第10章 分式（导图+知识梳理+易错点拨+21大考点讲练+优选压轴题专练 共42题）-2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版）

2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版） 第10章 分式 （思维导图+知识梳理+易错点拨+21大考点讲练+优选压轴题专练 共52题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 3 全章节知识梳理精讲 4 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 4 知识点梳理02：分式的运算 4 知识点梳理03：分式方程 5 易错考点梳理点拨 6 易错知识点梳理01：分式的概念与基本性质 6 易错知识点梳理02：分式的化简 6 易错知识点梳理03：分式的运算 6 易错知识点梳理04：分式的方程与不等式 6 易错知识点梳理05：分式的应用 6 期中真题汇编考点讲练 7 重点考点讲练01：分式的定义 7 重点考点讲练02：分式有意义的条件 7 重点考点讲练03：分式的值为零的条件 7 重点考点讲练04：分式的值 8 重点考点讲练05：分式的基本性质 8 重点考点讲练06：约分 9 重点考点讲练07：通分 10 重点考点讲练08：最简分式 11 重点考点讲练09：最简公分母 11 重点考点讲练10：分式的乘除法 12 重点考点讲练11：分式的加减法 13 重点考点讲练12：分式的混合运算 13 重点考点讲练13：分式的化简求值 14 重点考点讲练14：列代数式（分式） 14 重点考点讲练15：分式方程的定义 14 重点考点讲练16：分式方程的解 15 重点考点讲练17：解分式方程 15 重点考点讲练18：换元法解分式方程 15 重点考点讲练19：分式方程的增根 17 重点考点讲练20：由实际问题抽象出分式方程 17 重点考点讲练21：分式方程的应用 18 优选压轴真题专练 19 同学你好，本套讲义针对课本教材同步学习设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【易错点剖析】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2.分式的基本性质 　　（M为不等于0的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 知识点梳理02：分式的运算 1．约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 3．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 知识点梳理03：分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根. 【易错点剖析】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 知识点梳理04：分式方程的应用 　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 易错知识点梳理01：分式的概念与基本性质 分式与整式的混淆：学生可能难以区分分式与整式，特别是在处理复杂的数学表达式时。 分母为零的误解：学生需要明确，分母为零的分式是没有意义的，但在实际计算中，学生可能会忽视这一点，导致错误。 易错知识点梳理02：分式的化简 式分解不彻底：在化简分式时，学生需要对分子和分母进行因式分解。如果因式分解不彻底，就无法进一步化简分式。 约分不彻底：即使进行了因式分解，学生在约分时也可能出现遗漏，导致分式没有化简到最简形式。 易错知识点梳理03：分式的运算 运算顺序错误：分式的运算需要遵循先乘除后加减的顺序，但学生可能会忽视这一点，导致运算结果错误。 符号处理不当：在分式的运算中，学生需要注意符号的变化，特别是在进行乘除运算时。如果符号处理不当，就会导致结果错误。 易错知识点梳理04：分式的方程与不等式 去分母时的错误：在解决分式方程或不等式时，学生通常需要去分母。但在这个过程中，学生可能会忽视方程或不等式两边同时乘以或除以同一个非零整式时，不等号的方向是否改变。 解集表示不准确：在求解分式不等式时，学生需要明确解集的范围，并准确表示出来。但学生可能会忽视这一点，导致解集表示不准确。 易错知识点梳理05：分式的应用 实际问题建模不准确：分式在解决实际问题时有着广泛的应用，如工程问题、速度问题等。但学生可能无法准确地将实际问题转化为分式模型，导致解题错误。 计算结果不符合实际情况：在解决实际问题时，学生需要注意计算结果是否符合实际情况。例如，在求解工程问题时，学生需要确保计算出的时间或工作量是合理的。 重点考点讲练01：分式的定义 【母题精讲】（2024春•万州区校级期中）下列是分式的是　　 A． B． C． D． 【训练】（2024春•江阴市期中）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： （1）分式是 　 （填“真分式”或“假分式” ；假分式可化为带分式 　　形式； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； （3）若分式的值为，的取值范围是 　　（直接写出结果）． 重点考点讲练02：分式有意义的条件 【母题精讲】（2024春•雁塔区校级期中）要使分式有意义，则的取值应满足　　 A． B． C． D． 【训练】（2021春•江津区校级期中）要使式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是　　． 重点考点讲练03：分式的值为零的条件 【母题精讲】（2022春•昆都仑区校级期中）下列说法：①是的解；②若，则；③是一个完全平方式，则；④两个连续奇数的平方差是8的整数倍；⑤若分式的值为0，则的值为；⑥已知是关于的一元一次不等式，则的值为．其中正确的个数是　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【训练】（2023春•秀英区校级期中）若分式的值为0，则的值是 　　． 重点考点讲练04：分式的值 【母题精讲】（2024春•鼓楼区校级期中）对于分式，下列说法错误的是　　 A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为1 【训练】（2023春•万州区校级期中）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． 不等式的解集是． 当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当取何值时，分式的值为负？ 重点考点讲练05：分式的基本性质 【母题精讲】（2024春•钟楼区校级期中）若把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值　　 A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 【训练】（2022春•济南期中）阅读理解 材料：为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： 0 1 2 3 4 无意义 1 0.5 0.25 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当时，随着的增大，的值 　减小　（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值 　　（增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当时，求代数式值的范围． 重点考点讲练06：约分 【母题精讲】（2024春•玄武区校级期中）对下列分式约分，正确的是　　 A． B． C． D． 【训练】（2018春•邗江区期中）先约分，再求值：，其中， 重点考点讲练07：通分 【母题精讲】（2024春•宿城区校级期中）通分： （1） ，； （2），． 【训练】（2021春•南阳期中）下面是小东同学课堂上进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题． （1）填空： ①以上化简步骤中，第 　二　步进行的是分式的通分，通分的依据是 　　．即为：　　； ②第 　　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　； （2）请直接写出该分式化简后的正确结果； （3）除注意上述错因外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 重点考点讲练08：最简分式 【母题精讲】（2024秋•武宣县期中）下列各分式中，是最简分式的是　　 A． B． C． D． 【训练】（2023春•江阴市期中）给出下列3个分式：①，②，③．其中的最简分式有　 　（填写出所有符合要求的分式的序号）． 重点考点讲练09：最简公分母 【母题精讲】（2019春•南安市期中）下列说法正确的是　　 A．形如的式子叫分式 B．整式和分式统称有理式 C．当时，分式无意义 D．分式与的最简公分母是 【训练】（2024春•南关区期中）分式与的最简公分母是　　． 重点考点讲练10：分式的乘除法 【母题精讲】（2024春•历下区期中）如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数，，均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：，例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所认． （1）填空：写出8的一种倒分解：　　； （2）计算的值； （3）若的最大倒分解为，且，求的值． 【训练】．（2023春•零陵区校级期中）计算与化简： （1） ； （2）； （2） ； （4）． 重点考点讲练11：分式的加减法 【母题精讲】（2024秋•莱西市期中）已知代数式，第一次操作将作为新的代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的代入中化简后得到新的式子以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有　　 ①； ②若，则； ③不存在整数使得的值为负整数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【训练】（2016春•江都区期中）计算：　　． 重点考点讲练12：分式的混合运算 【母题精讲】．（2022秋•巨野县期中）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式　　． 【训练】（2024春•亭湖区校级期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若克糖水中含克糖，则该糖水的甜度为，若再加入克糖，此时糖水的甜度为 　　，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式 　　；（请用含、、的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 重点考点讲练13：分式的化简求值 【母题精讲】（2024秋•桓台县期中）数学课上，老师讲了分式的除法，放学后，小刚回到家中拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：化简，其中“△”处被墨迹盖住了，但他知道这道题化简的结果为，则“△”所表示的式子为 　　． 【训练】（2022秋•永兴县校级期中）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用字母代替了原代数式的一部分，如下： （1）求代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于吗？请说明理由． 重点考点讲练14：列代数式（分式） 【母题精讲】（2024春•高新区校级期中）某商品的标价比成本高，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度不得超过，若用表示，则　　． 【训练】地在河的上游，地在河的下游，若船从地开往地的速度为，从地返回地的速度为，则、两地间往返一次的平均速度为　　． 重点考点讲练15：分式方程的定义 【母题精讲】（2023春•威远县期中）下列方程中，是分式方程的是　　 A． B． C． D． 【训练】（2022春•静安区校级期中）已知方程： ①， ② ③ ④． 这四个方程中，分式方程的个数是　　 A．4 B．3 C．2 D．1． 重点考点讲练16：分式方程的解 【母题精讲】（2024春•鲤城区校级期中）若分式方程无解，则的值为　　 A． B．2 C．1或2 D．或2 【训练】（2024春•武侯区校级期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值的和是 　　． 重点考点讲练17：解分式方程 【母题精讲】（2024春•深圳期中）定义新运算：对于非零的两个实数和，规定※，如3※．若※，则的值为 　　． 【训练】（2023秋•任城区期中）解方程 （1） （2）． 重点考点讲练18：换元法解分式方程 【母题精讲】（2024春•花溪区校级期中）阅读下面材料：解方程：． 解：设，则原方程化为， 方程两边同时乘，得，解得． 经检验，都是方程的解． 当时，，解得；当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 解答下面的问题： （1）对于方程，若，则原方程可化为 　　，原方程的解为 　　． （2）模仿上述换元法解方程：． 【训练】（2022春•邗江区校级期中）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验：都是方程的解，当时，，解得，当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （2）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （3）模仿上述换元法解方程：． 重点考点讲练19：分式方程的增根 【母题精讲】（2024秋•武宣县期中）已知关于的分式方程有增根，则的值为　　 A．2 B． C． D．3 【训练】（2024春•万州区期中）（1）若关于的方程有增根，求的值． （2） 在（1）中的条件下，若，求的值． 重点考点讲练20：由实际问题抽象出分式方程 【母题精讲】（2024秋•天河区校级期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是　　 A． B． C． D． 【训练】（2024春•郫都区校级期中）我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？”设6210文能买株椽，则据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 重点考点讲练21：分式方程的应用 【母题精讲】（2022春•射洪市期中）列方程解应用题： 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少． 【训练】（2024春•成都期中）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进的乙种玩具的件数相同． （1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ （2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，购进这两种玩具的总资金超过960元但不超过1000元，求商场有哪几种具体的进货方案？最多可以购进乙种玩具多少件？ 1．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么这个分式的值（   ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大3倍 D．扩大4倍 2．某物流公司运送一批货物，若用普通列车送到800千米的某城市，所需时间比规定时间多用2小时；若改为高速列车派送，则所需时间比规定时间少用3小时，已知高速列车的速度是普通列车的倍，则规定送达时间是多少？设规定时间为x小时，则分式方程列式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为千米小时，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如果关于x的分式方程有负整数解，关于y的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数a的和是 ． 5．已知，则代数式的值为 ． 6．若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 7．计算 (1) (2) 8．为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且用150元购买甲种花卉的数量比乙种花卉多1株． (1)求甲、乙两种花卉每株的价格； (2)已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，其中甲花卉不多于90株．求购买花卉所需最少费用． 9．【研究问题】一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？ 【操作方法】先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续． 【活动结果】摸球实验活动一共做了50次，统计结果如下表： 球的类别 无记号 有记号 红色 黄色 红色 黄色 摸到的次数 18 28 2 2 【推测计算】由上述的摸球实验可推算： （1）盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？ （2）盒中有红球多少个？ 【拓展延伸】在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球50次，其中10次摸到黑球，试估计盒子中白球的个数． 10．（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期中复习知识串讲（优等生培优版） 第10章 分式 （思维导图+知识梳理+易错点拨+21大考点讲练+优选压轴题专练 共52题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 3 全章节知识梳理精讲 4 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 4 知识点梳理02：分式的运算 4 知识点梳理03：分式方程 5 易错考点梳理点拨 6 易错知识点梳理01：分式的概念与基本性质 6 易错知识点梳理02：分式的化简 6 易错知识点梳理03：分式的运算 6 易错知识点梳理04：分式的方程与不等式 6 易错知识点梳理05：分式的应用 6 期中真题汇编考点讲练 7 重点考点讲练01：分式的定义 7 重点考点讲练02：分式有意义的条件 8 重点考点讲练03：分式的值为零的条件 9 重点考点讲练04：分式的值 10 重点考点讲练05：分式的基本性质 12 重点考点讲练06：约分 13 重点考点讲练07：通分 14 重点考点讲练08：最简分式 16 重点考点讲练09：最简公分母 17 重点考点讲练10：分式的乘除法 18 重点考点讲练11：分式的加减法 20 重点考点讲练12：分式的混合运算 21 重点考点讲练13：分式的化简求值 24 重点考点讲练14：列代数式（分式） 25 重点考点讲练15：分式方程的定义 26 重点考点讲练16：分式方程的解 27 重点考点讲练17：解分式方程 29 重点考点讲练18：换元法解分式方程 30 重点考点讲练19：分式方程的增根 32 重点考点讲练20：由实际问题抽象出分式方程 34 重点考点讲练21：分式方程的应用 35 优选压轴真题专练 36 同学你好，本套讲义针对课本教材同步学习设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，易错知识点梳理，易错考点真题汇编，精选易错题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【易错点剖析】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2.分式的基本性质 　　（M为不等于0的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 知识点梳理02：分式的运算 1．约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 3．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 知识点梳理03：分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根. 【易错点剖析】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 知识点梳理04：分式方程的应用 　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 易错知识点梳理01：分式的概念与基本性质 分式与整式的混淆：学生可能难以区分分式与整式，特别是在处理复杂的数学表达式时。 分母为零的误解：学生需要明确，分母为零的分式是没有意义的，但在实际计算中，学生可能会忽视这一点，导致错误。 易错知识点梳理02：分式的化简 式分解不彻底：在化简分式时，学生需要对分子和分母进行因式分解。如果因式分解不彻底，就无法进一步化简分式。 约分不彻底：即使进行了因式分解，学生在约分时也可能出现遗漏，导致分式没有化简到最简形式。 易错知识点梳理03：分式的运算 运算顺序错误：分式的运算需要遵循先乘除后加减的顺序，但学生可能会忽视这一点，导致运算结果错误。 符号处理不当：在分式的运算中，学生需要注意符号的变化，特别是在进行乘除运算时。如果符号处理不当，就会导致结果错误。 易错知识点梳理04：分式的方程与不等式 去分母时的错误：在解决分式方程或不等式时，学生通常需要去分母。但在这个过程中，学生可能会忽视方程或不等式两边同时乘以或除以同一个非零整式时，不等号的方向是否改变。 解集表示不准确：在求解分式不等式时，学生需要明确解集的范围，并准确表示出来。但学生可能会忽视这一点，导致解集表示不准确。 易错知识点梳理05：分式的应用 实际问题建模不准确：分式在解决实际问题时有着广泛的应用，如工程问题、速度问题等。但学生可能无法准确地将实际问题转化为分式模型，导致解题错误。 计算结果不符合实际情况：在解决实际问题时，学生需要注意计算结果是否符合实际情况。例如，在求解工程问题时，学生需要确保计算出的时间或工作量是合理的。 重点考点讲练01：分式的定义 【母题精讲】（2024春•万州区校级期中）下列是分式的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意不是字母，是常数，所以分母中含的代数式不是分式，是整式． 【规范解答】解：根据整式定义可知：，，是整式；根据分式定义可知： 是分式． 故选：． 【考点评析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解答本题的关键． 【训练】（2024春•江阴市期中）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： （1）分式是 　真分式　（填“真分式”或“假分式” ；假分式可化为带分式 　　形式； （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； （3）若分式的值为，的取值范围是 　　（直接写出结果）． 【思路点拨】（1）根据分子的次数小于分母的次数可得为真分式，依据假分数化为带分数的特点，第二个空即可得答案． （2）先化简原分式，化成分子为常数，分母带字母的分式，根据整体为整数，并且为整数，即可求得． （3）先化简原分式，化为带分式的形式，再结合，从而可得答案． 【规范解答】解：（1）根据新定义可得：为分子次数为0，分母次数为1，故为真分式， ， 故答案为：真分式；． （2），且为正数，且为正数 或或或， 解得或或或， 故满足条件的整数的值为1，2，4，5． （3） ， 而， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】分式新定义题目，实际上是考查分式化简的知识，分式中分子分母同时满足某种关系时求得分式整体值的情况，对学生基础分析能力和知识迁移能力的考查非常明显． 重点考点讲练02：分式有意义的条件 【母题精讲】（2024春•雁塔区校级期中）要使分式有意义，则的取值应满足　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式有意义即分母不为0计算即可． 【规范解答】解：要使分式有意义， 则， 所以， 故选：． 【考点评析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【训练】（2021春•江津区校级期中）要使式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是　且　． 【思路点拨】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【规范解答】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 【考点评析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义分母为零； （2）分式有意义分母不为零； （3）分式值为零分子为零且分母不为零． 重点考点讲练03：分式的值为零的条件 【母题精讲】（2022春•昆都仑区校级期中）下列说法：①是的解；②若，则；③是一个完全平方式，则；④两个连续奇数的平方差是8的整数倍；⑤若分式的值为0，则的值为；⑥已知是关于的一元一次不等式，则的值为．其中正确的个数是　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【思路点拨】①根据不等式的解的意义，代入验证； ②根据不等式是性质求解； ③根据完全平方公式求解； ④根据题意列式证明； ⑤根据分数的值为0 的条件求解； ⑥根据一元一次不等式的定义求解； 【规范解答】解：①当时，故①正确； ②当，有，故②错误； ③当是一个完全平方式，则，故③错误； ④， 两个连续奇数的平方差是8的整数倍，故④正确； ⑤若分式的值为0，则，故⑤错误； ⑥若是关于的一元一次不等式，则的值为，故⑥错误； 正确的有①④，故选：． 【考点评析】本题考查了方程、不等式、分式、完全平方式，掌握代数基础知识是解题的关键． 【训练】（2023春•秀英区校级期中）若分式的值为0，则的值是 　　． 【思路点拨】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零． 【规范解答】解：依题意得：且， 解得． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 重点考点讲练04：分式的值 【母题精讲】（2024春•鼓楼区校级期中）对于分式，下列说法错误的是　　 A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为正数 D．当时，分式的值为1 【思路点拨】直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断即可． 【规范解答】解：直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断如下： ．当时，，，分式的值为0，故此项选项不符合题意； ．当时，，分式无意义，故此选项不符合题意； 当时，当时，，，分式的值为0，故此选项符合题意； ．当时，，故此选项不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查分式值为零的条件，分式无意义的条件，分式的求值．解题的关键是能熟练掌握分式相关知识进行解答． 【训练】（2023春•万州区校级期中）仔细阅读下面例题，解答问题． 例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得． 则有（1）或（2） 解不等式组（1），得； 解不等式组（2），得不等式组无解． 不等式的解集是． 当时，分式的值为正． 问题：仿照以上方法解答问题：当取何值时，分式的值为负？ 【思路点拨】根据分式的值为负，得到（1）或（2），解这个一元一次不等式组，即可解答本题． 【规范解答】解：依题意，得， 则有（1）或（2）， 解不等式组（1），得， 解不等式组（2），无解， 不等式的解集是， 当时，分式的值为负． 【考点评析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，掌握分式值为负的条件和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 重点考点讲练05：分式的基本性质 【母题精讲】（2024春•钟楼区校级期中）若把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值　　 A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 【思路点拨】用和代替式子中的和即可得出结论． 【规范解答】解：把和都扩大为原来的2倍，即用和代替式子中的和， 可得：， 分式的值扩大为原来的2倍． 故选：． 【考点评析】本题考查了分式的性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数． 【训练】（2022春•济南期中）阅读理解 材料：为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： 0 1 2 3 4 无意义 1 0.5 0.25 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当时，随着的增大，的值 　减小　（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值 　　（增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当时，求代数式值的范围． 【思路点拨】（1）由、的变化情况，判断、的变化情况即可； （2）由，即可求解； （3）由，再结合的取值范围即可求解． 【规范解答】解：（1）当时随着的增大而减小， 随着的增大，的值减小； 当时随着的增大而减小， ， 随着的增大，的值减小， 故答案为：减小，减小； （2）， 当时，的值无限接近0， 的值无限接近2； （3）， 又， ， ． 【考点评析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 重点考点讲练06：约分 【母题精讲】（2024春•玄武区校级期中）对下列分式约分，正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】分别根据分式的基本性质进行化简即可得出答案． 【规范解答】解：、，故本选项错误，不符合题意； 、不能约分，故本选项错误，不符合题意； 、，故本选项错误； 、，故本选项正确； 故选：． 【考点评析】本题考查分式的约分，在约分时要注意约掉的是分子分母的公因式，熟练掌握分式的基本性质是本题的关键． 【训练】先约分，再求值：，其中， 【思路点拨】原式约分得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【规范解答】解：原式 把，代入 原式． 【考点评析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 重点考点讲练07：通分 【母题精讲】（2024春•宿城区校级期中）通分： （1），； （2），． 【思路点拨】（1）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案； （2）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案． 【规范解答】解：（1），， 最简公分母是， ， ； （2），， 最简公分母是， ， ． 【考点评析】此题考查了通分，掌握通分的定义即通分：将异分母分式转化成同分母的分式是解题的关键． 【训练】（2021春•南阳期中）下面是小东同学课堂上进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题． （1）填空： ①以上化简步骤中，第 　二　步进行的是分式的通分，通分的依据是 　　．即为：　　； ②第 　　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　； （2）请直接写出该分式化简后的正确结果； （3）除注意上述错因外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【思路点拨】（1）①根据异分母分式的加减法法则判断即可； ②根据异分母分式的加减法法则判断即可； （2）根据异分母分式的加减法法则进行计算即可解答； （3）根据分式化简的步骤进行解答即可． 【规范解答】解：（1）①以上化简步骤中，第 二步进行的是分式的通分，通分的依据是 分式的基本性质．即为：分式的分子和分母都乘同一个不等于0的式子，分式的值不变； ②第 四步开始出现错误，这一步错误的原因是 去括号没有变号； 故答案为：二，分式的基本性质，分式的分子和分母都乘同一个不等于0的式子，分式的值不变；四，去括号没有变号； （2）原式 ； （3）在进行分式化简时，分子或分母是多项式，一般先进行分解因式，然后再进行计算（答案不唯一）． 【考点评析】本题考查了分式的混合运算，通分，分式的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 重点考点讲练08：最简分式 【母题精讲】（2024秋•武宣县期中）下列各分式中，是最简分式的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【规范解答】解：．是最简分式； ．，不符合题意； ．，不符合题意； ．，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分． 【训练】（2023春•江阴市期中）给出下列3个分式：①，②，③．其中的最简分式有　①②　（填写出所有符合要求的分式的序号）． 【思路点拨】根据最简分式的定义即可求出答案． 【规范解答】解：③原式 故答案为：①②． 【考点评析】本题考查最简分式，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 重点考点讲练09：最简公分母 【母题精讲】（2019春•南安市期中）下列说法正确的是　　 A．形如的式子叫分式 B．整式和分式统称有理式 C．当时，分式无意义 D．分式与的最简公分母是 【思路点拨】根据分式的定义，分式有意义的条件以及最简公分母进行解答． 【规范解答】解：、形如且中含有字母的式子叫分式，故本选项错误． 、整式和分式统称有理式，故本选项正确． 、当时，分式有意义，故本选项错误． 、分式与的最简公分母是，故本选项错误． 故选：． 【考点评析】考查了最简公分母，分式的定义以及分式有意义的条件．因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． 【训练】（2024春•南关区期中）分式与的最简公分母是　　． 【思路点拨】根据确定最简公分母的步骤找出最简公分母即可． 【规范解答】解：2、3的最小公倍数为6， 的最高次幂为2，的最高次幂为3， 所以最简公分母为． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 重点考点讲练10：分式的乘除法 【母题精讲】（2024春•历下区期中）如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数，，均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：，例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所认． （1）填空：写出8的一种倒分解：　　； （2）计算的值； （3）若的最大倒分解为，且，求的值． 【思路点拨】（1）根据倒分解的定义即可求解； （2）根据倒分解的定义即可求解； （3）根据倒分解的定义列出方程即可求得． 【规范解答】解：（1）8的倒分解为． 故答案为：． （2）的倒分解为： 或 或 或， 其中最大的倒分解， ． （3）的最大倒分解为：且， ①当时， ， 解得：， 经检验， 是原方程的根， 但时，，最大倒分解为，故不合题意，舍去， ②当时， 解得， 经检验， 是原方程的根，且符合题意， 综上可得，的值为0． 【考点评析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是理解新定义运算的法则． 【训练】．（2023春•零陵区校级期中）计算与化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】（1）先计算积的乘方，在计算同底数幂 （2）利用负指数幂以及零指数幂即可 （3）先因式分解，再把除法转化为乘法，然后约分； （4）先因式分解，再把除法转化为乘法，然后约分． 【规范解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【考点评析】本题考查了积的乘方、同底数幂负指数幂以及零指数幂分式的混合运算，熟悉运算法则是解题的关键． 重点考点讲练11：分式的加减法 【母题精讲】（2024秋•莱西市期中）已知代数式，第一次操作将作为新的代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的代入中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的代入中化简后得到新的式子以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有　　 ①； ②若，则； ③不存在整数使得的值为负整数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】依据题意，根据所给信息逐个求出，，，，然后按照分式的加减法法则进行计算，即可判断得解． 【规范解答】解：由题意，， ，故①错误． ，，． ． ， ． ，即，故②正确． ， 又若整数使得为整数， ． 此时，为15． 不存在整数使得的值为负整数，故③正确． 综上，正确的有②③共2个． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了分式的加减法，解题时要熟练掌握并能读懂题意，准确计算是关键． 【训练】（2016春•江都区期中）计算：　　． 【思路点拨】根据同分母分式相加减，分子相加减，可得答案． 【规范解答】解：原式 ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了分式的加减，同分母分式相加减，分子相加减是解题关键． 重点考点讲练12：分式的混合运算 【母题精讲】．（2022秋•巨野县期中）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式　　． 【思路点拨】先根据题意进行变形，再根据分式的乘法法则和整式的乘法法则算乘法，最后算减法即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了分式的混合运算和整式的混合运算，能正确根据运算法则进行化简是解此题的关键． 【训练】（2024春•亭湖区校级期中）【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若克糖水中含克糖，则该糖水的甜度为，若再加入克糖，此时糖水的甜度为 　　，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式 　　；（请用含、、的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 【思路点拨】（1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；再利用作差法比较与的大小即可； （2）利用作差法比较与的大小即可； （3）分甲、乙两船返航时为逆流航行和甲、乙两船返航时为逆流航行两种情况讨论求解即可． 【规范解答】解：（1）克糖水中含克糖，则该糖水的甜度为， 再加入克糖，此时糖水的甜度为，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． ， ，， ，，， ， ， 由此我们可以得到一个不等式， 故答案为：，； （2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：，理由如下： ， ，， ，，， ， ； （3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时， ， ，， 由（2）得，， ， ， ，， ，甲船先返回港， 当甲、乙两船返航时为顺流航行时， ， ，， 由（1）得，， ， ， ，， ，乙船先返回港， 综上，当甲、乙两船返航时为逆流航行时，，甲船先返回港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，，乙船先返回港． 【考点评析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 重点考点讲练13：分式的化简求值 【母题精讲】（2024秋•桓台县期中）数学课上，老师讲了分式的除法，放学后，小刚回到家中拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：化简，其中“△”处被墨迹盖住了，但他知道这道题化简的结果为，则“△”所表示的式子为 　　． 【思路点拨】根据题意列得分式除法计算式子，计算可得答案． 【规范解答】解：由题意得， ， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了分式的除法计算，熟练掌握分式的除法法则是解题的关键． 【训练】（2022秋•永兴县校级期中）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用字母代替了原代数式的一部分，如下： （1）求代数式，并将其化简； （2）原代数式的值能等于吗？请说明理由． 【思路点拨】（1）根据题目中的等式可以求得代数式，并将其化简； （2）先判断，然后根据判断说明理由即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）原代数式的值不能等于， 理由：若原代数式的值等于， 则，得， 当时，原代数式中的除式等于0，原代数式无意义， 故原代数式的值不能等于． 【考点评析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 重点考点讲练14：列代数式（分式） 【母题精讲】（2024春•高新区校级期中）某商品的标价比成本高，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度不得超过，若用表示，则　　． 【思路点拨】此题中最大的降价率即是保证售价和成本价相等．可以把成本价看作单位1． 【规范解答】解：设成本价是1，则 ． ， ， ． 【考点评析】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 这里注意：保证不亏本，即让售价和成本价持平． 【训练】（2017春•南江县校级期中）地在河的上游，地在河的下游，若船从地开往地的速度为，从地返回地的速度为，则、两地间往返一次的平均速度为　　． 【思路点拨】利用速度公式得解答即可． 【规范解答】解：、两地间往返一次的平均速度为：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． 解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度． 重点考点讲练15：分式方程的定义 【母题精讲】（2023春•威远县期中）下列方程中，是分式方程的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可． 【规范解答】解：．该方程是一元一次方程，不符合题意； ．该方程是分式方程，符合题意； ．该方程是一元一次方程，不符合题意； ．该方程是二元一次方程，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解决问题的关键． 【训练】（2022春•静安区校级期中）已知方程： ①， ② ③ ④． 这四个方程中，分式方程的个数是　　 A．4 B．3 C．2 D．1． 【思路点拨】利用分式方程的定义判断即可． 【规范解答】解：①，是分式方程； ②，是分式方程； ③，是分式方程； ④，不是分式方程， 则分式方程的个数是3． 故选：． 【考点评析】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键． 重点考点讲练16：分式方程的解 【母题精讲】（2024春•鲤城区校级期中）若分式方程无解，则的值为　　 A． B．2 C．1或2 D．或2 【思路点拨】先去分母，方程两边同时乘，解方程把的值用表示出来，然后根据各个选项中的值，进行判断方程有解无解，从而得到正确的答案． 【规范解答】解：， 去分母得：， ， ， ， 分式方程无解， ，， ，， 当时，原方程为：， ， ， ， 检验：当时，， 时，原方程无解； 综上可知：分式方程无解时，的值为1或2， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程有解和无解的判断方法． 【训练】（2024春•武侯区校级期中）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值的和是 　8　． 【思路点拨】首先根据不等式组的已知解集求出的取值范围，然后利用分式方程的正整数解求出的取值范围，最后结合两个条件得出答案． 【规范解答】解：不等式组， 解得， 关于的一元一次不等式组的解集， ， ， 分式方程， ， 当，， 经检验，是原分式方程的整数解， 所有满足条件的整数的值之和是8． 故答案为：8． 【考点评析】本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，正确记忆相关知识点是解题关键． 重点考点讲练17：解分式方程 【母题精讲】（2024春•深圳期中）定义新运算：对于非零的两个实数和，规定※，如3※．若※，则的值为 　　． 【思路点拨】根据已知新定义进行转化，然后结合分式方程的求法可求． 【规范解答】解：， ※ ， ※， ， 解得：， 经检验，是的解． 故答案为： 【考点评析】本题侧重考查了解分式方程，掌握定义的新运算的意义是解题的关键． 【训练】（2023秋•任城区期中）解方程 （1） （2）． 【思路点拨】（1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解； （2）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【规范解答】解：（1）方程两边同时乘以，得 ， 解得． 检验：把代入． 原方程的解为：． （2）方程两边同时乘以，得 ， 解得． 检验：把代入． 原方程无解． 【考点评析】考查了解分式方程，注意： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根． 重点考点讲练18：换元法解分式方程 【母题精讲】（2024春•花溪区校级期中）阅读下面材料：解方程：． 解：设，则原方程化为， 方程两边同时乘，得，解得． 经检验，都是方程的解． 当时，，解得；当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 解答下面的问题： （1）对于方程，若，则原方程可化为 　　，原方程的解为 　　． （2）模仿上述换元法解方程：． 【思路点拨】（1）按照材料中分式方程的换元的方法，设，则原方程可化为，按照解分式方程的方法，可求得的值，进而求得的值； （2）按照材料中分式方程的换元的方法，设，则原方程可化为，按照解分式方程的方法，可求得的值，进而求得的值． 【规范解答】解：（1）对于方程，若设，则原方程可化为， 方程两边同时乘，得， 解得或． 经检验，，都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的根， 故原方程的解为或； （2）原方程化为． 设，则原方程化为， 方程两边同时乘，得， 解得． 经检验，都是方程的解． 当时，，该方程无解； 当时，，解得． 经检验，是原分式方程的解， 原分式方程的解为． 【考点评析】本题考查了解分式方程，熟练掌握换元法是解此题的关键． 【训练】（2022春•邗江区校级期中）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验：都是方程的解，当时，，解得，当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （2）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （3）模仿上述换元法解方程：． 【思路点拨】（1）和（2）将所设的代入原方程即可； （3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出的值并检验是否为原方程的解，然后求解的值即可． 【规范解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为； 故答案为：； （2）将代入方程，则原方程可化为； 故答案为：； （3）原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解． 当时，，该方程无解； 当时，，解得：； 经检验：是原分式方程的解， 原分式方程的解为． 【考点评析】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度． 重点考点讲练19：分式方程的增根 【母题精讲】（2024秋•武宣县期中）已知关于的分式方程有增根，则的值为　　 A．2 B． C． D．3 【思路点拨】把分式方程化成整式方程得，由分式方程有增根得出，把代入，即可求出的值． 【规范解答】解：去分母得：， 分式方程有增根， ， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故选：． 【考点评析】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解决问题的关键． 【训练】（2024春•万州区期中）（1）若关于的方程有增根，求的值． （2）在（1）中的条件下，若，求的值． 【思路点拨】（1）先找出最简公分母，方程两边同乘以，解得，再将方程的增根代入，即可求解． （2）由（1）得，进而解分式方程，得到，解得，即可求解． 【规范解答】解：（1）方程两边同乘以，得，， 解得， 方程有增根， ， 把代入中，得， 解得， 的值为1． （2）由（1）得， 方程为， 方程两边同乘以，得， ， ， 可得， 解得， ． 【考点评析】本题主要考查了解分式方程以及增根的概念，如果一个分式方程的根能使此方程的最简公分母为零，那么这个根就是原方程的增根，掌握解分式方程以及增根的概念是解本题的关键． 重点考点讲练20：由实际问题抽象出分式方程 【母题精讲】（2024秋•天河区校级期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的2倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【规范解答】解：由题意可得， ， 故选：． 【考点评析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【训练】（2024春•郫都区校级期中）我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？”设6210文能买株椽，则据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设6210元购买椽的数量为株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【规范解答】解：设6210文购买椽的数量为株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：． 【考点评析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键． 重点考点讲练21：分式方程的应用 【母题精讲】（2022春•射洪市期中）列方程解应用题： 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少． 【思路点拨】设港珠澳大桥的设计时速是千米时，按原来路程行驶的平均时速是千米时．根据“行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的”列出方程并解答． 【规范解答】解：设港珠澳大桥的设计时速是千米时，按原来路程行驶的平均时速是千米时． 依题意，得． 解方程，得． 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：港珠澳大桥的设计时速是每小时100千米． 【考点评析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 【训练】（2024春•成都期中）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进的乙种玩具的件数相同． （1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ （2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，购进这两种玩具的总资金超过960元但不超过1000元，求商场有哪几种具体的进货方案？最多可以购进乙种玩具多少件？ 【思路点拨】（1）设甲种玩具进价元件，则乙种玩具进价为元件，根据用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解． （2）设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件，根据购进这两种玩具的总资金超过960元但不超过1000元，可列出不等式组求解． 【规范解答】解：（1）设甲种玩具进价元件，则乙种玩具进价为元件， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解． ． 答：甲，乙两种玩具的进价分别是15元件，25元件； （2）设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件， 根据题意，得， 解得． 是整数， 取20，21，22，23，共有4种方案． 方案一：购进甲种玩具20件，购进乙种玩具28件， 方案二：购进甲种玩具21件，购进乙种玩具27件， 方案三：购进甲种玩具22件，购进乙种玩具26件， 方案四：购进甲种玩具23件，购进乙种玩具25件． 【考点评析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，第一问以件数作为等量关系列方程求解，第2问以购进这两种玩具的总资金数作为不等量关系列不等式组求解 1．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么这个分式的值（   ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大3倍 D．扩大4倍 【答案】B 【思路点拨】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变． 【规范解答】解：分式中的与都扩大2倍，得 ， 故选：B． 2．某物流公司运送一批货物，若用普通列车送到800千米的某城市，所需时间比规定时间多用2小时；若改为高速列车派送，则所需时间比规定时间少用3小时，已知高速列车的速度是普通列车的倍，则规定送达时间是多少？设规定时间为x小时，则分式方程列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据普通列车、高速列车运送所需时间与规定时间之间的关系，可得出用普通列车运送所需时间为天，高速列车运送所需时间为天，利用速度=路程÷时间，结合高速列车的速度是普通列车的倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【规范解答】解：由题意可得，， 故选：D． 3．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为千米小时，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查根据实际问题列分式方程，根据题意，得到汽车所用时间比骑车学生所用时间少20分钟，列出方程即可． 【规范解答】解：由题意，所列方程为：； 故选C． 4．如果关于x的分式方程有负整数解，关于y的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数a的和是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式组的解法是解题的关键． 利用不等式组的解集求得，利用分式方程的解得到，且为偶数，，从而得到，且为偶数，，所以符合条件的所有整数a值为，，两数相加即可得出结论． 【规范解答】解：不等式的解集为， 关于y的不等式组的解集为， ， ， 关于x的分式方程的解为：， 是原方程的增根， ， ， 关于x的分式方程有负整数解， ，且为偶数，， ，且为偶数，， 综上，，且为偶数，， ，， 符合条件的所有整数a的和是， 故答案为：． 5．已知，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查分式的加减法，将已知条件变形为，再将要求的分式变形为，然后整体代入求值即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 6．若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程的解，先解关于x的一元一次不等式组，再根据不等式组有解且至多有2个整数解得到a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解，求出所有满足条件的整数a的值，并求出它们的和即可． 【规范解答】解：， 由①得：， 由②得：， ， ∵关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， ∴， 解，得， ∴， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴或或或1， ∵， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a的值为：或或1， ∴所有满足条件的整数a之和为：， 故答案为：． 7．计算 (1) (2) 【答案】(1)13 (2)2 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． （1）分别计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，乘方，再进行加减计算； （2）先计算乘方，再计算乘法． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 8．为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊，已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且用150元购买甲种花卉的数量比乙种花卉多1株． (1)求甲、乙两种花卉每株的价格； (2)已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，其中甲花卉不多于90株．求购买花卉所需最少费用． 【答案】(1)甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元 (2)购买花卉所需费用的最小值为3150元 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识点，找准等量关系，正确列出分式方程、一次函数关系式成为解题的关键． （1）设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元，根据题意列出一次函数，然后根据一次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲种花卉每株的价格为x元，则乙种花卉每株的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以． 答：甲种花卉每株的价格为25元，乙种花卉每株的价格为30元． （2）解：设该部门需购买甲种花卉m株，则需购买乙种花卉株，该部门购买甲、乙两种花卉所需费用为y元， 由题意得：， ， 随m的增大而减小， ， 当时，y有最小值 y有最小值． 答：购买花卉所需费用的最小值为3150元． 9．【研究问题】一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？ 【操作方法】先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续． 【活动结果】摸球实验活动一共做了50次，统计结果如下表： 球的类别 无记号 有记号 红色 黄色 红色 黄色 摸到的次数 18 28 2 2 【推测计算】由上述的摸球实验可推算： （1）盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？ （2）盒中有红球多少个？ 【拓展延伸】在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球50次，其中10次摸到黑球，试估计盒子中白球的个数． 【答案】（1）红球占40%，黄球占60%；（2）盒中红球有40个；（3）16 【思路点拨】此题考查了分式方程的应用等知识，理解题意，正确列式是解题的关键． 推测计算：（1）50次摸球试验活动中，出现红球20次，黄球30次，分别列式计算即可；（2）先求出总球数，再乘以对应的百分比即可求出答案； 拓展延伸：先求出白球所占的比例，据此列分式方程进行求解即可． 【规范解答】解：推测计算：（1）由题意可知，50次摸球试验活动中，出现红球20次，黄球30次， ∴红球所占百分比为， 黄球所占百分比为， 答：红球占，黄球占； （2）由题意可知，50次摸球试验活动中，出现有记号的球4次， ∴总球数为，. ∴红球数为， 答：盒中红球有个． 拓展延伸：∵共试验50次，其中有10次摸到黑球， ∴白球所占的比例为，. 设盒子中共有白球x个，则 解得：． 经检验，是分式方程的解且符合题意， 故白球的个数是16个．. 10．（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】（一）（）②；（）的值为或；（二）（）①②③；（），；（）． 【思路点拨】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （一）（）由“和谐分式”的定义求解即可； （）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （二）（）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （）由原式，再整理可得； （）根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【规范解答】解：（一）（）①不是“和谐分式”，②是“和谐分式”，③不是“和谐分式”， 故答案为：②； （）∵为“和谐分式”， ∴或或，， ∴或或或， ∵a为正整数， ∴或， 当时，为“和谐分式”， 当时，为“和谐分式”， ∴的值为或； （二）（）①，是和谐分式； ②是和谐分式； ③，是和谐分式． 故答案为：①②③． （）， 故答案为∶，． （） ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或或， 又∵分式有意义时、、、， ∴． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$