2024-2025学年 北师大版七年级数学上册暑假预习讲义 第4讲 相反数与绝对值

第四讲 相反数与绝对值 知识概况： 一、相反数 定义： 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数叫做另一个数的相反数。例如， 和 是相反数， 和 也是相反数。 表示方法： 一个数 的相反数记作 。例如， 的相反数是 ， 的相反数是 。 性质： 1. 零的相反数是零： 的相反数仍然是 。 1. 相反数的相反数是原数：。例如，。 1. 两个相反数的和为零：。例如，。 应用： · 在数轴上，一个数和它的相反数关于原点对称。 · 在解方程时，常常用到相反数的概念来移项。 二、绝对值 定义： 一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。绝对值表示一个数的大小，不考虑它的符号。 表示方法： 一个数 的绝对值记作 。例如，，。 性质： 1. 正数的绝对值是它本身：如果 ，那么 。 1. 负数的绝对值是它的相反数：如果 ，那么 。 1. 零的绝对值是零：。 1. 绝对值具有非负性：对于任何实数 ，都有 。 应用： · 绝对值常用于表示距离、误差等不考虑方向的情况。 · 在解不等式时，绝对值可以帮助我们处理含有未知数的表达式。 三、相反数与绝对值的关系 1. 一个数的绝对值等于其相反数的绝对值：。例如，。 1. 两个数的绝对值相等，当这两个数相等或互为相反数：如果 ，那么 或 。 例题精讲： 例题1： 的相反数是（　　） A．2025 B． C． D． 变式训练： 若a与1互为相反数，则a等于（　　） A. B.0 C.1 D.2 例题2： 化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式训练： 化简下列各数： （1）﹣（﹣5） （2）﹣（+7） （3）﹣[﹣（）] （4）﹣[﹣（﹣a）] （5）|﹣（+7）| （6）﹣|﹣8| （7）|﹣||| （8）﹣|﹣a|（a＜0） 例题3： 求下列各数的绝对值： （1）﹣38； （2）0.15； （3）a（a＜0）； （4）3b（b＞0）； （5）a﹣2（a＜2）； （6）a﹣b． 例题4： 比较下列每组数的大小： （1）-2.3和-2.6．         （2）和． （3）和．     （4）和-5.32． （5）和．     （6）和-0.39． 变式训练： 比较下列每组数的大小 （1）； （2）； （3）； （4） 例题5： 已知|x－3|＋|y－5|＝0，求x＋y的值． 变式训练： 已知|a|＝2，|b|＝3，且b<a，试求a、b的值． 例题6： 正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，标准质量为400克．下面是5个足球的质量检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）：﹣25，+10，﹣20，+30，+15． （1）写出每个足球的质量； （2）请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识进行判断． 变式训练： 某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不含包装）可以有的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表所示． 1 2 3 4 5 6 请用绝对值知识说明： (1)哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）？ (2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？ 《第4讲 相反数与绝对值》的答案解析： 例题1：C 变式训练：A 例题2．(1) (2) (3) (4)2 【分析】（1）根据绝对值的意义解答； （2）根据相反数的意义解答； （3）根据相反数的意义解答； （4）根据绝对值的意义解答． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了多重符号的化简，涉及相反数和绝对值，熟练掌握有理数的基本知识是关键． 变式训练：（1）5；（2）﹣7；（3）；（4）﹣a；（5）7；（6）﹣8；（7）；（8）a． 【详解】（1）﹣（﹣5）＝5； （2）﹣（+7）＝﹣7； （3）﹣[﹣（）]； （4）﹣[﹣（﹣a）]＝﹣a； （5）|﹣（+7）|＝7； （6）﹣|﹣8|＝﹣8； （7）|﹣|||； （8）﹣|﹣a|（a＜0）＝﹣（﹣a）＝a． 例题3．（1）38；（2）0.15；（3）﹣a；（4）3b；（5）2﹣a；（6）a﹣b≥0时， a﹣b；a﹣b＜0时， b﹣a． 【详解】（1）|﹣38|＝38； （2）|+0.15|＝0.15； （3）∵a＜0， ∴|a|＝﹣a； （4）∵b＞0， ∴3b＞0， ∴|3b|＝3b； （5）∵a＜2， ∴a﹣2＜0， ∴|a﹣2|＝﹣（a﹣2）＝2﹣a； （6）a﹣b≥0时，|a﹣b|＝a﹣b； a﹣b＜0时，|a﹣b|＝b﹣a． 变式训练．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）根据两个负数比较大小的方法解答； （2）根据两个负数比较大小的方法解答； （3）先计算已知的两数，再根据正数与负数比较大小的方法解答； （4）先计算，再根据两个负数比较大小的方法解答； （5）先化简已知的两数，再根据两个负数比较大小的方法解答； （6）根据两个负数比较大小的方法解答即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以； （2）因为，，， 所以； （3）因为，，， 所以； （4）因为，， 所以； （5）因为，，， 所以； （6），，0.38＜0.39， 所以． 【点睛】本题考查了比较有理数的大小，属于基本题型，熟练掌握比较的方法是解题的关键． 例题4．（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】根据有理数的大小比较的方法比较大小即可，两负数进行比较时，先比较两者绝对值的大小， 大的反而小，一切整数大于0． 【详解】（1） ； （2）； （3） ； （4） 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，有理数的大小比较的方法掌握是解题的关键． 变式训练．8. 【详解】分析：根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据有理数的加法，可得答案 详解：由|x－3|＋|y－5|＝0，得 x－3＝0，y－5＝0， 即x＝3，y＝5. 所以x＋y＝3＋5＝8. 点睛：本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键． 例题5．a＝2，b＝－3或a＝－2，b＝－3. 【详解】分析：根据绝对值的性质可以求出a、b的值. 详解：因为|a|＝2，所以a＝±2. 因为|b|＝3，所以b＝±3. 因为b<a， 所以a＝2，b＝－3或a＝－2，b＝－3. 点睛：本题考查了绝对值的知识，明确绝对值的意义是解答本题的关键. 变式训练．（1）见详解；（2）见详解. 【详解】试题分析：标准质量为400克，正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，所以每个足球的质量是375克、410克、380克、430克、415克．质量为410克（即质量超过+10克）的足球的质量好一些． 解：（1）每个足球的质量分别为：400﹣25=375克、400+10=410克、400﹣20=380克、400+30=430克、400+15=415克． （2）质量为410克（即质量超过+10克）的足球的质量好一些．因为它离标准质量400克最近，最接近标准． 考点：有理数的加法；绝对值． 10．(1)第1，4，5，6瓶符合要求 (2)第6瓶净含量最接近规定的净含量 【分析】（1）根据题意可以得出只要检查结果在 -0.002 到 +0.002 范围内的产品即为合乎要求的，即可得出答案； （2） 根据结果越接近 0 质量越好，即可得出答案； 【详解】（1）因为，，，，，，所以这6瓶食用调和油中第1，4，5，6瓶符合要求． （2）第6瓶的绝对值最小，所以第6瓶净含量最接近规定的净含量． 【点睛】本题考查了正负数在现实生活的应用，用正数和负数表示实际物理量时具有相反的意义，而相反的意义的量包含两个因素：一是意义相反；二是他们都是量，并且是同类的量 学科网（北京）股份有限公司 $$