第17章 勾股定理 拔尖测评-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

数学(人教版)八年级下 3 第十七章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 如图,将三角尺、量角器和直尺按如图所示的方法摆放,三角尺的斜 边BC 与量角器的半径OC 垂直于点C,点B,D,E 分别与直尺的 刻度1,9,19重合,则三角尺直角边AC 的长为 ( ) (第1题) A. 5cm B. 6cm C. 53cm D. 63cm 2. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a, b,c的计算公式:a=12 (m2-n2),b=mn,c=12 (m2+n2),其中m> n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算 公式直接得出的是 ( ) A. 3,4,5 B. 5,12,13 C. 6,8,10 D. 7,24,25 3. 如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,则边AC 上的高BD 的 长为 ( ) A. 4 B. 22 5 C. 24 5 D. 5 (第3题) (第4题) 4. 如图,沿AC 方向开山修路,为加快施工进度,要在小山的另一边同 时施工,在AC 上取一点B,使∠ABD=120°,BD=210m,∠D= 30°.要使A,C,E 三点在同一条直线上,则E,D 两点之间的距离为 ( ) A. 1053m B. 2103m C. 703m D. 105m 5. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,把△ABC 沿直线 BC 向右平移3个单位长度得到△A'B'C',连接AA',则四边形 ABC'A'的面积是 ( ) A. 15 B. 18 C. 20 D. 22 (第5题) (第6题) (第7题) 6. 如图,在3×4的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中,点A, B,C,D 都在格点上,则下列线段中,长度为 10的是 ( ) A. AB B. BC C. AC D. BD 7. 将一副直角三角尺和一把宽度为2cm的直尺按如图所示的方式摆 放,先把60°角和45°角的顶点及它们的一条直角边重合,再将此直 角边垂直于直尺的上沿,重合的顶点落在直尺下沿上,这两块三角 尺的斜边分别交直尺上沿于A,B 两点,则AB 的长是 ( ) A. (2-3)cm B. (23-2)cm C. 2cm D. 23cm 8. 如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3,分 别以点A,C 为圆心,大于12AC 的长为半径作弧,两弧交于点E,作 射线BE,交AD 于点F,交AC 于点O.若O 是AC 的中点,则CD 的长为 ( ) A. 22 B. 4 C. 3 D. 10 (第8题) (第9题) 9. 如图,在正方形网格中,每个正方形的边长都是1个单位长度,点 A,B,C,D,E 均在正方形网格的格点上,线段AB,CD 交于点F. 若∠CFB=α,则∠ABE 的度数为 ( ) A. 180°-α B. 180°-2α C. 90°+α D. 90°+2α 10. 如图,在正方形网格中,A,B,C,D 四点都在格点上,则∠BAC+ ∠DAC 的度数为 ( ) (第10题) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 二、 填空题(每小题4分,共20分) 11. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB 交BC 于点D, DE⊥AB 于点E,CD=2,BC=6,则BE 的长为 . (第11题) (第12题) 12. 如图,在四边形ABCD 中,AB∶BC∶CD∶DA=2∶2∶3∶1,且 ∠ABC=90°,则∠DAB 的度数是 . 13. 我国数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”,后人 称之为“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形 组成的.如图,直角三角形的直角边长为a,b,斜边长为c.若b-a=4, c=20,则每个直角三角形的面积为 . (第13题) 14. 如图,在四边形ABCD 中,∠BAD=90°,AB=BC=AD=5,对角 线AC⊥CD,则线段CD 的长为 . (第14题) (第15题) 15. 将两块同样大的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一 块三角尺的锐角顶点与另一块三角尺的直角顶点重合于点A,且 另三个锐角顶点B,C,D 在同一直线上,连接CD.若AB= 2,则 CD 的长为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 三、 解答题(共50分) 16. (8分)如图,一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆在点C 处折断, 顶部B 着地且距旗杆底部A4m. (1) 求旗杆在距地面多高处折断. (2) 工人在修复的过程中,发现在折断点C 的下方1.25m的点D 处,有一明显裂痕,若下次大风将旗杆从点D 处吹断,则距旗杆底 部周围多大范围内有被砸伤的危险? (第16题) 17. (8分)在△ABC 中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC 的面 积.某学习小组经过合作交流,给出了如图①所示的解题思路,请 你按照他们的解题思路完成解答过程. (第17题) 18. (10分)如图,在△ABC 中,AB=BC=4,∠ABC=90°,F,G 分别 为边AB,AC 上的点,将△AFG 沿FG 折叠,点A 的对应点恰好 落在边BC 的中点D 处,求CG 的长. (第18题) 19. (12分)如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,边AB 的垂直平分线交 AB,AC 于点D,E,并且BE 平分∠ABC. (1) 求∠A 的度数. (2) 若CE=1,求AB 的长. (第19题) 20. (12分)数学家发现在一个直角三角形中,两个直角边边长的平方 和等于斜边长的平方.如图①,设直角三角形的两条直角边的长分 别是a和b(a<b),斜边的长是c,那么可以用数学语言表达为 a2+b2=c2. (1) 如图②,将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为 c的正方形ABCD,则四边形EFGH 是一个 (填“长方形” 或“正方形”),其面积为 (用含a,b的代数式表示). (2) 观察图②,利用面积之间的恒等关系,试说明a2+b2=c2 的正 确性. (3) 如图③,折叠长方形ABCD 的一边AD,使点D 落在边BC 的 点F 处.已知AB=12,BC=20,利用上面的结论求EF 的长. (第20题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 又∵ ∠A>∠B, ∴ p是∠B 的对边长. 第十七章拔尖测评 一、 1. B 2. C 3. C 4. A 5. A 6. B 7. B [解析]如图,在Rt△ACD 中, ∠ACD=45°,∴ ∠CAD =45°= ∠ACD.∴ AD =CD =2cm.在 Rt△BCD 中, ∠BCD = 60°, ∴ ∠CBD=30°.∴ BC=2CD = 4cm.∴ 在Rt△BCD 中,由勾股定 理,得 BD = BC2-CD2 = 42-22=23(cm).∴ AB=BD- AD=(23-2)cm. (第7题) 8. A [解析]如图,连接FC.由题 意,易得OE 垂直平分AC.∴ AF= FC,OA = OC.∵ AD ∥BC, ∴ ∠FAO= ∠BCO.在 △FOA 和 △BOC中, ∠FAO=∠BCO, OA=OC, ∠AOF=∠COB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FOA≌△BOC.∴ AF=CB= 3.∴ FC=AF=3,FD=AD-AF= 4-3=1.在△FDC 中,∵ ∠D=90°, ∴ CD2+DF2=FC2.∴ CD2+12= 32.∴ CD=22(负值已舍去). (第8题) 9. C [解析]如图,过点B 作BG∥ CD,使BG=CD,连接EG.∵ BG∥ CD,∴ ∠ABG = ∠CFB = α. ∵ BG2=12+42=17,BE2=12+ 42=17,EG2=32+52=34,∴ BG2+ BE2=EG2.∴ △BEG 是直角三角 形,且∠GBE =90°.∴ ∠ABE = ∠GBE+∠ABG=90°+α. (第9题) 10. B [解析]如图,作点B 关于AC 的 对 称 点 B',连 接 B'A,B'D. ∴ ∠BAC = ∠B'AC.∵ B'A = 12+32= 10,B'D= 12+32= 10,AD = 22+42 = 25, ∴ B'A=B'D,B'A2+B'D2=AD2. ∴ △AB'D 是等腰直角三角形,且 ∠AB'D =90°.∴ ∠B'AD =45°. ∴ ∠BAC + ∠DAC = ∠B'AC + ∠DAC=∠B'AD=45°. (第10题) 二、 11. 23 12. 135° 13. 96 14. 5 [解析]如图,过点 B 作 BE⊥AC 于点E,则∠BEA=90°. ∵ AB=BC=AD=5,∴ AE=CE. ∵ AC ⊥CD,∴ ∠ACD =90°. ∴ ∠CAD+∠D=90°.∵ ∠BAD= 90°,∴ ∠BAE + ∠CAD =90°. ∴ ∠BAE=∠D.又∵ AB=DA, ∠BEA=∠ACD=90°,∴ △BAE≌ △ADC.∴ AE =DC.∴ AC = 2AE=2CD.设CD=x,则AC=2x. 在 Rt△ACD 中,∵ AD=5,∠ACD= 90°,∴ x2+(2x)2=52.∴ x= 5(负 值已舍去).∴ CD=5. (第14题) 15. 3-1 [解析]如图,过点A 作 AF⊥BC 于点F.由题意,得AB= AC= 2,∴ 在Rt△ABC 中,BC= AB2+AC2=2.由题意知,△ABC 是等腰直角三角形,∴ 易得BF= CF=AF=1.由题意,得AD=BC= 2.在Rt△ADF 中,根据勾股定理,得 DF= AD2-AF2= 3.∴ CD= DF-CF=3-1. (第15题) 三、 16. (1) 由题意,可知AC+BC= 8m.易知∠A=90°, ∴ AB2+AC2=BC2. 设AC=xm,则BC=(8-x)m, ∴ 42+x2=(8-x)2,解得x=3. ∴ AC=3m,BC=5m. ∴ 旗杆在距地面3m处折断. (2) 如图,在AB 的延长线上取一点 B',连接B'D,使B'D+AD=8m. ∵ CD=1.25m, ∴ AD=AC-CD=3-1.25=1.75(m). ∴ B'D=8-1.75=6.25(m). ∴ AB'= B'D2-AD2= 6.252-1.752=6(m). ∴ 距旗杆底部周围6m的范围内有 被砸伤的危险. (第16题) 17. 在△ABC 中,AB=15,BC=14, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 57 AC=13,设BD=x,则CD=14-x. 由勾股定理,得AD2=AB2-BD2= 152-x2,AD2=AC2-CD2=132- (14-x)2. ∴ 152-x2=132-(14-x)2,解得 x=9. ∴ AD= AB2-BD2=12. ∴ S△ABC= 1 2BC ·AD=12×14× 12=84. 18. ∵ AB=BC=4,∠ABC=90°, ∴ △ABC是等腰直角三角形. ∴ 易得AC=42,∠A=∠C=45°. ∵ D 是边BC的中点, ∴ BD=DC=2. 由折叠的性质可知,AG=GD. 如图,过点D 作DE⊥CG 于点E. 易知∠EDC=∠C=45°. ∴ 易得DE=EC=2. ∴ AG=GD=AC-EC-GE= 32-GE. 在Rt△GDE 中,根据勾股定理,得 DE2+GE2=GD2,即(2)2+GE2= (32-GE)2,解得GE=423 . ∴ CG=GE+EC=423 +2= 72 3 . (第18题) 19. (1) ∵ DE 垂直平分AB, ∴ EA=EB. ∴ ∠A=∠EBA. 又∵ BE 平分∠ABC, ∴ ∠EBA=∠CBE. ∴ ∠EBA=∠A=∠CBE. ∵ ∠C=90°, ∴ ∠CBE+∠EBA+∠A+90°=180°. ∴ ∠A=30°. (2) ∵ ∠CBE=∠ABE=∠A=30°, ∠C=90°,CE=1, ∴ BE=2CE=2. ∴ BC= BE2-CE2=3. ∴ AB=2BC=23. 20. (1) 正方形;(b-a)2. (2) ∵ S正方形ABCD =4×S△ABE + S正方形EFGH, ∴ c2=4×12ab+ (b-a)2,整理,得 a2+b2=c2. (3) ∵ 四边形 ABCD 是长方形, △AFE 是由△ADE 折叠得到的, ∴ AF=AD=BC=20,DC=AB= 12,EF=DE,∠B=∠C=90°. 在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF= AF2-AB2= 202-122=16. ∴ CF=BC-BF=20-16=4. 设DE=EF=x,则EC=DC-DE= 12-x. 在 Rt△EFC 中,由 勾 股 定 理,得 EF2=CF2+EC2,即x2=42+(12- x)2,解得x=203. ∴ EF 的长为203. 第十八章拔尖测评 一、 1. B 2. D 3. B 4. A 5. B 6. C 7. C 8. D 9. C [解析]如图,连接OE.∵ 四边 形ABCD 是矩形,∴ ∠ABC=90°, AC=BD,OA=12AC ,OD=12BD. ∴ OA=OD.在Rt△ABC中,由勾股 定 理,得 AC = AB2+BC2 = 62+82 =10,∴ OA =OD =5. ∵ S△OAE + S△ODE = S△AOD = 1 4S矩形ABCD ,即 1 2OA · EH + 1 2OD ·EF=14AB ·BC,∴ 1 2× 5EH+ 12 ×5EF= 1 4 ×6×8 ,即 1 2×5 (EH +EF)= 14 ×6×8. ∴ EH+EF=245. (第9题) 10. D [解析] 如图,连接GF.∵ 四 边形ABCD 为矩形,∴ BC=AD= 5,AB=CD=3,∠ABC=∠BCD= 90°.∵ F 是边BC 的中点,CP⊥BE 于点P,∴ PF=BF=CF=12BC= 2.5.故①正确.∵ E,F 分别是边 AD,BC 的中点,∴ DE=12AD= 1 2BC=BF. 又∵ DE∥BF,∴ 四边 形BEDF 是平行四边形.∴ BE∥ DF.∴ CP ⊥DF.∵ PF =CF, ∴ DF 垂直平分CP.∴ PD=CD= 3.∴ △DPF≌△DCF.∴ ∠DPF= ∠DCF=90°,即PF⊥DG.故②正 确.∵ ∠GPF=∠GBF=90°,PF= BF,GF=GF,∴ △GPF≌△GBF. ∴ PG =BG.设 BG =PG =x, ∴ AG=3-x,GD=3+x.∵ 在 Rt△AGD 中,AG2+AD2 =GD2, ∴ (3-x)2+52=(3+x)2,解得x= 25 12.∴ PG=2512. 故③正确.综上所 述,正确的是①②③. (第10题) 二、 11. 5 12. 1 13. 33-3 14. 13 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 67