器中，这时的水位是多少厘米？ 【答案】10厘米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用10×10×10即可求出水的体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高，用水的体积÷25÷4即可求出水位。 【详解】10×10×10＝1000（立方厘米） 1000÷25÷4＝10（厘米） 答：这时的水位是10厘米。 【点睛】本题主要考查了正方体体积公式、长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 【对应练习3】 在甲箱中装入水，水深为15厘米，若将这些水倒入乙箱中，水深为多少厘米？      【答案】7.5厘米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，用甲箱的底面积乘水的高度即可求出水的体积，再用水的体积除以乙箱的底面积即可求出这些水在乙箱的水深。 【详解】 ＝150×15 ＝2250（平方厘米） ＝2250÷300 ＝7.5（厘米） 答：水深为7.5厘米。 【点睛】本题考查长方体的体积，熟记公式是解题的关键。 【考点十二】等积变形问题其三：液体倾斜问题。 【方法点拨】 液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 如下图所示，密闭的容器中装有5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面把容器竖起来，这时水深多少厘米？ 解析： 30×10×5÷（10×15） ＝300×5÷150 ＝1500÷150 ＝10（厘米） 答：这时水深10厘米。 【对应练习1】 有一个长方体容器，长40厘米，宽20厘米，高15厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来放置，这时水深是多少厘米？ 解析： 40×20×6 ＝800×6 ＝4800（立方厘米） 4800÷20÷15 ＝240÷15 ＝16（厘米） 答：竖起来后水深是16厘米。 【对应练习2】 一个长方体的容器（如图），里面的水深8厘米。把这个容器盖紧后竖放，现在的底面长10厘米、宽8厘米，这时里面的水深是多少厘米？ 解析： 20×10×8÷（10×8） ＝200×8÷80 ＝1600÷80 ＝20（厘米） 答：这时里面的水深是20厘米。 【对应练习3】 一个长方体的容器（如图），长是20厘米，宽是10厘米，高是8厘米。 （1）求出它的表面积是多少？ （2）当容器如左图放置时，里面的水深5厘米，再把这个容器盖紧后竖放（如右图），使长10厘米、宽8厘米的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？ 【答案】（1）880平方厘米 （2）12.5厘米 【分析】（1）根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可； （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出水的体积，再用水的体积除以竖放时长方体的底面积即可求出此时水的高度。 【详解】（1）（20×10＋20×8＋10×8）×2 ＝（200＋160＋80）×2 ＝440×2 ＝880（平方厘米） 答：它的表面积是880平方厘米。 （2）20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 1000÷（8×10） ＝1000÷80 ＝12.5（厘米） 答：这时里面的水深是12.5厘米。 【点睛】本题考查长方体的表面积和体积，熟记公式是解题的关键。 【考点十三】切拼问题与体积的结合其一：切割问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 【典型例题】 有一个长方体木块长12.5分米，把它切成两个长方体（如图），这时表面积比原来增加了16平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】100立方分米 【分析】把大长方体切成两个长方体，增加的是两个截面的面积，根据增加的表面积除以2即可求出截面的面积，再用截面面积乘长方体木块的长，即能求出原来长方体的体积。 【详解】 （立方分米） 答：原来长方体的体积是100立方分米。 【点睛】此题的解题关键是弄清表面积增加的是几个面的面积，再利用长方体的体积公式求出结果。 【对应练习1】 把下面这个长15分米的长方体，如图切成三个长方体后，表面积比原来的长方体多了24平方分米，原来这个长方体的体积是多少？ 【答案】90立方分米 【分析】长方体的体积＝横截面积×长，将大长方体切成三个长方体，需要切2次，切一次会增加2个面，切两次增加4个面，也就是4个截面的面积是24平方分米，用24÷4求出一个截面的面积，再用截面积乘原来长方体的长度即可求出这个长方体的体积。 【详解】24÷4＝6（平方分米） 15×6＝90（立方分米） 答：原来这个长方体的体积是90立方分米。 【对应练习2】 一个长方体高13厘米，如下图，把它切成两个小长方体，表面积增加了20平方厘米，求原来长方体的体积。 【答案】130立方厘米 【分析】把长方体切成两个小长方体，增加两个横截面的面积，所以用20除以2求出一个横截面的面积，即长方体的底面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，代入数据即可求出原来长方体的体积。 【详解】20÷2＝10（平方厘米） 10×13＝130（立方厘米） 答：原来长方体的体积是130立方厘米。 【点睛】解答此题的关键是求出长方体的底面积是多少，熟练掌握长方体体积的计算方法。 【对应练习3】 一个长方体，左右两个面是边长为3分米的正方形，按下图所示切成4块后，表面积增加了138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 【答案】180立方分米 【分析】因为左右两个面是边长为3分米的正方形，根据正方形的面积公式S＝a2，再乘2，即可求出左右两个面的面积； 从图中可知，长方体切成4块后，表面积增加左右两个面和上下两个面的面积之和，先用增加的表面积减去左右两个面的面积，即是上下两个面的面积，再除以2，即可求出原长方体的底面积； 原长方体的高是3分米，根据长方体的体积公式V＝Sh，求出原长方体的体积。 【详解】增加的左右两个面的面积： 3×3×2＝18（平方分米） 长方体的底面积： （138－18）÷2 ＝120÷2 ＝60（平方分米） 原长方体的体积： 60×3＝180（立方分米） 答：原长方体的体积是180立方分米。 【点睛】先分析出表面积增加的是哪几个面的面积，求出原长方体的底面积是解题的关键，再根据长方体的体积公式解答。 【考点十四】切拼问题与体积的结合其二：拼接问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 用4个完全一样的小正方体积木拼成一个长方体（如下图所示），表面积减少了32平方厘米，每个小正方体的体积是多少？拼成的这个长方体的底面积是多少？ 【答案】8立方厘米；16平方厘米 【分析】如图，拼成一个长方体后，表面积减少了8个小正方形的面积，用32除以8可求出其中一个小正方形的面积为4平方厘米，所以小正方形的边长为2厘米，即小正方体的棱长为2厘米，根据正方体的体积公式即可求出每个小正方体的体积；长方体的长和宽都为（2＋2）厘米，利用长乘宽即可求出拼成的这个长方体的底面积。 【详解】32÷8＝4（平方厘米） 因为2×2＝4（平方厘米） 所以小正方体的棱长是2厘米。 2×2×2＝8（立方厘米） （2＋2）×（2＋2） ＝4×4 ＝16（平方厘米） 答：每个小正方体的体积是8立方厘米，拼成的这个长方体的底面积是16平方厘米。 【点睛】此题主要考查立体图形的拼接，熟练运用正方体的体积和长方体的底面积公式，弄清减少的是几个面的面积是解题的关键。 【对应练习1】 把两个棱长为1.5分米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的体积、表面积分别是多少？ 【答案】体积：6.75立方分米；表面积：22.5平方分米 【分析】把两个棱长为1.5分米的正方体木块拼成一个长方体，则该长方体的长为1.5×2＝3分米，宽是1.5分米，高是1.5分米，根据长方体的体积公式：V＝abh，长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】1.5×2＝3（分米） 3×1.5×1.5 ＝4.5×1.5 ＝6.75（立方分米） （3×1.5＋3×1.5＋1.5×1.5）×2 ＝（4.5＋4.5＋2.25）×2 ＝11.25×2 ＝22.5（平方分米） 答：这个长方体的体积是6.75立方分米，表面积是22.5平方分米。 【点睛】本题考查长方体的体积和表面积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习2】 把2个长、宽、高分别是10厘米、8厘米、6厘米的长方体，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 【答案】592平方厘米；960立方厘米 【分析】将两个同样的长方体最大的面拼起来，拼成的长方体表面积最小，求出两个长方体表面积和，减去最大的面×2即可；拼成的长方体体积是两个小长方体体积和，据此分析。 【详解】（10×8＋10×6＋8×6）×2×2－10×8×2 ＝（80＋60＋48）×4－160 ＝188×4－160 ＝752－160 ＝592（平方厘米） 10×8×6×2＝960（立方厘米） 答：这个长方体的表面积是592平方厘米，体积是960立方厘米。 【点睛】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高。 【考点十五】切拼问题与体积的结合其三：高的变化问题。 【方法点拨】 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 【典型例题】 1. 一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体。体积增加了多少立方厘米？ 解析： 10×10×10－10×10×（10－4） ＝1000－100×6 ＝1000－600 ＝400（立方厘米） 答：体积增加了400立方厘米。 2. 一个长方体，如果高减少3厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 解析： 84÷4÷3 ＝21÷3 ＝7（厘米） 7＋3＝10（厘米） 7×7×10 ＝49×10 ＝490（立方厘米） 答：原长方体的体积是490立方厘米。 【对应练习1】 一个正方体的高增加了3厘米，得到一个新的长方体，这个长方体的表面积比原正方体的表面积增加了72平方厘米。新长方体的体积是多少？ 解析： 72÷3＝24（厘米） 24÷4＝6（厘米） 6＋3＝9（厘米） 6×6×9＝324（立方厘米） 答：新长方体的体积是324立方厘米。 【对应练习2】 一个长方体，如果高增加3厘米，那么就变成一个正方体。这时表面积比原来增加84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 解析： 根据分析得，84÷4＝21（平方厘米） 21÷3＝7（厘米） 7－3＝4（厘米） 7×7×4＝196（立方厘米） 答：原来长方体的体积是196立方厘米。 【考点十六】排水法求不规则物体体积其一：求体积。 【方法点拨】 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【典型例题】 贵州贵定盘江酥李味甜汁多、酥脆爽口，深受大家欢迎。为测量一个酥李的体积，小丽和爸爸拿了5个差不多大的酥李做了如下实验： ①测量出一个长方体容器内的长是25厘米，宽是20厘米。 ②测量出长方体容器内的高是20厘米。 ③在容器内注入一定量的水，量出水面高度是8厘米。 ④将5个酥李完全浸没在水中（水未溢出），量出水面高度是8.5厘米。 （1）要求平均每个酥李的体积，上面的信息必须用到（     ）。（填序号） （2）根据选出的信息，求出平均每个酥李的体积是多少立方厘米。 【答案】（1）①③④ （2）50立方厘米 【分析】（1）水面上升的体积就是浸没在水中酥李的体积，要求平均每个酥李的体积，必须知道容器的长和宽，以及水面原来高度和水面上升后的高度，据此选择信息； （2）长方体容器的长×宽×水面上升的高度＝5个酥李的体积和，再除以5，即可求出平均每个酥李的体积。 【详解】（1）要求平均每个酥李的体积，上面的信息必须用到①③④。 （2）25×20×（8.5－8） ＝500×0.5 ＝250（立方厘米） 250÷5＝50（立方厘米） 答：平均每个酥李的体积是50立方厘米。 【对应练习1】 想办法算一算这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】288立方厘米 【分析】由题意可知，这块三块石头的体积与第二幅图上升的水的体积相等，观察可知水面上升了厘米，即上升的水可看成一个长12厘米，宽12厘米，高厘米的长方体，根据，代入数据计算即可得解。 【详解】 （立方厘米） 答：这块石头的体积是288立方厘米。 【对应练习2】 下面是一些能沉到水底的小正方体，怎样用这些小正方体测量一块不规则石块的体积？ 【答案】见详解 【分析】测量不规则石块的体积，可以采用排水法：把这块石块放入水中，水面的高度上升，这时，上升的水的体积等于石块的体积；从容器中拿出石块，再向容器中依次放入小正方体，当水的高度和放入石块的高度相等时，放的小正方体的体积等于石块的体积，据此求出这块不规则石块的体积。 【详解】通过分析可得： 把这块石块放入水中，记录放入石块后水的高度；从容器中拿出石块，再向容器中依次放入小正方体，当水的高度和放入石块的高度相等时停止，这时放的小正方体的体积等于石块的体积。每个小正方体的体积是1立方厘米，则水中有几个小正方体，这块不规则石块的体积就是几立方厘米。 【对应练习3】 数学课上，小华要测量一块不规则石块的体积，他将石块放入盛有水的长方体容器里，根据如图中的信息，石块的体积是多少立方厘米？ 【答案】176立方厘米 【分析】石块完全浸没在水里后，石块的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为10厘米，宽为8厘米，高为7.5厘米的长方体的体积减去长为10厘米，宽为8厘米，高为5.3厘米的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，把数据代入即可求解。 【详解】10×8×7.5－10×8×5.3 ＝10×8×（7.5－5.3） ＝80×2.2 ＝176（立方厘米） 答：石块的体积是176立方厘米。 【考点十七】排水法求不规则物体体积其二：求水深。 【方法点拨】 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 【典型例题】 一个正方体容器，从里面量棱长4分米，里面注有水，水深3分米。如果把一块棱长2分米的正方体铁块放入水中，水面会上升多少分米？ 【答案】0.5分米 【分析】水面上升部分的体积等于正方体铁块的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出水面上升部分的体积，再除以容器底面积，求出水面上升高度即可。 【详解】高度： （分米） 答：水面会上升0.5分米。 【对应练习1】 在一个长为8分米、宽5分米、深4分米的长方体水箱里，放入一块体积为48立方分米的铁块完全浸没后，水面会上升多少分米？ 【答案】1.2分米 【分析】根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，即水面上升的高度＝不规则物体的体积÷容器的底面积，据此进行计算即可。 【详解】48÷（8×5） ＝48÷40 ＝1.2（分米） 答：水面会上升1.2分米。 【对应练习2】 一个长方体容器，长为10分米，宽为5分米，高为12分米，现在水深6分米，当把一个棱长为2分米的小正方体铁块完全浸没在水中后（水未溢出），水深应该是多少分米？ 【答案】6.16分米 【分析】根据题意，把一个棱长为2分米的小正方体铁块放入的长方体容器中，那么水面会上升，水上升部分的体积就是正方体铁块的体积；先根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块的体积，也是水上升部分的体积；然后用上升部分的体积除以长方体容器的底面积，求出水上升的高度，再加上原来水的高度，即是现在的水深。 【详解】2×2×2÷（10×5） ＝4×2÷50 ＝8÷50 ＝0.16（分米） 6＋0.16＝6.16（分米） 答：水深应该是6.16分米。 【对应练习3】 在一个棱长为5dm的正方体容器中，放入一个长4dm、宽2dm、高2.5dm的长方体铁块（完全浸没），此时水深3.3dm。如果将铁块从容器中取出，水面会下降多少分米？ 【答案】0.8分米 【分析】铁块的体积＝下降的水的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，可以求出铁块的体积，即下降的水的体积。下降的水的形状相当于长5分米，宽5分米的长方体，则用水的体积除以长和宽，即可求出下降的水的高度。 【详解】4×2×2.5＝20（立方分米） 20÷5÷5＝0.8（分米） 答：水面会下降0.8分米。 【点睛】本题考查长方体体积的应用，明确“铁块的体积＝下降的水的体积”是解题的关键。 【考点十八】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题。 【方法点拨】 物体完全浸没在水中，如果物体的体积超过空白部分的体积，就会溢出，求溢出部分的体积需要用物体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 科学实验课上，乐乐先往一个棱长为2分米的正方体玻璃容器中倒入7升的水，再往容器中放入一块长15厘米、宽10厘米，高8厘米的铁块。请问。放入铁块后，玻璃容器里的水会溢出吗？如果会，溢出的水有多少升？ 解析： 2×2×2＝8（立方分米） 7升＝7立方分米 15×10×8 ＝150×8 ＝1200（立方厘米） 1200立方厘米＝1.2立方分米 7＋1.2＝8.2（立方分米） 8.2立方分米＞8立方分米 8.2－8＝0.2（立方分米） 0.2立方分米＝0.2升 答：玻璃容器里的水会溢出，溢出的水有0.2升。 【对应练习1】 一个长方体的玻璃水箱，长9分米，宽4分米，高5分米，水深3分米。如果放入一个棱长4分米的正方体铁块，水箱里的水会溢出来吗？为什么？ 解析： 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 9×4×（5－3） ＝36×2 ＝72（立方分米） 64＜72 答：水箱里的水不会溢出来，因为铁块的体积小于无水部分的体积。 【对应练习2】 一个长方体玻璃缸（如图），水深6分米。如果投入一块边长5分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？ 解析： 5×5×5－9×6×（8－6） ＝25×5－54×2 ＝125－108 ＝17（立方分米） ＝17（升） 答：缸里的水会溢出17升。 【对应练习3】 一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽7分米，高6分米，水深5.5分米。如果投入一块棱长为4分米的正方形铁块，缸里的水溢出多少升？ 解析： 4×4×4－8×7×（6－5.5） ＝64－56×0.5 ＝64－28 ＝36（立方分米） 36立方分米＝36升 答：缸里的水溢出36升。 【考点十九】不规则及组合立体图形的体积。 【方法点拨】 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 工程队要浇筑一个建筑构件（如图），这个建筑构件的体积是多少？ 解析： 如图所示： 6×10×2＋2×（4－2）×10 ＝60×2＋2×2×10 ＝120＋40 ＝160（立方米） 答：这个建筑构件的体积是160立方米。 【对应练习1】 如图所示，一个长方体物体的底面是正方形，中间是空心的正方形。求这个物体的体积。（请写出主要过程） 解析： 10×10×20－5×5×20 ＝100×20－25×20 ＝2000－500 ＝1500（cm3） 答：这个物体的体积是1500cm3。 【对应练习2】 计算下面几何体的体积。 解析： 2×2×2＋8×2×5 ＝8＋80 ＝88（cm3） 【对应练习3】 如图，在棱长是8dm的正方体的上面挖去一个棱长4dm的正方体，求挖去以后图形的表面积和体积。 解析： 表面积：4×4×4+8×8×6=448（平方分米） 体积：8×8×8-4×4×4=448（立方分米） 【对应练习4】 如图，求下面零件的体积。（单位：厘米） 解析：8×12×4-4×4×4 =384-64 =320（立方厘米） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 27 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 27 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第四单元长方体（二）·体积篇【十九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元长方体（二）·体积篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的体积为主，其中包括体积容积单 位的认识、长方体和正方体的体积及生活实际问题、等积变 形问题、切拼问题（表面积的变化问题）、排水法求不规则 物体的体积、组合立体图形的体积等内容，其中排水法求体 积是本专题的重点和难点。 总体评价 讲解建议 本专题考点划分较多，考题综合性较强，部分内容难度较大， 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考 点考题。 考点数量 十九个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】体积和容积的概念认识 ................................................................................... 4 【考点二】体积和容积的单位 ........................................................................................... 5 【考点三】体积和容积单位换算 ....................................................................................... 7 【考点四】长方体的体积 ...................................................................................................8 【考点五】长方体的体积（容积）与生活实际应用 .........................................................8 【考点六】正方体的体积 .................................................................................................10 第 3 页 共 27 页 【考点七】正方体的体积（容积）与生活实际应用 .......................................................10 【考点八】长方体和正方体的体积与棱长扩倍关系 .......................................................11 【考点九】无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题） ........................................... 12 【考点十】等积变形问题其一：熔铸问题 ...................................................................... 14 【考点十一】等积变形问题其二：倒水问题（液体分装问题） ....................................15 【考点十二】等积变形问题其三：液体倾斜问题 ...........................................................16 【考点十三】切拼问题与体积的结合其一：切割问题 ................................................... 17 【考点十四】切拼问题与体积的结合其二：拼接问题 ................................................... 19 【考点十五】切拼问题与体积的结合其三：高的变化问题 ........................................... 20 【考点十六】排水法求不规则物体体积其一：求体积 ................................................... 21 【考点十七】排水法求不规则物体体积其二：求水深 ................................................... 23 【考点十八】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题 ............................................... 24 【考点十九】不规则及组合立体图形的体积 .................................................................. 25 第 4 页 共 27 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】体积和容积的概念认识。 【方法点拨】 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、 立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、 毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 【典型例题 1】体积。 物体所占空间的大小叫作物体的( )。 A．体积 B．表面积 C．容积 【对应练习 1】 下面现实情境中最适合提出与“体积”有关的问题是( )。 A．给相框装上花边 B．给一块长方形菜地的四周围上篱笆 C．给学校的窗户安玻璃 D．给一个游泳池注水 【对应练习 2】 比较甲和乙所占空间的大小，发现甲所占的空间( )乙所占的空间。 第 5 页 共 27 页 A．大于 B．小于 C．等于 【典型例题 2】容积。 计算一个水箱能装多少升水，是求这个水箱的( )。 A．体积 B．容积 C．表面积 【对应练习 1】 一瓶饮料的净含量是 250mL，这里的“250mL”指的是( )。 A．饮料瓶的容积 B．饮料瓶的体积 C．饮料的体积 【对应练习 2】 一个水池能装水 120m3，我们就说这个水池的( )120m3。 A．表面积 B．容积 C．体积 D．重量 【考点二】体积和容积的单位。 【方法点拨】 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如 10m³的 卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约 3dm³）、微 波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约 1cm³）、药片体积、橡 皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如 5L装食用油）、汽车 第 6 页 共 27 页 油箱容量（如 50L）、大瓶饮料（如 2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约 10mL）、小瓶装 酸奶（100mL）、口服液剂量（如 5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立 方米、立方分米等。 【典型例题】 1．（体积单位）在括号里填上适当的单位。 一个游泳池能蓄水约 2500( )； 一个土豆的体积约 50( )。 2．（容积单位）饺子有“更岁交子”的意思，因此人们过春节有吃饺子的习俗。 一般煮一锅饺子需要水约 4( )，吃 1个饺子需要醋调料约 3( )。 （填合适的容积单位） 【对应练习 1】 在括号里填上适当的计量单位。 一包 A4复印纸的体积约是 3.1( )； 一个集装箱的体积约是 26( )； 一个茶杯的容积是 100( )。 【对应练习 2】 在下面的括号里填上合适的单位。 (1)一本数学书的体积约为 300( )。 (2)一间教室所占空间的大小约为 140( )。 (3)一个水杯的容积约为 0.35( )。 【对应练习 3】 填上合适的单位名称。 (1)一桶纯净饮用水大约 18( )。 (2)一袋草莓酸牛奶约 220( )。 (3)一个游泳池的容积是 1200( )。 (4)一块橡皮的体积大约是 8( )。 第 7 页 共 27 页 【考点三】体积和容积单位换算。 【方法点拨】 1. 体积单位间的进率。 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 2. 容积单位间的进率。 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 3. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 4. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【典型例题】 在括号里填上合适的数。 40dm3＝( )cm3 850L＝( )m3 6400mL＝( )L 0.26dm3＝( )L＝( )mL 【对应练习 1】 在括号里填上合适的数。 950毫升＝( )立方分米 24.07立方米＝( )立方米( )立 方分米 【对应练习 2】 在括号里填上适当的数。 33.08m ＝( )L 32.5dm ＝( ) 3cm 1250mL＝( ) 3dm 680mL＝( )L 【对应练习 3】 在括号里填上适当的数。 4600cm3＝( )dm3 30L＝( )mL 5.7m3＝( )m3( )dm3 42.07dm3＝( )L＝( )mL 第 8 页 共 27 页 【考点四】长方体的体积。 【方法点拨】 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为 V=abh=S 底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 【典型例题】 一个长方体的长是 8cm，宽是 5cm，高是 4cm，这个长方体的棱长总和是 ( )cm，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【对应练习 1】 一个长方体的长是 8cm，宽是 5cm，高是 2cm，这个长方体的表面积是 ( )cm2，体积是( )cm3。 【对应练习 2】 一个长方体的长是 6.8厘米，宽是 5厘米，高是 4厘米，它的表面积是( ) 平方厘米，体积是( )立方厘米。 【对应练习 3】 一个长方体的底面是周长 20cm的正方形，高 3cm，这个长方体的的表面积是 ( )，体积是( )。 【考点五】长方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为 V=abh=S 底×h。 【典型例题】 1．如图所示，用混凝土浇筑一个无盖的长方体水槽，从外面量，长 10分米、宽 8分米、高 4分米，混凝土厚 1分米，根据以上信息计算出这个水槽的容积。 第 9 页 共 27 页 2．杭州亚运会跳水比赛在杭州奥体中心游泳馆举行。杭州奥体中心游泳馆位于 杭州市萧山区，与杭州奥体中心体育馆称“化蝶”双馆。在杭州亚运会上，中国跳 水“梦之队”在这里包揽了全部十枚金牌。工作人员现在给一个长 50米，宽 30米 的长方体游泳池注水，注水速度是每小时 200立方米。要使水深达到 1.8米。需 要多长时间？ 【对应练习 1】 学校运动场有一个长 6米、宽 4米、深 0.5米的长方体沙坑。 （1）工人把 7.2立方米的黄沙铺在沙坑里，可以铺多厚？ （2）如果每立方米沙子 180元，这个沙坑填满沙子，需要多少元？ （3）请提出一个数学问题，并解答。 【对应练习 2】 给一个新修的长 55米、宽 24米的长方体水池注水，注水速度为每小时 200立方 米，要注入深 1.5米的水大约需要多长时间？ 【对应练习 3】 一个长方体油箱，从里面量长 0.8m，宽 0.24m，深 0.5m，这个油箱能装油多少 升？如果把这些油分装在 500mL的瓶子里，能装满多少瓶？ 第 10 页 共 27 页 【考点六】正方体的体积。 【方法点拨】 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示 V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示 3个 a相乘。 2. 区分 2a、a2和 a³。 2a=2×a，表示两个 a相加；a2=a×a，表示两个 a相乘；a³=a×a×a，表示 3个 a 相 乘。 【典型例题】 一个正方体的棱长是 6厘米，它的表面积是( )，体积是( )。 【对应练习 1】 一个正方体铁块，它的棱长是 2dm，它的棱长总和是( )dm，它的表面积 是( )dm2，它的体积是( )dm3，它的占地面积是( )dm2。 【对应练习 2】 一个正方体表面积是 384平方米，它的棱长是( )米，体积是( ) 立方米。 【对应练习 3】 一个正方体的棱长总和是 4.8m，它的表面积是( )m2，体积是 ( )dm3。 【考点七】正方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示 V=a×a×a = a³。 【典型例题】 一块正方体石料的棱长为 6分米，如果 1立方分米石料的质量是 2.7千克，这块 石料的质量是多少千克？ 第 11 页 共 27 页 【对应练习 1】 一个正方体水槽，从里面量得棱长 60厘米，往里面倒入 198升水，水面离水槽 口还有多少厘米？ 【对应练习 2】 纸盒厂生产一种正方体纸板箱，它的棱长和为 72厘米，做这样一个纸板箱体积 是多少立方厘米？ 【对应练习 3】 有一个棱长为 6分米的正方体铁块，每立方分米铁块的质量为 7.5千克，这个铁 块重多少千克？ 【考点八】长方体和正方体的体积与棱长扩倍关系。 【方法点拨】 1. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 2. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体 积扩大 a×a×a=a3 倍 【典型例题】 1．（正方体扩倍关系）一个正方体棱长扩大到原来的 2倍，表面积扩大原来的 ( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 2．（长方体扩倍关系）一个长方体的长、宽、高都扩大 2倍，它的体积扩大 第 12 页 共 27 页 ( )倍。 【对应练习 1】 一个正方体的体积是 64立方厘米，如果棱长扩大到原来的 2倍，则扩大后的正 方体的体积是( )立方厘米。 【对应练习 2】 正方体棱长扩大 5倍，它的棱长总和扩大( )倍，表面积扩大( ) 倍，体积扩大( )倍。 【对应练习 3】 一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的 3倍，它的棱长总和扩大到原来的 ( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( ) 倍。 【考点九】无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题）。 【方法点拨】 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据 体积公式计算。 设剪去的正方形边长为 a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长 a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 【典型例题】 如图，把一张长方形铁皮的四个角各剪下一个边长是 2分米的正方形，按图中的 虚线折起来焊接成一个长方体无盖水箱。这个水箱用了多大的铁皮？这个水箱最 多可盛水多少升？ 第 13 页 共 27 页 【对应练习 1】 如图所示，在长为 13厘米、宽为 9厘米的长方形硬纸板的四个角各去掉边长为 2厘米的小正方形硬纸板，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的容积是多 少立方厘米？ 【对应练习 2】 一块长 24厘米，宽 18厘米的长方形铁皮，在四个角上剪去边为 4厘米的正方形， 将它焊成一个无盖的盒子。这个盒子的表面积和容积是多少？ 【对应练习 3】 有一块边长是 3分米的正方形铁皮，在它的四个角上分别剪去一个边长 5厘米的 正方形（如下图所示），再将它焊接成一个无盖的长方体盒子。这个长方体盒子 的容积是多少？（铁皮的厚度忽略不计） 第 14 页 共 27 页 【考点十】等积变形问题其一：熔铸问题。 【方法点拨】 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、 浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状 立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 有一块棱长是 80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个长 15厘米，宽 20 厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？ 【对应练习 1】 一个棱长是6cm的正方体铁块，熔铸成一个长4cm、宽3cm的长方体铁块，这个 长方体铁块高多少厘米？（损耗忽略不计） 【对应练习 2】 某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为 10厘米的正方体铁块锻造 成了一个长方体铁块，这个长方体的长是 8厘米，宽是 5厘米，请问它的高是多 少厘米？ 第 15 页 共 27 页 【对应练习 3】 一块棱长为 6厘米的正方形钢板，锻造成长 12厘米，宽 5厘米的长方体钢板， 这钢板有多厚？（损耗不计） 【考点十一】等积变形问题其二：倒水问题（液体分装问题）。 【方法点拨】 液体在不同容器间倒装后，体积不变。 【典型例题】 一个正方体玻璃缸，棱长 6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为 30平方分米，高为 10分米的长方体水槽中，水深多少？ 【对应练习 1】 一个棱长是 12分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长为 18分米，宽 为 10分米，高为 12分米的长方体鱼缸里，水有多深？（鱼缸厚度忽略不计） 【对应练习 2】 一个棱长是 10厘米的正方体容器装满了水，把这些水倒入长 25厘米，宽 4厘米， 高 20厘米的长方体容器中，这时的水位是多少厘米？ 第 16 页 共 27 页 【对应练习 3】 在甲箱中装入水，水深为 15厘米，若将这些水倒入乙箱中，水深为多少厘米？ 【考点十二】等积变形问题其三：液体倾斜问题。 【方法点拨】 液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 如下图所示，密闭的容器中装有 5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面 把容器竖起来，这时水深多少厘米？ 【对应练习 1】 有一个长方体容器，长 40厘米，宽 20厘米，高 15厘米，里面的水深 6厘米。 如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来放置，这时水深是多少厘米？ 第 17 页 共 27 页 【对应练习 2】 一个长方体的容器（如图），里面的水深 8厘米。把这个容器盖紧后竖放，现在 的底面长 10厘米、宽 8厘米，这时里面的水深是多少厘米？ 【对应练习 3】 一个长方体的容器（如图），长是 20厘米，宽是 10厘米，高是 8厘米。 （1）求出它的表面积是多少？ （2）当容器如左图放置时，里面的水深 5厘米，再把这个容器盖紧后竖放（如 右图），使长 10厘米、宽 8厘米的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？ 【考点十三】切拼问题与体积的结合其一：切割问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积 会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 第 18 页 共 27 页 【典型例题】 有一个长方体木块长 12.5分米，把它切成两个长方体（如图），这时表面积比 原来增加了 16平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？ 【对应练习 1】 把下面这个长 15分米的长方体，如图切成三个长方体后，表面积比原来的长方 体多了 24平方分米，原来这个长方体的体积是多少？ 【对应练习 2】 一个长方体高 13厘米，如下图，把它切成两个小长方体，表面积增加了 20平方 厘米，求原来长方体的体积。 【对应练习 3】 一个长方体，左右两个面是边长为 3分米的正方形，按下图所示切成 4块后，表 面积增加了 138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 第 19 页 共 27 页 【考点十四】切拼问题与体积的结合其二：拼接问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积 会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 用 4个完全一样的小正方体积木拼成一个长方体（如下图所示），表面积减少了 32平方厘米，每个小正方体的体积是多少？拼成的这个长方体的底面积是多 少？ 【对应练习 1】 把两个棱长为 1.5分米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的体积、表面 积分别是多少？ 【对应练习 2】 把 2个长、宽、高分别是 10厘米、8厘米、6厘米的长方体，拼成一个表面积最 小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 第 20 页 共 27 页 【考点十五】切拼问题与体积的结合其三：高的变化问题。 【方法点拨】 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为 V=abh=S 底×h。 【典型例题】 1. 一个长方体（如图），如果高增加 4厘米，就变成了棱长是 10厘米的正方体。 体积增加了多少立方厘米？ 2. 一个长方体，如果高减少 3厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少 84平 方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【对应练习 1】 一个正方体的高增加了 3厘米，得到一个新的长方体，这个长方体的表面积比原 正方体的表面积增加了 72平方厘米。新长方体的体积是多少？ 【对应练习 2】 一个长方体，如果高增加 3厘米，那么就变成一个正方体。这时表面积比原来增 加 84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 第 21 页 共 27 页 【考点十六】排水法求不规则物体体积其一：求体积。 【方法点拨】 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体 体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V 物体=V 现在－V 原来； ②V 物体=S×(h 现在－h 原来)； ③V 物体=S×h 升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【典型例题】 贵州贵定盘江酥李味甜汁多、酥脆爽口，深受大家欢迎。为测量一个酥李的体积， 小丽和爸爸拿了 5个差不多大的酥李做了如下实验： ①测量出一个长方体容器内的长是 25厘米，宽是 20厘米。 ②测量出长方体容器内的高是 20厘米。 ③在容器内注入一定量的水，量出水面高度是 8厘米。 ④将 5个酥李完全浸没在水中（水未溢出），量出水面高度是 8.5厘米。 （1）要求平均每个酥李的体积，上面的信息必须用到（ ）。（填序号） （2）根据选出的信息，求出平均每个酥李的体积是多少立方厘米。 第 22 页 共 27 页 【对应练习 1】 想办法算一算这块石头的体积是多少立方厘米？ 【对应练习 2】 下面是一些能沉到水底的小正方体，怎样用这些小正方体测量一块不规则石块的 体积？ 【对应练习 3】 数学课上，小华要测量一块不规则石块的体积，他将石块放入盛有水的长方体容 器里，根据如图中的信息，石块的体积是多少立方厘米？ 第 23 页 共 27 页 【考点十七】排水法求不规则物体体积其二：求水深。 【方法点拨】 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V 物体=V 现在－V 原来； ②V 物体=S×(h 现在- h 原来)； ③V 物体=S×h 升高。 【典型例题】 一个正方体容器，从里面量棱长 4分米，里面注有水，水深 3分米。如果把一块 棱长 2分米的正方体铁块放入水中，水面会上升多少分米？ 【对应练习 1】 在一个长为 8分米、宽 5分米、深 4分米的长方体水箱里，放入一块体积为 48 立方分米的铁块完全浸没后，水面会上升多少分米？ 【对应练习 2】 一个长方体容器，长为 10分米，宽为 5分米，高为 12分米，现在水深 6分米， 当把一个棱长为 2分米的小正方体铁块完全浸没在水中后（水未溢出），水深应 该是多少分米？ 第 24 页 共 27 页 【对应练习 3】 在一个棱长为 5dm的正方体容器中，放入一个长 4dm、宽 2dm、高 2.5dm的长 方体铁块（完全浸没），此时水深 3.3dm。如果将铁块从容器中取出，水面会下 降多少分米？ 【考点十八】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题。 【方法点拨】 物体完全浸没在水中，如果物体的体积超过空白部分的体积，就会溢出，求溢出 部分的体积需要用物体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 科学实验课上，乐乐先往一个棱长为 2分米的正方体玻璃容器中倒入 7升的水， 再往容器中放入一块长 15厘米、宽 10厘米，高 8厘米的铁块。请问。放入铁块 后，玻璃容器里的水会溢出吗？如果会，溢出的水有多少升？ 【对应练习 1】 一个长方体的玻璃水箱，长 9分米，宽 4分米，高 5分米，水深 3分米。如果放 入一个棱长 4分米的正方体铁块，水箱里的水会溢出来吗？为什么？ 第 25 页 共 27 页 【对应练习 2】 一个长方体玻璃缸（如图），水深 6分米。如果投入一块边长 5分米的正方体铁 块，缸里的水会溢出多少升？ 【对应练习 3】 一个长方体的玻璃缸，长 8分米，宽 7分米，高 6分米，水深 5.5分米。如果投 入一块棱长为 4分米的正方形铁块，缸里的水溢出多少升？ 【考点十九】不规则及组合立体图形的体积。 【方法点拨】 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分 立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 工程队要浇筑一个建筑构件（如图），这个建筑构件的体积是多少？ 第 26 页 共 27 页 【对应练习 1】 如图所示，一个长方体物体的底面是正方形，中间是空心的正方形。求这个物体 的体积。（请写出主要过程） 【对应练习 2】 计算下面几何体的体积。 【对应练习 3】 如图，在棱长是 8dm的正方体的上面挖去一个棱长 4dm的正方体，求挖去以后 图形的表面积和体积。 第 27 页 共 27 页 【对应练习 4】 如图，求下面零件的体积。（单位：厘米） 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第四单元长方体（二）·体积篇【十九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元长方体（二）·体积篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的体积为主，其中包括体积容积单位的认识、长方体和正方体的体积及生活实际问题、等积变形问题、切拼问题（表面积的变化问题）、排水法求不规则物体的体积、组合立体图形的体积等内容，其中排水法求体积是本专题的重点和难点。 总体评价 讲解建议 本专题考点划分较多，考题综合性较强，部分内容难度较大，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十九个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】体积和容积的概念认识 4 【考点二】体积和容积的单位 5 【考点三】体积和容积单位换算 7 【考点四】长方体的体积 8 【考点五】长方体的体积（容积）与生活实际应用 9 【考点六】正方体的体积 11 【考点七】正方体的体积（容积）与生活实际应用 12 【考点八】长方体和正方体的体积与棱长扩倍关系 13 【考点九】无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题） 14 【考点十】等积变形问题其一：熔铸问题 17 【考点十一】等积变形问题其二：倒水问题（液体分装问题） 19 【考点十二】等积变形问题其三：液体倾斜问题 20 【考点十三】切拼问题与体积的结合其一：切割问题 23 【考点十四】切拼问题与体积的结合其二：拼接问题 24 【考点十五】切拼问题与体积的结合其三：高的变化问题 26 【考点十六】排水法求不规则物体体积其一：求体积 28 【考点十七】排水法求不规则物体体积其二：求水深 30 【考点十八】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题 31 【考点十九】不规则及组合立体图形的体积 34 【第三篇】典型例题篇 【考点一】体积和容积的概念认识。 【方法点拨】 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 【典型例题1】体积。 物体所占空间的大小叫作物体的( )。 A．体积 B．表面积 C．容积 【答案】A 【对应练习1】 下面现实情境中最适合提出与“体积”有关的问题是( )。 A．给相框装上花边 B．给一块长方形菜地的四周围上篱笆 C．给学校的窗户安玻璃 D．给一个游泳池注水 【答案】D 【对应练习2】 比较甲和乙所占空间的大小，发现甲所占的空间( )乙所占的空间。 A．大于 B．小于 C．等于 【答案】C 【典型例题2】容积。 计算一个水箱能装多少升水，是求这个水箱的( )。 A．体积 B．容积 C．表面积 【答案】B 【对应练习1】 一瓶饮料的净含量是250mL，这里的“250mL”指的是( )。 A．饮料瓶的容积 B．饮料瓶的体积 C．饮料的体积 【答案】C 【对应练习2】 一个水池能装水120m3，我们就说这个水池的( )120m3。 A．表面积 B．容积 C．体积 D．重量 【答案】B 【考点二】体积和容积的单位。 【方法点拨】 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 【典型例题】 1．（体积单位）在括号里填上适当的单位。 一个游泳池能蓄水约2500( )； 一个土豆的体积约50( )。 【答案】 立方米/m3 立方厘米/cm3 2．（容积单位）饺子有“更岁交子”的意思，因此人们过春节有吃饺子的习俗。一般煮一锅饺子需要水约4( )，吃1个饺子需要醋调料约3( )。（填合适的容积单位） 【答案】 升/L 毫升/mL 【对应练习1】 在括号里填上适当的计量单位。 一包A4复印纸的体积约是3.1( )； 一个集装箱的体积约是26( )； 一个茶杯的容积是100( )。 【答案】 立方分米/dm3 立方米/m3 毫升/mL 【对应练习2】 在下面的括号里填上合适的单位。 (1)一本数学书的体积约为300( )。 (2)一间教室所占空间的大小约为140( )。 (3)一个水杯的容积约为0.35( )。 【答案】(1)立方厘米/cm3；(2)立方米/m3；(3)升/L 【对应练习3】 填上合适的单位名称。 (1)一桶纯净饮用水大约18( )。 (2)一袋草莓酸牛奶约220( )。 (3)一个游泳池的容积是1200( )。 (4)一块橡皮的体积大约是8( )。 【答案】(1)升/L；(2)毫升/mL；(3)升/L；(4)立方厘米/cm3 【考点三】体积和容积单位换算。 【方法点拨】 1. 体积单位间的进率。 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 2. 容积单位间的进率。 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 3. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 4. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【典型例题】 在括号里填上合适的数。 40dm3＝( )cm3        850L＝( )m3 6400mL＝( )L        0.26dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 40000 0.85 6.4 0.26 260 【对应练习1】 在括号里填上合适的数。 950毫升＝( )立方分米    24.07立方米＝( )立方米( )立方分米 【答案】 0.95 24 70 【对应练习2】 在括号里填上适当的数。 ＝( )L             ＝( ) 1250mL＝( )          680mL＝( )L 【答案】 3080 2500 1.25 0.68 【对应练习3】 在括号里填上适当的数。 4600cm3＝( )dm3             30L＝( )mL 5.7m3＝( )m3( )dm3        42.07dm3＝( )L＝( )mL 【答案】 4.6 30000 5 700 42.07 42070 【考点四】长方体的体积。 【方法点拨】 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 【典型例题】 一个长方体的长是8cm，宽是5cm，高是4cm，这个长方体的棱长总和是( )cm，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 68 184 160 【对应练习1】 一个长方体的长是8cm，宽是5cm，高是2cm，这个长方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 132 80 【对应练习2】 一个长方体的长是6.8厘米，宽是5厘米，高是4厘米，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 162.4 136 【对应练习3】 一个长方体的底面是周长20cm的正方形，高3cm，这个长方体的的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 110cm2/110平方厘米 75cm3/75立方厘米 【考点五】长方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 【典型例题】 1．如图所示，用混凝土浇筑一个无盖的长方体水槽，从外面量，长10分米、宽8分米、高4分米，混凝土厚1分米，根据以上信息计算出这个水槽的容积。 【答案】 （10－1×2）×（8－1×2）×（4－1） ＝（10－2）×（8－2）×（4－1） ＝8×6×3 ＝48×3 ＝144（立方分米） ＝144（升） 答：这个水槽的容积是144升。 2．杭州亚运会跳水比赛在杭州奥体中心游泳馆举行。杭州奥体中心游泳馆位于杭州市萧山区，与杭州奥体中心体育馆称“化蝶”双馆。在杭州亚运会上，中国跳水“梦之队”在这里包揽了全部十枚金牌。工作人员现在给一个长50米，宽30米的长方体游泳池注水，注水速度是每小时200立方米。要使水深达到1.8米。需要多长时间？ 【答案】 50×30×1.8＝2700（立方米）   2700÷200＝13.5（小时） 答：需要13.5小时。 【对应练习1】 学校运动场有一个长6米、宽4米、深0.5米的长方体沙坑。 （1）工人把7.2立方米的黄沙铺在沙坑里，可以铺多厚？ （2）如果每立方米沙子180元，这个沙坑填满沙子，需要多少元？ （3）请提出一个数学问题，并解答。 【答案】 （1）7.2÷（6×4） ＝7.2÷24 ＝0.3（米） 答：可以铺厚度为0.3米高的沙子。 （2）6×4×0.5×180 ＝24×0.5×180 ＝2160（元） 答：需要2160元。 （3）提出问题：如果改造成一个水池，要在四周及底部铺上瓷砖，求需要铺瓷砖的面积是多少平方米？ 6×4＋6×0.5×2＋4×0.5×2 ＝24＋6＋4 ＝34（平方米） 答：需要铺瓷砖的面积是34平方米。 （答案不唯一） 【对应练习2】 给一个新修的长55米、宽24米的长方体水池注水，注水速度为每小时200立方米，要注入深1.5米的水大约需要多长时间？ 【答案】 55×24×1.5÷200 ＝1320×1.5÷200 ＝1980÷200 ＝9.9（小时） 答：要注入深1.5米的水大约需要9.9小时。 【对应练习3】 一个长方体油箱，从里面量长0.8m，宽0.24m，深0.5m，这个油箱能装油多少升？如果把这些油分装在500mL的瓶子里，能装满多少瓶？ 【答案】 0.8m＝8dm，0.24m＝2.4dm，0.5m＝5dm 8×2.4×5 ＝19.2×5 ＝96（dm3） 96dm3＝96L 500mL＝0.5L 96÷0.5＝192（瓶） 答：这个油箱能装油96L，如果把这些油分装在500mL的瓶子里，能装满192瓶。 【考点六】正方体的体积。 【方法点拨】 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³。 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 【典型例题】 一个正方体的棱长是6厘米，它的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 216平方厘米/216cm2 216立方厘米/216cm3 【对应练习1】 一个正方体铁块，它的棱长是2dm，它的棱长总和是( )dm，它的表面积是( )dm2，它的体积是( )dm3，它的占地面积是( )dm2。 【答案】 24 24 8 4 【对应练习2】 一个正方体表面积是384平方米，它的棱长是( )米，体积是( )立方米。 【答案】 8 512 【对应练习3】 一个正方体的棱长总和是4.8m，它的表面积是( )m2，体积是( )dm3。 【答案】 0.96 64 【考点七】正方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³。 【典型例题】 一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？ 【答案】 6×6×6×2.7 ＝36×6×2.7 ＝216×2.7 ＝583.2（千克） 答：这块石料的质量是583.2千克。 【对应练习1】 一个正方体水槽，从里面量得棱长60厘米，往里面倒入198升水，水面离水槽口还有多少厘米？ 【答案】 60厘米分米 （分米） （厘米） 答：水面离水槽口还有5厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式。 【对应练习2】 纸盒厂生产一种正方体纸板箱，它的棱长和为72厘米，做这样一个纸板箱体积是多少立方厘米？ 【答案】 72÷12＝6（厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 答：做这样一个纸板箱体积是216立方厘米。 【对应练习3】 有一个棱长为6分米的正方体铁块，每立方分米铁块的质量为7.5千克，这个铁块重多少千克？ 【答案】 6×6×6×7.5 ＝216×7.5 ＝1620（千克） 答：这个铁块重1620千克。 【考点八】长方体和正方体的体积与棱长扩倍关系。 【方法点拨】 1. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 2. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 【典型例题】 1．（正方体扩倍关系）一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 4 8 2．（长方体扩倍关系）一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的体积扩大( )倍。 【答案】8 【对应练习1】 一个正方体的体积是64立方厘米，如果棱长扩大到原来的2倍，则扩大后的正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】512 【对应练习2】 正方体棱长扩大5倍，它的棱长总和扩大( )倍，表面积扩大( )倍，体积扩大( )倍。 【答案】 5 25 125 【对应练习3】 一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，它的棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 3 9 27 【考点九】无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题）。 【方法点拨】 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 【典型例题】 如图，把一张长方形铁皮的四个角各剪下一个边长是2分米的正方形，按图中的虚线折起来焊接成一个长方体无盖水箱。这个水箱用了多大的铁皮？这个水箱最多可盛水多少升？ 【答案】 1.2米＝12分米 0.9米＝9分米 长：12－2×2 ＝12－4 ＝8（分米） 宽：9－2×2 ＝9－4 ＝5（分米） 高2分米 铁皮面积：8×5＋（8×2＋5×2）×2 ＝40＋（16＋10）×2 ＝40＋26×2 ＝40＋52 ＝92（平方分米） 容积：8×5×2 ＝40×2 ＝80（立方分米） 80立方分米＝80升 答：这个水箱用了92平方分米的铁皮，这个水箱最多可盛水80升。 【对应练习1】 如图所示，在长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角各去掉边长为2厘米的小正方形硬纸板，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的容积是多少立方厘米？ 【答案】 （13－2×2）×（9－2×2）×2 ＝（13－4）×（9－4）×2 ＝9×5×2 ＝90（立方厘米） 答：这个容器的容积是90立方厘米。 【对应练习2】 一块长24厘米，宽18厘米的长方形铁皮，在四个角上剪去边为4厘米的正方形，将它焊成一个无盖的盒子。这个盒子的表面积和容积是多少？ 【答案】 盒子的长是： 24－4×2 ＝24－8 ＝16（厘米） 盒子的宽是： 18－4×2 ＝18－8 ＝10（厘米） 高是4厘米，盒子的表面积是： 24×18－4×4×4 ＝432－64 ＝368（平方厘米） 盒子的体积是： 16×10×4＝640（立方厘米） 答：这个盒子的表面积是368平方厘米，容积是640立方厘米。 【对应练习3】 有一块边长是3分米的正方形铁皮，在它的四个角上分别剪去一个边长5厘米的正方形（如下图所示），再将它焊接成一个无盖的长方体盒子。这个长方体盒子的容积是多少？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】 3分米＝30厘米 （30－5×2）×（30－5×2）×5 ＝（30－10）×（30－10）×5 ＝20×20×5 ＝400×5 ＝2000（立方厘米） 答：这个长方体盒子的容积是2000立方厘米。 【考点十】等积变形问题其一：熔铸问题。 【方法点拨】 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 有一块棱长是80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个长15厘米，宽20厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？ 【答案】 （立方厘米） （厘米） 答：这个长方体的高是厘米。 【对应练习1】 一个棱长是的正方体铁块，熔铸成一个长、宽的长方体铁块，这个长方体铁块高多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】 6×6×6÷（4×3） ＝216÷12 ＝18（cm） 答：这个长方体铁块高18厘米。 【对应练习2】 某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，请问它的高是多少厘米？ 【答案】 10×10×10÷（8×5） ＝1000÷40 ＝25（厘米） 答：这个零件的高是25厘米。 【对应练习3】 一块棱长为6厘米的正方形钢板，锻造成长12厘米，宽5厘米的长方体钢板，这钢板有多厚？（损耗不计） 【答案】 （6×6×6）÷（12×5） ＝216÷60 ＝3.6（厘米） 答：这钢板厚3.6厘米。 【考点十一】等积变形问题其二：倒水问题（液体分装问题）。 【方法点拨】 液体在不同容器间倒装后，体积不变。 【典型例题】 一个正方体玻璃缸，棱长6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为30平方分米，高为10分米的长方体水槽中，水深多少？ 解析： 6×6×6÷30 ＝216÷30 ＝7.2（分米） 答：水深7.2分米。 【对应练习1】 一个棱长是12分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长为18分米，宽为10分米，高为12分米的长方体鱼缸里，水有多深？（鱼缸厚度忽略不计） 解析： 12×12×12÷（18×10） ＝1728÷180 ＝9.6（分米） 答：水深9.6分米。 【对应练习2】 一个棱长是10厘米的正方体容器装满了水，把这些水倒入长25厘米，宽4厘米，高20厘米的长方体容器中，这时的水位是多少厘米？ 【答案】 10×10×10＝1000（立方厘米） 1000÷25÷4＝10（厘米） 答：这时的水位是10厘米。 【对应练习3】 在甲箱中装入水，水深为15厘米，若将这些水倒入乙箱中，水深为多少厘米？      【答案】 ＝150×15 ＝2250（平方厘米） ＝2250÷300 ＝7.5（厘米） 答：水深为7.5厘米。 【考点十二】等积变形问题其三：液体倾斜问题。 【方法点拨】 液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 如下图所示，密闭的容器中装有5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面把容器竖起来，这时水深多少厘米？ 解析： 30×10×5÷（10×15） ＝300×5÷150 ＝1500÷150 ＝10（厘米） 答：这时水深10厘米。 【对应练习1】 有一个长方体容器，长40厘米，宽20厘米，高15厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来放置，这时水深是多少厘米？ 解析： 40×20×6 ＝800×6 ＝4800（立方厘米） 4800÷20÷15 ＝240÷15 ＝16（厘米） 答：竖起来后水深是16厘米。 【对应练习2】 一个长方体的容器（如图），里面的水深8厘米。把这个容器盖紧后竖放，现在的底面长10厘米、宽8厘米，这时里面的水深是多少厘米？ 解析： 20×10×8÷（10×8） ＝200×8÷80 ＝1600÷80 ＝20（厘米） 答：这时里面的水深是20厘米。 【对应练习3】 一个长方体的容器（如图），长是20厘米，宽是10厘米，高是8厘米。 （1）求出它的表面积是多少？ （2）当容器如左图放置时，里面的水深5厘米，再把这个容器盖紧后竖放（如右图），使长10厘米、宽8厘米的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？ 【答案】 （1）（20×10＋20×8＋10×8）×2 ＝（200＋160＋80）×2 ＝440×2 ＝880（平方厘米） 答：它的表面积是880平方厘米。 （2）20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 1000÷（8×10） ＝1000÷80 ＝12.5（厘米） 答：这时里面的水深是12.5厘米。 【考点十三】切拼问题与体积的结合其一：切割问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 【典型例题】 有一个长方体木块长12.5分米，把它切成两个长方体（如图），这时表面积比原来增加了16平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】 （立方分米） 答：原来长方体的体积是100立方分米。 【对应练习1】 把下面这个长15分米的长方体，如图切成三个长方体后，表面积比原来的长方体多了24平方分米，原来这个长方体的体积是多少？ 【答案】 24÷4＝6（平方分米） 15×6＝90（立方分米） 答：原来这个长方体的体积是90立方分米。 【对应练习2】 一个长方体高13厘米，如下图，把它切成两个小长方体，表面积增加了20平方厘米，求原来长方体的体积。 【答案】 20÷2＝10（平方厘米） 10×13＝130（立方厘米） 答：原来长方体的体积是130立方厘米。 【对应练习3】 一个长方体，左右两个面是边长为3分米的正方形，按下图所示切成4块后，表面积增加了138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 【答案】 增加的左右两个面的面积： 3×3×2＝18（平方分米） 长方体的底面积： （138－18）÷2 ＝120÷2 ＝60（平方分米） 原长方体的体积： 60×3＝180（立方分米） 答：原长方体的体积是180立方分米。 【考点十四】切拼问题与体积的结合其二：拼接问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 用4个完全一样的小正方体积木拼成一个长方体（如下图所示），表面积减少了32平方厘米，每个小正方体的体积是多少？拼成的这个长方体的底面积是多少？ 【答案】 32÷8＝4（平方厘米） 因为2×2＝4（平方厘米） 所以小正方体的棱长是2厘米。 2×2×2＝8（立方厘米） （2＋2）×（2＋2） ＝4×4 ＝16（平方厘米） 答：每个小正方体的体积是8立方厘米，拼成的这个长方体的底面积是16平方厘米。 【对应练习1】 把两个棱长为1.5分米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的体积、表面积分别是多少？ 【答案】 1.5×2＝3（分米） 3×1.5×1.5 ＝4.5×1.5 ＝6.75（立方分米） （3×1.5＋3×1.5＋1.5×1.5）×2 ＝（4.5＋4.5＋2.25）×2 ＝11.25×2 ＝22.5（平方分米） 答：这个长方体的体积是6.75立方分米，表面积是22.5平方分米。 【对应练习2】 把2个长、宽、高分别是10厘米、8厘米、6厘米的长方体，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 【答案】 （10×8＋10×6＋8×6）×2×2－10×8×2 ＝（80＋60＋48）×4－160 ＝188×4－160 ＝752－160 ＝592（平方厘米） 10×8×6×2＝960（立方厘米） 答：这个长方体的表面积是592平方厘米，体积是960立方厘米。 【考点十五】切拼问题与体积的结合其三：高的变化问题。 【方法点拨】 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 【典型例题】 1. 一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体。体积增加了多少立方厘米？ 解析： 10×10×10－10×10×（10－4） ＝1000－100×6 ＝1000－600 ＝400（立方厘米） 答：体积增加了400立方厘米。 2. 一个长方体，如果高减少3厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 解析： 84÷4÷3 ＝21÷3 ＝7（厘米） 7＋3＝10（厘米） 7×7×10 ＝49×10 ＝490（立方厘米） 答：原长方体的体积是490立方厘米。 【对应练习1】 一个正方体的高增加了3厘米，得到一个新的长方体，这个长方体的表面积比原正方体的表面积增加了72平方厘米。新长方体的体积是多少？ 解析： 72÷3＝24（厘米） 24÷4＝6（厘米） 6＋3＝9（厘米） 6×6×9＝324（立方厘米） 答：新长方体的体积是324立方厘米。 【对应练习2】 一个长方体，如果高增加3厘米，那么就变成一个正方体。这时表面积比原来增加84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 解析： 根据分析得，84÷4＝21（平方厘米） 21÷3＝7（厘米） 7－3＝4（厘米） 7×7×4＝196（立方厘米） 答：原来长方体的体积是196立方厘米。 【考点十六】排水法求不规则物体体积其一：求体积。 【方法点拨】 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【典型例题】 贵州贵定盘江酥李味甜汁多、酥脆爽口，深受大家欢迎。为测量一个酥李的体积，小丽和爸爸拿了5个差不多大的酥李做了如下实验： ①测量出一个长方体容器内的长是25厘米，宽是20厘米。 ②测量出长方体容器内的高是20厘米。 ③在容器内注入一定量的水，量出水面高度是8厘米。 ④将5个酥李完全浸没在水中（水未溢出），量出水面高度是8.5厘米。 （1）要求平均每个酥李的体积，上面的信息必须用到（     ）。（填序号） （2）根据选出的信息，求出平均每个酥李的体积是多少立方厘米。 【答案】 （1）要求平均每个酥李的体积，上面的信息必须用到①③④。 （2）25×20×（8.5－8） ＝500×0.5 ＝250（立方厘米） 250÷5＝50（立方厘米） 答：平均每个酥李的体积是50立方厘米。 【对应练习1】 想办法算一算这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】 （立方厘米） 答：这块石头的体积是288立方厘米。 【对应练习2】 下面是一些能沉到水底的小正方体，怎样用这些小正方体测量一块不规则石块的体积？ 【答案】 把这块石块放入水中，记录放入石块后水的高度；从容器中拿出石块，再向容器中依次放入小正方体，当水的高度和放入石块的高度相等时停止，这时放的小正方体的体积等于石块的体积。每个小正方体的体积是1立方厘米，则水中有几个小正方体，这块不规则石块的体积就是几立方厘米。 【对应练习3】 数学课上，小华要测量一块不规则石块的体积，他将石块放入盛有水的长方体容器里，根据如图中的信息，石块的体积是多少立方厘米？ 【答案】 10×8×7.5－10×8×5.3 ＝10×8×（7.5－5.3） ＝80×2.2 ＝176（立方厘米） 答：石块的体积是176立方厘米。 【考点十七】排水法求不规则物体体积其二：求水深。 【方法点拨】 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 【典型例题】 一个正方体容器，从里面量棱长4分米，里面注有水，水深3分米。如果把一块棱长2分米的正方体铁块放入水中，水面会上升多少分米？ 【答案】 高度： （分米） 答：水面会上升0.5分米。 【对应练习1】 在一个长为8分米、宽5分米、深4分米的长方体水箱里，放入一块体积为48立方分米的铁块完全浸没后，水面会上升多少分米？ 【答案】 48÷（8×5） ＝48÷40 ＝1.2（分米） 答：水面会上升1.2分米。 【对应练习2】 一个长方体容器，长为10分米，宽为5分米，高为12分米，现在水深6分米，当把一个棱长为2分米的小正方体铁块完全浸没在水中后（水未溢出），水深应该是多少分米？ 【答案】 2×2×2÷（10×5） ＝4×2÷50 ＝8÷50 ＝0.16（分米） 6＋0.16＝6.16（分米） 答：水深应该是6.16分米。 【对应练习3】 在一个棱长为5dm的正方体容器中，放入一个长4dm、宽2dm、高2.5dm的长方体铁块（完全浸没），此时水深3.3dm。如果将铁块从容器中取出，水面会下降多少分米？ 【答案】 4×2×2.5＝20（立方分米） 20÷5÷5＝0.8（分米） 答：水面会下降0.8分米。 【考点十八】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题。 【方法点拨】 物体完全浸没在水中，如果物体的体积超过空白部分的体积，就会溢出，求溢出部分的体积需要用物体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 科学实验课上，乐乐先往一个棱长为2分米的正方体玻璃容器中倒入7升的水，再往容器中放入一块长15厘米、宽10厘米，高8厘米的铁块。请问。放入铁块后，玻璃容器里的水会溢出吗？如果会，溢出的水有多少升？ 解析： 2×2×2＝8（立方分米） 7升＝7立方分米 15×10×8 ＝150×8 ＝1200（立方厘米） 1200立方厘米＝1.2立方分米 7＋1.2＝8.2（立方分米） 8.2立方分米＞8立方分米 8.2－8＝0.2（立方分米） 0.2立方分米＝0.2升 答：玻璃容器里的水会溢出，溢出的水有0.2升。 【对应练习1】 一个长方体的玻璃水箱，长9分米，宽4分米，高5分米，水深3分米。如果放入一个棱长4分米的正方体铁块，水箱里的水会溢出来吗？为什么？ 解析： 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 9×4×（5－3） ＝36×2 ＝72（立方分米） 64＜72 答：水箱里的水不会溢出来，因为铁块的体积小于无水部分的体积。 【对应练习2】 一个长方体玻璃缸（如图），水深6分米。如果投入一块边长5分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？ 解析： 5×5×5－9×6×（8－6） ＝25×5－54×2 ＝125－108 ＝17（立方分米） ＝17（升） 答：缸里的水会溢出17升。 【对应练习3】 一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽7分米，高6分米，水深5.5分米。如果投入一块棱长为4分米的正方形铁块，缸里的水溢出多少升？ 解析： 4×4×4－8×7×（6－5.5） ＝64－56×0.5 ＝64－28 ＝36（立方分米） 36立方分米＝36升 答：缸里的水溢出36升。 【考点十九】不规则及组合立体图形的体积。 【方法点拨】 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 工程队要浇筑一个建筑构件（如图），这个建筑构件的体积是多少？ 解析： 如图所示： 6×10×2＋2×（4－2）×10 ＝60×2＋2×2×10 ＝120＋40 ＝160（立方米） 答：这个建筑构件的体积是160立方米。 【对应练习1】 如图所示，一个长方体物体的底面是正方形，中间是空心的正方形。求这个物体的体积。（请写出主要过程） 解析： 10×10×20－5×5×20 ＝100×20－25×20 ＝2000－500 ＝1500（cm3） 答：这个物体的体积是1500cm3。 【对应练习2】 计算下面几何体的体积。 解析： 2×2×2＋8×2×5 ＝8＋80 ＝88（cm3） 【对应练习3】 如图，在棱长是8dm的正方体的上面挖去一个棱长4dm的正方体，求挖去以后图形的表面积和体积。 解析： 表面积：4×4×4+8×8×6=448（平方分米） 体积：8×8×8-4×4×4=448（立方分米） 【对应练习4】 如图，求下面零件的体积。（单位：厘米） 解析：8×12×4-4×4×4 =384-64 =320（立方厘米） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第四单元长方体（二）·体积篇【十九大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第四单元长方体（二）·体积篇 专题内容 本专题以长方体和正方体的体积为主，其中包括体积容积单位的认识、长方体和正方体的体积及生活实际问题、等积变形问题、切拼问题（表面积的变化问题）、排水法求不规则物体的体积、组合立体图形的体积等内容，其中排水法求体积是本专题的重点和难点。 总体评价 讲解建议 本专题考点划分较多，考题综合性较强，部分内容难度较大，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十九个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】体积和容积的概念认识 4 【考点二】体积和容积的单位 5 【考点三】体积和容积单位换算 7 【考点四】长方体的体积 8 【考点五】长方体的体积（容积）与生活实际应用 8 【考点六】正方体的体积 10 【考点七】正方体的体积（容积）与生活实际应用 10 【考点八】长方体和正方体的体积与棱长扩倍关系 11 【考点九】无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题） 12 【考点十】等积变形问题其一：熔铸问题 14 【考点十一】等积变形问题其二：倒水问题（液体分装问题） 15 【考点十二】等积变形问题其三：液体倾斜问题 16 【考点十三】切拼问题与体积的结合其一：切割问题 17 【考点十四】切拼问题与体积的结合其二：拼接问题 19 【考点十五】切拼问题与体积的结合其三：高的变化问题 20 【考点十六】排水法求不规则物体体积其一：求体积 21 【考点十七】排水法求不规则物体体积其二：求水深 23 【考点十八】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题 24 【考点十九】不规则及组合立体图形的体积 25 【第三篇】典型例题篇 【考点一】体积和容积的概念认识。 【方法点拨】 1. 体积。 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积。 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别。 【典型例题1】体积。 物体所占空间的大小叫作物体的( )。 A．体积 B．表面积 C．容积 【对应练习1】 下面现实情境中最适合提出与“体积”有关的问题是( )。 A．给相框装上花边 B．给一块长方形菜地的四周围上篱笆 C．给学校的窗户安玻璃 D．给一个游泳池注水 【对应练习2】 比较甲和乙所占空间的大小，发现甲所占的空间( )乙所占的空间。 A．大于 B．小于 C．等于 【典型例题2】容积。 计算一个水箱能装多少升水，是求这个水箱的( )。 A．体积 B．容积 C．表面积 【对应练习1】 一瓶饮料的净含量是250mL，这里的“250mL”指的是( )。 A．饮料瓶的容积 B．饮料瓶的体积 C．饮料的体积 【对应练习2】 一个水池能装水120m3，我们就说这个水池的( )120m3。 A．表面积 B．容积 C．体积 D．重量 【考点二】体积和容积的单位。 【方法点拨】 1. 体积单位。 （1）立方米（m3）。 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）。 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）。 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位。 （1）升（L）。 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 【典型例题】 1．（体积单位）在括号里填上适当的单位。 一个游泳池能蓄水约2500( )； 一个土豆的体积约50( )。 2．（容积单位）饺子有“更岁交子”的意思，因此人们过春节有吃饺子的习俗。一般煮一锅饺子需要水约4( )，吃1个饺子需要醋调料约3( )。（填合适的容积单位） 【对应练习1】 在括号里填上适当的计量单位。 一包A4复印纸的体积约是3.1( )； 一个集装箱的体积约是26( )； 一个茶杯的容积是100( )。 【对应练习2】 在下面的括号里填上合适的单位。 (1)一本数学书的体积约为300( )。 (2)一间教室所占空间的大小约为140( )。 (3)一个水杯的容积约为0.35( )。 【对应练习3】 填上合适的单位名称。 (1)一桶纯净饮用水大约18( )。 (2)一袋草莓酸牛奶约220( )。 (3)一个游泳池的容积是1200( )。 (4)一块橡皮的体积大约是8( )。 【考点三】体积和容积单位换算。 【方法点拨】 1. 体积单位间的进率。 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 2. 容积单位间的进率。 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 3. 体积与容积单位间的换算。 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 4. 单位换算。 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 【典型例题】 在括号里填上合适的数。 40dm3＝( )cm3        850L＝( )m3 6400mL＝( )L        0.26dm3＝( )L＝( )mL 【对应练习1】 在括号里填上合适的数。 950毫升＝( )立方分米    24.07立方米＝( )立方米( )立方分米 【对应练习2】 在括号里填上适当的数。 ＝( )L             ＝( ) 1250mL＝( )          680mL＝( )L 【对应练习3】 在括号里填上适当的数。 4600cm3＝( )dm3             30L＝( )mL 5.7m3＝( )m3( )dm3        42.07dm3＝( )L＝( )mL 【考点四】长方体的体积。 【方法点拨】 1. 长方体的体积计算公式。 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高。 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 【典型例题】 一个长方体的长是8cm，宽是5cm，高是4cm，这个长方体的棱长总和是( )cm，表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【对应练习1】 一个长方体的长是8cm，宽是5cm，高是2cm，这个长方体的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【对应练习2】 一个长方体的长是6.8厘米，宽是5厘米，高是4厘米，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【对应练习3】 一个长方体的底面是周长20cm的正方形，高3cm，这个长方体的的表面积是( )，体积是( )。 【考点五】长方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 【典型例题】 1．如图所示，用混凝土浇筑一个无盖的长方体水槽，从外面量，长10分米、宽8分米、高4分米，混凝土厚1分米，根据以上信息计算出这个水槽的容积。 2．杭州亚运会跳水比赛在杭州奥体中心游泳馆举行。杭州奥体中心游泳馆位于杭州市萧山区，与杭州奥体中心体育馆称“化蝶”双馆。在杭州亚运会上，中国跳水“梦之队”在这里包揽了全部十枚金牌。工作人员现在给一个长50米，宽30米的长方体游泳池注水，注水速度是每小时200立方米。要使水深达到1.8米。需要多长时间？ 【对应练习1】 学校运动场有一个长6米、宽4米、深0.5米的长方体沙坑。 （1）工人把7.2立方米的黄沙铺在沙坑里，可以铺多厚？ （2）如果每立方米沙子180元，这个沙坑填满沙子，需要多少元？ （3）请提出一个数学问题，并解答。 【对应练习2】 给一个新修的长55米、宽24米的长方体水池注水，注水速度为每小时200立方米，要注入深1.5米的水大约需要多长时间？ 【对应练习3】 一个长方体油箱，从里面量长0.8m，宽0.24m，深0.5m，这个油箱能装油多少升？如果把这些油分装在500mL的瓶子里，能装满多少瓶？ 【考点六】正方体的体积。 【方法点拨】 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³。 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 【典型例题】 一个正方体的棱长是6厘米，它的表面积是( )，体积是( )。 【对应练习1】 一个正方体铁块，它的棱长是2dm，它的棱长总和是( )dm，它的表面积是( )dm2，它的体积是( )dm3，它的占地面积是( )dm2。 【对应练习2】 一个正方体表面积是384平方米，它的棱长是( )米，体积是( )立方米。 【对应练习3】 一个正方体的棱长总和是4.8m，它的表面积是( )m2，体积是( )dm3。 【考点七】正方体的体积（容积）与生活实际应用。 【方法点拨】 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³。 【典型例题】 一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？ 【对应练习1】 一个正方体水槽，从里面量得棱长60厘米，往里面倒入198升水，水面离水槽口还有多少厘米？ 【对应练习2】 纸盒厂生产一种正方体纸板箱，它的棱长和为72厘米，做这样一个纸板箱体积是多少立方厘米？ 【对应练习3】 有一个棱长为6分米的正方体铁块，每立方分米铁块的质量为7.5千克，这个铁块重多少千克？ 【考点八】长方体和正方体的体积与棱长扩倍关系。 【方法点拨】 1. 正方体的体积与棱长扩倍关系。 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 2. 长方体的体积与棱长扩倍关系。 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 【典型例题】 1．（正方体扩倍关系）一个正方体棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 2．（长方体扩倍关系）一个长方体的长、宽、高都扩大2倍，它的体积扩大( )倍。 【对应练习1】 一个正方体的体积是64立方厘米，如果棱长扩大到原来的2倍，则扩大后的正方体的体积是( )立方厘米。 【对应练习2】 正方体棱长扩大5倍，它的棱长总和扩大( )倍，表面积扩大( )倍，体积扩大( )倍。 【对应练习3】 一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的3倍，它的棱长总和扩大到原来的( )倍，表面积扩大原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【考点九】无盖长方体容积问题（剪角折叠求体积问题）。 【方法点拨】 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 【典型例题】 如图，把一张长方形铁皮的四个角各剪下一个边长是2分米的正方形，按图中的虚线折起来焊接成一个长方体无盖水箱。这个水箱用了多大的铁皮？这个水箱最多可盛水多少升？ 【对应练习1】 如图所示，在长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角各去掉边长为2厘米的小正方形硬纸板，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的容积是多少立方厘米？ 【对应练习2】 一块长24厘米，宽18厘米的长方形铁皮，在四个角上剪去边为4厘米的正方形，将它焊成一个无盖的盒子。这个盒子的表面积和容积是多少？ 【对应练习3】 有一块边长是3分米的正方形铁皮，在它的四个角上分别剪去一个边长5厘米的正方形（如下图所示），再将它焊接成一个无盖的长方体盒子。这个长方体盒子的容积是多少？（铁皮的厚度忽略不计） 【考点十】等积变形问题其一：熔铸问题。 【方法点拨】 1. 等积变形问题。 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 有一块棱长是80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个长15厘米，宽20厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？ 【对应练习1】 一个棱长是的正方体铁块，熔铸成一个长、宽的长方体铁块，这个长方体铁块高多少厘米？（损耗忽略不计） 【对应练习2】 某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的长是8厘米，宽是5厘米，请问它的高是多少厘米？ 【对应练习3】 一块棱长为6厘米的正方形钢板，锻造成长12厘米，宽5厘米的长方体钢板，这钢板有多厚？（损耗不计） 【考点十一】等积变形问题其二：倒水问题（液体分装问题）。 【方法点拨】 液体在不同容器间倒装后，体积不变。 【典型例题】 一个正方体玻璃缸，棱长6分米，用它装满水，再把水全部倒入一个底面积为30平方分米，高为10分米的长方体水槽中，水深多少？ 【对应练习1】 一个棱长是12分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长为18分米，宽为10分米，高为12分米的长方体鱼缸里，水有多深？（鱼缸厚度忽略不计） 【对应练习2】 一个棱长是10厘米的正方体容器装满了水，把这些水倒入长25厘米，宽4厘米，高20厘米的长方体容器中，这时的水位是多少厘米？ 【对应练习3】 在甲箱中装入水，水深为15厘米，若将这些水倒入乙箱中，水深为多少厘米？      【考点十二】等积变形问题其三：液体倾斜问题。 【方法点拨】 液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 【典型例题】 如下图所示，密闭的容器中装有5厘米深的水。如果以这个容器的右侧面为底面把容器竖起来，这时水深多少厘米？ 【对应练习1】 有一个长方体容器，长40厘米，宽20厘米，高15厘米，里面的水深6厘米。如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来放置，这时水深是多少厘米？ 【对应练习2】 一个长方体的容器（如图），里面的水深8厘米。把这个容器盖紧后竖放，现在的底面长10厘米、宽8厘米，这时里面的水深是多少厘米？ 【对应练习3】 一个长方体的容器（如图），长是20厘米，宽是10厘米，高是8厘米。 （1）求出它的表面积是多少？ （2）当容器如左图放置时，里面的水深5厘米，再把这个容器盖紧后竖放（如右图），使长10厘米、宽8厘米的面朝下，这时里面的水深是多少厘米？ 【考点十三】切拼问题与体积的结合其一：切割问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 【典型例题】 有一个长方体木块长12.5分米，把它切成两个长方体（如图），这时表面积比原来增加了16平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？ 【对应练习1】 把下面这个长15分米的长方体，如图切成三个长方体后，表面积比原来的长方体多了24平方分米，原来这个长方体的体积是多少？ 【对应练习2】 一个长方体高13厘米，如下图，把它切成两个小长方体，表面积增加了20平方厘米，求原来长方体的体积。 【对应练习3】 一个长方体，左右两个面是边长为3分米的正方形，按下图所示切成4块后，表面积增加了138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 【考点十四】切拼问题与体积的结合其二：拼接问题。 【方法点拨】 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 用4个完全一样的小正方体积木拼成一个长方体（如下图所示），表面积减少了32平方厘米，每个小正方体的体积是多少？拼成的这个长方体的底面积是多少？ 【对应练习1】 把两个棱长为1.5分米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的体积、表面积分别是多少？ 【对应练习2】 把2个长、宽、高分别是10厘米、8厘米、6厘米的长方体，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 【考点十五】切拼问题与体积的结合其三：高的变化问题。 【方法点拨】 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 【典型例题】 1. 一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成了棱长是10厘米的正方体。体积增加了多少立方厘米？ 2. 一个长方体，如果高减少3厘米就成了一个正方体，表面积比原来减少84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【对应练习1】 一个正方体的高增加了3厘米，得到一个新的长方体，这个长方体的表面积比原正方体的表面积增加了72平方厘米。新长方体的体积是多少？ 【对应练习2】 一个长方体，如果高增加3厘米，那么就变成一个正方体。这时表面积比原来增加84平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【考点十六】排水法求不规则物体体积其一：求体积。 【方法点拨】 1. 排水法求不规则物体的体积。 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤。 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【典型例题】 贵州贵定盘江酥李味甜汁多、酥脆爽口，深受大家欢迎。为测量一个酥李的体积，小丽和爸爸拿了5个差不多大的酥李做了如下实验： ①测量出一个长方体容器内的长是25厘米，宽是20厘米。 ②测量出长方体容器内的高是20厘米。 ③在容器内注入一定量的水，量出水面高度是8厘米。 ④将5个酥李完全浸没在水中（水未溢出），量出水面高度是8.5厘米。 （1）要求平均每个酥李的体积，上面的信息必须用到（     ）。（填序号） （2）根据选出的信息，求出平均每个酥李的体积是多少立方厘米。 【对应练习1】 想办法算一算这块石头的体积是多少立方厘米？ 【对应练习2】 下面是一些能沉到水底的小正方体，怎样用这些小正方体测量一块不规则石块的体积？ 【对应练习3】 数学课上，小华要测量一块不规则石块的体积，他将石块放入盛有水的长方体容器里，根据如图中的信息，石块的体积是多少立方厘米？ 【考点十七】排水法求不规则物体体积其二：求水深。 【方法点拨】 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 【典型例题】 一个正方体容器，从里面量棱长4分米，里面注有水，水深3分米。如果把一块棱长2分米的正方体铁块放入水中，水面会上升多少分米？ 【对应练习1】 在一个长为8分米、宽5分米、深4分米的长方体水箱里，放入一块体积为48立方分米的铁块完全浸没后，水面会上升多少分米？ 【对应练习2】 一个长方体容器，长为10分米，宽为5分米，高为12分米，现在水深6分米，当把一个棱长为2分米的小正方体铁块完全浸没在水中后（水未溢出），水深应该是多少分米？ 【对应练习3】 在一个棱长为5dm的正方体容器中，放入一个长4dm、宽2dm、高2.5dm的长方体铁块（完全浸没），此时水深3.3dm。如果将铁块从容器中取出，水面会下降多少分米？ 【考点十八】排水法求不规则物体体积其三：溢水问题。 【方法点拨】 物体完全浸没在水中，如果物体的体积超过空白部分的体积，就会溢出，求溢出部分的体积需要用物体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 科学实验课上，乐乐先往一个棱长为2分米的正方体玻璃容器中倒入7升的水，再往容器中放入一块长15厘米、宽10厘米，高8厘米的铁块。请问。放入铁块后，玻璃容器里的水会溢出吗？如果会，溢出的水有多少升？ 【对应练习1】 一个长方体的玻璃水箱，长9分米，宽4分米，高5分米，水深3分米。如果放入一个棱长4分米的正方体铁块，水箱里的水会溢出来吗？为什么？ 【对应练习2】 一个长方体玻璃缸（如图），水深6分米。如果投入一块边长5分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？ 【对应练习3】 一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽7分米，高6分米，水深5.5分米。如果投入一块棱长为4分米的正方形铁块，缸里的水溢出多少升？ 【考点十九】不规则及组合立体图形的体积。 【方法点拨】 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 【典型例题】 工程队要浇筑一个建筑构件（如图），这个建筑构件的体积是多少？ 【对应练习1】 如图所示，一个长方体物体的底面是正方形，中间是空心的正方形。求这个物体的体积。（请写出主要过程） 【对应练习2】 计算下面几何体的体积。 【对应练习3】 如图，在棱长是8dm的正方体的上面挖去一个棱长4dm的正方体，求挖去以后图形的表面积和体积。 【对应练习4】 如图，求下面零件的体积。（单位：厘米） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$