第17章 专题特训（五）勾股定理中的数学思想-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

专题特训（五）　勾股定理 中的数学思想 1. B [解析] 设Rt△ABC 的 边 AC=a,BC=b,BA=c.∴ a2+b2= c2.易知面积为S2的长方形的长和宽 分别是c-a,c-b,∴ S2=(c-a)· (c-b)=c2-(a+b)c+ab.∵ 面积 为S1 的正方形的边长是a-(c- b)=a+b-c,∴ S1=(a+b-c)2= 3.∴ a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc= 3.∴ 2c2 +2ab-2ac-2bc=3. ∴ c2- (a +b)c +ab =1.5. ∴ S2=1.5. 2. D 3. 【回顾旧知】 ∵ 大正方形的边长 为c, ∴ 大正方形的面积为c2. ∵ 大正方形由四个直角边长为a,b 的直角三角形和一个边长为a-b的 小正方形组成, ∴ 大正方形的面积为4×12ab+ (a-b)2. ∴ 4×12ab+ (a-b)2=c2. ∴ (a-b)2+2ab=c2. ∴ a2+b2=c2. 【拓展应用】 (1) ∵ 大正方形的面积 是25, ∴ c2=25. ∴ a2+b2=25. ∵ (a+b)2=49, ∴ a2+2ab+b2=49. ∴ 2ab=24. ∴ ab=12. ∴ (a-b)2=a2+b2-2ab=1. ∴ 小正方形的面积为1. (2) 如图,BD=a=7,AB=b=4, ∴ BC=3. 由题意,得∠ABC=90°, ∴ AC= AB2+BC2=5. ∴ 涂 色 部 分 的 周 长 为4×(4+ 5)=36. (3) 由题意,得S1=(a+b)2,S2= a2+b2,S3=(a-b)2, ∴ 易得S1+S3=2S2. (第3题) 4. (1) ∵ 四边形ABCD 是长方形, ∴ AB∥CD. ∴ ∠DFA=∠BAF. 由折叠的性质,可得∠BAF=∠MAF, ∴ ∠MFA=∠MAF. ∴ AM=MF. (2) ∵ E 是边BC的中点, ∴ BE=CE=12BC=4. ∵ 四边形ABCD 是长方形, ∴ ∠B=∠BCD=∠ADC=90°, AD=BC=8,CD=AB=6. 由(1),得∠BAE=∠CFE, 又∵ ∠AEB=∠FEC, ∴ △AEB≌△FEC. ∴ AB=FC=6. 设CM=m,则 AM=MF=CM+ FC=m+6,DM=CD-CM=6-m. 在Rt△ADM 中,AM2=AD2+DM2, ∴ (m+6)2=82+(6-m)2,解得 m=83. ∴ CM 的长为83. (3) 当CF=4时,设CM=x. ① 如图①,当点E 在线段BC 上时, AM=MF=x+4,DM=6-x. 在 Rt△ADM 中,AM2 =AD2 + DM2, ∴ (x+4)2=82+(6-x)2,解得 x=215. ∴ CM 的长为215. ② 如图②,当点E 在线段BC 的延长 线上时,AM=MF=x-4,DM= x-6. 在 Rt△ADM 中,AM2 =AD2 + DM2, ∴ (x-4)2=82+(x-6)2,解得 x=21. ∴ CM 的长为21. 综上所述,当CF=4时,CM 的长为 21 5 或21. (第4题) 5. B 6. ∵ AC⊥BD, ∴ 易得CE2+DE2=CD2,DE2+ AE2=AD2,AE2 +BE2 =AB2, CE2+BE2=BC2. ∴ CD2+AB2=CE2+DE2+AE2+ BE2,AD2+BC2=DE2+AE2+ CE2+BE2. ∴ CD2+AB2=AD2+BC2. ∵ AB=3,BC= 13,CD=4, ∴ 42+32=AD2+( 13)2,解得 AD=23(负值已舍去). ∴ AD 的长为23. 第十七章复习 ［知识体系构建］ a2+b2=c2 整数 题设、结论 直角三角形 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 29 　　　专题特训（五）　勾股定理中的数学思想 ▶ “答案与解析”见P13 (第1题) 类型一 利用乘法公式 1. (2024·沧州期末)如图, 以Rt△ABC(∠ACB=90°) 的各边为边向外作正方 形,得到三个正方形,再把 较小的两个正方形放入最 大的正方形中,重叠部分 的面积记作S1,左下不重 叠部分的面积记作S2.若S1=3,则S2 的 值是 ( ) A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 2. (2023·周口期末)若a,b,c是△ABC 的三 边长,且满足(a2+b2)(a-b)-c2(a-b)= 0,则△ABC 的形状是 ( ) A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 答案讲解 3. (2024·江阴期中)【回顾旧知】 学习 “乘法公式”时,我们分别从两个不 同的角度计算如图①所示的正方形 ABCD 的面积,从而得到公式:(a+b)2= a2+b2+2ab.用四个如图②所示的完全一样 的直角三角形可以拼成如图③所示的大正方 形.请根据图③,利用图形的面积关系,推导 a,b,c之间满足的关系式,写出推理过程. 【拓展应用】 利用图③中推导的关系式解答 下列问题: (1) 如果图③中大正方形的面积是25,且 (a+b)2=49,求小正方形的面积. (2) 连接图③中的四条线段得到如图④所示 的新图案.若a=7,b=4,求图④中涂色部分 的周长. (3) 利用八个图②中完全一样的直角三角形 可以拼成如图⑤所示的大正方形,记图中正 方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT 的面积分别为S1,S2,S3,探究S1,S2,S3 之 间满足的关系式. (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十七章　勾股定理 30 类型二 分类讨论的应用 答案讲解 4. (2024·武威期中)如图,在长方形 ABCD 中,AB=6,BC=8,E 是射 线BC 上一个动点,连接AE 并延 长,交射线DC 于点F,将△ABE 沿直线AE 翻折到△AB'E,延长AB'与直线CD 交于 点M. (1) 求证:AM=MF. (2) 当E 是边BC 的中点时,求CM 的长. (3) 当CF=4时,求CM 的长. (第4题) 类型三 方程思想 5. (2024·西安模拟)如图,在3×3的正方形网 格中,每个小正方形的边长都为1,点A,B, C 都在网格线的交点上,则△ABC 的边BC 上的高为 ( ) (第5题) A. 5 4 B. 210 5 C. 10 2 D. 410 5 6. (2024·濮阳期末)如图,在四边形ABCD 中,AC,BD 相交于点E,AC⊥BD.若AB= 3,BC= 13,CD=4,求AD 的长. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下