第16章 专题特训（二）利用二次根式的概念和性质求值-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

第2课时 二次根式的混合运算 1. B 2. B 3. D 4. 22 5. (1) 原式=3+2. (2) 原式=3. 关于二次根式混合运算的 做题方法 (1) 在进行二次根式混合运算 的过程中,可以先把每个二次根式 看成一个单项式,多个被开方数不 同的二次根式的和或差看成多项 式,再类比整式运算法则进行计 算,二次根式混合运算的结果应写 成最简二次根式或整式的形式. (2) 进行二次根式的计算时, 能用乘法公式的要尽量使用乘法 公式,以最大程度简化计算过程. 6. D [解析]对于 A选项,(2+ 1)-(2+1)=0,即当x=2+1时, 添上“-”,其结果为有理数;对于B选 项,(2+1)×(2-1)=1,即当x= 2-1时,添上“×”,其结果为有理 数;对于 C选项,(2+1)×(1- 2)=1-2=-1,即当x=1- 2时, 添上“×”,其结果为有理数;对于D 选项,(2+1)+2 2=3 2+1, (2+1)-22=1- 2,(2+1)× 22=4+22,(2+1)÷2 2= 2+2 4 ,∴ D选项符合题意. 7. C [解析]∵ x=1+ 5,∴ x- 1=5.∴ x2-2x-6=(x-1)2- 7=(5)2-7=5-7=-2. 8. 6 [解 析]∵ (2+ 3)2 = (2)2+2× 2× 3+(3)2=5+ 26,(2+ 3)2=5+2 a,∴ 5+ 26=5+2a.∴ a=6. 9. x<22+6 10. 7 [解析] 7+5 7-5 = (7+5)(7+5) (7-5)(7+5) =12+2 352 = 6+ 35.∵ 11<6+ 35<12,∴ 易 得a=11,b= 35-5. ∴ b2+10b+a+28= (b+5)2+a+3= 35+14=7. 11. (1) 原式=72. (2) 原式=9-36. 12. ∵ x=12 (7+3), y= 1 2 (7-3), ∴ x+y= 1 2 (7+ 3)+12 (7- 3)= 7,xy = 1 2 (7+ 3)× 1 2 (7-3)=14× (7-3)=1. (1) x2+3xy+y2=(x+y)2+xy= (7)2+1=8. (2) x y+ y x= x2+y2 xy = (x+y)2-2xy xy = (7)2-2×1 1 =5. 13. (1) 答 案 不 唯 一,如3+ 2; 3-2. (2) -25和25是共轭实数.a=0, b=2. (3) 设这两个共轭实数为a+b m和 a-b m. ∵ 这两个共轭实数的和为10,差的绝 对值为43, ∴ (a+b m)+(a-b m)=10, |(a+b m)-(a-b m)|=43. ∴ 2a=10,|2b m|=43. ∴ a=5,b=2或b=-2(不合题意, 舍去),m=3. ∴ 这两个共轭实数是5+23和 5-23. 14. (1) 3+22. (2) ∵ 点B 关于点A 对称的点为C, ∴ x=1-(2-1)=2-2. ∴ x+2x =2- 2+ 2 2-2 =2- 2+ 2 (2+2) (2-2)(2+2) =2- 2+ 4+22 2 =2-2+2+2=4. 专题特训（二）　利用二次 根式的概念和性质求值 1. C 2. C 3. A [解析] ∵ △ABC的三边长分 别为2,5,m,∴ 5-2<m<5+2,即 3<m<7.∴ m-3>0,m-7<0. ∴ (m-3)2- m2-14m+49= (m-3)2 - (m-7)2 =|m- 3|-|m-7|=m-3+m-7= 2m-10. 4. - -x [解析] 由题意,得x≠ 0且-x3≥0.∴ x<0.∴ 原式= 1 x x 2·(-x)=1x ·|x|· -x= 1 x ·(-x)· -x=- -x. 5. -1<a≤0或-4<a≤-3 [解析]由题意,得4-x≥0,x-a- 2≥0,∴ a+2≤x≤4.∵ 满足条件的 所有整数x 的值之和是9,∴ x=4, 3,2或x=4,3,2,1,0,-1.∴ 1<a+ 2≤2或-2<a+2≤-1.∴ -1< a≤0或-4<a≤-3. 6. 由 4a-b+1+ 13b-4a-3= 0,得 4a-b+1=0, 1 3b-4a-3=0 , 解得 a=-1,b=-3. ∴ 原 式 = -2× 3÷ 13 = -2×3=-6. 7. A [解析]∵ 48=43,最简二 次根式m+n+13m-n与二次根式 48 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 可以 合 并,∴ m+n+1=2, 3m-n=3, 解 得 m=1, n=0. 8. ∵ x2-2y+5y=8+45, ∴ (x2-2y-8)+(y-4)5=0. ∵ x,y都是有理数, ∴ x2-2y-8,y-4也是有理数. ∵ 5是无理数, ∴ x2-2y-8=0,y-4=0. ∴ x=±4,y=4. ∴ 当x=4,y=4时,x+y=4+ 4=8; 当x=-4,y=4时,x+y=(-4)+ 4=0. ∴ x+y的值是8或0. 9. A [解析]依题意,得 y-x≥0, x-z≥0, x3(y-x)3≥0, x3(z-x)3≥0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得x=0. ∵ x3(y-x)3 + x3(z-x)3 = y-x- x-z,∴ y- -z= 0.∴ y=-z.∴ 把x=0,y=-z代 入x3 +y3 +z3 -3xyz,得 0+ (-z)3+z3-0=0. 10. 2 [解析] ∵ a= 3+5,b= 3-5,∴ a2=(3+5)2=3+ 5,b2=(3-5)2=3- 5,ab= 3+5· 3-5= (3+5)(3-5)=4=2. ∵ (a-b)2=a2+b2-2ab=3+5+ 3-5-2×2 =3+3-4+5-5 = 2,∴ a-b=± 2.∵ 3+ 5>3- 5,∴ 3+5> 3-5.∴ a>b. ∴ a-b>0.∴ a-b=2. 11. 5 5- 11 11 [解析]由题意,可知 x>0.∵ x+1 x =2,等式两边同时 平方,得 x+ 1x =2 ,∴ 原 式 = 1 x+1x+3 - 1 x+1x+9 = 55- 11 11 . 12. (1) 方程可化为 18- 6x= 2 30-26x. 移项、合并同类项,得 6x=2 30- 18. 系数化为1,得x=25-3. (2) 由题意,得x+y=43,xy= (23-2)(23+2)=8. ∴ x2-xy+y2=(x+y)2-3xy= (43)2-3×8=48-24=24. 13. 原式=5 2x- 2x+2 2x= 6 2x. 当x=4时,原式=6× 2×4= 122. 14. x+2+ 4x+x2 x+2- 4x+x2 = (x+2+ 4x+x2)(x+2+ 4x+x2) (x+2- 4x+x2)(x+2+ 4x+x2) = (x+2)2+2(x+2) 4x+x2+4x+x2 (x+2)2-(4x+x2) = x2+4x+4+2(x+2)4x+x2+4x+x2 x2+4x+4-4x-x2 = 2x2+8x+4+2(x+2) 4x+x2 4 = x2+4x+2+(x+2) 4x+x2 2 . ∵ x=1 a - a, ∴ x=1a-2+a. ∴ x+2=1a+a. ∴ x2+4x+2=(x+2)2-2=a2+ 1 a2 ,x2+4x=(x+2)2-4=a2+ 1 a2-2. ∵ x≥0, ∴ 1 a - a≥0,即1 a ≥ a. ∴ 1 a≥a. ∴ 原式= a2+1a2+ 1 a+a a2+1a2-2 2 = a2+1a2+ 1 a+a 1a-a 2 2 = a2+1a2+ 1 a+a 1a-a 2 = a2+1a2+ 1 a2-a 2 2 = 2 a2 2= 1 a2. 第十六章复习 ［知识体系构建］ a(a≥0) a(a≥0) (a≥0) 最简二次根式 不含分母 开得尽方 ［高频考点突破］ 典例1 2018 [解析] ∵ |2017- m|+ m-2018=m,∴ m - 2018≥0,解得 m≥2018.∴ m- 2017+ m-2018=m.化 简,得 m-2018=2017,∴ m-2018= 20172.∴ m-20172=2018. [跟踪训练] 1. 由题意,得x-1≥0 且1-x≥0, ∴ x≥1且x≤1. ∴ x=1. ∴ y=2. ∴ x+1 y-1 =2. 典例2 (1) -a;1-b. (2) 由题图,可知-2<a<-1,0< b<1, ∴ a+1<0,a+b<0. ∴ (a+1)2 + b2 - (a+b)2 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 13 　专题特训（二）　利用二次根式的概念和性质求值 ▶ “答案与解析”见P4 类型一 利用二次根式有意义的条件求字母 或代数式的值 1. (2024·眉山期末)在代数式 x+1x-2 中,x 的 取值范围是 ( ) A. x≥-1 B. x≠2 C. x≥-1且x≠2 D. -1≤x<2 2. (2023·池州期末)若代数式 (1-a)2+ (3-a)2的值为常数2,则a满足的条件是 ( ) A. a≥3 B. a≤1 C. 1≤a≤3 D. a=1或a=3 3. (2024·日照期中)已知△ABC 的三边长分 别 为 2,5,m,则 化 简 (m-3)2 - m2-14m+49的结果为 ( ) A. 2m-10 B. 10-2m C. 10 D. 4 4. (2023·西安期中)化简二次根式1x -x 3的 结果是 . 5. 已知关于x 的代数式 4-x+ x-a-2有 意义,且满足条件的所有整数x 的值之和是 9,则a的取值范围是 . 6. 已知a,b满足 4a-b+1+ 13b-4a-3= 0,求2a b a÷ 1 -b 的值. 类型二 利用二次根式合并的条件求字母 或代数式的值 7. (易 错 易 混 题)已 知 最 简 二 次 根 式 m+n+13m-n与二次根式 48可以合并,则整 数m,n的值分别为 ( ) A. 1,0 B. -1,0 C. 1,2 D. -1,2 8. 先阅读材料,再解答问题. 设a,b是有理数,且满足a+2b=3-22, 求ba 的值. 解:由题意,得(a-3)+(b+2)2=0, ∵ a,b都是有理数, ∴ a-3,b+2也是有理数. ∵ 2是无理数, ∴ a-3=0,b+2=0. ∴ a=3,b=-2. ∴ ba=(-2)3=-8. 问题:设x,y都是有理数,且满足x2-2y+ 5y=8+45,求x+y的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第十六章　二次根式 14 类型三 二次根式的化简求值 答案讲解 9. 设x,y,z是互不相等的三个实数, 且 满 足 等 式: x3(y-x)3 + x3(z-x)3= y-x- x-z,则 x3+y3+z3-3xyz的值是 ( ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 10. (2023·乐山期末)已知a= 3+ 5,b= 3- 5,则a-b的值为 . 答案讲解 11. 已知 x+1 x =2,则 xx2+3x+1- x x2+9x+1 的值为 . 12. (1) 解方程:18-6x=230- 24x. (2) (2024·周口期末)已知x=23-2, y=23+2.求 x2-xy+y2 的值. 13. (2023·龙岩长汀期末)先化简,再求值: 5 28x-6 x 18+2x 2 x ,其中x=4. 14. (易错易混题)已 知 x = 1 a - a,求 x+2+ 4x+x2 x+2- 4x+x2 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)八年级下