第四单元专项练习09：六种综合性问题之注水运动问题-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）北师大版

第 1 页 共 7 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第四单元专项练习 09：六种综合性问题之注水运动问题 1．一个无水观赏鱼缸（如图），里面放有一块高为 38厘米，体积为 3900立方 厘米的假石山。如果水管以每分 12升的流量向鱼缸内注水，那么至少要多长时 间才能将假石山完全淹没？ 【答案】 42×25×38 ＝1050×38 ＝39900（立方厘米） 39900－3900＝36000（立方厘米） 36000立方厘米＝36升 36÷12＝3（分钟） 答：至少要 3分钟才能将假石山完全淹没。 2．如图，一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长 50厘米、宽 30厘米、高 25厘米。 现将一块高 14厘米，体积为 1000立方厘米的假石山放入缸内。如果水龙头以每 分 5000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假石山完全淹 没？ 【答案】 第 2 页 共 7 页 50×30×14 ＝1500×14 ＝21000（立方厘米） 21000－1000＝20000（立方厘米） 20000立方厘米＝20000毫升 20000÷5000＝4（分钟） 答：至少需要 4分钟才能将假石山完全淹没。 3．如图是一个无水的长方体玻璃缸，从里面量长 48厘米、宽 25厘米、高 30 厘米。有一个水龙头从 8：00开始向玻璃缸内注水，水的流速为 8000立方厘米/ 分。8：03关闭水龙头，停止注水。接着在玻璃缸内放入一个高为 16厘米的长 方体铁块，全部浸没于水中，玻璃缸内水面高度上升了 4厘米。 （1）8：03时玻璃缸内水面高度为多少厘米？ （2）长方体铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 （1）玻璃缸的底面积： 8：03－8：00＝3（分钟） 48×25＝1200（平方厘米） 8000×3÷1200 ＝24000÷1200 ＝20（厘米） 答：8：03时玻璃缸内水面高度为 20厘米。 （2）1200×4÷16 ＝4800÷16 ＝300（平方厘米） 答：长方体铁块的底面积是 300平方厘米。 第 3 页 共 7 页 4．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长 6分米，宽 5分米，高 8分米；乙容器 长 5分米、宽 4分米，高 15分米。 （1）向甲容器中注水时，容器侧面可以观测到出现两次正方形，请问第一次出 现正方形时的注水高度是（ ）分米。 （2）当甲容器中第二次出现正方形时，将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使 得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？（不考虑容器 壁的厚度） 【答案】 （1）第一次出现正方形时的注水高度是 5分米。 （2）6×5×6＝180（立方分米） 180÷（6×5＋5×4） ＝180÷50 ＝3.6（分米） 5×4×3.6＝72（立方分米） 答：需要从甲容器中倒出 72立方分米水。 5．一个无水观赏鱼缸（如下图）中放有一块高为 28厘米，体积为 4200立方厘 米的假山石。如果这时自来水管以每分钟 7立方分米的流量向鱼缸内注水，那么 你认为至少需要多长时间才能将假山石完成淹没？ 【答案】 第 4 页 共 7 页 7立方分米＝7000立方厘米 （45×20×28－4200）÷7000 ＝（25200－4200）÷7000 ＝21000÷7000 ＝3（分钟） 答：至少需要 3分钟才能将假山石完成淹没。 6．如下图，一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为 3分米，体积为 3立方分米的 假山石。如果水管以每分钟 9立方分米的流量向鱼缸中注水，至少需要多少分钟 才能将假山石完全淹没？ 【答案】 （5×2×3－3）÷9 ＝（30－3）÷9 ＝27÷9 ＝3（分钟） 答：至少需要 3分钟才能将假山石完全淹没。 7．如图，一个无水的长方体观赏鱼缸中放着一块高为 2分米，体积为 2立方分 米的假山石。如果水管以每分钟 9立方分米的流量向鱼缸中注水，至少需要多少 分钟才能将假山石刚好淹没？ 第 5 页 共 7 页 【答案】 （5×2×2－2）÷9 ＝（20－2）÷9 ＝18÷9 ＝2（分钟） 答：至少需要 2分钟才能将假山石刚好淹没。 8．如图 1，在底面积为 100cm2、高为 20cm的长方体水槽内放入一个长方体烧 杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满 水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置 始终不改变．水槽中水面上升的高度 h（厘米）与注水时间 t（秒）之间的关系 如图 2所示． （1）图 2中点 表示烧杯中刚好注满水，点 表示水槽中水面恰与烧杯 中水面平齐； （2）求烧杯的底面积； （3）求注水的速度及注满水槽所用的时 间． 【答案】 试题分析：（1）根据图示 2的折线趋势可知：点 A表示烧杯中刚好注满水，点 B表示水槽内的水面高度恰好与烧杯中水面平齐； （2）设烧杯的底面积为 Scm2、高为 h1cm，注水速度每秒为 vcm3，注满水槽所 用时间为 t0．如图可知：当注水 18秒时，烧杯刚好注满；当注水 90秒时，水槽 内的水面高度恰好是 h1cm，根据 100h1=90× Sh1，求出 S即可． （3）由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是 18：90=1：5，烧杯的体积： 100×10÷5=200（cm3），注水速度：200÷18= （立方厘米/秒）；注满水槽所 第 6 页 共 7 页 用时间：100×20÷ ﹣=180（秒）． 解：（1）点 A表示烧杯中刚好注满水，点 B表示水槽内的水面高度恰好与烧杯 中水面平齐； （2）设烧杯的底面积为 Scm2、高为 h1cm，注水速度为每秒 vcm3，注满水槽所 用时间为 t0秒，由图 2知，当注水 18s时，烧杯刚好注满；当注水 90s时，水槽 内的水面高度恰好是 h1cm（即烧杯高度）．于是，Sh1=18v，100h1=90v 则有 100h1=90× Sh1，即 S=20． 所以，烧杯的底面积为 20cm2； 答：烧杯的底面积是 20平方厘米 （3）由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是 18：90=1：5，烧杯的体积： 100×10÷5=200（cm3）， 注水速度：200÷18= （立方厘米/秒）； 注满水槽所用时间：100×20÷ =180（秒）； 答：注水的速度是 立方厘米/秒，注满水槽所用的时间是 180秒． 9．如图所示，有一个无水的长方体水槽，一个水龙头从 8：00开始向水槽内注 水，水流速度为 8立方分米每分，8：04停止注水。接着在水槽内放入高 6厘米 的长方体铁块，使其全部浸没在水中。从开始注水到铁块全部浸没在水中，水槽 的水面高度变化情况如图中所示。 第 7 页 共 7 页 （1）8：04时，长方体水槽内水面高度是多少厘米？ （2）这个长方体铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 （1） 流水时间： 8时 4分－8时＝4分 水的体积： 4×8＝32（立方分米）＝32000（立方厘米） 水面高度： 32000÷（50×32） ＝32000÷1600 ＝20（厘米） 答：8：04时，长方体水槽内水面高度是 20厘米。 （2） 水和铁块总体积： 50×32×23 ＝1600×23 ＝36800（立方厘米） 铁块的体积： 36800－32000＝4800（立方厘米） 铁块底面积： 4800÷6＝800（平方厘米） 答：这个长方体铁块的底面积是 800平方厘米。 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第四单元专项练习09：六种综合性问题之注水运动问题 1．一个无水观赏鱼缸（如图），里面放有一块高为38厘米，体积为3900立方厘米的假石山。如果水管以每分12升的流量向鱼缸内注水，那么至少要多长时间才能将假石山完全淹没？ 【答案】 42×25×38 ＝1050×38 ＝39900（立方厘米） 39900－3900＝36000（立方厘米） 36000立方厘米＝36升 36÷12＝3（分钟） 答：至少要3分钟才能将假石山完全淹没。 2．如图，一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长50厘米、宽30厘米、高25厘米。 现将一块高14厘米，体积为1000立方厘米的假石山放入缸内。如果水龙头以每分5000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假石山完全淹没？ 【答案】 50×30×14 ＝1500×14 ＝21000（立方厘米） 21000－1000＝20000（立方厘米） 20000立方厘米＝20000毫升 20000÷5000＝4（分钟） 答：至少需要4分钟才能将假石山完全淹没。 3．如图是一个无水的长方体玻璃缸，从里面量长48厘米、宽25厘米、高30厘米。有一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流速为8000立方厘米/分。8：03关闭水龙头，停止注水。接着在玻璃缸内放入一个高为16厘米的长方体铁块，全部浸没于水中，玻璃缸内水面高度上升了4厘米。 （1）8：03时玻璃缸内水面高度为多少厘米？ （2）长方体铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 （1）玻璃缸的底面积： 8：03－8：00＝3（分钟） 48×25＝1200（平方厘米） 8000×3÷1200 ＝24000÷1200 ＝20（厘米） 答：8：03时玻璃缸内水面高度为20厘米。 （2）1200×4÷16 ＝4800÷16 ＝300（平方厘米） 答：长方体铁块的底面积是300平方厘米。 4．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长6分米，宽5分米，高8分米；乙容器长5分米、宽4分米，高15分米。 （1）向甲容器中注水时，容器侧面可以观测到出现两次正方形，请问第一次出现正方形时的注水高度是（    ）分米。 （2）当甲容器中第二次出现正方形时，将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？（不考虑容器壁的厚度） 【答案】 （1）第一次出现正方形时的注水高度是5分米。 （2）6×5×6＝180（立方分米） 180÷（6×5＋5×4） ＝180÷50 ＝3.6（分米） 5×4×3.6＝72（立方分米） 答：需要从甲容器中倒出72立方分米水。 5．一个无水观赏鱼缸（如下图）中放有一块高为28厘米，体积为4200立方厘米的假山石。如果这时自来水管以每分钟7立方分米的流量向鱼缸内注水，那么你认为至少需要多长时间才能将假山石完成淹没？ 【答案】 7立方分米＝7000立方厘米 （45×20×28－4200）÷7000 ＝（25200－4200）÷7000 ＝21000÷7000 ＝3（分钟） 答：至少需要3分钟才能将假山石完成淹没。 6．如下图，一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为3分米，体积为3立方分米的假山石。如果水管以每分钟9立方分米的流量向鱼缸中注水，至少需要多少分钟才能将假山石完全淹没？    【答案】 （5×2×3－3）÷9 ＝（30－3）÷9 ＝27÷9 ＝3（分钟） 答：至少需要3分钟才能将假山石完全淹没。 7．如图，一个无水的长方体观赏鱼缸中放着一块高为2分米，体积为2立方分米的假山石。如果水管以每分钟9立方分米的流量向鱼缸中注水，至少需要多少分钟才能将假山石刚好淹没？ 【答案】 （5×2×2－2）÷9 ＝（20－2）÷9 ＝18÷9 ＝2（分钟） 答：至少需要2分钟才能将假山石刚好淹没。 8．如图1，在底面积为100cm2、高为20cm的长方体水槽内放入一个长方体烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变．水槽中水面上升的高度h（厘米）与注水时间t（秒）之间的关系如图2所示． （1）图2中点　 　表示烧杯中刚好注满水，点　 　表示水槽中水面恰与烧杯中水面平齐； （2）求烧杯的底面积； （3）求注水的速度及注满水槽所用的时间． 【答案】 试题分析：（1）根据图示2的折线趋势可知：点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽内的水面高度恰好与烧杯中水面平齐； （2）设烧杯的底面积为Scm2、高为h1cm，注水速度每秒为vcm3，注满水槽所用时间为t0．如图可知：当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90秒时，水槽内的水面高度恰好是h1cm，根据100h1=90×Sh1，求出S即可． （3）由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18：90=1：5，烧杯的体积：100×10÷5=200（cm3），注水速度：200÷18=（立方厘米/秒）；注满水槽所用时间：100×20÷﹣=180（秒）． 解：（1）点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽内的水面高度恰好与烧杯中水面平齐； （2）设烧杯的底面积为Scm2、高为h1cm，注水速度为每秒vcm3，注满水槽所用时间为t0秒，由图2知，当注水18s时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是h1cm（即烧杯高度）．于是，Sh1=18v，100h1=90v 则有100h1=90×Sh1，即S=20． 所以，烧杯的底面积为20cm2； 答：烧杯的底面积是20平方厘米 （3）由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18：90=1：5，烧杯的体积：100×10÷5=200（cm3）， 注水速度：200÷18=（立方厘米/秒）； 注满水槽所用时间：100×20÷=180（秒）； 答：注水的速度是立方厘米/秒，注满水槽所用的时间是180秒． 9．如图所示，有一个无水的长方体水槽，一个水龙头从8：00开始向水槽内注水，水流速度为8立方分米每分，8：04停止注水。接着在水槽内放入高6厘米的长方体铁块，使其全部浸没在水中。从开始注水到铁块全部浸没在水中，水槽的水面高度变化情况如图中所示。 （1）8：04时，长方体水槽内水面高度是多少厘米？ （2）这个长方体铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】 （1） 流水时间： 8时4分－8时＝4分 水的体积： 4×8＝32（立方分米）＝32000（立方厘米） 水面高度： 32000÷（50×32） ＝32000÷1600 ＝20（厘米） 答：8：04时，长方体水槽内水面高度是20厘米。 （2） 水和铁块总体积： 50×32×23 ＝1600×23 ＝36800（立方厘米） 铁块的体积： 36800－32000＝4800（立方厘米） 铁块底面积： 4800÷6＝800（平方厘米） 答：这个长方体铁块的底面积是800平方厘米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 9 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第四单元专项练习 09：六种综合性问题之注水运动问题 1．一个无水观赏鱼缸（如图），里面放有一块高为 38厘米，体积为 3900立方 厘米的假石山。如果水管以每分 12升的流量向鱼缸内注水，那么至少要多长时 间才能将假石山完全淹没？ 【答案】3分钟 【分析】根据题意，水要完全淹没假石山，那么水的高度与假山石的高度相等， 根据长方体的体积＝长×宽×高，求出此时水与假山石的体积之和，再减去假山 石的体积，即是实际注入水的体积；最后用水的体积除以注水的速度，即可求出 注水的时间。注意单位的换算：1升＝1000立方厘米。 【详解】42×25×38 ＝1050×38 ＝39900（立方厘米） 39900－3900＝36000（立方厘米） 36000立方厘米＝36升 36÷12＝3（分钟） 答：至少要 3分钟才能将假石山完全淹没。 2．如图，一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长 50厘米、宽 30厘米、高 25厘米。 第 2 页 共 9 页 现将一块高 14厘米，体积为 1000立方厘米的假石山放入缸内。如果水龙头以每 分 5000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假石山完全淹 没？ 【答案】4分钟 【分析】根据题意，要将一块高 14厘米，体积为 1000立方厘米的假石山完全淹 没，那么要向长方体鱼缸内注入 14厘米高的水；根据长方体的体积＝长×宽×高， 求出将假石山完全浸没水和假山石的体积之和，再减去假山石的体积，即是需注 入水的体积；然后根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位； 已知水龙头以每分 5000毫升的流量向鱼缸内注水，用注入水的体积除以水的流 速，即可求出时间。 【详解】50×30×14 ＝1500×14 ＝21000（立方厘米） 21000－1000＝20000（立方厘米） 20000立方厘米＝20000毫升 20000÷5000＝4（分钟） 答：至少需要 4分钟才能将假石山完全淹没。 3．如图是一个无水的长方体玻璃缸，从里面量长 48厘米、宽 25厘米、高 30 厘米。有一个水龙头从 8：00开始向玻璃缸内注水，水的流速为 8000立方厘米/ 分。8：03关闭水龙头，停止注水。接着在玻璃缸内放入一个高为 16厘米的长 方体铁块，全部浸没于水中，玻璃缸内水面高度上升了 4厘米。 （1）8：03时玻璃缸内水面高度为多少厘米？ （2）长方体铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）20厘米； （2）300平方厘米 第 3 页 共 9 页 【分析】（1）用水龙头关闭的时间减去开水龙头的时间，求出注水的时间；根 据“水每分钟的流量×时间＝水的体积”，求出注入水的体积，用水的体积÷容器的 底面积（玻璃缸的长×宽）＝水面的高度；据此解题即可。 （2）铁块的体积＝容器的底面积×水面上升高度，求出铁块的体积；铁块的底面 积＝体积÷高，据此解答。 【详解】（1）玻璃缸的底面积： 8：03－8：00＝3（分钟） 48×25＝1200（平方厘米） 8000×3÷1200 ＝24000÷1200 ＝20（厘米） 答：8：03时玻璃缸内水面高度为 20厘米。 （2）1200×4÷16 ＝4800÷16 ＝300（平方厘米） 答：长方体铁块的底面积是 300平方厘米。 【点睛】熟练长方体体积计算公式，并灵活运用，是解答此题的关键。 4．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长 6分米，宽 5分米，高 8分米；乙容器 长 5分米、宽 4分米，高 15分米。 （1）向甲容器中注水时，容器侧面可以观测到出现两次正方形，请问第一次出 现正方形时的注水高度是（ ）分米。 （2）当甲容器中第二次出现正方形时，将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使 得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？（不考虑容器 壁的厚度） 第 4 页 共 9 页 【答案】（1）5 （2）72立方分米 【分析】（1）当水面高度等于长或宽时，容器侧面可以观测到出现两次正方形， 先出现较小正方形，再出现较大正方形，因此第一次出现正方形时的注水高度等 于容器的宽，据此分析； （2）当甲容器中第二次出现正方形时，水面高度＝容器的长，根据长方体体积 ＝长×宽×高，求出甲容器中第二次出现正方形时水的体积，水的体积÷甲乙两个 容器底面积的和＝两个容器水面高度，再根据长方体体积公式，用乙容器的长× 宽×水面高度，即可求出倒出的水的体积即可。 【详解】（1）第一次出现正方形时的注水高度是 5分米。 （2）6×5×6＝180（立方分米） 180÷（6×5＋5×4） ＝180÷50 ＝3.6（分米） 5×4×3.6＝72（立方分米） 答：需要从甲容器中倒出 72立方分米水。 5．一个无水观赏鱼缸（如下图）中放有一块高为 28厘米，体积为 4200立方厘 米的假山石。如果这时自来水管以每分钟 7立方分米的流量向鱼缸内注水，那么 你认为至少需要多长时间才能将假山石完成淹没？ 【答案】3分钟 【分析】因为一个无水观赏鱼缸中放有一块高为 28厘米，体积为 4200立方厘米 的假石山，且水管以每分钟 7立方分米的流量向鱼缸内注水，所以水需要灌满的 体积＝刚好没过假山的水平水面与底部鱼缸所形成的长方体的体积－假山体积， 所需时间＝水需要灌满的体积÷注水速度，注意单位不同要转换，1立方分米＝ 1000立方厘米，大单位化小单位要乘进率。 第 5 页 共 9 页 【详解】7立方分米＝7000立方厘米 （45×20×28－4200）÷7000 ＝（25200－4200）÷7000 ＝21000÷7000 ＝3（分钟） 答：至少需要 3分钟才能将假山石完成淹没。 【点睛】此题考查对长方体体积的计算，熟练掌握长方体体积公式，找到本题正 确的等量关系合理运用是解题的关键。注意单位不同，需要转换。 6．如下图，一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为 3分米，体积为 3立方分米的 假山石。如果水管以每分钟 9立方分米的流量向鱼缸中注水，至少需要多少分钟 才能将假山石完全淹没？ 【答案】3分钟 【分析】鱼缸中最少注水的高度为假山石的高度，至少需要注入水的体积是长 5 分米、宽 2分米、高 3分米的长方体的体积减去假山石的体积，最后除以水管每 分钟的注水量求出注水时间，据此解答。 【详解】（5×2×3－3）÷9 ＝（30－3）÷9 ＝27÷9 ＝3（分钟） 答：至少需要 3分钟才能将假山石完全淹没。 【点睛】分析题意表示出至少需要注入水的体积是解答题目的关键。 7．如图，一个无水的长方体观赏鱼缸中放着一块高为 2分米，体积为 2立方分 米的假山石。如果水管以每分钟 9立方分米的流量向鱼缸中注水，至少需要多少 第 6 页 共 9 页 分钟才能将假山石刚好淹没？ 【答案】2分钟 【分析】若要使水将假山刚好淹没，此时的水深应为 2分米，根据长方体的体积 公式：V＝abh，据此求出水和假山的体积，然后再减去假山的体积即可求出水 的体积，再用水的体积除以每分钟水管的流量即可求解。 【详解】（5×2×2－2）÷9 ＝（20－2）÷9 ＝18÷9 ＝2（分钟） 答：至少需要 2分钟才能将假山石刚好淹没。 【点睛】本题考查长方体的体积，求出假山和水的总体积是解题的关键。 8．如图 1，在底面积为 100cm2、高为 20cm的长方体水槽内放入一个长方体烧 杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满 水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置 始终不改变．水槽中水面上升的高度 h（厘米）与注水时间 t（秒）之间的关系 如图 2所示． （1）图 2中点 表示烧杯中刚好注满水，点 表示水槽中水面恰与烧杯 中水面平齐； （2）求烧杯的底面积； （3）求注水的速度及注满水槽所用的时 第 7 页 共 9 页 间． 【答案】A，B；20平方厘米； 立方厘米/秒，180秒 【详解】试题分析：（1）根据图示 2的折线趋势可知：点 A表示烧杯中刚好注 满水，点 B表示水槽内的水面高度恰好与烧杯中水面平齐； （2）设烧杯的底面积为 Scm2、高为 h1cm，注水速度每秒为 vcm3，注满水槽所 用时间为 t0．如图可知：当注水 18秒时，烧杯刚好注满；当注水 90秒时，水槽 内的水面高度恰好是 h1cm，根据 100h1=90× Sh1，求出 S即可． （3）由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是 18：90=1：5，烧杯的体积： 100×10÷5=200（cm3），注水速度：200÷18= （立方厘米/秒）；注满水槽所 用时间：100×20÷ ﹣=180（秒）． 解：（1）点 A表示烧杯中刚好注满水，点 B表示水槽内的水面高度恰好与烧杯 中水面平齐； （2）设烧杯的底面积为 Scm2、高为 h1cm，注水速度为每秒 vcm3，注满水槽所 用时间为 t0秒，由图 2知，当注水 18s时，烧杯刚好注满；当注水 90s时，水槽 内的水面高度恰好是 h1cm（即烧杯高度）．于是，Sh1=18v，100h1=90v 则有 100h1=90× Sh1，即 S=20． 所以，烧杯的底面积为 20cm2； 答：烧杯的底面积是 20平方厘米 （3）由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是 18：90=1：5，烧杯的体积： 100×10÷5=200（cm3）， 注水速度：200÷18= （立方厘米/秒）； 注满水槽所用时间：100×20÷ =180（秒）； 第 8 页 共 9 页 答：注水的速度是 立方厘米/秒，注满水槽所用的时间是 180秒． 点评：此题主要考查是如何从折线统计图中获取信息，并根据信息结合图形回答 问题． 9．如图所示，有一个无水的长方体水槽，一个水龙头从 8：00开始向水槽内注 水，水流速度为 8立方分米每分，8：04停止注水。接着在水槽内放入高 6厘米 的长方体铁块，使其全部浸没在水中。从开始注水到铁块全部浸没在水中，水槽 的水面高度变化情况如图中所示。 （1）8：04时，长方体水槽内水面高度是多少厘米？ （2）这个长方体铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）20厘米 （2）800平方厘米 【分析】（1）水的高度＝水的体积÷容器的底面积，用流水的时间乘每分钟水流 的体积求出到 8：04水的体积，再除以容器的底面积即可，注意单位的统一； （2）当水面高度达到 23厘米时，水的体积加上长方体铁块的总体积可以用容器 的底面积乘 23厘米计算出来，用总体积减去水的体积就是铁块的体积；铁块的 底面积＝铁块的体积÷铁块的高度，代入数据计算即可。 【详解】（1） 流水时间： 8时 4分－8时＝4分 第 9 页 共 9 页 水的体积： 4×8＝32（立方分米）＝32000（立方厘米） 水面高度： 32000÷（50×32） ＝32000÷1600 ＝20（厘米） 答：8：04时，长方体水槽内水面高度是 20厘米。 （2） 水和铁块总体积： 50×32×23 ＝1600×23 ＝36800（立方厘米） 铁块的体积： 36800－32000＝4800（立方厘米） 铁块底面积： 4800÷6＝800（平方厘米） 答：这个长方体铁块的底面积是 800平方厘米。 第 1 页 共 5 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第四单元专项练习 09：六种综合性问题之注水运动问题 1．一个无水观赏鱼缸（如图），里面放有一块高为 38厘米，体积为 3900立方 厘米的假石山。如果水管以每分 12升的流量向鱼缸内注水，那么至少要多长时 间才能将假石山完全淹没？ 2．如图，一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长 50厘米、宽 30厘米、高 25厘米。 现将一块高 14厘米，体积为 1000立方厘米的假石山放入缸内。如果水龙头以每 分 5000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假石山完全淹 没？ 第 2 页 共 5 页 3．如图是一个无水的长方体玻璃缸，从里面量长 48厘米、宽 25厘米、高 30 厘米。有一个水龙头从 8：00开始向玻璃缸内注水，水的流速为 8000立方厘米/ 分。8：03关闭水龙头，停止注水。接着在玻璃缸内放入一个高为 16厘米的长 方体铁块，全部浸没于水中，玻璃缸内水面高度上升了 4厘米。 （1）8：03时玻璃缸内水面高度为多少厘米？ （2）长方体铁块的底面积是多少平方厘米？ 4．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长 6分米，宽 5分米，高 8分米；乙容器 长 5分米、宽 4分米，高 15分米。 （1）向甲容器中注水时，容器侧面可以观测到出现两次正方形，请问第一次出 现正方形时的注水高度是（ ）分米。 （2）当甲容器中第二次出现正方形时，将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使 得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？（不考虑容器 壁的厚度） 第 3 页 共 5 页 5．一个无水观赏鱼缸（如下图）中放有一块高为 28厘米，体积为 4200立方厘 米的假山石。如果这时自来水管以每分钟 7立方分米的流量向鱼缸内注水，那么 你认为至少需要多长时间才能将假山石完成淹没？ 6．如下图，一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为 3分米，体积为 3立方分米的 假山石。如果水管以每分钟 9立方分米的流量向鱼缸中注水，至少需要多少分钟 才能将假山石完全淹没？ 7．如图，一个无水的长方体观赏鱼缸中放着一块高为 2分米，体积为 2立方分 米的假山石。如果水管以每分钟 9立方分米的流量向鱼缸中注水，至少需要多少 分钟才能将假山石刚好淹没？ 第 4 页 共 5 页 8．如图 1，在底面积为 100cm2、高为 20cm的长方体水槽内放入一个长方体烧 杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满 水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置 始终不改变．水槽中水面上升的高度 h（厘米）与注水时间 t（秒）之间的关系 如图 2所示． （1）图 2中点 表示烧杯中刚好注满水，点 表示水槽中水面恰与烧杯 中水面平齐； （2）求烧杯的底面积； （3）求注水的速度及注满水槽所用的时 间． 9．如图所示，有一个无水的长方体水槽，一个水龙头从 8：00开始向水槽内注 水，水流速度为 8立方分米每分，8：04停止注水。接着在水槽内放入高 6厘米 的长方体铁块，使其全部浸没在水中。从开始注水到铁块全部浸没在水中，水槽 的水面高度变化情况如图中所示。 第 5 页 共 5 页 （1）8：04时，长方体水槽内水面高度是多少厘米？ （2）这个长方体铁块的底面积是多少平方厘米？ 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第四单元专项练习09：六种综合性问题之注水运动问题 1．一个无水观赏鱼缸（如图），里面放有一块高为38厘米，体积为3900立方厘米的假石山。如果水管以每分12升的流量向鱼缸内注水，那么至少要多长时间才能将假石山完全淹没？ 2．如图，一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长50厘米、宽30厘米、高25厘米。 现将一块高14厘米，体积为1000立方厘米的假石山放入缸内。如果水龙头以每分5000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假石山完全淹没？ 3．如图是一个无水的长方体玻璃缸，从里面量长48厘米、宽25厘米、高30厘米。有一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流速为8000立方厘米/分。8：03关闭水龙头，停止注水。接着在玻璃缸内放入一个高为16厘米的长方体铁块，全部浸没于水中，玻璃缸内水面高度上升了4厘米。 （1）8：03时玻璃缸内水面高度为多少厘米？ （2）长方体铁块的底面积是多少平方厘米？ 4．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长6分米，宽5分米，高8分米；乙容器长5分米、宽4分米，高15分米。 （1）向甲容器中注水时，容器侧面可以观测到出现两次正方形，请问第一次出现正方形时的注水高度是（     ）分米。 （2）当甲容器中第二次出现正方形时，将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？（不考虑容器壁的厚度） 5．一个无水观赏鱼缸（如下图）中放有一块高为28厘米，体积为4200立方厘米的假山石。如果这时自来水管以每分钟7立方分米的流量向鱼缸内注水，那么你认为至少需要多长时间才能将假山石完成淹没？ 6．如下图，一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为3分米，体积为3立方分米的假山石。如果水管以每分钟9立方分米的流量向鱼缸中注水，至少需要多少分钟才能将假山石完全淹没？    7．如图，一个无水的长方体观赏鱼缸中放着一块高为2分米，体积为2立方分米的假山石。如果水管以每分钟9立方分米的流量向鱼缸中注水，至少需要多少分钟才能将假山石刚好淹没？ 8．如图1，在底面积为100cm2、高为20cm的长方体水槽内放入一个长方体烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变．水槽中水面上升的高度h（厘米）与注水时间t（秒）之间的关系如图2所示． （1）图2中点　 　表示烧杯中刚好注满水，点　 　表示水槽中水面恰与烧杯中水面平齐； （2）求烧杯的底面积； （3）求注水的速度及注满水槽所用的时间． 9．如图所示，有一个无水的长方体水槽，一个水龙头从8：00开始向水槽内注水，水流速度为8立方分米每分，8：04停止注水。接着在水槽内放入高6厘米的长方体铁块，使其全部浸没在水中。从开始注水到铁块全部浸没在水中，水槽的水面高度变化情况如图中所示。 （1）8：04时，长方体水槽内水面高度是多少厘米？ （2）这个长方体铁块的底面积是多少平方厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第四单元专项练习09：六种综合性问题之注水运动问题 1．一个无水观赏鱼缸（如图），里面放有一块高为38厘米，体积为3900立方厘米的假石山。如果水管以每分12升的流量向鱼缸内注水，那么至少要多长时间才能将假石山完全淹没？ 【答案】3分钟 【分析】根据题意，水要完全淹没假石山，那么水的高度与假山石的高度相等，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出此时水与假山石的体积之和，再减去假山石的体积，即是实际注入水的体积；最后用水的体积除以注水的速度，即可求出注水的时间。注意单位的换算：1升＝1000立方厘米。 【详解】42×25×38 ＝1050×38 ＝39900（立方厘米） 39900－3900＝36000（立方厘米） 36000立方厘米＝36升 36÷12＝3（分钟） 答：至少要3分钟才能将假石山完全淹没。 2．如图，一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长50厘米、宽30厘米、高25厘米。 现将一块高14厘米，体积为1000立方厘米的假石山放入缸内。如果水龙头以每分5000毫升的流量向鱼缸内注水，那么至少需要多少分钟才能将假石山完全淹没？ 【答案】4分钟 【分析】根据题意，要将一块高14厘米，体积为1000立方厘米的假石山完全淹没，那么要向长方体鱼缸内注入14厘米高的水；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出将假石山完全浸没水和假山石的体积之和，再减去假山石的体积，即是需注入水的体积；然后根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位； 已知水龙头以每分5000毫升的流量向鱼缸内注水，用注入水的体积除以水的流速，即可求出时间。 【详解】50×30×14 ＝1500×14 ＝21000（立方厘米） 21000－1000＝20000（立方厘米） 20000立方厘米＝20000毫升 20000÷5000＝4（分钟） 答：至少需要4分钟才能将假石山完全淹没。 3．如图是一个无水的长方体玻璃缸，从里面量长48厘米、宽25厘米、高30厘米。有一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流速为8000立方厘米/分。8：03关闭水龙头，停止注水。接着在玻璃缸内放入一个高为16厘米的长方体铁块，全部浸没于水中，玻璃缸内水面高度上升了4厘米。 （1）8：03时玻璃缸内水面高度为多少厘米？ （2）长方体铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）20厘米； （2）300平方厘米 【分析】（1）用水龙头关闭的时间减去开水龙头的时间，求出注水的时间；根据“水每分钟的流量×时间＝水的体积”，求出注入水的体积，用水的体积÷容器的底面积（玻璃缸的长×宽）＝水面的高度；据此解题即可。 （2）铁块的体积＝容器的底面积×水面上升高度，求出铁块的体积；铁块的底面积＝体积÷高，据此解答。 【详解】（1）玻璃缸的底面积： 8：03－8：00＝3（分钟） 48×25＝1200（平方厘米） 8000×3÷1200 ＝24000÷1200 ＝20（厘米） 答：8：03时玻璃缸内水面高度为20厘米。 （2）1200×4÷16 ＝4800÷16 ＝300（平方厘米） 答：长方体铁块的底面积是300平方厘米。 【点睛】熟练长方体体积计算公式，并灵活运用，是解答此题的关键。 4．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长6分米，宽5分米，高8分米；乙容器长5分米、宽4分米，高15分米。 （1）向甲容器中注水时，容器侧面可以观测到出现两次正方形，请问第一次出现正方形时的注水高度是（    ）分米。 （2）当甲容器中第二次出现正方形时，将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？（不考虑容器壁的厚度） 【答案】（1）5 （2）72立方分米 【分析】（1）当水面高度等于长或宽时，容器侧面可以观测到出现两次正方形，先出现较小正方形，再出现较大正方形，因此第一次出现正方形时的注水高度等于容器的宽，据此分析； （2）当甲容器中第二次出现正方形时，水面高度＝容器的长，根据长方体体积＝长×宽×高，求出甲容器中第二次出现正方形时水的体积，水的体积÷甲乙两个容器底面积的和＝两个容器水面高度，再根据长方体体积公式，用乙容器的长×宽×水面高度，即可求出倒出的水的体积即可。 【详解】（1）第一次出现正方形时的注水高度是5分米。 （2）6×5×6＝180（立方分米） 180÷（6×5＋5×4） ＝180÷50 ＝3.6（分米） 5×4×3.6＝72（立方分米） 答：需要从甲容器中倒出72立方分米水。 5．一个无水观赏鱼缸（如下图）中放有一块高为28厘米，体积为4200立方厘米的假山石。如果这时自来水管以每分钟7立方分米的流量向鱼缸内注水，那么你认为至少需要多长时间才能将假山石完成淹没？ 【答案】3分钟 【分析】因为一个无水观赏鱼缸中放有一块高为28厘米，体积为4200立方厘米的假石山，且水管以每分钟7立方分米的流量向鱼缸内注水，所以水需要灌满的体积＝刚好没过假山的水平水面与底部鱼缸所形成的长方体的体积－假山体积，所需时间＝水需要灌满的体积÷注水速度，注意单位不同要转换，1立方分米＝1000立方厘米，大单位化小单位要乘进率。 【详解】7立方分米＝7000立方厘米 （45×20×28－4200）÷7000 ＝（25200－4200）÷7000 ＝21000÷7000 ＝3（分钟） 答：至少需要3分钟才能将假山石完成淹没。 【点睛】此题考查对长方体体积的计算，熟练掌握长方体体积公式，找到本题正确的等量关系合理运用是解题的关键。注意单位不同，需要转换。 6．如下图，一个无水的观赏鱼缸中放着一块高为3分米，体积为3立方分米的假山石。如果水管以每分钟9立方分米的流量向鱼缸中注水，至少需要多少分钟才能将假山石完全淹没？    【答案】3分钟 【分析】鱼缸中最少注水的高度为假山石的高度，至少需要注入水的体积是长5分米、宽2分米、高3分米的长方体的体积减去假山石的体积，最后除以水管每分钟的注水量求出注水时间，据此解答。 【详解】（5×2×3－3）÷9 ＝（30－3）÷9 ＝27÷9 ＝3（分钟） 答：至少需要3分钟才能将假山石完全淹没。 【点睛】分析题意表示出至少需要注入水的体积是解答题目的关键。 7．如图，一个无水的长方体观赏鱼缸中放着一块高为2分米，体积为2立方分米的假山石。如果水管以每分钟9立方分米的流量向鱼缸中注水，至少需要多少分钟才能将假山石刚好淹没？ 【答案】2分钟 【分析】若要使水将假山刚好淹没，此时的水深应为2分米，根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出水和假山的体积，然后再减去假山的体积即可求出水的体积，再用水的体积除以每分钟水管的流量即可求解。 【详解】（5×2×2－2）÷9 ＝（20－2）÷9 ＝18÷9 ＝2（分钟） 答：至少需要2分钟才能将假山石刚好淹没。 【点睛】本题考查长方体的体积，求出假山和水的总体积是解题的关键。 8．如图1，在底面积为100cm2、高为20cm的长方体水槽内放入一个长方体烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变．水槽中水面上升的高度h（厘米）与注水时间t（秒）之间的关系如图2所示． （1）图2中点　 　表示烧杯中刚好注满水，点　 　表示水槽中水面恰与烧杯中水面平齐； （2）求烧杯的底面积； （3）求注水的速度及注满水槽所用的时间． 【答案】A，B；20平方厘米；立方厘米/秒，180秒 【详解】试题分析：（1）根据图示2的折线趋势可知：点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽内的水面高度恰好与烧杯中水面平齐； （2）设烧杯的底面积为Scm2、高为h1cm，注水速度每秒为vcm3，注满水槽所用时间为t0．如图可知：当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90秒时，水槽内的水面高度恰好是h1cm，根据100h1=90×Sh1，求出S即可． （3）由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18：90=1：5，烧杯的体积：100×10÷5=200（cm3），注水速度：200÷18=（立方厘米/秒）；注满水槽所用时间：100×20÷﹣=180（秒）． 解：（1）点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽内的水面高度恰好与烧杯中水面平齐； （2）设烧杯的底面积为Scm2、高为h1cm，注水速度为每秒vcm3，注满水槽所用时间为t0秒，由图2知，当注水18s时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是h1cm（即烧杯高度）．于是，Sh1=18v，100h1=90v 则有100h1=90×Sh1，即S=20． 所以，烧杯的底面积为20cm2； 答：烧杯的底面积是20平方厘米 （3）由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18：90=1：5，烧杯的体积：100×10÷5=200（cm3）， 注水速度：200÷18=（立方厘米/秒）； 注满水槽所用时间：100×20÷=180（秒）； 答：注水的速度是立方厘米/秒，注满水槽所用的时间是180秒． 点评：此题主要考查是如何从折线统计图中获取信息，并根据信息结合图形回答问题． 9．如图所示，有一个无水的长方体水槽，一个水龙头从8：00开始向水槽内注水，水流速度为8立方分米每分，8：04停止注水。接着在水槽内放入高6厘米的长方体铁块，使其全部浸没在水中。从开始注水到铁块全部浸没在水中，水槽的水面高度变化情况如图中所示。 （1）8：04时，长方体水槽内水面高度是多少厘米？ （2）这个长方体铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）20厘米 （2）800平方厘米 【分析】（1）水的高度＝水的体积÷容器的底面积，用流水的时间乘每分钟水流的体积求出到8：04水的体积，再除以容器的底面积即可，注意单位的统一； （2）当水面高度达到23厘米时，水的体积加上长方体铁块的总体积可以用容器的底面积乘23厘米计算出来，用总体积减去水的体积就是铁块的体积；铁块的底面积＝铁块的体积÷铁块的高度，代入数据计算即可。 【详解】（1） 流水时间： 8时4分－8时＝4分 水的体积： 4×8＝32（立方分米）＝32000（立方厘米） 水面高度： 32000÷（50×32） ＝32000÷1600 ＝20（厘米） 答：8：04时，长方体水槽内水面高度是20厘米。 （2） 水和铁块总体积： 50×32×23 ＝1600×23 ＝36800（立方厘米） 铁块的体积： 36800－32000＝4800（立方厘米） 铁块底面积： 4800÷6＝800（平方厘米） 答：这个长方体铁块的底面积是800平方厘米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$