第17章 勾股定理 复习-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

专题特训（五）　勾股定理 中的数学思想 1. B [解析] 设Rt△ABC 的 边 AC=a,BC=b,BA=c.∴ a2+b2= c2.易知面积为S2的长方形的长和宽 分别是c-a,c-b,∴ S2=(c-a)· (c-b)=c2-(a+b)c+ab.∵ 面积 为S1 的正方形的边长是a-(c- b)=a+b-c,∴ S1=(a+b-c)2= 3.∴ a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc= 3.∴ 2c2 +2ab-2ac-2bc=3. ∴ c2- (a +b)c +ab =1.5. ∴ S2=1.5. 2. D 3. 【回顾旧知】 ∵ 大正方形的边长 为c, ∴ 大正方形的面积为c2. ∵ 大正方形由四个直角边长为a,b 的直角三角形和一个边长为a-b的 小正方形组成, ∴ 大正方形的面积为4×12ab+ (a-b)2. ∴ 4×12ab+ (a-b)2=c2. ∴ (a-b)2+2ab=c2. ∴ a2+b2=c2. 【拓展应用】 (1) ∵ 大正方形的面积 是25, ∴ c2=25. ∴ a2+b2=25. ∵ (a+b)2=49, ∴ a2+2ab+b2=49. ∴ 2ab=24. ∴ ab=12. ∴ (a-b)2=a2+b2-2ab=1. ∴ 小正方形的面积为1. (2) 如图,BD=a=7,AB=b=4, ∴ BC=3. 由题意,得∠ABC=90°, ∴ AC= AB2+BC2=5. ∴ 涂 色 部 分 的 周 长 为4×(4+ 5)=36. (3) 由题意,得S1=(a+b)2,S2= a2+b2,S3=(a-b)2, ∴ 易得S1+S3=2S2. (第3题) 4. (1) ∵ 四边形ABCD 是长方形, ∴ AB∥CD. ∴ ∠DFA=∠BAF. 由折叠的性质,可得∠BAF=∠MAF, ∴ ∠MFA=∠MAF. ∴ AM=MF. (2) ∵ E 是边BC的中点, ∴ BE=CE=12BC=4. ∵ 四边形ABCD 是长方形, ∴ ∠B=∠BCD=∠ADC=90°, AD=BC=8,CD=AB=6. 由(1),得∠BAE=∠CFE, 又∵ ∠AEB=∠FEC, ∴ △AEB≌△FEC. ∴ AB=FC=6. 设CM=m,则 AM=MF=CM+ FC=m+6,DM=CD-CM=6-m. 在Rt△ADM 中,AM2=AD2+DM2, ∴ (m+6)2=82+(6-m)2,解得 m=83. ∴ CM 的长为83. (3) 当CF=4时,设CM=x. ① 如图①,当点E 在线段BC 上时, AM=MF=x+4,DM=6-x. 在 Rt△ADM 中,AM2 =AD2 + DM2, ∴ (x+4)2=82+(6-x)2,解得 x=215. ∴ CM 的长为215. ② 如图②,当点E 在线段BC 的延长 线上时,AM=MF=x-4,DM= x-6. 在 Rt△ADM 中,AM2 =AD2 + DM2, ∴ (x-4)2=82+(x-6)2,解得 x=21. ∴ CM 的长为21. 综上所述,当CF=4时,CM 的长为 21 5 或21. (第4题) 5. B 6. ∵ AC⊥BD, ∴ 易得CE2+DE2=CD2,DE2+ AE2=AD2,AE2 +BE2 =AB2, CE2+BE2=BC2. ∴ CD2+AB2=CE2+DE2+AE2+ BE2,AD2+BC2=DE2+AE2+ CE2+BE2. ∴ CD2+AB2=AD2+BC2. ∵ AB=3,BC= 13,CD=4, ∴ 42+32=AD2+( 13)2,解得 AD=23(负值已舍去). ∴ AD 的长为23. 第十七章复习 ［知识体系构建］ a2+b2=c2 整数 题设、结论 直角三角形 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 ［高频考点突破］ 典例1 A [解析] 如图,延长BA 至点F,使AF=BC,连接DF,过点 D 作DH⊥BF,垂足为H.∵ 在四边 形ABCD 中,∠ADC=120°,∠CBA= 60°,∴ ∠BAD + ∠C = 180°. ∵ ∠BAD+∠DAF=180°,∴ ∠DAF= ∠C.又 ∵AD =CD,AF =CB, ∴ △DAF≌△DCB.∴ DF=DB, ∠ADF=∠CDB.∴ △DBF 为等腰 三 角 形, ∠FDB = ∠ADC. ∵ ∠ADC = 120°,BC = 2, ∴ ∠FDB = 120°,AF = 2. ∴ ∠DBF=30°.∵ AB=5,∴ BF= AB+AF=7.∴ 易得BH=12BF= 7 2. 在Rt△BDH 中,∠DBH=30°, ∴ HD=12BD.∴ HD2+BH2= BD2,即 12BD 2 + 72 2 =BD2, 解得BD=733 (负值已舍去). (典例1图) [跟踪训练] 1. 60 典例2 (1) 如图①,△ABC 即为 所求. (2) 如图②,△DEF 即为所求. (典例2图) [跟踪训练] 2. (1) - 5;5- 2;5. (2) 易知DC=3-5,OB=5-2, ∴ DC-OB=(3- 5)-(5-2)= 5-25. ∵ 5= 25,2 5= 20,25>20, ∴ 5>25. ∴ 5-25>0. ∴ DC>OB. 典例3 (1) 13;22. (2) 以AB,CD,EF 三条线段为边能 构成直角三角形. 理由:∵ AB = 13,CD =22, EF=5, ∴ CD2+EF2=(22)2+(5)2= 8+5=13=AB2. ∴ 以AB,CD,EF 三条线段为边能 构成直角三角形. [跟踪训练] 3. (1) △ACD 为直角 三角形. 理由:由题意,得AC= 32+32 = 32,CD= 22+22 =22,AD= 12+52= 26, ∴ AC2+CD2=AD2. ∴ △ACD 为直角三角形. (2) 由 题 图 可 知,AB=BC=3, ∠ABC=90°, ∴ S△ABC= 1 2AB ·BC=12×3× 3=92. ∵ 在Rt△ACD 中,AC=32,CD= 22, ∴ S△ACD= 1 2AC ·CD=12×32× 22=6. ∴ S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= 9 2+ 6=212. ∴ 四边形ABCD 的面积为212. ［综合素能提升］ 1. B 2. B 3. C [解析] ∵ ∠ABC=90°, ∠A=30°,∴ ∠ACB=60°.∵ BE⊥ CD,CD 平分∠ACB,∴ ∠COB= ∠COE=90°,∠BCO=∠ECO=30°. 又∵ CO=CO,∴ △CBO≌△CEO. ∴ BO=EO.∵ BE=3,∴ BO= EO=1.5.∵ ∠BCO=30°,∠COB= 90°,∴ OB = 12BC.∴ BC =3. ∵ ∠CBD= 90°,∠DCB = 30°, ∴ BD=12CD. 设BD=x,则CD= 2x.在Rt△BCD 中,由勾股定理,得 BD2+BC2=CD2,即 x2 +32 = (2x)2,解得x= 3或x=- 3(不合 题意,舍去).∴ 2x=23,即CD 的 长为23. 4. 45° 5. (1) 4 125 (2) 4或254 [解析] 由题意,得 BP=t.在Rt△ABP 中,∠B 为锐角. ① 当 ∠APB =90°时,BP =BC, ∴ t=4.② 当∠BAP=90°时,如图, 则CP=t-4.在Rt△APC中,AP2= AC2+CP2 =32 + (t-4)2.在 Rt△ABP 中,AP2 +AB2 =BP2, ∴ AP2 =BP2 -AB2 =t2 -52. ∴ 32+(t-4)2=t2-52,解得t= 25 4. 综上所述,t=4或254. (第5题) 6. (1) ∵ 四边形ABCD 是正方形, ∴ AB=BC=CD=DA,∠BAD= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 ∠B=∠C=∠D=90°. 由折叠的性质可知,AD=AM,CF= DF= MF = 12CD =2 ,∠D = ∠AMF=90°,∠DAF=∠MAF, ∴ AB=AM,∠AMP=90°. 又∵ AP=AP, ∴ Rt△ABP≌Rt△AMP. ∴ ∠BAP=∠MAP,BP=MP. ∴ ∠PAF = ∠MAP + ∠MAF = 1 2∠BAM+ 1 2∠DAM= 1 2∠BAD= 45°. 设 BP=x,则 PC=4-x,PF= PM+MF=x+2. ∴ 在 Rt△PCF 中,CF2+PC2= PF2,即22+(4-x)2=(x+2)2,解 得x=43. ∴ BP 的长为43. (2) 若AM=AD=8,由折叠的性质 可知,AM=AB=6,6≠8, ∴ 此种情况不存在. 如图①,若AM=DM,则易得点M 在 AD 的垂直平分线上. 过点M 作EF⊥AD 于点E,交BC于 点F,则易得EF⊥BC. ∴ 易得AE=12AD=4. ∴ 在Rt△EMA 中,由勾股定理,得 EM= AM2-AE2=25. 易知EF=AB=6,AE=BF=4. ∴ MF=EF-EM=6-25. 设BP=x,则PM=x,PF=4-x. 在 Rt△PMF 中,由 勾 股 定 理,得 PM2=PF2+MF2,即 x2=(4- x)2+(6-25)2,解得x=9-35. ∴ BP 的长为9-35. 如图②,若 AD=DM,过点 M 作 EF⊥AD 于点E,交BC 于点F,则易 得EF⊥BC. 在Rt△AME 和Rt△MDE 中,由勾 股 定 理,得 EM2 =AM2 -AE2, EM2=DM2-DE2, ∴ AM2-AE2=DM2-(AD-AE)2. ∴ 62-AE2=82-(8-AE)2,解得 AE=94. ∴ EM= AM2-AE2=3 554 . 易知EF=AB=6,AE=BF=94 , ∴ MF=EF-EM=6-3 554 . 设BP=y,则PM=y,PF= 9 4-y. 在 Rt△PMF 中,由 勾 股 定 理,得 PM2 = PF2 + MF2,即 y2 = 9 4-y 2 + 6-3 554 2 ,解得y= 16-2 55. ∴ BP 的长为16-2 55. 综上所述,BP 的长为9-35或16- 2 55. (第6题) 第十八章　平行四边形 18.1　平行四边形 第1课时 平行四边形的边、 角性质 1. D 2. (3,-1) 3. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四 边形, ∴ AD∥BC,AD=BC. ∴ ∠EAD=∠AEB. 又∵ AB=AE, ∴ ∠B=∠AEB. ∴ ∠B=∠EAD. ∴ △ABC≌△EAD. (2) 由(1)知,∠B=∠AEB. ∵ ∠B=65°, ∴ ∠BAE=180°-65°-65°=50°. ∴ ∠BAC=∠BAE+∠EAC=50°+ 25°=75°. ∵ △ABC≌△EAD, ∴ ∠BAC=∠AED=75°. 4. A [解析] ∵ 四边形ABCD 是平 行四边形,∴ AD=BC,AD∥BC. ∴ ∠ADE=∠CED.∵ ∠ADC 的平 分线 交 BC 于 点 E,∴ ∠ADE= ∠CDE.∴ ∠CDE = ∠CED. ∴ CE=CD.∵ CF⊥DE,∴ EF= 1 2DE=8 ,∠CFE=90°.∴ CE= CF2+EF2=10.∴ AD=BC= BE+CE=16. 5. C [解析] 如图,过点D 作DH⊥ BC,交BC 的延长线于点H,∵ 四边 形ABCD 是平行四边形,∴ DC= AB,AD∥BC.∵ DH⊥BC,AE⊥ BC,∴ DH=AE.∴ Rt△DCH≌ Rt△ABE.∴ CH=BE=x.∵ BC= y,∴ EC=BC-BE=y-x,BH= BC+CH=y+x.∵ 在Rt△ACE 中,AE2=AC2-EC2,在Rt△BDH 中,DH2=BD2-BH2,∴ 22-(y- x)2=(23)2-(y+x)2.∴ xy=2. ∴ xy的值不变. (第5题) 6. 168 [解析]过点A 作AE⊥BC 于点E.∵ 四边形ABCD 是平行四边 形,∴ AD=BC=14.设BE=x,则 EC=14-x.在Rt△ABE 中,AB2- BE2=AE2,在Rt△AEC 中,AC2- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 31 第十七章复习 ▶ “答案与解析”见P13 考点一 勾股定理 答案讲解 典例1 (2024·深圳期中)如图,在四 边形 ABCD 中,AD=CD,∠ADC= 120°,∠CBA=60°,BC=2,AB=5,则对 角线BD 的长是 ( ) (典例1图) A. 73 3 B. 73 2 C. 72 3 D. 72 2 跟踪训练 1. (2024·陕西)如图,在△ABC中,AB=AC,E 是边AB 上一点,连接CE,在BC 的右侧作 BF∥AC,且 BF=AE,连接CF.若AC=13, BC=10,则四边形EBFC的面积为 . (第1题) 考点二 勾股定理与作图 典例2 如图,在4×4的正方形网格中,每个小 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十七章　勾股定理 32 正方形的边长均为1,网格线的交点叫做格点. (1) 在 图 ① 中 以 格 点 为 顶 点 画 △ABC,使 △ABC 的三边长分别为3,4,5. (2) 在图 ② 中 以 格 点 为 顶 点 画 △DEF,使 △DEF 的三边长分别为5,10,13. (典例2图) 跟踪训练 2. (2023·潍坊潍城期中)如图,长方形的一条 边在数轴上,长为2个单位长度,宽为1个单 位长度,以原点O 为圆心、长方形对角线的 长为半径画弧,与数轴分别交于点C,A,在 点C 的左侧截取CB=2,点D 表示的数为 3,解答下列问题: (1) 点A,B,C 表示的实数依次为 , , . (2) 计算线段DC 和OB 的长,并用作差法比 较它们的大小. (第2题) 考点三 勾股定理的逆定理 典例3 (2023·临汾期末)如图,网格中每个小 正方形的边长都是1,点A,B,C,D 都在格点上. (1) 线段AB 的长为 ,线段CD 的长为 . (2) 若EF 的长为5,则以AB,CD,EF 三条线 段为边能否构成直角三角形? 请说明理由. (典例3图) 跟踪训练 3. (2023·北京期末)如图,网格中每个小正方 形的边长均为1,点A,B,C,D 均在格点上. (1) 判断△ACD 的形状,并说明理由. (2) 求四边形ABCD 的面积. (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下 33 1. (2024·南昌期中)如图,在Rt△ABC 中, AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC 折叠, 使点 A 与边BC 的中点D 重合,折痕为 MN,则线段BN 的长是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (第1题) (第2题) 2. (易错易混题)如图,网格中的每个小正方形 的边长均为1,A,B 是格点.若△ABC 为等 腰三角形,则满足条件的格点C 有 ( ) A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 3. (2024· 郑 州 期 末)如 图,在 △ABC 中, ∠ABC=90°,∠A=30°,CD 平分∠ACB, BE⊥CD 交AC 于点E,记BE 与CD 的交 点为O.若BE=3,则CD 的长为 ( ) A. 3 B. 3 C. 23 D. 33 (第3题) (第4题) 4. (2023·天津和平期末)如图,在6×4的小正 方形网格中,小正方形的边长均为1,点A, B,C,D,E 均在格点上,则∠ABC-∠DCE 的度数为 . 5. (2024·汕头期中)如图,在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,AB=5,AC=3,动点P 从点B 出发沿射线BC 以每秒1个单位长度的速度 移动,设移动的时间为t秒. (1) BC= ,边AB上的高h= . (2) 当△ABP为直角三角形时,t= . (第5题) 答案讲解 6. (2024·湖北模拟)如图①,折叠正 方形纸片ABCD,使AD 与BC 重 合,折痕为EF,把纸片展平后连接 AF,将△ADF 沿AF 折叠,使点D 落在正 方形内的一点M 处,连接FM 并延长交BC 于点P,连接AP. (1) 若正方形的边长是4,求BP 的长. (2) 如图②,在长方形ABCD 中,AB=6, BC=8.P 为边BC 上的一点(不与点B 重 合),将△ABP 沿着AP 折叠,点B 的对应点 M 落在长方形的内部,连接MD,当△MAD 为等腰三角形时,求BP 的长. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十七章　勾股定理