第8章 认识概率 复习-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（苏科版）

(2) 答案不唯一,如图所示. (第12题) 13. 2或3或4 [解析] ∵ “选到小 英”的可能性大于0且小于1,∴ 八年 级(1)班的5个参会名额中至少有一 个是女生且不全是女生.∵ 八年级 (1)班有5个参会名额,其中男生必须 有m 人,∴ m 的值为2或3或4. 14. 如图,把9个数填入3×3的正方 形方格中,使各行、各列、各对角线上 的3个数之和均为15. 由此发现,3个数之和为15的组合 中,5有4种可能,2、4、6、8各有3种 可能,1、3、7、9各有2种可能. ∴ 首先取走点数为5的纸牌才能使 自己赢的可能性大. (第14题) 列出所有可能出现的情形 确定事件发生可能性的大小 解决这类问题时,往往需要根 据问题条件将问题恰当转化,将这 9个数分别放到3×3的正方形方 格中,满足各行、各列、各对角线上 的3个数之和均为15,从而列出可 能出现的所有情形,确定可能性最 大的1个数,即为首先要取走的纸 牌的点数,使问题得以解决. 8.3　频率与概率 1. B 2. C 3. 0.911 4. 0.50 5. (1) 0.9;0.9. (2) ① 150×0.9=135(次), ∴ 估计他正中靶心的次数为135. ② 180÷0.9=200(次),200-150= 50(次). ∴ 估计他还需要打50次. 6. B [解析] 袋子中共有15÷0.6= 25(个)球.∵ 25-15=10(个),∴ 袋 子中白球有10个. 7. B [解析] 30÷0.025=1200(条), ∴ 估计鱼塘中鱼的条数为1200. 8. 1.2cm2 [解析] 根据题意,估计 这个区域内白色部分的总面积为2× 2×(1-0.7)=1.2(cm2). 运用频率估计概率 来估计图形的面积 探求这类不规则图形的面积 问题时,常常用投石子或投大头针 等方法得出击中不规则图形部分 的频率,再利用所得频率来估计事 件发生的概率,进而运用概率的意 义建立各项之间的数量关系,从而 估计不规则图形的面积.值得注意 的是,只有经过大量重复试验之后, 才能用事件发生的频率来估计概率. 9. (1) 从左往右依次为0.51;0.49; 0.51;0.50;0.51. (2) 补充完整折线统计图如图所示. (3) ∵ 当试验次数很大时,正面朝上 的频率在0.50附近波动, ∴ 正面朝上的概率的估计值是0.5. (第9题) 10. (1) ①③. (2) m= 93300=0.31 ,n= 3341000= 0.334. 估计随机转动转盘“指针指向黄色区 域”的概率为0.3. (3) 答案不唯一,如将1个绿色区域 改为蓝色区域. 专题特训（二）　根据频率 做估算 1. D 2. C [解析] ∵ 96÷100=0.96, 287÷300≈0.9567,770÷800= 0.9625,958÷1000=0.958,1923÷ 2000=0.9615,∴ 在测试条件相同 的情况下,可估计该品种小麦发芽的 概率 为0.96.∴ 3000×0.96= 2880(粒),即a的值最有可能是2 880. 3. 丙 4. A 5. 4 [解析] 由于多次重复试验后 发现摸出白球的频率在0.4附近摆 动,因此摸出红球的频率约为1- 0.4=0.6.∴ 估计暗箱里的球共有 6÷0.6=10(个).∴ 暗箱里白球的个 数约为10-6=4. 6. (1) 475;0.95. (2) 1-0.95=0.05. ∴ 估计任抽一件产品是不合格品的 概率为0.05. (3) 460×0.05×2=46(元). ∴ 估计要在他的奖金中扣除46元. 第8章复习 ［知识体系构建］ 一定会 1 一定不会 0 无法确定 频率 ［高频考点突破］ 典例1 D [解析] 掷一枚骰子一 次,向上一面的点数是3,是随机事 件,故A不符合题意;篮球队员在罚 球线上投篮一次,未投中,是随机事 件,故B不符合题意;经过有交通信 号灯的路口,遇到红灯,是随机事件, 故C不符合题意;任意画一个三角 形,其内角和是180°,是必然事件,故 D符合题意. [跟踪训练] 1. 随机 典例2 C [解析] 小红从盒中任意 摸出1个小球,有可能是标有“北斗” 的小球,有可能是标有“天眼”的小球, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 有可能是标有“高铁”的小球.∵ 标有 “北斗”的小球有3个,标有“天眼”的 小球有2个,标有“高铁”的小球有 5个,5>3>2,∴ 摸出标有“高铁”的 小球的可能性最大,摸出标有“天眼” 的小球的可能性最小. [跟踪训练] 2. 大于 典例3 D [解析] 对于A,三张扑 克牌,牌面分别是5、7、8,背面朝上洗 匀后,随机抽出一张,牌面是5的概率 为1 3≈0.33 ,不符合题意.对于B,掷 一枚质地均匀的骰子,向上一面的点 数为3的倍数的概率为26= 1 3 ≈ 0.33,不符合题意.对于C,在玩石头、 剪刀、布的游戏中,小明随机出的是剪 刀的概率为1 3≈0.33 ,不符合题意. 对于D,掷一枚质地均匀的硬币,正面 朝上的概率为1 2 ,符合题意. [跟踪训练] 3. C 典例4 (1) 0.6. (2) 估计袋子中黑球的个数为50× 0.6=30. (3) 10;10. [解析] 想使得在这只不 透明袋子中每次摸到黑球的可能性大 小为50%,则可以使得黑球和白球的 个数相同.∴ 可以在袋子中增加相同 的白球10个或减少黑球10个. [跟踪训练] 4. (1) 黑. (2) ∵ 另外拿红球和黑球一共6个放 入袋子中, ∴ 共有5+7+6=18(个)球. ∵ 摸出红球和摸出黑球的可能性相同, ∴ 黑球和红球的数量相等,均为18÷ 2=9(个). ∵ 9-5=4(个),9-7=2(个), ∴ 应放入4个红球、2个黑球. ［综合素能提升］ 1. D 2. B 3. C [解析] 由题意知,布袋中白球 的个 数 可 能 是 40×(1-25% - 45%)=12. 4. B 5. 随机 6. 0.95 7. 小亮 8. 由题意,可得摸出黑球和白球的频 率之和约为1-0.4=0.6, ∴ 估计布袋中共有(7+5)÷0.6= 20(个)球. ∴ 估计布袋中红球的个数为20- (7+5)=8. 第9章　中心对称 图形——平行四边形 9.1　图形的旋转 1. A 2. C 3. 4 72° 4. 100° 5. (1) ∵ ∠BAE=∠CAF, ∴ ∠BAC=∠EAF. ∵ 将线段AC 绕点A 旋转到AF 的 位置, ∴ AC=AF. 在△ABC和△AEF 中, AB=AE, ∠BAC=∠EAF, AC=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△AEF. ∴ BC=EF. (2) ∵ AB=AE,∠B=65°, ∴ ∠AEB=∠B=65°. ∴ ∠BAE=180°-65°×2=50°. ∴ ∠FAG=∠BAE=50°. ∵ △ABC≌△AEF, ∴ ∠C=∠F=28°. ∴ ∠FGC=∠FAG+∠F=50°+ 28°=78°. 6. A 7. B [解析] 由旋转的性质,得 ∠BAC=∠DAE=55°,∠BAD = ∠CAE=40°,AB=AD,∠C=∠E. ∴ ∠B=70°.∴ ∠C=∠E=55°. ∴ ∠AFE=180°-55°-40°=85°. 8. 90° [解析] 如图,连接 AA1、 CC1,分别作AA1、CC1的垂直平分线 交于点D,则点D 为旋转中心.连接 AD、A1D,易 得 ∠ADA1=90°,即 α=90°. (第8题) 9. 5 [解析] ∵ △ABC、△CDE 都 是等边三角形,∴ BC=AC,CE= DC=DE,∠ACB=∠DCE=60°. ∵ ∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°, ∠DCB+ ∠BCE = ∠DCE =60°, ∴ ∠ACD = ∠BCE.在 △CBE 和 △CAD 中, BC=AC, ∠BCE=∠ACD, CE=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBE≌△CAD.∴ BE=AD. ∵ BE=2,AE=7,∴ AD =2. ∴ DE=AE -AD =7-2=5. ∴ CD=5. 10. (1) ∵ △AEF 是由△ABC 绕点 A 按 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到 的, ∴ AB=AE,AC=AF,∠BAC= ∠EAF=45°. ∴ ∠BAE=∠CAF=45°+∠CAE. ∵ AB=AC, ∴ AE=AF. 在△ABE 和△ACF 中, AB=AC, ∠BAE=∠CAF, AE=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ACF. ∴ BE=CF. (2) 由(1),得△ABE≌△ACF, ∴ ∠ABE=∠ACF. ∴ ∠BDC = ∠AOE - ∠ACF = ∠AOE-∠ABE=∠BAC=45°. 11. (1) 如图①,连接CD. 由题 意,得 BC =BD,∠CBD = 180°-2α, ∴ ∠BDC=∠BCD. ∵ ∠BDC+∠BCD+∠CBD=180°, ∴ ∠BDC=180°- (180°-2α) 2 =α. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 25 第8章复习 ▶ “答案与解析”见P6 考点一 事件的识别 典例1 (2024·湖北)下列事件中,属于必然事 件的是 ( ) A. 掷一枚骰子一次,向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中 C. 经过有交通信号灯的路口,遇到红灯 D. 任意画一个三角形,其内角和是180° 跟踪训练 1. 一只不透明的袋子中装有3个红球、1个黑 球,这些球除颜色外其余都相同.从中任意摸 出2个球,则“摸出的球中至少有1个黑球”是 事件(填“必然”“不可能”或“随机”). 考点二 可能性的大小 典例2 (2023·贵州)在学校科技宣传活动中, 某科技活动小组将3个标有“北斗”、2个标有 “天眼”、5个标有“高铁”的小球(除标记外其他 都相同)放入一个不透明的盒中,小红从盒中随 机摸出1个小球,并对小球标记的内容进行介 绍.下列说法中,正确的是 ( ) A. 摸出标有“北斗”的小球的可能性最大 B. 摸出标有“天眼”的小球的可能性最大 C. 摸出标有“高铁”的小球的可能性最大 D. 摸出三种小球的可能性相同 跟踪训练 2. (2024·泰州姜堰一模)一只不透明的袋子中 装有1个红球、2个黑球、1个白球,这些球除 颜色外其余都相同.若从中任意摸出1个球, 则摸出黑球的可能性 摸出白球的可 能性(填“大于”“小于”或“等于”). 考点三 频率与概率之间的关系应用 典例3 某小组做“当试验次数很大时,用频率 估计概率”的试验时,统计了某一结果出现的频 率如下表: 次 数 200 400 600 800 1000 频 率 0.21 0.29 0.30 0.32 0.33 不符合这一结果的试验最有可能是 ( ) A. 三张扑克牌,牌面分别是5、7、8,背面朝上洗 匀后,随机抽出一张,牌面是5 B. 掷一枚质地均匀的骰子,向上一面的点数为 3的倍数 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　认识概率 26 C. 在玩石头、剪刀、布的游戏中,小明随机出的 是剪刀 D. 掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上 跟踪训练 3. 抛掷一枚质地均匀的图钉,图钉落地后,可能 钉尖朝上,也可能钉尖朝下.数学小组的同学 进行抛掷图钉试验,得到的试验数据如下表 (不完整): 试验次数 100 200 300 400 钉尖朝上的次数 m 109 165 221 钉尖朝上的频率 0.57 0.545 0.55 n 试验次数 500 600 700 … 钉尖朝上的次数 278 327 385 … 钉尖朝上的频率 0.556 0.545 0.55 … 下列说法中,错误的为 ( ) A. m 的值为57 B. n的值为0.5525 C. 任意抛掷一枚质地均匀的图钉,钉尖朝上 的概率是0.5 D. 抛掷这枚图钉2000次,钉尖朝上的次数 大约为1100 考点四 方案设计问题 典例4 (2024·扬州广陵期末)一只不透明的 袋子里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的 球共50个.某学习小组做摸球试验,将球搅匀后 从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋 中,不断重复.下表是该小组统计的数据: 摸球的 次数n 1000200030005000 8000 10000 摸到黑球的 次数m 650 118018903100 4820 6013 摸到黑球的 频率m n 0.65 0.59 0.63 0.620.60250.6013 (1) 当n 很大时,摸到黑球的频率将会接近 (精确到0.1). (2) 试估计袋子中黑球的个数. (3) 若学习小组通过试验结果,想使得在这只不 透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为 50%,则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个. (1) 观察表格中摸到黑球的频率即可得到; (2) 大量重复试验中事件的频率可以用来估计概率, 然后用球的总数乘摸到黑球的概率即可求得黑球的 个数;(3) 使得黑球和白球的数量相等即可. 跟踪训练 4. 一只不透明的袋子中装有5个红球、7个黑 球,这些球除颜色外其余都相同. (1) 如果从中任意摸出1个球,那么摸出 (填“红”或“黑”)球的可能性大. (2) 如果另外拿红球和黑球一共6个放入袋 子中,怎样放才能让摸出红球和摸出黑球的 可能性相同? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 27 1. 下列语句描述的事件中,属于随机事件的是 ( ) A. 水能载舟,亦能覆舟 B. 只手遮天,偷天换日 C. 瓜熟蒂落,水到渠成 D. 心想事成,万事如意 2. 有下列事件:① 在足球赛中,弱队战胜强队; ② 抛掷一枚质地均匀的硬币,硬币落地时正 面朝上;③ 任取两个正整数,其和大于1; ④ 长为3cm、5cm、9cm的三条线段能围成 一个三角形.其中,确定事件有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 在一只不透明的布袋中,红球、黑球、白球共 有40个,这些球除颜色不同外其他完全相 同.通过多次摸球试验,发现摸到红球、黑球 的频率分别在25%和45%附近摆动,则布袋 中白球的个数可能是 ( ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 4. 一个不透明的盒子中装有黑球、白球共a个, 小明又放入了4个红球,这些球除颜色外其 余完全相同.每次将球充分搅匀后,任意摸出 1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复 试验,发现摸出红球的频率在20%附近摆 动,则a的值约为 ( ) A. 10 B. 16 C. 25 D. 30 5. “八月十五云遮月,正月十五雪打灯”是一句 谚语,意思是如果八月十五晚上是阴天的话, 那么正月十五晚上就下雪.这句谚语说的是 事件(填“必然”“不可能”或“随机”). 6. 某植物种子在相同的条件下发芽试验的结果 如下表: 每批粒数 50 100 300 400 500 1000 发芽的粒数 45 96 283 380 474 948 该植物种子发芽的概率的估计值是 (精确到0.01). 7. 一个质地均匀的正方体木块的六个面上分别 写有数字2、3、5、6、7、9,小光、小亮随意往桌 面上扔这个木块.规定:当小光扔时,若朝上 的一面写的是偶数,则得1分;当小亮扔时, 若朝上的一面写的是奇数,则得1分.每人扔 100次, (填“小光”或“小亮”)得分 高的可能性比较大. 答案讲解 8. (2024·扬州仪征期末)一个不透明 的布袋中装有除颜色外其余均相同 的7个黑球、5个白球和若干个红 球.每次摇匀后随机摸出一个球,记下颜色 后再放回袋中.通过大量重复的摸球试验, 发现摸出红球的频率在0.4附近摆动,估计 布袋中红球的个数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　认识概率