9.4 矩形、菱形、正方形-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（苏科版）

42 9.4　矩形、菱形、正方形 第1课时 矩形的概念与性质 ▶ “答案与解析”见P15 1. (2024·甘肃)如图,在矩形ABCD 中,对角 线AC、BD 相交于点O,∠ABD=60°,AB= 2,则AC 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 (第1题) (第2题) 2. (2024·东营)如图,四边形ABCD 是矩形, 直线EF 分别交AD、BC、BD 于点E、F、O. 下列条件中,不能证明△BOF≌△DOE 的是 ( ) A. O 为矩形ABCD 两条对角线的交点 B. EO=FO C. AE=CF D. EF⊥BD (第3题) 3. (2024·连云港海州期末)若将 如图所示的矩形ABCD 放入平 面直角坐标系中,点A、B、D 的 坐标分别为(-a,b)、(-4,3)、 (a,b),则点C 的坐标为 . 4. 如图,四边形ABCD 是矩形,点E 在AD 上, EF⊥EC 交AB 于点F,且EF=CE,DE= 2,矩形ABCD 的周长为16.求AE 的长. (第4题) 5. 如图,在矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,过 对角线的交点O 作EF⊥AC,交AD 于点 E,交BC 于点F,则DE 的长是 ( ) A. 7 8 B. 6 5 C. 1 D. 1 2 (第5题) (第6题) 6. 将矩形ABCD 与矩形CEFG 按如图所示的 方式放置,点B、C、E 共线,点C、D、G 共线, 连接 AF,取 AF 的中点 H,连接GH.若 BC=EF=2,CD=CE=1,则GH 的长为 ( ) A. 1 B. 2 3 C. 2 2 D. 5 2 7. 如图,矩形ABCD 的对角线AC、BD 交于点 O,AB=6,BC=8,过点O 作OE⊥AC,交 AD 于点E,过点E 作EF⊥BD,垂足为F, 则OE+EF 的值为 . (第7题) (第8题) 8. 如图,矩形ABCD 的对角线相交于点O,过点 O作OG⊥AC,交AB 于点G,连接CG.若 ∠BOG=15°,则∠BCG 的度数是 . 9. (学科内综合)如图,在平面直角坐标系中,矩 形OABC 的顶点A 在x轴的正半轴上,顶点 C 在y轴的正半轴上,OA=12,OC=9,连接 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 43 AC.若CD 平分∠ACO,交x轴于点D,则点 D 的坐标为 . (第9题) 10. 如图,P 是矩形ABCD 的对角线AC 的延长 线上的一点,PD=12AC ,∠P=52°.求 ∠PDC 的度数. (第10题) 11. 如图,在矩形ABCD 中,E 是AD 的中点, 延长CE、BA 交于点F,连接AC、DF. (1) 求证:四边形ACDF 是平行四边形. (2) 当CF 平分∠BCD 时,若CD=2,求 BC 的长. (第11题) 答案讲解 12. 如图,在矩形ABCD 中,E 为AB 上一定点,F 为BC 上一动点,以 EF 为一边作▱EFGH,点G、H 分别在CD、AD 上.若▱EFGH 的面积不 会随点F 的位置改变而改变,则应满足 ( ) (第12题) A. AD=4AE B. AD=2AB C. AB=2AE D. AB=3AE 答案讲解 13. 如图,在矩形ABCD 中,AB=4, AD=6.延长BC 到点E,使CE= 3,连接DE. (1) 动点P 从点B 出发,以每秒1个单位 长度的速度沿B→C→D→A 向点A 运动, 连接AP.设点P 运动的时间为x 秒,求当 x为何值时,△ABP 与△DCE 全等. (2) 动点P 从点B 出发,以每秒1个单位 长度的速度沿着线段BE 向点E 运动,连 接DP.设点P 运动的时间为t秒,则是否 存在t,使△PDE 为等腰三角形? 若存在, 请求出t的值;若不存在,请说明理由. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　中心对称图形——平行四边形 44 第2课时 矩形的判定 ▶ “答案与解析”见P17 1. (2024·泸州)已知四边形ABCD 是平行四 边形,下列条件中,不能判定▱ABCD 为矩 形的是 ( ) A. ∠A=90° B. ∠B=∠C C. AC=BD D. AC⊥BD 2. (2023·上海)已知在四边形ABCD 中,AD∥ BC,AB=CD.下列条件中,能使四边形 ABCD 为矩形的是 ( ) A. AB∥CD B. AD=BC C. ∠A=∠B D. ∠A=∠D 3. 如图,在▱ABCD 中,AC、BD 交于点O,M、 N 是BD 上的两点,BM=DN.连接AM、 MC、CN、NA.现添加一个条件,使得四边形 AMCN 是矩形,这个条件可以为 (写出一个即可). (第3题) (第4题) 4. 如图,在▱ABCD 中,AC、BD 相交于点O, AC=12,当OD= 时,▱ABCD 是 矩形. 5. (2024·长春)如图,在四边形 ABCD 中, ∠A= ∠B =90°,O 是 边 AB 的 中 点, ∠AOD=∠BOC.求证:四边形ABCD是矩形. (第5题) 6. (易错题)如图,四边形ABCD 为平行四边 形,延长AD 到点E,使DE=AD,连接EB、 EC、DB.添加下列条件后,不能使四边形 DBCE 成为矩形的是 ( ) A. AB=BE B. BE⊥DC C. ∠ADB=90° D. CE⊥DE (第6题) (第7题) 7. 如图,在锐角三角形ABC 中,延长BC 到点 D,O 是边AC 上的一个动点,过点O 作直线 MN∥BC,MN 分别交∠ACB、∠ACD 的平 分线于点E、F,连接AE、AF.有下列结论: ① OE=OF;② CE=CF;③ 若CE=12,则 OC 的长为6;④ 当 AO=CO 时,四边形 AECF 是矩形.其中,正确的是 ( ) A. ①④ B. ①② C. ①③ D. ②③④ 8. 如图,四边形ABCD 为平行四边形,延长AD 到点E,使DE=AD,连接EB、EC、DB.要 使四边形DBCE 成为矩形,可添加的一个条 件是 . (第8题) (第9题) 9. 如图,将▱ABCD 的边DC 延长到点E,使 CE=CD,连接AE 交BC 于点F,∠AFC= n∠D,连接BE、AC.当n= 时,四 边形ABEC 是矩形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 45 10. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC、BD 相交 于点O,点E、F 在BD 上,AE∥CF,连接 AF、CE. (1) 求证:四边形AECF 为平行四边形. (2) 若∠EAO+∠CFD=180°,求证:四边 形AECF 为矩形. (第10题) 11. 如图,在▱ABCD 中,点 E、F 分别在边 AD、BC 上,且AE=FC,连接AF、CE 并 延长,分别交DC、BA 的延长线于点H、G. (1) 求证:△ABF≌△CDE. (2) 当△ABF 满足什么条件时,四边形 AHCG 是矩形? 请说明理由. (第11题) 答案讲解 12. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC、 BD 相交于点O,动点E 以每秒 1个单位长度的速度从点A 出发 沿AC 方向运动,同时动点F 以每秒1个 单位长度的速度从点C 出发沿CA 方向运 动.若AC=12,BD=8,则经过 秒,四边形BEDF 是矩形. (第12题) 答案讲解 13. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC、 BD 相交于点O,直线GH 经过点 O,与BA、DC 的延长线分别交于 点G、H,与AD、CB 分别交于点E、F. (1) 求证:△BOG≌△DOH. (2) 连接AH、CG、DG.若GH=GD,当点 C 位于DH 的什么位置时,四边形AHCG 是矩形? 请说明理由. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　中心对称图形——平行四边形 46 第3课时 菱形的概念与性质 ▶ “答案与解析”见P18 1. (2024·济宁)如图,菱形ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点O,E 是AB 的中点,连接 OE.若OE=3,则该菱形的边长为 ( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 (第1题) (第2题) 2. (2024·临夏)如图,O 是坐标原点,菱形 ABOC 的顶点B 在x轴的负半轴上,顶点C 的坐标为(3,4),则顶点A 的坐标为 ( ) A. (-4,2) B. (-3,4) C. (-2,4) D. (-4,3) 3. 如图,菱形ABCD 的两条对角线相交于点 O.若AC=24,BD=10,则菱形ABCD 的周 长是 . (第3题) (第4题) 4. 如图,菱形ABCD 的对角线AC、BD 相交于 点O,H 为边AB 上的一点,∠AHD=90°, 连接OH.若OA=5,OH=2,则菱形ABCD 的面积为 . 5. 如图,在菱形ABCD 中,AB 的垂直平分线交 对角线AC 于点F,交AB 于点E,连接DF. 求证:AF=DF. (第5题) 6. 如图,菱形ABCD 的对角线AC、BD 相交于 点O,过点A 作AE⊥BC 于点E,连接OE. 若OB=6,菱形ABCD 的面积为54,则OE 的长为 ( ) A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 (第6题) (第7题) 7. 如图,在菱形ABCD 中,∠A=100°,M、N 分 别是边AB、BC 的中点,MP⊥CD 于点P, 连接MN、NP,则∠NPC 的度数为 ( ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 8. 一个菱形的边长为6,面积为28,则该菱形的 两条对角线的长度之和为 ( ) A. 8 B. 12 C. 16 D. 32 9. 如图,四边形ABCD 是菱形,∠ADC=100°, DH⊥AB 于点H,交AC 于点F,则∠AFH 的度数为 . (第9题) (第10题) 10. (易错题)如图,菱形ABCD 的两条对角线 长分别为6和8,M、N 分别是BC、CD 的中 点,P 是对角线BD 上的一点,则PM+PN 的最小值是 . 11. 如图,在▱ABCD 中,E、F 分别是边AD、 BC 的中点,连接AF、CE、AC. (1) 求证:四边形AFCE 是平行四边形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 47 (2) 若四边形AFCE 是菱形,请判断△ABC 的形状,并说明理由. (第11题) 12. 如图,在菱形ABCD 中,∠ADC=120°,点 F 在DB 的延长线上,点E 在DA 的延长线 上,且满足DE=BF.求证:△EFC 是等边 三角形. (第12题) 答案讲解 13. 如图,在菱形ABCD中,点E在对角 线BD 上,点F 在边CD 上,连接 AE、EF,∠AED=60°,∠BAE= 2∠DEF.若DE=8,DF=2,则AE 的长 为 . (第13题) 答案讲解 14. 阅读材料: 问题:如图①,在菱形ABCD 和菱 形BEFG 中,∠ABC=∠BEF= 60°,点A、B、E 在同一条直线上,P 是线段 DF 的中点,连接PG、PC,试探究PG 与 PC 之间的位置关系. 小颖同学的思路:延长GP 交DC 于点H, 构造全等三角形,经过推理使问题得到 解决. 请你参考小颖同学的思路,探究并解决下 列问题: (1) 请你写出材料问题中PG 与PC 之间 的位置关系,并说明理由. (2) 将图①中的菱形BEFG 绕点B 按顺时 针方向旋转,使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线 上,原问题中的其他条件不变(如图②). (1)中的结论是否发生变化? 请判断并说 明理由. (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　中心对称图形——平行四边形 48 第4课时 菱形的判定 ▶ “答案与解析”见P20 1. 已知四边形ABCD 的对角线互相平分.添加 下列条件后,可以使它成为菱形的是 ( ) A. 一组对边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 一个内角为90° 2. (易错题)如图,四边形ABCD 的对角线AC、 BD 相交于点O,OA=OC,且AB∥CD,则添 加下列条件后,能判定四边形ABCD 为菱形 的是 ( ) (第2题) A. AC=BD B. ∠ADB=∠CDB C. ∠ABC=∠DCB D. AD=BC 3. 如图,在▱ABCD 中,过AC 的中点O 的直线 分别交边BC、AD 于点E、F,连接AE、CF. 只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形,这个条件可以是 (写出 一个即可). (第3题) 4. 在四边形ABCD 中,对角线AC、BD 交于点 O.现有下列条件:① AB∥CD;② AO=OC; ③ AB=AD;④ AC 平分∠DAB.从中选取 三个条件,可以判定四边形ABCD 为菱形, 则可以选择的是 (写出所 有可能的情况). 5. 如图,四边形ABCD 是平行四边形,对角线 AC 与BD 相交于点O,E 是AC 延长线上的 一点,连接BE、DE,且BE=DE.求证:四边 形ABCD 是菱形. (第5题) 6. 如图,AD 是△ABC 的中线,O 是AC 的中 点,过点A 作AE∥BC,交DO 的延长线于点 E,连接CE.添加下列一个条件,仍不能判定 四边形ADCE 是菱形的为 ( ) A. AB⊥AC B. AB=AC C. AC 平分∠DAE D. AE=CE (第6题) (第7题) 7. 将两张全等的矩形纸片ABCD、AFCE 按如 图所示的方式交叉叠放在一起,其中AB= AF,AE=BC.若AB=1,BC=3,则重叠(涂 色)部分的面积为 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 3 D. 4 3 (第8题) 8. 如 图,在 四 边 形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD, AC、BD 交于点O.有下列 条 件:① AC ⊥ BD; ② OA=OC;③ CA 平分∠BCD;④ ∠ABC= ∠ADC.其中,能判定四边形ABCD 是菱形 的为 (填序号). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 49 (第9题) 9. 如 图,在 Rt △ABC 中, ∠ACB=90°,AC=4,BC=3, D 为斜边AB 上一点,以CD、 CB 为边作▱CDEB,当 AD 的长为 时,▱CDEB 为菱形. 10. 如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,E、F 是对角线AC 上两点,且∠ABF=∠CDE, AE=CF,连接BE、DF. (1) 求证:△ABF≌△CDE. (2) 当四边形ABCD 的边AB、AD 满足什 么条件时,四边形BEDF 是菱形? 请说明 理由. (第10题) 11. 如图,在▱ABCD 中,∠BAC=90°,E、F 分 别是BC、AD 的中点,连接AE、CF,G 是线 段AC 上一点,且AE=AG,连接EG. (1) 求证:四边形AECF 是菱形. (2) 若AB=6,BC=10,求EG 的长. (第11题) 答案讲解 12. 如图,点E、F 分别在BC、CD 上, 若AB=AE=AF=AD=BC= CD =EF,则 ∠D 的 度 数 为 . (第12题) 答案讲解 13. 如图,在△ABC 中,D 是AB 上一 点,DE⊥AC 于点E,F 是AD 的 中点,FG⊥BC 于点G,交DE 于 点H.若AF=FG,AG 平分∠CAB,连接 GE、GD. (1) 求证:△ECG≌△GHD. (2) 小亮同学经过探究发现:AD=AC+ EC.请你帮助小亮同学证明这一结论. (3) 若∠B=30°,请判断四边形AEGF 是 否为菱形,并说明理由. (第13题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　中心对称图形——平行四边形 50 第5课时 正方形的概念、性质与判定 ▶ “答案与解析”见P21 1. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 对角线相等的平行四边形是正方形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 有一对邻角相等的平行四边形是正方形 2. (易错题)(2024· 青 岛)如图,将正方形 ABCD 先向右平移,使点B 与原点O 重合, 再将所得正方形绕原点O 按顺时针方向旋 转90°,得到四边形A'B'C'D',则点A 的对 应点A'的坐标是 ( ) (第2题) A. (-1,-2) B. (-2,-1) C. (2,1) D. (1,2) 3. (2024·兰州)如图,四边形ABCD 为正方 形,△ADE 为等边三角形,EF⊥AB 于点F. 若AD=4,则EF= . (第3题) 4. 如图,E 是正方形ABCD 的对角线BD 上的 一点,EF⊥BC,EG⊥CD,垂足分别是F、G, 连接GF、AE.若GF=5,则AE= . (第4题) 5. (2024·徐州)如图,四边形ABCD 为正方 形,点E 在BD 的延长线上,连接EA、EC. (1) 求证:△EAB≌△ECB. (2) 若∠AEC=45°,求证:DC=DE. (第5题) 6. 如图,在正方形ABCD 中,E 为边BA 延长 线上一点,点F 在边BC 上,且AE=CF,连 接DF、EF.若∠BFD=β,则∠AEF 等于 ( ) A. 90°-β B. 135°-β C. β-45° D. 2β-135° (第6题) (第7题) 7. (2024·重庆B卷)如图,在边长为4的正方 形ABCD 中,E 是BC 上一点,F 是CD 延长 线上一点,连接AE、AF,AM 平分∠EAF 交 CD 于点M,连接EM.若BE=DF=1,则 DM 的长为 ( ) A. 2 B. 5 C. 6 D. 12 5 (第8题) 8. 如图,在正方形 ABCD 中,E 是边AD 的中点,F 是CE 上的 一点.过点F 作GH⊥CE,分 别交 AB、CD 于点G、H.若 BG=1,CH=5,则AG的长为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 51 9. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活 动的菱形学具,他先活动学具成为如图①所 示的菱形,并测得∠B=60°,接着活动学具 成为如图②所示的正方形,并测得对角线 AC的长为2,则图①中对角线AC 的长为 . (第9题) 10. 如图,四边形ABCD 和四边形CEFG均是正 方形,点K 在BC 上,延长CD 到点 H,使 DH=BK=CE,连接AK、KF、HF、AH. (1) 求证:四边形AKFH 是正方形. (2) 若四边形AKFH 的面积为10,CE=1, 求点A、E 之间的距离. (第10题) 答案讲解 11. 如图,在矩形ABCD 中,AD=6, CD=8,菱形EFGH 的三个顶点 E、G、H 分别在矩形ABCD 的边 AB、CD、DA 上,AH=2,连接CF. (第11题) (1) 当DG=2时,求证:四边形EFGH 是 正方形. (2) 当△FCG 的面积为2时,求DG 的长. 答案讲解 12. 如图,过正方形ABCD 的顶点D 作直线DP,点C 关于直线DP 的 对称点为E,连接AE,直线AE 交 直线DP 于点F. (1) 若∠CDP=25°,求∠DAF 的度数. (2) 请判断线段CD、EF、AF 之间的数量 关系,并说明理由. (3) 在DP 绕点D 转动的过程中,设AF= a,EF=b,请直接用含a、b的式子表示DF 的长. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　中心对称图形——平行四边形 ∴ AC⊥EF. ∴ ∠AOE=90°. ∴ ∠AEF = 180°- ∠DAC - ∠AOE=40°. 8. 41 [解析] 如图,作点A 关于 直线BC 的对称点A',AA'交BC 于 点H,连接A'D 交直线BC 于点M', 连 接 AM'、A'M,则 AH =A'H, AH⊥BC,AM'=A'M',MA=MA'. ∴ MA+MD=MA'+MD≥A'D.当 点M、M'重合时,MA+MD 取得最 小值,最小值为A'D 的长.∵ AB= 4,∠ABC =30°,∴ 易 得 AH = 1 2AB=2.∴ AA'=2AH=4.∵ 四 边形ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC.∵ AH ⊥BC,∴ AA'⊥AD. ∵ AD=5,∴ A'D= AA'2+AD2= 42+52= 41.∴ MA+MD 的最 小值为 41. (第8题) 9. (1) ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠ABC=60°. ∵ ∠EFB=60°, ∴ ∠ABC=∠EFB. ∴ EF∥DC. ∵ EF=DC, ∴ 四边形EFCD 是平行四边形. (2) ∵ BF=EF,∠EFB=60°, ∴ △EFB 是等边三角形. ∴ EB=EF,∠FBE=60°. ∵ DC=EF, ∴ EB=DC. ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠ACB=60°,AB=AC. ∴ ∠ABE=∠ACD. 在△AEB 和△ADC中, EB=DC, ∠ABE=∠ACD, AB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEB≌△ADC. ∴ AE=AD=6. 10. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ ∠D=∠B,AD∥BC. ∴ ∠DPC=∠PCB. ∵ CP 平分∠BCD, ∴ ∠PCD=∠PCB. ∴ ∠DPC=∠PCD. ∴ DP=DC. ∵ CD=CP, ∴ CP=CD=PD. ∴ △PDC是等边三角形. ∴ ∠D=60°. ∴ ∠B=60°. (2) 4.8s或8s或9.6s. [解析] ∵ 四边形ABCD 是平行四边 形,∴ AD∥BC.∴ PD∥BQ.要使以 P、D、Q、B 为顶点的四边形是平行四 边形,则PD=BQ.设运动时间为ts. 根据题意,可知AP=0.5tcm,AD= BC=6cm.① 当0<t≤3时,PD= (6-0.5t)cm,BQ=(6-2t)cm. ∴ 6-0.5t=6-2t,解得t=0,不合 题意,舍去.② 当3<t≤6时,PD= (6-0.5t)cm,BQ=(2t-6)cm. ∴ 6-0.5t=2t-6,解得t=4.8. ③ 当 6<t≤9 时,PD = (6- 0.5t)cm,BQ=(18-2t)cm.∴ 6- 0.5t=18-2t,解得t=8.④ 当9< t≤12时,PD=(6-0.5t)cm,BQ= (2t-18)cm.∴ 6-0.5t=2t-18,解 得t=9.6.综上所述,当运动时间为 4.8s或8s或9.6s时,以P、D、Q、B 为顶点的四边形是平行四边形. (3) 如图,延长AE,交CF 于点H. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,AB∥CD. ∵ CE 平分∠ACF, ∴ ∠ACE=∠HCE. ∵ AE⊥CE, ∴ ∠AEC=∠HEC=90°. 又∵ CE=CE, ∴ △AEC≌△HEC. ∴ AE=HE,AC=HC. ∵ AB∥CD, ∴ ∠ABE=∠HFE. 又∵ ∠AEB=∠HEF, ∴ △ABE≌△HFE. ∴ AB=HF. ∵ AB=CD, ∴ HF=CD. ∵ DF=DH+HF=DH+CD= CH=8, ∴ AC=CH=8. (第10题) 9.4　矩形、菱形、正方形 第1课时 矩形的概念与性质 1. C 2. D 3. (4,3) 4. 设DC=x. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AB =DC,AD =BC,∠A = ∠D=90°. ∴ ∠AFE+∠AEF=90°. ∵ EF⊥EC, ∴ ∠FEC=90°. ∴ ∠AEF+∠DEC=90°. ∴ ∠AFE=∠DEC. 在△AFE 和△DEC中, ∠A=∠D, ∠AFE=∠DEC, EF=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AFE≌△DEC. ∴ AE=DC=x. ∵ DE=2, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 ∴ AD=BC=x+2. ∵ 矩形ABCD 的周长为16, ∴ 2(x+x+2)=16,解得x=3. ∴ AE=3. 5. A [解析] 连接CE.∵ 四边形 ABCD 是 矩 形,∴ ∠ADC =90°, CD=AB=3,AD=BC=4,OA= OC.∵ EF⊥AC,∴ AE=CE.设 DE=x,则 CE=AE=4-x.在 Rt△CDE 中,由勾股定理,得DE2+ CD2=CE2,即x2+32=(4-x)2,解 得x=78.∴ DE=78. 6. C [解析] 延长GH 交AD 于点 P.∵ 四边形ABCD 和四边形CEFG 都是 矩 形,∴ ∠ADC=∠ADG= ∠CGF=90°,AD=BC=2,CG= EF=2,FG=CE=1.∴ AD∥GF. ∴ ∠PAH=∠GFH.∵ H 是AF 的 中点,∴ AH =FH.在△APH 和 △FGH 中, ∠PAH=∠GFH, AH=FH, ∠AHP=∠FHG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △APH≌△FGH.∴ AP=FG= 1,PH=GH=12PG.∴ PD=AD- AP=1.∵ CG=2,CD=1,∴ DG= 1.∴ 在Rt△PDG 中,由勾股定理,得 PG= PD2+DG2= 2.∴ GH= 1 2PG= 2 2. 7. 24 5 8. 15° [解析] ∵ 四边形ABCD 是 矩形,∴ ∠ABC=90°,AO=OC= OB =OD.∴ ∠OCB = ∠OBC. ∵ AO=OC,OG⊥AC,∴ GC=GA, ∠GOC = 90°.∵ ∠BOG = 15°, ∴ ∠COB=90°-15°=75°.∴ ∠OCB= ∠OBC=12 (180°-∠COB)=52.5°. ∴ ∠CAB=180°-∠ABC-∠OCB= 180°-90°-52.5°=37.5°.∵ GC=GA, ∴ ∠ACG = ∠CAB = 37.5°. ∴ ∠BCG=∠OCB-∠ACG=15°. 9. 9 2 ,0 [解 析] ∵ 四 边 形 OABC 是 矩 形,∴ AB=OC=9, BC=OA=12.∴ A(12,0),B(12, 9).如图,过点D 作DM⊥AC 于点 M.∵ CD 平分∠ACO,DO⊥CO, DM ⊥AC,∴ ∠DCO = ∠DCM, ∠COD=∠CMD=90°.又∵ CD= CD,∴ △CDO≌△CDM.∴ OD= MD,OC = MC =9.∵ AC = OC2+OA2 = 92+122 =15, ∴ AM =6.设 OD=DM =m,则 AD =12-m.在 Rt△ADM 中, ∵ AD2=DM2+AM2,∴ (12- m)2=m2+62,解得m=92.∴ 点D 的坐标为 9 2 ,0 . (第9题) 10. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ OD=OC=12AC. ∵ PD=12AC , ∴ PD=OD. ∴ ∠P=∠DOP. ∵ ∠P=52°, ∴ ∠DOP=52°. ∴ ∠ODP=76°. ∵ OD=OC, ∴ ∠ODC=∠OCD= 12 (180°- ∠COD)=64°. ∴ ∠PDC=∠ODP-∠ODC=12°. 11. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AB∥CD. ∴ ∠FAE=∠CDE. ∵ E 是AD 的中点, ∴ AE=DE. 在△FAE 和△CDE 中, ∠FAE=∠CDE, AE=DE, ∠FEA=∠CED, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FAE≌△CDE. ∴ FA=CD. 又∵ CD∥AF, ∴ 四边形ACDF 是平行四边形. (2) ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ ∠BCD=∠ADC=90°,AD=BC. ∵ CF 平分∠BCD, ∴ ∠DCE=45°. ∴ 易得△CDE 是等腰直角三角形. ∴ DE=CD=2. ∵ E 是AD 的中点, ∴ AD=2DE=4. ∴ BC=4. 12. C [解 析] 由 题 意,易 得 △AEH≌△CGF,△BEF≌△DGH. 设AB=a,BC=b,BE=c,BF=x, 则 易 得 S▱EFGH = S矩形ABCD - 2(S△BEF+S△AEH)=ab-2 12cx+ 1 2 (a-c)(b-x) =ab-(cx+ab- ax-bc+cx)=ab-cx-ab+ax+ bc-cx=(a-2c)x+bc.∵ F 为BC 上一动点,∴ x 是变量.∵ ▱EFGH 的面积不会随点F 的位置改变而改 变,为固定值,∴ a-2c=0.∴ a=2c. ∴ E是AB的中点.∴ AB=2AE. 13. (1) 若△ABP 与△DCE 全等,则 BP=CE 或AP=CE. 当BP=CE=3时,x=3÷1=3. 当AP=CE=3时,x=(6+4+6- 3)÷1=13. 综上所述,当x 的值为3或13时, △ABP 与△DCE 全等. (2) 存在. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴ AB=CD =4,AD =BC=6, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 CD⊥BC. 在Rt△DCE 中,CE=3,CD=4, ∴ DE= CD2+CE2=5. 若△PDE 为等腰三角形,则PD= DE 或PE=DE 或PD=PE. 当PD=DE 时, ∵ PD=DE,DC⊥BE, ∴ PC=CE=3. ∴ BP=BC-CP=3. ∴ t=3÷1=3. 当PE=DE=5时, BP=BE-PE=6+3-5=4. ∴ t=4÷1=4. 当PD=PE 时, ∵ PE=PC+CE=3+PC, ∴ PD=3+PC. 在Rt△PDC中,PD2=CD2+PC2. ∴ (3+PC)2=16+PC2. ∴ PC=76. ∴ BP=BC-PC=296. ∴ t=296÷1= 29 6. 综上所述,t的值为3或4或296. 第2课时 矩形的判定 1. D 2. C 3. 答案不唯一,如 AM⊥MC 4. 6 5. ∵ O 是边AB 的中点, ∴ OA=OB. 在△AOD 和△BOC中, ∵ ∠AOD = ∠BOC,OA =OB, ∠A=∠B, ∴ △AOD≌△BOC. ∴ DA=CB. ∵ ∠A=∠B=90°, ∴ ∠A+∠B=180°. ∴ DA∥CB. ∴ 四边形ABCD 是平行四边形. 又∵ ∠A=90°, ∴ 四边形ABCD 是矩形. 6. B [解析] ∵ 四边形ABCD 为平 行四边形,∴ AD∥BC,AD=BC.又 ∵ AD =DE,∴ DE =BC.又 ∵ DE∥BC,∴ 四边形DBCE 为平 行四 边 形.选 项 A:∵ AB=BE, DE=AD,∴ BD⊥AE.∴ ∠BDE= 90°.∴ ▱DBCE 为矩形.故本选项不 符合题意.选项B:对角线互相垂直的 平行四边形不一定为矩形,故本选项 符合题意.选项C:∵ ∠ADB=90°, ∴ ∠EDB=90°.∴ ▱DBCE 为矩 形.故本选项不符合题意.选项 D: ∵ CE ⊥ DE,∴ ∠CED =90°. ∴ ▱DBCE 为矩形.故本选项不符合 题意. 7. A [解 析] ∵ MN ∥BC, ∴ ∠OEC = ∠BCE,∠OFC = ∠DCF.∵ CE、CF 分 别 平 分 ∠ACB、 ∠ACD, ∴ ∠ACE = ∠BCE, ∠ACF = ∠DCF. ∴ ∠OEC = ∠OCE,∠OFC = ∠OCF.∴ OC =OE,OC =OF. ∴ OE=OF.故①正确.∵ ∠BCD= 180°,∴ ∠ECF=∠ACE+∠ACF= 1 2 (∠ACB+∠ACD)=12×180°= 90°.若CE=CF,则∠OEC=45°,即 ∠BCE=45°,即∠ACB=90°.∵ △ABC 是锐角三角形,∴ ∠ACB≠90°.故 ②错误.若CE=12,则没有条件可以 得出 OC 的 长 为 6.故 ③ 错 误. ∵ OE=OF,AO=CO,∴ 四边形 AECF 是平行四边形.又∵ ∠ECF= 90°,∴ 四边形AECF 是矩形.故④正 确.综上所述,正确的是①④. 8. 答案不唯一,如CD=BE [解析] ∵ 四边形ABCD 为平行四边 形,∴ AD ∥BC,AD =BC.又 ∵ AD=DE,∴ DE∥BC,且DE= BC.∴ 四边形DBCE 为平行四边形. ∵ CD=BE,∴ ▱DBCE 为矩形. 9. 2 [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ AB=CD,AB∥CD, BC∥AD.∴ ∠BCE=∠D.∵ CE= CD,∴ AB=CE.又∵ AB∥CE, ∴ 四边形 ABEC 是平行四边形. ∴ EF=12AE ,CF=12BC. 要使四 边形ABEC 是矩形,只需AE=BC, 即EF=CF,此时∠FEC=∠BCE. ∴ ∠AFC = ∠FEC + ∠BCE = 2∠BCE.又 ∵ ∠BCE = ∠D, ∴ ∠AFC=2∠D.∴ n=2. 10. (1) ∵ 四边形ABCD 为平行四 边形, ∴ OA=OC. ∵ AE∥CF, ∴ ∠EAO=∠FCO. ∵ ∠AOE=∠COF, ∴ △AEO≌△CFO. ∴ OE=OF. ∴ 四边形AECF 为平行四边形. (2) ∵ ∠EAO + ∠CFD =180°, ∠CFO+∠CFD=180°, ∴ ∠EAO=∠CFO. ∵ ∠EAO=∠FCO, ∴ ∠FCO=∠CFO. ∴ OC=OF. 由(1),可知OA=OC,OE=OF, ∴ AC=EF. 又∵ 四边形AECF 为平行四边形, ∴ 四边形AECF 为矩形. 11. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AB=CD,∠B=∠D,AD=BC. ∵ AE=FC, ∴ AD-AE=BC-FC,即DE=BF. 在△ABF 和△CDE 中, ∵ AB=CD,∠B=∠D,BF=DE, ∴ △ABF≌△CDE. (2) 当∠BAF=90°时,四边形AHCG 是矩形. 理由:∵ 四边形 ABCD 是平行四 边形, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 ∴ AD∥BC,AB∥CD. ∴ ∠DEC=∠ECB. ∵ △ABF≌△CDE, ∴ ∠BFA=∠DEC. ∴ ∠BFA=∠ECF. ∴ AH∥CG. ∵ AB∥CD,即AG∥CH, ∴ 四边形AHCG 是平行四边形. ∵ ∠BAF=90°, ∴ ∠GAH=90°. ∴ 四边形AHCG 是矩形. 12. 2或10 [解析] 设运动的时间为 t秒.∵ 四边形ABCD 是平行四边 形,AC=12,BD=8,∴ OA=OC= 1 2AC=6 ,OB=OD=12BD=4. 由 题意,得AE=CF=t,∴ OE=OF= 6-t或OE=OF=t-6.∴ 四边形 BEDF 是平行四边形.∴ 当EF= BD 时,四 边 形 BEDF 是 矩 形. ∴ OE=OD.∴ 6-t=4或t-6=4. ∴ t=2或t=10.∴ 经过2秒或 10秒,四边形BEDF 是矩形. 13. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ OB=OD,AB∥CD. ∴ ∠BGO=∠DHO. 在△BOG 和△DOH 中, ∠BGO=∠DHO, ∠BOG=∠DOH, OB=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BOG≌△DOH. (2) 当C 是DH 的中点时,四边形 AHCG 是矩形. 理由:∵ △BOG≌△DOH, ∴ BG=DH. ∵ AB=CD, ∴ AG=CH. 又∵ AG∥CH, ∴ 四边形AHCG 是平行四边形. ∵ GH=GD,C是DH 的中点, ∴ GC⊥CD. ∴ ∠GCH=90°. ∴ 四边形AHCG 是矩形. 第3课时 菱形的概念与性质 1. A 2. C 3. 52 4. 20 5. 如图,连接BF. ∵ EF 垂直平分AB, ∴ AF=BF. ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AD=AB,∠DAF=∠BAF. 又∵ AF=AF, ∴ △DAF≌△BAF. ∴ DF=BF. ∴ AF=DF. (第5题) 6. B [解析] ∵ 四边形ABCD 是菱 形,∴ OA=OC,OB=OD=12BD , BD ⊥AC.∴ BD =2OB =12. ∵ S菱形ABCD = 1 2AC ·BD =54, ∴ AC=9.∵ AE⊥BC,∴ ∠AEC= 90°.∴ OE=12AC=4.5. 7. A [解析] 如图,延长PN,交AB 的延长线于点G.∵ 四边形ABCD 是 菱形,∴ AB=BC,AB∥CD,AD∥ BC.∴ ∠BMP + ∠CPM =180°, ∠G = ∠NPC,∠ABC =180°- ∠A=80°.∵ MP⊥CD,即∠CPM= 90°,∴ ∠BMP=90°.∵ M、N 分别 是边AB、BC 的中点,∴ 易得BM= BN=CN.∴ ∠BMN=∠BNM= 180°-∠MBN 2 =50°. 在△BGN 和 △CPN 中, ∠G=∠NPC, ∠GNB=∠PNC, BN=CN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BGN≌△CPN.∴ GN=PN. ∴ N 是PG 的中点.∵ ∠BMP= 90°,∴ MN = PN = 12 PG. ∴ ∠NMP=∠NPM.∴ ∠BMP- ∠NMP = ∠MPC - ∠MPN,即 ∠BMN=∠NPC.∵ ∠BMN=50°, ∴ ∠NPC=50°. (第7题) 8. C [解析] 如图,四边形ABCD 为 菱形,且AC、BD 交于点O.∵ 四边 形 ABCD 是菱形,∴ OA=OC= 1 2AC ,OD=OB=12BD ,AC⊥BD. ∵ 菱 形 ABCD 的 面 积 为 28, ∴ 1 2BD ·AC=2OD·OA=28①. ∵ 菱形ABCD 的边长为6,∴ 易得 OD2+OA2=36②.由①②两式,得 (OD+OA)2=OD2+OA2+2OD· OA=36+28=64.∴ OD+OA=8. ∴ 2(OD+OA)=16,即该菱形的两 条对角线的长度之和为16. (第8题) 9. 50° 10. 5 [解析] 作点M 关于BD 的对 称点Q,连接MQ、NQ,NQ 交BD 于 点P,连接PM,则PM=PQ,MQ⊥ BD,此时 PM+PN 的值最小,为 QN 的长.∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AB∥CD,AC⊥BD,AB=BC= CD,∠ABP=∠CBP.∴ 易得点Q 在AB 上.∵ MQ⊥BD,∴ AC∥MQ. ∵ M 是BC的中点,∴ BM=12BC. ∴ 易得BQ=BM=12BC= 1 2AB. ∵ N 是CD 的中点,∴ CN=12CD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 ∴ BQ=CN.∵ AB∥CD,即BQ∥ CN,∴ 四边形BQNC 是平行四边 形.∴ NQ=BC.∴ 易得P 为AC、 BD 的交点.∵ 四边形ABCD 是菱 形,∴ CP=12AC=3 ,BP=12BD= 4.在 Rt△BPC 中,由勾股定理,得 BC= BP2+CP2 =5.∴ NQ= BC=5.∴ PM+PN 的最小值是5. 11. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AD∥BC,AD=BC. ∵ E、F 分别是AD、BC的中点, ∴ AE=DE=12AD ,CF=BF= 1 2BC. ∵ AD=BC, ∴ AE=CF. 又∵ AE∥CF, ∴ 四边形AFCE 是平行四边形. (2) △ABC是直角三角形. 理由:∵ 四边形AFCE 是菱形, ∴ AF=CF. ∴ ∠FAC=∠FCA. 又∵ CF=BF, ∴ AF=BF. ∴ ∠FAB=∠FBA. ∵ ∠FAC + ∠FCA + ∠FAB + ∠FBA=180°, ∴ ∠FAB + ∠FAC = 90°,即 ∠BAC=90°. ∴ △ABC是直角三角形. 12. ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AD∥BC,CD=CB. ∴ ∠BCD=180°-∠ADC=180°- 120°=60°. ∴ △BCD 是等边三角形. ∴ ∠BDC=60°. ∴ ∠FBC=∠BCD+∠BDC=120°. ∴ ∠EDC=∠FBC. 在△EDC和△FBC中, ∵ CD =CB,∠EDC = ∠FBC, DE=BF, ∴ △EDC≌△FBC. ∴ CE=CF,∠DCE=∠BCF. ∴ ∠ECF = ∠BCE + ∠BCF = ∠BCE+∠DCE=∠BCD=60°. ∴ △EFC是等边三角形. 13. 5 [解析] 如图,连接AC 交BD 于 点O,连 接 EC.设∠ABD=β, ∠DEF = α,则 ∠BAE = 2α. ∴ ∠AED=∠BAE+∠ABD=2α+ β=60°.∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB∥CD,AC⊥BD,AD=CD, ∠ADE=∠CDE.又∵ DE=DE, ∴ △ADE≌△CDE.∴ ∠AED= ∠CED=60°,AE=CE.∴ ∠CEF= ∠CED-∠DEF=60°-α=2α+β- α=α+β.∵ AB∥CD,∴ ∠EDF= ∠ABD=β.∴ ∠CFE=∠DEF+ ∠EDF=α+β.∴ ∠CFE=∠CEF. ∴ CE = CF.∵ AC ⊥ BD, ∴ ∠EOC=90°.又∵ ∠CED=60°, ∴ ∠ECO=30°.设OE=x,则易得 CE=2x.∴ OC= EC2-OE2 = 3x.在 Rt△COD 中,OD=DE- OE=8-x,CD=CF+DF=CE+ DF=2x+2.由OD2+OC2=CD2, 得(8-x)2+(3x)2=(2x+2)2,解 得x=52.∴ CE=2x=5.∴ AE=5. (第13题) 14. (1) PG⊥PC. 理由:如图①,延 长 GP 交 DC 于 点H. ∵ 四边形ABCD 和四边形BEFG 是 菱形,点A、B、E 在同一条直线上, ∴ DC=BC,GF=GB,CD∥AB∥GF. ∴ ∠PDH = ∠PFG,∠DHP = ∠FGP. ∵ P 是线段DF 的中点, ∴ DP=FP. 在△DPH 和△FPG 中, ∠DHP=∠FGP, ∠PDH=∠PFG, DP=FP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DPH≌△FPG. ∴ PH=PG,DH=FG. ∴ GF=GB=DH. 又∵ DC=BC, ∴ DC-DH=BC-GB,即CH= CG. 又∵ PH=PG, ∴ CP⊥HG,即PG⊥PC. (2) (1)中的结论没有发生变化. 理由:如图②,延 长 GP 交AD 于 点H,连接CH、CG. ∵ P 是线段DF 的中点, ∴ FP=DP. ∵ 易得AD∥FG, ∴ ∠GFP=∠HDP. 又∵ ∠GPF=∠HPD, ∴ △GFP≌△HDP. ∴ GP=HP,GF=HD. ∵ 四边形BEFG 是菱形, ∴ GF=GB. ∴ HD=GB. ∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ CD=CB,∠HDC=∠ABC=60°. ∵ 菱形BEFG 的对角线BF 恰好与 菱形ABCD 的边AB 在同一条直 线上, ∴ ∠EBF=∠ABC=60°. ∵ 易得∠GBF=∠EBF=60°, ∴ ∠GBC = 180° - ∠ABC - ∠GBF=60°. ∴ ∠HDC=∠GBC. 在△DCH 和△BCG 中, CD=CB, ∠HDC=∠GBC, HD=GB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DCH≌△BCG. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 ∴ CH=CG. 又∵ PH=PG, ∴ CP⊥HG,即PG⊥PC. (第14题) 第4课时 菱形的判定 1. C 2. B 3. 答案不唯一,如 AE=AF 4. ①②③或②③④或 ①②④或①③④ 5. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形, ∴ OB=OD. 又∵ OE=OE,BE=DE, ∴ △OBE≌△ODE. ∴ ∠BOE=∠DOE. ∵ ∠BOE+∠DOE=180°, ∴ ∠BOE=90°,即AC⊥BD. ∴ 四边形ABCD 是菱形. 6. B 7. C [解析] 如图,设BC 交AE 于 点G,AD 交CF 于点H.∵ 四边形 ABCD、四边形 AFCE 是全等的矩 形,∴ AB=CE=1,∠B=∠E= 90°,AD∥BC,AE∥CF.∴ 四边形 AGCH 是平行四边形.在△ABG 和 △CEG 中,∵ ∠AGB = ∠CGE, ∠B=∠E,AB=CE,∴ △ABG≌ △CEG.∴ AG=CG.∴ 四 边 形 AGCH 是菱形.设AG=CG=x,则 BG=BC-CG=3-x.在Rt△ABG 中,由勾股定理,得 AB2+BG2= AG2,∴ 12+(3-x)2=x2,解得x= 5 3.∴ CG=53.∴ 菱形AGCH 的面 积=CG·AB=53×1= 5 3 ,即重叠 (涂色)部分的面积为5 3. (第7题) 8. ①②④ 9. 7 5 [解析] 如图,连接CE 交AB 于点O.∵ 在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC =4,BC =3,∴ AB = AC2+BC2 = 42+32 =5.若 ▱CDEB 为菱形,则CE⊥BD,OD= OB.∵ S△ACB = 1 2AB ·OC = 1 2AC · BC,∴ OC = 125. 在 Rt△BOC 中,由勾股定理,得OB= BC2-OC2= 32- 125 2 =95. ∴ AD=AB-2OB=75. (第9题) 10. (1) ∵ AB∥CD, ∴ ∠BAC=∠DCA. ∵ AE=CF, ∴ AE+EF=CF+EF,即AF=CE. 在△ABF 和△CDE 中, ∠ABF=∠CDE, ∠BAF=∠DCE, AF=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABF≌△CDE. (2) 当四边形ABCD 满足AB=AD 时,四边形BEDF 是菱形. 理由:如图,连接BD 交AC于点O. 由(1),得△ABF≌△CDE, ∴ AB=CD,BF=DE,∠AFB= ∠CED. ∴ BF∥DE. ∵ AB∥CD,AB=CD, ∴ 四边形ABCD 是平行四边形. 又∵ AB=AD, ∴ 四边形ABCD 是菱形. ∴ BD⊥AC. ∵ BF=DE,BF∥DE, ∴ 四边形BEDF 是平行四边形. 又∵ BD⊥EF, ∴ 四边形BEDF 是菱形. (第10题) 11. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AD=BC,AD∥BC. ∵ E、F 分别是BC、AD 的中点, ∴ AF=12AD ,EC=12BC. ∴ AF=EC. 又∵ AF∥EC, ∴ 四边形AECF 是平行四边形. ∵ ∠BAC=90°,E 为BC的中点, ∴ AE=12BC=CE. ∴ 四边形AECF 是菱形. (2) 如图,连接EF,交AC于点O. ∵ 在Rt△ABC中,AB2+AC2=BC2, ∴ 62+AC2=102. ∴ AC=8. ∵ AE=12BC=5 ,AE=AG, ∴ AG=5. ∵ 四边形AECF 是菱形, ∴ O 是AC的中点,AC⊥EF. ∴ AO=12AC=4. ∴ 在 Rt△AOE 中, EO = AE2-AO2=3. 又∵ OG=AG-AO=5-4=1, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 ∴ 在 Rt△OEG 中, EG = OE2+OG2= 10. (第11题) 12. 80° [解析] ∵ AB=BC=CD= AD,∴ 四 边 形 ABCD 为 菱 形. ∴ ∠B=∠D,AD∥BC.∴ ∠C+ ∠D=180°.∵ AD=AF,∴ ∠D= ∠AFD.∵ ∠AFC+∠AFD=180°, ∠C+∠D=180°,∴ ∠AFC=∠C. 同理,可得∠C=∠AEC.∴ ∠C= ∠AEC=∠AFC.∵ AE=AF=EF, ∴ △AEF 是 等 边 三 角 形. ∴ ∠EAF = 60°. ∵ ∠EAF + ∠AEC + ∠C + ∠AFC =360°, ∴ ∠AEC+∠C+∠AFC=300°. ∴ ∠C=100°.∵ ∠D+∠C=180°, ∴ ∠D=180°-100°=80°. 13. (1) ∵ AF=FG, ∴ ∠FAG=∠FGA. ∵ AG 平分∠CAB, ∴ ∠CAG=∠FAG. ∴ ∠CAG=∠FGA. ∴ AC∥FG. ∴ ∠DHG=∠CEH. ∵ DE⊥AC, ∴ ∠DHG=∠CEH=90°. ∴ ∠EHG=90°. ∵ FG⊥BC, ∴ ∠CGH=90°. ∴ 四边形CEHG 是矩形. ∴ ∠C=∠DHG=90°,EC=GH. 如图,连接EF. ∵ F 是AD 的中点, ∴ EF=FD. 又∵ ∠DHG=90°,即FG⊥DE, ∴ FG 垂直平分ED. ∴ GE=DG. 在Rt△ECG 和Rt△GHD 中, GE=DG, EC=GH, ∴ Rt △ECG ≌ Rt △GHD,即 △ECG≌△GHD. (2) 如图,过点G作GP⊥AB于点P. 由(1),得∠C=90°, ∴ GC⊥AC. ∵ AG 平分∠CAB, ∴ CG=PG. 又∵ AG=AG, ∴ Rt△CAG≌Rt△PAG. ∴ AC=AP. 由(1),可得EG=DG. 又∵ CG=PG, ∴ Rt△ECG≌Rt△DPG. ∴ EC=DP. ∴ AD=AP+DP=AC+EC. (3) 四边形AEGF 是菱形. 理由:∵ 四边形CEHG 是矩形, ∴ EH∥CG,即ED∥BC. ∴ ∠ADE=∠B=30°. ∴ 易得AE=12AD. ∵ F 是AD 的中点, ∴ AE=AF=FG=12AD. 由(1),得AE∥FG, ∴ 四边形AEGF 是平行四边形. 又∵ AE=AF, ∴ 四边形AEGF 是菱形. (第13题) 第5课时 正方形的概念、 性质与判定 1. C 2. A 3. 2 4. 5 5. (1) ∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴ AB=BC,∠ABE=∠CBE=45°. 在△EAB 和△ECB 中, AB=CB, ∠ABE=∠CBE, BE=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EAB≌△ECB. (2) ∵ 四边形ABCD 为正方形, ∴ ∠BDC=45°. ∵ △EAB≌△ECB,∠AEC=45°, ∴ ∠CED=∠AED=12∠AEC= 22.5°. ∵ ∠BDC=∠CED+∠DCE=45°, ∴ ∠DCE=45°-22.5°=22.5°. ∴ ∠CED=∠DCE. ∴ DC=DE. 6. B [解析] 如图,连接DE.∵ 四 边形ABCD 为正方形,∴ AD=CD, ∠BAD=∠ADC=∠C=∠B=90°. ∴ ∠DAE=90°=∠C.在△ADE 和 △CDF 中,∵ AD=CD,∠DAE= ∠C,AE=CF,∴ △ADE≌△CDF. ∴ DE =DF,∠ADE = ∠CDF. ∴ ∠EDF = ∠ADE + ∠ADF = ∠CDF+ ∠ADF= ∠ADC=90°. ∴ △EDF 为 等 腰 直 角 三 角 形. ∴ ∠EFD =45°.∵ ∠BFD =β, ∴ ∠BFE=∠BFD-∠EFD=β- 45°.∵ ∠B=90°,∴ ∠AEF=180°- ∠B-∠BFE=90°-(β-45°)= 135°-β. (第6题) 7. D [解析] ∵ 四边形ABCD 是边 长为4的正方形,∴ AB=AD=BC= CD=4,∠B=∠ADC=∠C=90°. ∴ ∠ADF=90°=∠B.在△ABE 和 △ADF中, AB=AD, ∠B=∠ADF, BE=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌ △ADF.∴ AE=AF.∵ AM 平分 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 ∠EAF,∴ ∠EAM = ∠FAM.在 △AEM 和 △AFM 中, AE=AF, ∠EAM=∠FAM, AM=AM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEM ≌ △AFM.∴ EM=FM.设DM=x,则 MC=CD-DM=4-x,CE=BC- BE=4-1=3,EM=FM=FD+ DM=1+x.在Rt△MCE 中,根据勾 股定理,得 EM2=MC2+CE2,即 (1+x)2=(4-x)2+32,解得x= 12 5.∴ DM 的长为125. 8. 7 [解析] 过点G 作GM⊥CD 于 点M.∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠B=∠BCD=∠D=90°,AB= BC=CD =AD.∵ GM ⊥CD, ∴ ∠GMC=∠GMH=90°.∴ 四边 形GBCM 是矩形,∠GMH =∠D. ∴ GM=BC=CD,CM=BG=1. ∵ GH ⊥CE,∴ ∠DCE =90°- ∠FHM = ∠MGH.在 △CDE 和 △GMH 中,∵ ∠DCE=∠MGH, CD = GM, ∠D = ∠GMH, ∴ △CDE≌△GMH.∴ DE=MH. ∵ CH=5,∴ DE=MH=CH - CM=4.∵ E 是 边 AD 的 中 点, ∴ AD=2DE=8.∴ AB=AD=8. ∴ AG=AB-BG=8-1=7. 9. 2 [解析] 在正方形ABCD 中, ∠B=90°,∴ AB2+CB2=AC2. ∵ AB=CB,AC=2,∴ 2AB2=4. ∴ AB=2.在菱形ABCD 中,AB= CB=2.∵ ∠B=60°,∴ △ABC 是 等边三角形.∴ AC=AB=2. 10. (1) ∵ 四边形ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形, ∴ AB=AD=DC=BC,GC=EC= FG=EF,∠BAD=∠B=∠BCD= ∠E=∠ADC=90°. ∴ ∠ADH=90°=∠B. ∵ DH=CE=BK, ∴ 易得HG=EK=BC=AD=AB. 在△ADH 和△ABK 中, AD=AB, ∠ADH=∠B, DH=BK, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADH≌△ABK. ∴ ∠HAD=∠KAB. ∴ ∠HAK =∠HAD+∠DAK = ∠KAB+∠DAK=∠BAD=90°. 同 理,可 得 △HGF ≌ △KEF ≌ △ABK≌△ADH, ∴ HF=KF=AK=AH. ∴ 四边形AKFH 是菱形. 又∵ ∠HAK=90°, ∴ 四边形AKFH 是正方形. (2) 如图,连接AE. ∵ 四边形AKFH 的面积为10,四边 形AKFH 是正方形, ∴ KF= 10. ∵ EF=CE=1, ∴ KE= KF2-EF2= 10-1=3. ∴ AB=KE=3. ∵ BK=EF=1, ∴ BE=BK+KE=4. ∴ AE= AB2+BE2= 32+42=5. ∴ 点A、E 之间的距离为5. (第10题) 11. (1) ∵ 四边形ABCD 为矩形, ∴ ∠A=∠D=90°. ∴ ∠DGH+∠DHG=90°. ∵ 四边形EFGH 为菱形, ∴ EH=HG. ∵ AH=2,DG=2, ∴ AH=DG. ∴ Rt△AEH≌Rt△DHG. ∴ ∠AHE=∠DGH. ∴ ∠AHE+∠DHG=∠DGH + ∠DHG=90°. ∴ ∠EHG=90°. ∴ 四边形EFGH 是正方形. (2) 如图,过点F 作FQ⊥DC,交DC 的延 长 线 于 点 Q,连 接 EG,则 ∠FQG=90°. ∴ ∠A=∠FQG. 由矩形和菱形的性质,知AB∥DC, HE∥GF,EH=GF, ∴ ∠AEG=∠QGE,∠HEG=∠FGE. ∴ ∠AEG - ∠HEG = ∠QGE - ∠FGE,即∠AEH=∠QGF. 又∵ EH=GF, ∴ △AEH≌△QGF. ∴ AH=QF=2. ∵ S△FCG= 1 2CG ·FQ=12×CG× 2=2, ∴ CG=2. ∴ DG=CD-CG=6. (第11题) 12. (1) 如图①,连接CE、DE. ∵ 点C关于直线DP 的对称点为E, ∴ CD、ED 关于DP 对称,∠CDP= ∠EDP=25°,CD=ED. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ ∠ADC=90°,AD=CD. ∴ AD=ED,∠ADE=90°+25°+ 25°=140°. ∴ ∠DAF=∠DEA= 12 (180°- ∠ADE)=12× (180°-140°)=20°. (2) CD2=12 (AF2+EF2). 理由:如图②,连接DE、CE、AC、CF. ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AD=CD,∠ADC=90°. ∵ 点C关于直线DP 的对称点为E, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 ∴ CF =EF,CD =ED =AD, ∠DCF=∠DEF. ∴ ∠DEF=∠DAF. ∴ ∠DAF=∠DCF. ∵ ∠FAC + ∠FCA = ∠FAC + ∠DAF+∠DCA=90°, ∴ ∠AFC =180°- (∠FAC + ∠FCA)=90°. 在Rt△ACF 中,AC2=AF2+CF2= AF2+EF2. 在Rt△ACD 中,AD2+CD2=AC2. ∴ 2CD2=AF2+EF2,即 CD2= 1 2 (AF2+EF2). (3) 连接DE、CE、AC、CF,CE 与DP 交于点H. 如图③,当点F 在点D、H 之间时, DF= 22 (a-b). 如图④,当点D 在点F、H 之间时, DF= 22 (b-a). 如图⑤,当点 H 在点F、D 之间时, DF= 22 (a+b). (第12题) 专题特训（五）　正方形中的 常见模型 1. D [解析] ∵ 四边形ABCD 是正 方形,∴ ∠BAD=∠B=∠ADC= 90°,AB=AD.如图,把△ABE 绕点 A 按 逆 时 针 方 向 旋 转 90°,得 到 △ADG, 则 △ABE ≌ △ADG, ∠EAG=∠BAD=90°.∴ ∠ABE= ∠ADG=90°,AE=AG,BE=DG. ∴ ∠FDG = ∠ADF + ∠ADG = 90°+90°=180°.∴ F、D、G 三点共 线.∴ EF=BE+DF=DG+DF= GF.在△AGF 和△AEF 中,∵ AG= AE,GF = EF,AF = AF, ∴ △AGF ≌ △AEF.∴ ∠GAF = ∠EAF,∠1= ∠2.∵ ∠GAF + ∠EAF=∠EAG=90°,∴ ∠EAF= 1 2×90°=45°. 故③正确.∵ ∠1= ∠2,AD⊥FG,AH⊥EF,∴ AD= AH.∵ AD=AB,∴ AH=AB.又 ∵ AH⊥EF,AB⊥BC,∴ EA 平分 ∠BEF.故 ① 正 确.∵ EA 平 分 ∠BEF,∴ ∠AEB = ∠AEH. ∵ ∠AEB+∠BAE=90°,∠AEH+ ∠HAE=90°,∴ ∠BAE=∠HAE. 又∵ EB⊥AB,EH⊥AH,∴ BE= HE.∵ BE =DG,∴ HE =DG. ∵ EF=HE+FH,GF=DG+FD, EF=GF,∴ FH=FD.故②正确. ∵ △AEF ≌ △AGF,∴ S△EAF = S△GAF. ∵ △ABE ≌ △ADG, ∴ S△ABE = S△ADG.∴ S△GAF = S△ADG +S△ADF =S△ABE +S△ADF. ∴ S△EAF =S△ABE +S△ADF.故④正 确.△CEF 的 周 长 =EF+EC+ CF=BE+FD+EC+CF=BC+ CD=2AB=2.故⑤正确.综上所述, 正确的个数是5. (第1题) 2. 6 [解析] 如图,延长CB 至点G, 使BG=DF,连接 AG.∵ 四边形 ABCD 是 正 方 形,∴ AB =AD, ∠BAD=∠ABC=∠D=∠C=90°. ∴ ∠ABG=90°=∠D.在△ABG 和 △ADF 中, AB=AD, ∠ABG=∠D, BG=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABG≌△ADF.∴ AG=AF, ∠BAG=∠DAF.∵ ∠EAF=45°, ∴ 90° - ∠EAF = ∠BAE + ∠DAF = ∠BAE + ∠BAG = ∠EAG=45°.∴ ∠EAF=∠EAG. 在 △AEG 和 △AEF 中, AG=AF, ∠EAG=∠EAF, AE=AE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEG ≌ △AEF.∴ GE =FE.设 正 方 形 ABCD 的边长为x,则DF=x-4, EC=x-3,EF=GE=BG+BE= DF+BE=x-4+3=x-1.在 Rt△EFC 中,EF2=EC2+CF2,即 (x-1)2=(x-3)2+42,解得x=6. ∴ 正方形ABCD 的边长为6. (第2题) 3. ①②④ [解析] ∵ 四边形ABCD 是正 方 形,∴ ∠BAD=∠ABC= ∠ADC=90°,AB=AD=BC=CD. 如图①,把△ADF 绕点A 按顺时针 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32