第17章 专题特训（三）利用勾股定理解决折叠问题&专题特训（四）利用勾股定理求最短路径-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

26 　　专题特训（三）　利用勾股定理解决折叠问题 ▶ “答案与解析”见P10 类型一 与线段有关 答案讲解 1. (2023·合肥三模)如图,在长方形 ABCD 中,AB=4,BC=8,E 是边 BC 上的一动点,沿AE 翻折.若点 B 的对称点F 恰好落在长方形ABCD 的对 称轴上,则折痕AE 的长是 . (第1题) 2. (2024· 广 州 期 末)如图,在长方形纸片 ABCD 中,AB=4,将纸片折叠.使顶点B 落 在边AD 上的点E 处,折痕的一端点G 在边 BC 上. (1) 如图①,当折痕的另一端点F 在边AB 上且AE=2时,求AF 的长. (2) 如图②,当折痕的另一端点F 在边AD 上且BG=5时,点A 的对应点为H,求FG 的长. (第2题) 类型二 与面积有关 3. (2024·衡阳期末)如图,在长方形ABCD 中,将长方形沿EF 折叠,使点C 的对应点与 点A 重合,点D 的对应点为G.若AB=4, BC=8,则△ABE 的面积为 . (第3题) 答案讲解 4. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,点 E,F 在边AB 上,将边AC 沿CE 折 叠,使点A 落在AB 上的点D 处,再 将边BC 沿CF 折叠,使点B 落在CD 的延 长线上的点B'处. (1) 求∠ECF 的度数. (2) 若CE=4,B'F=1,求线段BC 的长和 △ABC 的面积. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 27 　　专题特训（四）　利用勾股定理求最短路径 ▶ “答案与解析”见P11 类型一 在圆柱上的最短路径 1. ★如图,圆柱的高BC=12πcm,其底面圆周 长是16πcm,P 为BC 的中点,一只蚂蚁从点 A 处沿圆柱的外壁爬到点P 处,则蚂蚁爬行 的最短路程是 ( ) A. 12πcm B. 11πcm C. 10πcm D. 9πcm (第1题) (第2题) (第3题) 2. (2024·永州期末)如图,小红想用一条彩带 缠绕一个圆柱形易拉罐,正好从底端A 处绕 到顶端B 处共4圈.若易拉罐的底面周长是 24cm,高是28cm,则所需彩带最短的长度 是 cm. 答案讲解 3. (2023·绍兴期中)如图,透明圆柱 形容器(容器的厚度忽略不计)的高 为10cm,底面周长为10cm,在容器 内壁离容器底部3cm的点B 处有一饭粒,此 时一只蚂蚁正好在容器外壁与点B 相对且 距离容器上沿2cm的点A 处,则蚂蚁吃到饭 粒需爬行的最短路径长是 cm. 4. (2024·河北期中)【阅读材料】 如图①,圆柱 的高为12cm,底面圆的周长为18cm.在圆 柱下底面的点A 处有一只蚂蚁,它想吃到上 底面与点A 相对的点B 处的食物,蚂蚁沿圆 柱侧面爬行的最短路线的长是多少? 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问 题,应把立体图形展开成平面图形,再确定 A,B 两点的位置,依据“两点之间线段最 短”,结合勾股定理,解决相应的问题.在圆柱 的侧面展开图中,点A,B 对应的位置如图② 所示,利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最 短路线(线段AB)的长. 【方法应用】 (1) 如图③,圆柱形玻璃容器的 高为18cm,底面周长为60cm,在外侧距下 底1cm的点S处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆 柱形玻璃容器的上口外侧距开口处1cm的 点F 处有一苍蝇.试求急于捕获苍蝇充饥的 蜘蛛所走的最短路线的长. (2) 如图④,长方体的棱长AB=BC=6cm, AA1=14cm.假设昆虫甲从盒内顶点C1 处 开始以1cm/s的速度在盒子的内部沿棱 C1C向下爬行,同时昆虫乙从盒内顶点A 处 以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行,那么 昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆 虫甲? (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十七章　勾股定理 28 类型二 在长方体上的最短路径 答案讲解 5. (2023·成都期末)如图,一个长方体 盒子的长、宽、高分别为9cm,7cm, 12cm,一只蚂蚁想从盒底的点A 处 沿盒子的表面爬到盒顶的点B 处,那么它爬 行的最短路程是 cm. (第5题) 6. (2023·常州期中)(1) 如图①,长方体的长 为10cm,宽为8cm,高为16cm,BC=4cm. 若一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A 处 爬行到点B 处,则需要爬行的最短路程是 cm. (2) 如图②,小明家住20楼,一天他与爸爸 去买了一根长为3m的钢管.如果电梯的长、 宽、高分别是1.5m,1.5m,2.5m,在不损坏 钢管的前提下,请你帮小明计算一下这根钢 管能否放进电梯内. (第6题) 类型三 在其他图形上的最短路径 7. (2023·松原期末)如图,有一个三级台阶,每 一级的长、宽、高分别是50cm,30cm,10cm, A 和B 是这个台阶的两个相对的顶点.有一 只壁虎从点A 处出发,沿着台阶面爬向点B 处去吃可口的食物,则这只壁虎至少需要爬 cm. (第7题) (第8题) 8. (2024·临沂期末)如图所示为某公园内云顶 滑雪场U型池的示意图,该场地可以看成是 从一个长方体中挖去了半个圆柱而成,它的 横截面图中半圆的半径为12 π m ,其边缘 AB=CD=24m,点E 在CD 上,CE=4m, 一名滑雪爱好者从点A 滑到点E,则他滑行 的最短路线长为 m. 9. (2023·德阳)如图,在底面为等边三角形的 直三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中,AB =23, AA1=2,M 为AC 的中点,一只小虫从点B1 处沿三棱柱ABC-A1B1C1 的表面爬行到点 M 处,求这只小虫爬行的最短路程. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 ∴ CB2=CH2+HB2. ∴ △BCH 是直角三角形, ∠BHC=90°. ∴ CH⊥AB. ∴ CH 是从村庄C到河边最近的路. (2) 设CA=x千米,则AB=x千米, AH=(x-2)千米. 在Rt△ACH 中,AH2+CH2=CA2, 即(x-2)2+32=x2,解得x=134. ∴ CA=134 千米. ∵ CA-CH=134-3=0.25 (千米), ∴ 新路CH 比原路CA短0.25千米. 8. (1) △ABC为直角三角形. 理由:∵ DE⊥AC,DE=4m,△ACD 的面积是26m2, ∴ 易得AC=13m. ∵ AB=12m,BC=5m, ∴ AB2+BC2=AC2. ∴ △ABC为直角三角形. (2) 由(1)知,△ABC为直角三角形, ∴ S四边形ABCD =S△ABC +S△ACD = 1 2AB ·BC+26=12×12×5+26= 56(m2). ∴ 这块四边形绿地ABCD 的面积为 56m2. 9. (1) 锐角. (2) 13或 119. [解析]∵ 一个三 角形的三边长分别是5,12,x,且这个 三角形是直角三角形,∴ x2=52+ 122或122=52+x2.∴ x=13或x= 119(负值已舍去).∴ x 的值为13 或 119. (3) 这个三角形是直角三角形. 理由:∵ (m2-n2)2+(2mn)2=m4- 2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+ n4=(m2+n2)2, ∴ 这个三角形是直角三角形. 专题特训（三）　利用勾股 定理解决折叠问题 1. 42或833 [解析]分两种情况: ① 如图①,当点 F 恰好在长方形 ABCD 的对称轴MN 上时,点F 与点 M 重合,点E 与点N 重合,则BE= 1 2BC=4.∵ 四边形ABCD 是长方 形,∴ ∠B=90°.∴ 在Rt△ABE 中, 由 勾 股 定 理, 得 AE = AB2+BE2 = 42+42 =42. ② 如图②,当点 F 恰好在长方形 ABCD 的对称轴GH 上时,过点F 作 PQ∥AB,交AD 于点P,交BC 于点 Q,则易得PQ⊥AD,PQ⊥BC,PF= QF=12AB=2 ,AP=BQ.∵ 四边形 ABCD 是长方形,∴ ∠B=90°.由折 叠的性质,得AF=AB=4,BE=EF. 在 Rt△APF 中,由 勾 股 定 理,得 AP= AF2-PF2 = 42-22 = 23.∴ BQ=AP=23.设 BE= EF=x,则EQ=BQ-BE=23- x.在Rt△EFQ 中,由勾股定理,得 QF2 + EQ2 = EF2,即 22 + (23-x)2=x2,解得x=433 . ∴ BE=433 . 在Rt△ABE 中,AE= AB2+BE2 = 42+ 43 3 2 = 83 3 . 综上所述,当点F 恰好落在长 方形ABCD 的对称轴上时,折痕AE 的长是42或833 . (第1题) 2. (1) ∵ 四边形ABCD 是长方形, ∴ ∠A=∠B=90°. 设AF=m,则BF=AB-AF=4-m. 由折叠的性质,得∠FEC=∠B= 90°,EF=BF=4-m. 在Rt△EAF 中,由 勾 股 定 理,得 AE2+AF2=EF2,即22+m2=(4- m)2,解得m=32. ∴ AF 的长为32. (2) 如图,过点E 作EN⊥BC 于点 N,过点F 作FM⊥BC于点M. ∵ EN⊥BC,FM⊥BC, ∴ ∠ENG=90°,∠FMB=90°. ∴ 易得EN=AB=4,FM=AB=4, AE=BN,BM=AF. 由折叠的性质,得GE=BG=5, ∴ 在Rt△GEN 中,由勾股定理,得 GN= GE2-EN2= 52-42=3. ∴ BN=BG+GN=5+3=8. ∴ AE=BN=8. 设 AF=x,则 EF=AE-AF= 8-x. 由折叠的性质,得 FH =AF=x, HE=AB=4,∠H=∠A=90°, ∴ 在Rt△EHF 中,由勾股定理,得 FH2+HE2=EF2,即x2+42=(8- x)2,解得x=3. ∴ AF=3. ∴ BM=AF=3. ∴ MG=BG-BM=5-3=2. ∴ 在Rt△FMG 中,由勾股定理,得 FG= FM2+MG2 = 42+22 = 25. (第2题) 3. 6 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 4. (1) 由折叠的性质可知,∠ACE= ∠ECD = 12∠ACD ,∠BCF = ∠B'CF=12∠BCB'. ∵ ∠ACB=∠ACD+∠BCB'=90°, ∴ ∠ECD+∠FCD=12 (∠ACD+ ∠BCB')= 12 × 90°= 45° ,即 ∠ECF=45°. (2) 由折叠的性质可知,∠DEC= ∠AEC=90°,BF=B'F=1, ∴ ∠EFC = 180° - ∠DEC - ∠ECF=45°=∠ECF. ∴ EF=CE=4. ∴ BE=EF+BF=4+1=5. 在Rt△BCE 中,由勾股定理,得BC= BE2+CE2= 52+42= 41. 设AE=x,则AB=x+5. ∵ 在 Rt△ACE 中,AC2=AE2+ CE2,在 Rt△ABC 中,AC2 = AB2-BC2, ∴ AE2+CE2=AB2-BC2,即x2+ 42=(x+5)2-(41)2,解得x=165. ∴ AE=165 ,AB=165+5= 41 5. ∴ S△ABC= 1 2AB ·CE=12× 41 5× 4=825. 专题特训（四）　利用勾股 定理求最短路径 1. C [解析]如图,将圆柱的侧面沿 点A 所在的竖直直线展开,连接AP, 即最短路程是AP 的长.∵ 圆柱的底 面圆周长为16πcm,∴ 易得AB= 8πcm.∵ BC=12πcm,P 为BC的中 点,∴ BP=12BC=6πcm. 由题意, 得∠ABP=90°,∴ 在Rt△ABP 中, 由勾股定理,得AP= AB2+BP2= (8π)2+(6π)2=10π(cm). (第1题) 解决几何体表面上两点之间的 最短路程问题的方法 首先将几何体表面展开,即将 立体几何问题转化为平面几何问 题,然后根据两点之间线段最短去 确定路线,最后利用勾股定理进行 计算. 2. 100 [解析] 如图,将易拉罐表面 切开展开呈长方形,∵ 彩带从易拉罐 底端的A 处绕易拉罐4圈后到达顶 端的B 处,∴ 彩带的长度为4个长方 形的对角线长度之和.设彩带的长度 是xcm,则AN=x4cm.∵ 易拉罐的 底面周长是24cm,高是28cm,∴ 易 得MN=14AB=7cm ,AM=24cm. 在Rt△AMN 中,由 勾 股 定 理,得 AN2 =AM2 +MN2,即 x4 2 = 242+72,解得x=100(负值已舍去). ∴ 所需彩带最短的长度是100cm. (第2题) 3. 106 [解析] 如图,将圆柱沿点 A 所在的高剪开,展平,则 MM'= NN'=10cm,MN=10cm,AM= 2cm,BE=3cm.作点A 关于MM'的 对称点A',连接 A'B,则此时线段 A'B 即为蚂蚁爬行的最短路径.过点 B 作BD⊥MN 于点D,则易得BD= NE=5cm,A'D=MN+A'M-BE= 10+2-3=9(cm).在Rt△A'BD 中, 由 勾 股 定 理, 得 A' B = A'D2+BD2= 106cm. (第3题) 4. (1) 如图①所示为圆柱形玻璃容 器的侧面展开图,连接SF,则线段 SF 就是蜘蛛走的最短路线. 过点S作SN⊥CD 于点N. ∵ ∠SNF=90°,FN=18-1×2= 16(cm),SN=12×60=30 (cm), ∴ SF= SN2+FN2= 302+162=34(cm). ∴ 蜘蛛所走的最短路线的长为34cm. (2) 如图②所示为长方体的部分侧面 展开图,设昆虫甲从顶点C1 处沿棱 C1C向顶点C 爬行的同时,昆虫乙从 顶点A 处按路径A→E→F 爬行. 设昆虫乙捕捉到昆虫甲需要xs. ∵ 昆虫甲、昆虫乙的爬行速度都 是1cm/s, ∴ AF=xcm,C1F=xcm. 由题意,易得 AC=12cm,AA1= CC1=14cm,∠C=90°, ∴ CF=CC1-C1F=(14-x)cm. ∴ 在Rt△ACF 中,AF2 =AC2 + CF2,即x2=122+(14-x)2,解得 x=857. ∴ 昆虫乙至少需要85 7s 才能捕捉到 昆虫甲. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 (第4题) 5. 20cm [解析] ① 沿高展开,如图 ①,展开后连接AB,则AB 就是在表 面上从点A 处到点B 处的最短距离. 在 Rt△ABM 中,由 勾 股 定 理,得 AB= AM2+BM2= (9+7)2+122= 400=20(cm). ② 沿长展开,如图②,展开后连接 AB,则AB 就是在表面上从点A 处 到点B 处的最短距离.在Rt△ADB 中,由 勾 股 定 理,得 AB = AD2+BD2 = 92+(12+7)2 = 442(cm). ③ 沿宽展开,如图③,展开后连接 AB,则AB 就是在表面上从点A 处 到点B 处的最短距离.在Rt△ANB 中,由 勾 股 定 理,得 AB = AN2+BN2 = 72+(12+9)2 = 490=7 10(cm).∵ 20< 442< 7 10,∴ 蚂蚁爬行的最短路程是 20cm. (第5题) 6. (1) 20. (2) 如图,连接AB,BC. 由勾股定理,得AB= 1.52+1.52= 4.5(m), ∴ BC= AB2+AC2= 4.5+2.52= 10.75(m). ∵ 10.75>3, ∴ 这根钢管能放进电梯内. (第6题) 7. 130 8. 4 34 [解析] 如图所示为U型 池中半个圆柱的展开图,连接AE,则 线段AE 的长即为滑行的最短路线 长.∵ 横截面图中半圆的半径为12 πm , ∴ AD=2π×12π × 1 2 =12 (m). ∵ CD=24m,点E在CD上,CE=4m, ∴ DE=CD-CE=24-4=20(m). 在 Rt△ADE 中,由 勾 股 定 理,得 AE= AD2+DE2= 122+202= 4 34(m),即他滑行的最短路线长为 4 34m. (第8题) 9. 如图①,将三棱柱ABC-A1B1C1 的侧面BB1C1C 和侧面CC1A1A 沿 CC1展开在同一平面内,连接MB1. ∵ M 为 AC 的 中 点,△ABC 和 △A1B1C1为等边三角形, ∴ CM=12AC= 1 2×23=3. ∴ BM=CM+BC=33. 在 Rt△MBB1 中,由勾股定理,得 B1M= BM2+B1B2= 31. 如 图 ②,把 底 面 ABC 和 侧 面 BB1A1A 沿AB 展开在同一平面内, 连接MB1,过点M 作MF⊥A1B1 于 点F,交AB 于点E,则易得 ME⊥ AB,EF=AA1,AE=A1F. ∵ △ABC是等边三角形, ∴ 在Rt△AME 中,∠MAE=60°. ∴ 易得ME=32 ,AE= 32. ∴ MF=ME+EF=ME+AA1= 7 2 ,B1F=A1B1-A1F= 33 2 . 在 Rt△MFB1 中,由勾股定理,得 B1M= MF2+B1F2= 19. 如图 ③,把 底 面 A1B1C1 和 侧 面 AA1C1C沿A1C1 展开在同一平面 内,连接B1M,交A1C1于点N,则易 得 B1M ⊥ AC,B1N ⊥ A1C1, MN=AA1. ∵ △A1B1C1是等边三角形, ∴ 在Rt△A1NB1中,∠NA1B1=60°. ∴ 易得NB1=3. ∴ B1M=NB1+MN=5. ∵ 19<5< 31, ∴ 这只小虫爬行的最短路程为 19. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21