9.1 图形的旋转-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（苏科版）

28 9.1　图形的旋转 ▶ “答案与解析”见P7 1. 下列图形绕某点旋转90°后,不能与原来的图 形重合的是 ( ) A. B. C. D. 2. 如图,将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转 43°得到△A'B'C.若AC⊥A'B',则∠BAC 的度数为 ( ) (第2题) A. 43° B. 45° C. 47° D. 50° 3. 如图,这个五角星可以由一个基本图形(图中 的涂色部分)绕中心O 至少经过 次 旋转得到,每次至少旋转的度数为 . (第3题) (第4题) 4. 如图,将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转α 得到△AB'C'.若点B'恰好在线段BC 的延 长线上,且∠AB'C=40°,则α= . 5. 如图,在△ABC 中,点E 在边BC 上,AE= AB,将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置, 使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF 与AC 交于点G. (1) 求证:BC=EF. (2) 若∠B=65°,∠C=28°,求∠FGC 的 度数. (第5题) 6. (易错题)如图,若正方形EFGH 是由正方形 ABCD 绕某点旋转得到的,则可以作为旋转 中心的点是 ( ) A. M 或O 或N B. E 或O 或C C. E 或O 或N D. M 或O 或C (第6题) (第7题) 7. 如图,在△ABC 中,∠BAC=55°,将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转α(0°<α<55°)得 到△ADE,DE 交AC 于点F.当α=40°时, 点D 恰好落在BC 上,此时∠AFE 的度数为 ( ) A. 80° B. 85° C. 90° D. 95° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 第9章　中心对称图形——平行四边形 29 答案讲解 8. 如图,在正方形网格中,格点三角形 ABC 绕某点按顺时针方向旋转α (0°<α<180°)得到格点三角形 A1B1C1(三个顶点都在格点上的三角形称 为格点三角形),A1、B1、C1分别为点A、B、 C 的对应点,则α= . (第8题) (第9题) 9. 如图,△ABC、△CDE 都是等边三角形,将 △CDE 绕点C 旋转,使得点A、D、E 在同一 条直线上,连接BE.若BE=2,AE=7,则 CD 的长是 . 10. 如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 45°,△AEF 是由△ABC 绕点A 按逆时针 方向旋转得到的,连接BE、CF 相交于点 D,AC 与BE 相交于点O. (1) 求证:BE=CF. (2) 求∠BDC 的度数. (第10题) 答案讲解 11. (2024·北京)已知∠MAN=α (0°<α<45°),点B、C 分别在射 线AN、AM 上,将线段BC 绕点 B 按顺时针方向旋转180°-2α得到线段 BD,过点D 作AN 的垂线交射线AM 于 点E. (1) 如图①,当点D 在射线AN 上时,求 证:C 是AE 的中点. (2) 如图②,当点D 在∠MAN 内部时,过 点D 作DF∥AN,交射线AM 于点F,用 等式表示线段EF 与AC 之间的数量关系, 并证明. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第9章　中心对称图形——平行四边形 有可能是标有“高铁”的小球.∵ 标有 “北斗”的小球有3个,标有“天眼”的 小球有2个,标有“高铁”的小球有 5个,5>3>2,∴ 摸出标有“高铁”的 小球的可能性最大,摸出标有“天眼” 的小球的可能性最小. [跟踪训练] 2. 大于 典例3 D [解析] 对于A,三张扑 克牌,牌面分别是5、7、8,背面朝上洗 匀后,随机抽出一张,牌面是5的概率 为1 3≈0.33 ,不符合题意.对于B,掷 一枚质地均匀的骰子,向上一面的点 数为3的倍数的概率为26= 1 3 ≈ 0.33,不符合题意.对于C,在玩石头、 剪刀、布的游戏中,小明随机出的是剪 刀的概率为1 3≈0.33 ,不符合题意. 对于D,掷一枚质地均匀的硬币,正面 朝上的概率为1 2 ,符合题意. [跟踪训练] 3. C 典例4 (1) 0.6. (2) 估计袋子中黑球的个数为50× 0.6=30. (3) 10;10. [解析] 想使得在这只不 透明袋子中每次摸到黑球的可能性大 小为50%,则可以使得黑球和白球的 个数相同.∴ 可以在袋子中增加相同 的白球10个或减少黑球10个. [跟踪训练] 4. (1) 黑. (2) ∵ 另外拿红球和黑球一共6个放 入袋子中, ∴ 共有5+7+6=18(个)球. ∵ 摸出红球和摸出黑球的可能性相同, ∴ 黑球和红球的数量相等,均为18÷ 2=9(个). ∵ 9-5=4(个),9-7=2(个), ∴ 应放入4个红球、2个黑球. ［综合素能提升］ 1. D 2. B 3. C [解析] 由题意知,布袋中白球 的个 数 可 能 是 40×(1-25% - 45%)=12. 4. B 5. 随机 6. 0.95 7. 小亮 8. 由题意,可得摸出黑球和白球的频 率之和约为1-0.4=0.6, ∴ 估计布袋中共有(7+5)÷0.6= 20(个)球. ∴ 估计布袋中红球的个数为20- (7+5)=8. 第9章　中心对称 图形——平行四边形 9.1　图形的旋转 1. A 2. C 3. 4 72° 4. 100° 5. (1) ∵ ∠BAE=∠CAF, ∴ ∠BAC=∠EAF. ∵ 将线段AC 绕点A 旋转到AF 的 位置, ∴ AC=AF. 在△ABC和△AEF 中, AB=AE, ∠BAC=∠EAF, AC=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△AEF. ∴ BC=EF. (2) ∵ AB=AE,∠B=65°, ∴ ∠AEB=∠B=65°. ∴ ∠BAE=180°-65°×2=50°. ∴ ∠FAG=∠BAE=50°. ∵ △ABC≌△AEF, ∴ ∠C=∠F=28°. ∴ ∠FGC=∠FAG+∠F=50°+ 28°=78°. 6. A 7. B [解析] 由旋转的性质,得 ∠BAC=∠DAE=55°,∠BAD = ∠CAE=40°,AB=AD,∠C=∠E. ∴ ∠B=70°.∴ ∠C=∠E=55°. ∴ ∠AFE=180°-55°-40°=85°. 8. 90° [解析] 如图,连接 AA1、 CC1,分别作AA1、CC1的垂直平分线 交于点D,则点D 为旋转中心.连接 AD、A1D,易 得 ∠ADA1=90°,即 α=90°. (第8题) 9. 5 [解析] ∵ △ABC、△CDE 都 是等边三角形,∴ BC=AC,CE= DC=DE,∠ACB=∠DCE=60°. ∵ ∠ACD+∠DCB=∠ACB=60°, ∠DCB+ ∠BCE = ∠DCE =60°, ∴ ∠ACD = ∠BCE.在 △CBE 和 △CAD 中, BC=AC, ∠BCE=∠ACD, CE=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBE≌△CAD.∴ BE=AD. ∵ BE=2,AE=7,∴ AD =2. ∴ DE=AE -AD =7-2=5. ∴ CD=5. 10. (1) ∵ △AEF 是由△ABC 绕点 A 按 逆 时 针 方 向 旋 转 得 到 的, ∴ AB=AE,AC=AF,∠BAC= ∠EAF=45°. ∴ ∠BAE=∠CAF=45°+∠CAE. ∵ AB=AC, ∴ AE=AF. 在△ABE 和△ACF 中, AB=AC, ∠BAE=∠CAF, AE=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△ACF. ∴ BE=CF. (2) 由(1),得△ABE≌△ACF, ∴ ∠ABE=∠ACF. ∴ ∠BDC = ∠AOE - ∠ACF = ∠AOE-∠ABE=∠BAC=45°. 11. (1) 如图①,连接CD. 由题 意,得 BC =BD,∠CBD = 180°-2α, ∴ ∠BDC=∠BCD. ∵ ∠BDC+∠BCD+∠CBD=180°, ∴ ∠BDC=180°- (180°-2α) 2 =α. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 ∴ ∠BDC=∠A. ∴ CA=CD. ∵ DE⊥AN, ∴ ∠1+∠A=∠2+∠BDC=90°. ∴ ∠1=∠2. ∴ CD=CE. ∴ CA=CE. ∴ C是AE 的中点. (2) EF=2AC. 如图②,在射线AM 上取点H,连接 BH、DH,使得BH=BA,取EF 的 中点G,连接DG. ∵ BA=BH, ∴ ∠BAH=∠BHA=α. ∴ ∠ABH=180°-2α=∠CBD. ∴ ∠ABC=∠HBD. 又∵ BC=BD, ∴ △ABC≌△HBD. ∴ AC=DH,∠A=∠BHD=α. ∴ ∠FHD=∠BHA+∠BHD=2α. ∵ DE⊥AN, ∴ ∠3=90°. ∵ DF∥AN, ∴ ∠EFD=∠A=α,∠EDF=∠3=90°. ∵ G 是EF 的中点, ∴ GF=GD,EF=2GD. ∴ ∠GFD=∠GDF=α. ∴ ∠HGD=2α. ∴ ∠HGD=∠FHD. ∴ DG=DH. ∵ AC=DH, ∴ DG=AC. ∴ EF=2AC. (第11题) 9.2　中心对称 与中心对称图形 1. A 2. B 3. 2 4. 5 5. ∵ △AGB 与△CGD 关于点G 成 中心对称, ∴ △AGB≌△CGD. ∴ AG=CG,BG=DG. ∵ AF=CE, ∴ AF-EF=CE-EF,即AE=CF. ∵ AG=CG, ∴ AG-AE=CG-CF,即EG=FG. 在△BGF 和△DGE 中, BG=DG, ∠BGF=∠DGE, FG=EG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BGF≌△DGE. ∴ BF=DE. 6. D 7. D [解析] 设点A'的坐标为(m, n).由题意,得点 A(2,7)、A'(m, n)关于点P(5,6)对称,∴ 5=2+m2 , 6=7+n2 .∴ m=8,n=5.∴ 点A'的 坐标为(8,5). 8. (2,1) 9. (-2,3) [解析] 如图,过点C 作 CH⊥AB 于点H.设点C'的坐标为 (m,n).∵ 点A 的坐标为(1,0),点B 的坐标为(3,0),∴ OA=1,OB=3. ∴ AB=2.∵ ∠ACB=90°,AC= BC,CH⊥AB,∴ AH=HB=CH= 1 2AB=1.∴ OH=OA+AH=2. ∴ 点C的坐标为(2,-1).由题意,得 点C、C'关于点D 对称,点D 的坐标 为 (0,1),∴ m+2 2 =0 , n-1 2 =1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 m=-2, n=3. ∴ 点C'的坐标为(-2,3). (第9题) 运用中心对称的性质构建 方程(组)来确定对应点的坐标 探求图形关于已知点成中心 对称的对应点的坐标问题时,常常 运用中心对称的性质确定这对对 称点关于该已知点对称,进而建立 关于点的坐标的方程或方程组,求 得方程或方程组的解,即可确定待 求点的坐标,使问题得以解决. 10. ∵ △ABO 与△CDO 关于点O 成 中心对称, ∴ BO=DO,AO=CO,点A、O、C 共 线,点B、O、D 共线. ∵ AF=CE, ∴ AO-AF=CO-CE,即FO=EO. 在△FOD 和△EOB 中, FO=EO, ∠FOD=∠EOB, DO=BO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FOD≌△EOB. ∴ DF=BE,∠DFO=∠BEO. ∴ DF∥BE. 11. (1) 答案不唯一,如图①所示. (2) 答案不唯一,如图②所示. (3) 答案不唯一,如图③所示. (第11题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8