8.1基本立体图形（第1课时）多面体-2024-2025学年高一数学同步课件（人教A版2019必修二）

6.1平面向量 的概念 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.(重点) 2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.(难点) 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算. 学习目标 立体几何是研究物体形状、大小和位置关系的数学分支，广泛应用于实际问题。我们将从整体观察空间几何体入手，研究身边熟悉几何体的结构特征、表示方法以及表面积和体积的计算。同时，借助长方体，研究点、线、面的基本性质和位置关系，重点探讨直线与平面的平行和垂直关系，以深入理解空间几何体的性质。今天，我们先从空间几何体的结构特征开始学习。 导 语 目 录 1 2 3 5 多面体的识别 棱柱的结构特征 棱锥与棱台的结构特征 CONTENTS 书读百遍 其义自现 4 多面体的展开图 多面体的识别 1 观察下列物体，我们常把这些物体的形状叫什么？它们的形状有什么特征？ 问题1 提示　长方体，正方体，棱锥，多面体，球，圆柱，圆锥，圆台；前四个几何体都是由平面图形围成的，后四个不全是平面图形围成的，有些面是曲面. 1.空间几何体：如果只考虑物体的 和 ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的 就叫做空间几何体. 形状 大小 空间图形 知识梳理 2.空间几何体的分类及相关概念 类别 多面体 旋转体 定义 由若干个_______ _____围成的几何体叫做多面体 一条___________(包括直线)绕它所在平面内的一条________旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体 图形及 表示     平面多 边形 平面曲线 定直线 类别 多面体 旋转体 相关概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线 棱柱的结构特征 2 观察图中的长方体，它的每个面是什么样的多边形？不同的面之间有什么位置关系？ 问题2 提示　它的每个面都是平行四边形(矩形)，并且相对的两个面，给我们以平行的形象，如同教室的地面和天花板一样. 1.棱柱的定义、图形及相关概念 棱柱 定义 有两个面互相______，其余各面都是________，并且相邻两个四边形的公共边都__________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 图形及 表示   如图可记作：棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 平行 四边形 互相平行 知识梳理 棱柱 相关概念 底面：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 知识梳理 2.棱柱的分类及特殊棱柱 (1)按 ，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)直棱柱： 垂直于底面的棱柱.(如图①③) (3)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.(如图②④) (4)正棱柱：底面是 的 棱柱.(如图③) (5)平行六面体：底面是 的四棱柱.(如图④) 底面多边形的边数 侧棱 正多边形 直 平行四边形 棱锥与棱台的结构特征 3 图中的多面体具有怎样的特点？ 问题3 提示　通过观察图形我们可以发现，图中多面体的共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其余各面都是三角形，且这些三角形有一个公共顶点. 如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截得的两部分几何体是什么样的几何体？ 问题4 提示　上部分是棱锥，下部分是棱台. 1.(1)棱锥的定义、图形及相关概念 棱锥 定义 有一个面是_________，其余各面都是有一个__________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 图形及表示   如图可记作：棱锥S—ABCD 多边形 公共顶点 知识梳理 棱锥 相关概念 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各个三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 知识梳理 (2)棱台的定义、图形及相关概念 棱台 定义 用一个________棱锥底面的平面去截棱锥，_____和____之间那部分多面体叫做棱台 图形及表示 如图可记作：棱台ABCD—A'B'C'D' 平行于 底面 截面 棱台 相关概念 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 知识梳理 2.棱锥、棱台的分类 (1)按 ，棱锥可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特殊地，底面是 ，并且 与 的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. (2)棱台的分类 依据：由几棱锥截得. 举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)…… 底面多边形的边数 正多边形 顶点 底面中心 3.空间四边形、四面体、正四面体的概念 (1)空间四边形：四条边不在同一平面内的四边形. (2)四面体：由四个三角形围成的多面体，即三棱锥. (3)正四面体：四个面都是正三角形的四面体. 知识梳理 多面体的展开图 4 题型一　多面体的识别 棱柱 侧棱 顶点 棱锥 侧棱 侧面 底面 棱台 O－ABCD A′B′C′D′ 侧棱 侧面 探究1 ①②⑤⑧ ④⑥⑦⑪ ③⑨⑩ 题型二　棱柱的结构特征 探究2 ③④ 题型三　棱锥与棱台的结构特征 √ ①②③ 探究3 √ √ √ 题型四　多面体的平面展开图 √ √ 探究4 有 书读百遍 其义自现 5 平面多边形 互相平行 四边形 互相平行 三角形 底面与截面 反 思 总 结 入 木 三 分 课 后 巩 固 √ √ √ √ √ √ 12 2 0 2 5 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 例1　(1)图①中的几何体叫做________，AA1，BB1是它的________，A，B，C1是它的________． (2)图②中的几何体叫做________， PA，PB为其________，面PBC，PCD叫做它的________，面ABCD是它的________． (3)图③中的几何体叫做______，它是由棱锥__________被平行于底面ABCD的平面________截得的.AA′，BB′为其______，面BCC′B′,DAA′D′为其________． 识别多面体的类型，只需根据棱柱、棱锥、棱台的定义及几何特征判断即可． 思考题1　下列几何体中，是棱柱的有__________；是棱锥的有__________；是棱台的有____________． 例2　如图为长方体ABCD－A1B1C1D1. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ 【解析】　(1)长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为底面是四边形． (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由． 【解析】　(2)平面BCNM把长方体分成两部分，两部分都是棱柱，一部分是三棱柱BMB1－CNC1，另一部分是四棱柱ABMA1－DCND1. 棱柱结构的辨析方法： (1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义． ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行． (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除． 思考题2　下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是________． 【解析】　①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形． ②错误，棱柱的底面可以是三角形． ③正确，由棱柱的定义易知． ④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．所以正确说法的序号是③④. 例3　(1)如图，下列几何体是棱台的是(　　) 【解析】　A不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义与特征，故A不是棱台．B、D中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义与特征，故B、D不是棱台．C中的截面平行于底面，且侧棱的延长线交于一点，符合棱台的定义与特征，故C是棱台． (2)下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②棱锥的侧面只能是三角形； ③由四个面围成的多面体只能是三棱锥； ④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________． 【解析】　①正确，棱台的侧面都是梯形． ②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形． ③正确，由四个面围成的多面体只能是三棱锥． ④错误，如图所示，四棱锥被平面PAC截成的两部分都是棱锥． 判断棱锥、棱台的方法： (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法． (2)直接法 棱锥 棱台 看底面 只有一个底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 思考题3　(1)【多选题】下列说法中，正确的是(　　) A．棱锥的各个侧面都是三角形 B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C．棱锥的侧棱平行 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 【解析】　由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错误． (2)有下列四种叙述： ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； ④棱台的侧棱延长后必交于一点． 其中正确的有(　　) A．0个　　　 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】　①中的平面不一定平行于底面，故①错误；由棱台的定义知，④正确；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错误． 例4　(1)如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是(　　) 【解析】　将平面图形 (2)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2eq \r(3)，D，F分别是棱AB，AA1的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF的周长的最小值为(　　) A．2eq \r(2)＋2　　　 B．2eq \r(3)＋2 C.eq \r(6)＋2 D.eq \r(7)＋2 【思路】　根据正三棱柱的特征可知△ABC为等边三角形，且AA1⊥AD，利用勾股定理求得DF的长.把底面ABC与侧面ACC1A1展开到同一平面，可知当D，E，F三点共线时,DE＋EF取得最小值．从而△DEF的周长取得最小值． 【解析】　∵三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，∴△ABC为等边三角形，且AA1⊥AD. ∵D，F分别是棱AB，AA1的中点，∴DF＝eq \r(12＋（\r(3)）2)＝2. 把底面ABC与侧面ACC1A1展开到同一平面，如图所示．当D，E，F三点共线时，DE＋EF取得最小值． ∵∠FAD＝150°，AF＝eq \r(3)，AD＝1，∴(DE＋EF)min ＝eq \r(AF2＋AD2－2AF·ADcos∠FAD)＝eq \r(4－2\r(3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2))))＝eq \r(7)，∴△DEF周长的最小值为eq \r(7)＋2. 将空间图形转化为平面图形，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法．立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，运用“两点之间线段最短”来解决． 化“曲”为“直”的一般步骤： (1)将几何体沿着某些棱剪开后展开，画出其平面展开图． (2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题． (3)结合已知条件求得结果． 思考题4　(1)水平放置的正方体的六个面分别用前面、后面、上面、下面、左面、右面表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么在这个正方体的前面上的字是________． 【解析】　“有”所在面与“努”所在面是相对面，故填“有”． (2)如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的B点沿正方体的表面爬到盒内的M点，则蚂蚁爬行的最短距离是________． eq \r(17) 【解析】　∵蚂蚁从盒外的B点沿正方体的表面爬到盒内的M点，∴蚂蚁爬行的最短距离是图中BM的长度．∵无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，∴B′B＝2＋2＝4，B′M＝1，∴BM＝eq \r(42＋12)＝eq \r(17). 要点1　多面体 类别 定义 图形 相关概念 多面体 一般地，多面体是由若干个____________所围成的几何体 面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面； 棱：相邻两个面的公共边叫做多面体的棱； 顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点； 体对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段称为多面体的体对角线 要点2　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 类别 定义 图形及表示 相关概念 棱柱 一般地，有两个面________，其余各面都是________，并且相邻两个四边形的公共边都__________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 记作： 棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1(或棱柱AD1等) 底面：两个互相平行的面叫做棱柱的底面； 侧面：除两个底面外其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的_______，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 记作： 棱锥S－ABCD 底面：多边形面叫做棱锥的底面； 侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 顶点：各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，____________之间的部分叫做棱台 记作：棱台ABCD－A1B1C1D1(或棱台AC1等) 上底面：原棱锥的截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 要点3　棱柱、棱锥、棱台的分类 (1)棱柱 ①按底面多边形边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… ②按侧棱与底面的关系分： 直棱柱：侧棱垂直于底面． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面． ③特别地，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱． ④底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体． (2)棱锥 ①按底面多边形边数分：三棱锥、四棱锥、五棱锥…… ②三棱锥又叫四面体． ③底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥． (3)棱台 ①由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫三棱台、四棱台、五棱台…… ②由正棱锥截得的棱台叫正棱台． 要点4　棱柱、棱锥、棱台的展开图及侧面展开图(如下表) 名称 展开图 侧面展开图 正棱柱(以正六棱柱为例) 一组矩形和两个正多边形 一组全等的矩形 正棱锥(以正四棱锥为例) 一组三角形和一个正多边形 一组共顶点的全等的等腰三角形 正棱台(以正三棱台为例) 一组等腰梯形和两个正多边形 一组全等的等腰梯形 1．棱柱的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面的关系是怎样的？ 答：根据棱柱的定义，棱柱的各侧棱互相平行．各侧面是平行四边形，两个底面是全等的多边形． 2．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？ 答：不一定．如图所示，是由两个相同形状的三棱柱叠放在一起形成的几何体，这个几何体就不是棱柱． 3．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？ 答：不一定，如将图1所示的正方体截去两个三棱锥A－A1B1D1和C1－B1CD1，得如图2所示的几何体． 图2有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥． 由此看，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的三个本质特征：①有一个面是多边形；②其余各面是三角形；③这些三角形有一个公共顶点．这三个特征缺一不可，图2所示的几何体不具备特征③. 4．判断一个多面体是棱台的标准是什么？ 答：有如下两点需要注意： ①棱台的上、下底面互相平行，而且相似． ②棱台的侧棱是原棱锥侧棱的一部分，所以棱台的各侧棱的延长线相交于一点．这是判断是否为棱台的一个重要标准． 5．特殊的四棱柱有哪几类？ 答：(1)平行六面体：底面是平行四边形的棱柱． (2)直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体． (3)长方体：底面是矩形的直平行六面体． (4)正四棱柱：底面为正方形的长方体． (5)正方体：棱长都相等的长方体． 6．常见的四棱柱之间有什么关系？ 答：几种常见四棱柱的关系： 7．棱柱、棱锥与棱台之间有什么异同及联系？ 答：棱柱、棱锥与棱台在结构上的相同点是：它们都是由平面多边形围成的几何体，它们都有底面且底面都是多边形；不同点是：棱柱和棱台都有两个底面，而棱锥只有一个底面，棱柱的两个底面是全等的，棱台的两个底面是相似但不全等的．它们之间能够相互转化，棱台是由棱锥截取得到的，棱台的上底面扩大，使上、下底面全等，就是棱柱，棱台的上底面缩为一个点就是棱锥．它们的关系如图所示． 1．【多选题】下面四个命题中假命题是(　　) A．有两个平面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱 B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥 C．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台 D．底面是长方形的直棱柱叫长方体 2．下列关于棱柱的说法中正确的是(　　) A．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 B．棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高 C．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 D．棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行 解析　棱柱的侧面是平行四边形，它的底面可以是平行四边形，故A错误； 在直棱柱中，侧棱的长叫做棱柱的高，若不是直棱柱，则侧棱的长不叫做棱柱的高，故B错误； 棱柱中，也有可能存在两个侧面互相平行，故C错误； 棱柱中，上下底面一定平行，所以至少有两个面互相平行，故D正确． 3．有一个多面体由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为(　　) A．四棱柱　　　　　 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 解析　根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥． 4．下列图形中，不是三棱柱展开图的是(　　) 解析　由图可知，A、B、D可以围成三棱柱，C不是三棱柱展开图．故选C. 5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 解析　棱柱有10个顶点，则该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长都相等，故每条侧棱长为eq \f(60,5)＝12(cm)． $$