9.4 专题特训（五）正方形中的常见模型-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（苏科版）

52 　　　　　专题特训（五）　正方形中的常见模型 ▶ “答案与解析”见P23 类型一 与45°有关的模型 1. 如图,在正方形ABCD 中,AB=1,E、F 分别 是边BC、CD 上的点,连接EF、AE、AF,过 点A 作AH⊥EF 于点H,EF=BE+DF. 有下列结论:① EA 平分∠BEF;② FH= FD;③ ∠EAF=45°;④ S△EAF=S△ABE+ S△ADF;⑤ △CEF 的周长为2.其中,正确的 个数是 ( ) (第1题) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 如图,在正方形ABCD 中,点E 在BC 上,点 F在CD 上,连接AE、AF、EF,∠EAF=45°, BE=3,CF=4,则正方形ABCD 的边长为 . (第2题) 3. 如图,在正方形ABCD 中,点E、F 分别在边 BC、CD 上,且∠EAF=45°,AE 与AF 分别 交对角线BD 于点M、N,连接EF.有下列结 论:① ∠BAE+∠DAF=45°;② ∠AEB= ∠AEF=∠ANM;③ BM +DN =MN; ④ BE+DF=EF.其中,正确的是 (填序号). (第3题) 4. 如图,E 为正方形ABCD 外一点,∠BEC= 45°,连接AE. (1) 求∠AEB 的度数. (2) 求证:AE+CE=2BE. (第4题) 5. (2023·南通改编)在正方形ABCD 中,点E 在边BC、CD 上运动(不与正方形的顶点重 合).作射线AE,将射线AE 绕点A 按逆时 针方向旋转45°,交射线CD 于点F. (1) 如图,点E 在边BC 上,BE=DF,则图 中与线段AE 长度相等的线段是 . (2) 过点E 作EG⊥AF,垂足为G,连接 DG,求∠GDC 的度数. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 53 类型二 “三垂直”模型 6. 如图,在正方形ABCD 中,O 为对角线AC、 BD 的交点,E、F 分别为边BC、CD 上一点, 连接OE、OF、EF,OE⊥OF.若∠AOE= 150°,EF=4,则DF 的长为 . (第6题) 7. 如图,正方形ABCD 的边长为5,E、F 是正 方形ABCD 内的两点,且 AE=FC=3, BE=DF=4,求EF 的长. (第7题) 8. 如图,在边长为2的正方形ABCD 中,P 是 对角线AC 上的一个动点(点P 与点A、C 不 重合),过点P 作PE⊥PB,PE 交DC 于点 E,过点E 作EF⊥AC,垂足为F. (1) 求证:PB=PE. (2) 在点P 的运动过程中,PF 的长是否发 生变化? 若不变,请求出PF 的长;若变化, 请说明理由. (第8题) 类型三 “十字架”模型 答案讲解 9. 如图,在正方形ABCD 中,点E、F、 G 分别在CD、AD、BC 上,且FG⊥ BE,垂足为O. (1) 求证:BE=FG. (2) 若O 是BE 的中点,且BC=8,EC=3, 求AF 的长. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　中心对称图形——平行四边形 ∴ CF =EF,CD =ED =AD, ∠DCF=∠DEF. ∴ ∠DEF=∠DAF. ∴ ∠DAF=∠DCF. ∵ ∠FAC + ∠FCA = ∠FAC + ∠DAF+∠DCA=90°, ∴ ∠AFC =180°- (∠FAC + ∠FCA)=90°. 在Rt△ACF 中,AC2=AF2+CF2= AF2+EF2. 在Rt△ACD 中,AD2+CD2=AC2. ∴ 2CD2=AF2+EF2,即 CD2= 1 2 (AF2+EF2). (3) 连接DE、CE、AC、CF,CE 与DP 交于点H. 如图③,当点F 在点D、H 之间时, DF= 22 (a-b). 如图④,当点D 在点F、H 之间时, DF= 22 (b-a). 如图⑤,当点 H 在点F、D 之间时, DF= 22 (a+b). (第12题) 专题特训（五）　正方形中的 常见模型 1. D [解析] ∵ 四边形ABCD 是正 方形,∴ ∠BAD=∠B=∠ADC= 90°,AB=AD.如图,把△ABE 绕点 A 按 逆 时 针 方 向 旋 转 90°,得 到 △ADG, 则 △ABE ≌ △ADG, ∠EAG=∠BAD=90°.∴ ∠ABE= ∠ADG=90°,AE=AG,BE=DG. ∴ ∠FDG = ∠ADF + ∠ADG = 90°+90°=180°.∴ F、D、G 三点共 线.∴ EF=BE+DF=DG+DF= GF.在△AGF 和△AEF 中,∵ AG= AE,GF = EF,AF = AF, ∴ △AGF ≌ △AEF.∴ ∠GAF = ∠EAF,∠1= ∠2.∵ ∠GAF + ∠EAF=∠EAG=90°,∴ ∠EAF= 1 2×90°=45°. 故③正确.∵ ∠1= ∠2,AD⊥FG,AH⊥EF,∴ AD= AH.∵ AD=AB,∴ AH=AB.又 ∵ AH⊥EF,AB⊥BC,∴ EA 平分 ∠BEF.故 ① 正 确.∵ EA 平 分 ∠BEF,∴ ∠AEB = ∠AEH. ∵ ∠AEB+∠BAE=90°,∠AEH+ ∠HAE=90°,∴ ∠BAE=∠HAE. 又∵ EB⊥AB,EH⊥AH,∴ BE= HE.∵ BE =DG,∴ HE =DG. ∵ EF=HE+FH,GF=DG+FD, EF=GF,∴ FH=FD.故②正确. ∵ △AEF ≌ △AGF,∴ S△EAF = S△GAF. ∵ △ABE ≌ △ADG, ∴ S△ABE = S△ADG.∴ S△GAF = S△ADG +S△ADF =S△ABE +S△ADF. ∴ S△EAF =S△ABE +S△ADF.故④正 确.△CEF 的 周 长 =EF+EC+ CF=BE+FD+EC+CF=BC+ CD=2AB=2.故⑤正确.综上所述, 正确的个数是5. (第1题) 2. 6 [解析] 如图,延长CB 至点G, 使BG=DF,连接 AG.∵ 四边形 ABCD 是 正 方 形,∴ AB =AD, ∠BAD=∠ABC=∠D=∠C=90°. ∴ ∠ABG=90°=∠D.在△ABG 和 △ADF 中, AB=AD, ∠ABG=∠D, BG=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABG≌△ADF.∴ AG=AF, ∠BAG=∠DAF.∵ ∠EAF=45°, ∴ 90° - ∠EAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAE + ∠BAG = ∠EAG=45°.∴ ∠EAF=∠EAG. 在 △AEG 和 △AEF 中, AG=AF, ∠EAG=∠EAF, AE=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEG ≌ △AEF.∴ GE =FE.设 正 方 形 ABCD 的边长为x,则DF=x-4, EC=x-3,EF=GE=BG+BE= DF+BE=x-4+3=x-1.在 Rt△EFC 中,EF2=EC2+CF2,即 (x-1)2=(x-3)2+42,解得x=6. ∴ 正方形ABCD 的边长为6. (第2题) 3. ①②④ [解析] ∵ 四边形ABCD 是正 方 形,∴ ∠BAD=∠ABC= ∠ADC=90°,AB=AD=BC=CD. 如图①,把△ADF 绕点A 按顺时针 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 方向旋转90°得到△ABH.由旋转的 性 质,得 BH =DF,AH =AF, ∠BAH = ∠DAF, ∠ABH = ∠ADF=90°.∴ ∠ABC+∠ABH= 180°.∴ H、B、E 三 点 共 线. ∵ ∠EAF = 45°,∴ ∠DAF + ∠BAE=90°-∠EAF=45°.故①正 确.∴ ∠EAH=∠BAH+∠BAE= ∠DAF+∠BAE=45°=∠EAF.在 △AEH 和△AEF 中,∵ AH=AF, ∠EAH = ∠EAF,AE = AE, ∴ △AEH≌△AEF.∴ EH=EF, ∠AEH = ∠AEF.∴ ∠AEB = ∠AEF.∴ BE+DF=BE+BH= EH=EF.故④正确.∵ ∠ANM= ∠ADB+∠DAN=45°+∠DAN, ∠AEB=90°-∠BAE=90°-(45°- ∠DAN ) = 45° + ∠DAN, ∴ ∠ANM =∠AEB=∠AEF.故 ②正确.如图②,将△ADN 绕点A 按 顺时针方向旋转90°得到△ABG,连 接 MG.∴ DN =BG,∠DAN = ∠BAG,AN = AG,∠ADN = ∠ABG=45°.又∵ ∠ABD=45°, ∴ ∠DBG=90°.∴ △BGM 是直角 三角形.∵ ∠DAN+∠BAE=45°, ∴ ∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF, 即∠NAM =∠GAM.又∵ AM = AM,∴ △ANM≌△AGM.∴ MN= GM.∴ MN2=MG2=BG2+BM2= DN2+BM2.故③不正确.综上所述,正 确的是①②④. (第3题) 4. (1) 如图,过点B 作BF⊥BE,交 EC的延长线于点F. ∵ ∠BEC=45°, ∴ ∠F=45°. ∴ ∠F=∠BEC. ∴ BF=BE. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AB=BC,∠ABC=90°. ∴ ∠ABC - ∠CBE = ∠EBF - ∠CBE,即∠ABE=∠CBF. 在△ABE 和△CBF 中, BE=BF, ∠ABE=∠CBF, AB=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△CBF. ∴ ∠AEB=∠F=45°. (2) ∵ △ABE≌△CBF, ∴ AE=CF. 在Rt△BEF 中, ∵ BE2+BF2=EF2,BE=BF, ∴ 2BE=EF. 又∵ EF=CF+CE=AE+CE, ∴ AE+CE=2BE. (第4题) 5. (1) AF. (2) ① 当点E 在边BC上时,如图①, 过点G 作GM⊥AD 于点M,延长 MG,交BC于点N. ∴ ∠DMN=∠AMG=90°. ∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴ AD=CD,∠MDC=∠NCD=90°. ∴ 四边形CDMN 是矩形. ∴ ∠MNC=90°,MN=CD=AD. ∴ ∠GNE=180°-90°=90°. ∵ ∠AMG=90°, ∴ ∠AMG=∠GNE,∠2+∠3=90°. ∵ EG⊥AF,∠EAF=45°, ∴ ∠2+∠1=90°,△AEG 为等腰直 角三角形. ∴ ∠3=∠1,AG=GE. ∴ △AMG≌△GNE. ∴ AM=GN. ∵ AM+MD=GN+MG, ∴ MD=MG. ∴ △MDG 为等腰直角三角形. ∴ ∠4=45°. ∴ ∠GDC=45°. ② 当点E 在边CD 上时,如图②,过 点G 作GN⊥DF,垂足为 N,延长 NG,交BA 的延长线于点M,则易得 四边形ADNM 是矩形. ∴ AM=DN. 同①,可得△AMG≌△GNE. ∴ AM=GN=DN. ∴ △NDG 为等腰直角三角形. ∴ ∠1=45°. ∴ ∠GDC=180°-45°=135°. 综上 所 述,∠GDC 的 度 数 为 45° 或135°. (第5题) 6. 2 [解析] ∵ 在正方形 ABCD 中,AC、BD 为对角线,∴ ∠AOB= ∠BOC =90°,∠OBE = ∠OCF = ∠ODC=45°,OB=OC.∵ ∠AOE= 150°,∴ ∠BOE=60°.∵ OE⊥OF, ∴ ∠EOF=∠BOC=90°.∴ ∠COF= 90° - ∠COE = ∠BOE = 60°. ∴ △BOE≌△COF.∴ OE =OF. ∴ △OEF 是 等 腰 直 角 三 角 形. ∵ EF=4,∴ 易得OF=22.如图, 过 点 F 作 FG ⊥OD 于 点 G. ∵ ∠BOE = 60°,∠EOF = 90°, ∴ ∠DOF =30°.∴ 易 得 GF = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 1 2OF = 2. ∵ FG ⊥ OD, ∴ ∠DGF=90°.又∵ ∠ODC=45°, ∴ △DGF 是等腰直角三角形.∴ 易 得DF=2GF=2. (第6题) 7. 如图,延长 AE 交DF 于点G. ∵ 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 5, ∴ AB=AD=CD=5,∠BAD= ∠ADC=90°. ∵ AB=5,AE=3,BE=4, ∴ AB2=AE2+BE2. ∴ △ABE 是 直 角 三 角 形,且 ∠AEB=90°. 在△ABE 和△CDF 中, ∵ AB=CD,AE=CF,BE=DF, ∴ △ABE≌△CDF. ∴ ∠ABE=∠CDF. ∵ ∠ADF+∠CDF=90°,∠ABE+ ∠BAE=90°,∠BAE+∠DAG=90°, ∴ ∠ABE=∠DAG,∠BAE=∠ADG. 在△AGD 和△BEA 中, ∠GDA=∠EAB, AD=BA, ∠DAG=∠ABE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AGD≌△BEA. ∴ AG=BE=4,DG=AE=3, ∠AGD=∠BEA=90°. ∴ EG=AG-AE=4-3=1,GF= DF-DG=4-3=1,∠EGF=180°- ∠AGD=90°. ∴ EF= EG2+GF2= 12+12= 2. (第7题) 8. (1) 如图①,过点P 作PG⊥BC于 点G,PH⊥DC于点H. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,PG⊥ BC,PH⊥DC, ∴ ∠ACB=∠ACD=45°,∠PGB= ∠PGC=∠PHE=∠BCD=90°. ∴ PG=PH,∠GPH=90°. ∵ PE⊥PB, ∴ ∠BPE=90°. ∴ ∠BPG=90°-∠GPE=∠EPH. 在△PGB 和△PHE 中, ∠PGB=∠PHE, PG=PH, ∠BPG=∠EPH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △PGB≌△PHE. ∴ PB=PE. (2) PF 的长不变. 如图②,连接BD,交AC于点O. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠BOP=90°. ∵ PE⊥PB, ∴ ∠BPE=90°. ∴ ∠PBO=90°-∠BPO=∠EPF. ∵ EF⊥PC, ∴ ∠PFE=90°. ∴ ∠BOP=∠PFE. 在△BOP 和△PFE 中, ∠BOP=∠PFE, ∠PBO=∠EPF, PB=EP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BOP≌△PFE. ∴ BO=PF. ∵ 正方形ABCD 的边长为2, ∴ 易得OB=2. ∴ PF=OB=2. ∴ 在点P 的运动过程中,PF 的长不 变,为2. (第8题) 9. (1) 如图,过点A 作AM∥FG 交 BE 于点N,交BC于点M. ∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴ AD∥BC,AB=BC,∠ABC= ∠C=90°. ∵ FG⊥BE, ∴ ∠FOB=90°. ∵ AM∥FG, ∴ ∠ANB=∠FOB=90°. ∴ ∠ABN+∠BAM=90°. ∵ ∠ABC=90°, ∴ ∠ABN+∠CBE=90°. ∴ ∠BAM=∠CBE. 在△ABM 和△BCE 中, ∠BAM=∠CBE, AB=BC, ∠ABM=∠C, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABM≌△BCE. ∴ AM=BE. ∵ AD∥BC, ∴ AF∥MG. ∵ AM∥FG, ∴ 四边形AMGF 为平行四边形. ∴ AM=FG. ∴ BE=FG. (2) 如图,连接BF、EF. ∵ FG⊥BE,O 是BE 的中点, ∴ BF=EF. 在正 方 形 ABCD 中,AD =AB= DC=BC=8,∠BAD=∠D=90°. ∵ EC=3, ∴ DE=5. 设AF=x,则DF=8-x. 在 Rt△ABF 中,由 勾 股 定 理,得 BF2 =AB2 +AF2 =82 +x2;在 Rt△DEF 中,由勾股定理,得EF2= DE2+DF2=52+(8-x)2. ∵ BF=EF, ∴ BF2=EF2,即82+x2=52+(8- x)2,解得x=2516. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 ∴ AF=2516. (第9题) 专题特训（六）　特殊 四边形中的折叠问题 1. C 2. 20° 3. (1) ∵ 将矩形ABCD 沿对角线 AC折叠, ∴ AD=BC=CE,∠D=∠B= ∠E=90°. 在△DAF 和△ECF 中, ∵ ∠DFA = ∠EFC,∠D = ∠E, AD=CE, ∴ △DAF≌△ECF. (2) ∵ △DAF≌△ECF, ∴ ∠DAF=∠ECF=40°. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠DAB=90°. ∴ ∠EAB = ∠DAB - ∠DAF = 90°-40°=50°. 由折叠的性质,知∠EAC=∠BAC, ∴ ∠BAC=12∠EAB=25°. 4. D [解析] ∵ 四边形ABCD 是矩 形,∴ AB=CD=6cm,AD=BC= 10cm,∠A=∠D=90°.∵ 将△BCE 沿BE 折叠,使点C 的对应点C'落在 AD 上,∴ BC=BC'=10cm,CE= C'E.∴ AC' = C'B2-AB2 = 102-62=8(cm).∴ C'D=2cm. 设DE=x cm,则C'E=CE=(6- x)cm.∵ 在Rt△C'DE 中,C'E2= C'D2+DE2,∴ (6-x)2=4+x2. ∴ x=83.∴ DE=83cm. 5. 3 8 [解析] 如图,连接BB'交EF 于点G,过点F 作FH⊥AD 于点H. ∵ 正方形ABCD 的边长为1,四边形 ABFE 与四边形EFCD 的面积之比 为3∶5,∴ S四边形ABFE= 3 3+5×1× 1=38. 设CF=x,则易得DH=x, BF=1-x.∴ S四边形ABFE= 1 2 (AE+ BF)·AB=38 ,即1 2 (AE+1-x)× 1=38.∴ AE=x-14.∴ DE=1- AE=54-x.∴ EH=DE-DH= 5 4-x-x= 5 4-2x. 由翻折的性质, 可得B'F=BF=1-x,BB'⊥EF, ∴ ∠1+∠2=∠BGF=90°.∵ 易得 ∠2+∠3=90°,∴ ∠1=∠3.又∵ 易 得 FH =BC=1,∠EHF= ∠C, ∴ △EHF ≌ △B'CB.∴ EH = B'C= 54 -2x. 在 Rt△B'FC 中, B'F2=CF2+B'C2,∴ (1-x)2= x2+ 54-2x 2 .整 理,得 4x2 - 3x+ 916=0.∴ 2x-34 2 =0. ∴ 2x-34=0 ,即x=38.∴ FC 的 长为3 8. (第5题) 6. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AB=CD,BC=AD,BC∥AD, ∠A=90°. ∴ ∠BCE=∠DEC. ∵ △CDE 沿CE 折叠得到△CFE,且 B、F、E 三点共线, ∴ ∠BEC=∠DEC,FE=DE=3. ∴ ∠BCE=∠BEC. ∴ BC=BE. ∴ BE=AD. ∴ BE-FE=AD-DE,即BF= AE. ∵ AE2+AB2=BE2,且AB=CD= 7,BE=BF+3, ∴ BF2+72=(BF+3)2. ∴ BF=203. 7. (1) ∵ E 为BC的中点, ∴ BE=EC. 由 折 叠 的 性 质,得 B'E =BE, ∠BEA=∠B'EA. ∴ B'E=EC. ∴ ∠EB'C=∠B'CE. ∵ ∠BEB'=∠BEA+∠B'EA= ∠EB'C+∠B'CE, ∴ ∠BEA=∠B'CE. ∴ AE∥B'C. (2) 如图,连接BB'交AE 于点H. ∵ 在矩形ABCD 中,∠ABE=90°, AB=8,BC=12,E 为BC的中点, ∴ BE=6. ∴ AE= AB2+BE2=10. ∵ 将△ABE 沿直线AE 折叠,点B 落在点B'处, ∴ BH=B'H,BB'⊥AE,即BH 是 △ABE 的高. ∵ S△ABE= 1 2AB ·BE=12AE · BH, ∴ B'H=BH=AB ·BE AE =4.8. ∴ BB'=BH+B'H=9.6. 由(1),知AE∥B'C, ∴ BB'⊥B'C. ∴ ∠BB'C=90°. ∴ B'C= BC2-BB'2= 122-9.62= 7.2. (第7题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62